大规模网络对初始条件不敏感、可学习更复
杂的数据，且具有更好的健壮性，但它易出现过拟合
现象，导致泛化能力降低
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计算机研究与发展!""#$%%%&$’()!*#$$&$+++!,-
./01234/5*/670891:9;931<=32>?9@94/76928 A(（)）：$B%)"$B$A，’%%B
收稿日期：’%%CD$’D%B；修回日期：’%%BD%CD$B
基金项目：国家自然科学基金项目（B%(+(%’)）；教育部博士点基金项目（’%%’%%%A%’%）；北京交通大学科技基金项目（’%%C:*%AA）
修剪算法的信息几何分析
刘蕴辉罗四维黄华李爱军
（北京交通大学计算机与信息技术学院北京$%%%AA）
（6/028E83F#’B(E298）
!"#$%&’()$"*+$&+(%),-"’./0)0$#1%2")"3-.3$%)(4&
GF0H02=0F，G0/"FI9F，J032KJ03，32>GFLFM02
（!"#$$%$&’$()*+,- N./&$-(0+1$/2,"#/$%$34，5,161/3710$+$/38/19,-:1+4，5,161/3$%%%AA）
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6/>94E,=919;931<=/27102F2K2/I3>3Q;6/;84Q5/<0;9;/28=934K/1F8=6>9;<1F78F/2I=F4949;;955/18F;
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;81389KQE,=9F663292869<=32F;6/57102F2KF;3234QO9>R3;9>/2F25/1638F/2K9/6981Q32>3;98/5
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632F5/4>731369891;73<9EL29I7102F2K34K/1F8=6F;719;9289>R3;9>/28=98=9/198F<343234Q;F;32>F8;
@34F>F8Q32>8=9955F<F92<QF;@91F5F9>RQ9S791F6928;E
6+/7$%80 7102F2K；F25/1638F/2K9/6981Q；290134632F5/4>；F25/1638F/271/M9<8F/2
摘要修剪法是确定和优化神经网络结构的重要方法之一E当前对修剪法的研究大多集中在方法描
述上，对于修剪法内在机理的研究尚不多见，而研究修剪的内在机理可以为修剪策略提供理论基础和依
据E从信息几何的角度研究了修剪法的内在机理，给出了神经网络结构修剪法的信息几何理论解释，利
用神经流形参数结构的层次性，将修剪法表述为一系列从当前模型流形到其子流形的信息投影过程，在
此基础上提出了新的修剪算法，并给出了算法可行性与有效性的实验验证E
关键词修剪法；信息几何；神经流形；信息投影
中图法分类号,-$T(
神经网络的结构对其性能有很大的影响，同时
也影响神经网络在实际中的应用，不同规模的网络
有各自的优缺点［$&’］，造成了网络设计者决策上的
困难E大规模网络对初始条件不敏感、可学习更复
杂的数据，且具有更好的健壮性，但它易出现过拟合
现象，导致泛化能力降低；小规模网络有较好的泛化
能力，但往往无法达到求解问题的精度，难以完成学
习任务E因此网络规模的确定直接影响到问题求解
的效果，如何确定合适的网络规模，使得网络在保持
良好性能的同时具有最优结构是一个重要的课题，
吸引了众多学者进行研究E
在如何确定合适的网络结构方面目前尚无完善
的理论指导，常用的结构确定方法主要有“构造法
（</2;810<8F2K）”［(］和“修剪法（7102F2K）”［A&C］E前者从
小规模网络开始，根据需要添加神经元直至网络性
能无明显提高为止E由于小网络对初始条件敏感且
易陷入局部极小，因而该方法需要反复的重构、训练
和测试网络，工作量大［’］E后者则从具有冗余结点的
大规模网络开始，通过削弱或者消除某些结点或权
值来达到结构优化的目的E
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
这种方法结合了大网络
学习速度快、避免局部极小的长处及小网络有较好
泛化能力的优点［!］，是一种公认的优化网络结构、
提高网络泛化能力的有效方法"
但传统修剪法并不完善，从根本上说，修剪法只
是一种半理论半经验的方法"不同的修剪算法大都
需要设定一些经验参数，因此需要一定的经验和技
巧"如果某些参数选择不合适使得修剪不当，修剪
过程可能在某个中型规模网络上陷入局部极小，无
法达到预期的修剪效果"对修剪法的改进研究有两
个方面：一是将各种方法进行结合，综合不同算法的
优点，衍生出更为合理的修剪算法；另一方面是研究
修剪法的理论依据，合理地确定冗余结点或连接的
位置以及数目，尽可能减少经验成分对算法的影响"
当前的研究大多属于前者，对修剪内在机理的研究
尚不多，而对此研究可以为提出更有效的修剪策略
提供理论基础和理论依据，是修剪法研究中具有重
要意义的课题"本文以信息几何［#$%］为工具对此进
行了有益的尝试和探讨，在信息几何框架下，利用神
经流形的分层特性，通过对网络内部结构细致的研
究，讨论了修剪法的一些基本理论问题，如修剪的可
行性、如何确定冗余结点或连接的位置及数目等"
在理论分析基础上，本文提出了一种新的修剪算法，
并用实验验证了算法的可行性与有效性"
! 信息几何的基本观点
信息几何源于对概率分布流形的几何研究，其
基本思想是将现代微分几何方法引入到神经计算科
学中，为神经网络和信息论提供了新的数学工具"
通常人们用统计模型去描述一个信息过程，而
统计模型是概率分布的集合，并可由一个参数集合
来描述，其构成的参数空间在一定的拓扑结构下形
成流形，称之为统计流形"在其上有一些内在的几
何结构，这些几何结构与统计推理有密切联系"信
息几何的主要方法就是研究统计流形的几何形状与
相对位置这样一些局部以及整体的几何学问题［&$’］"
根据统计分析的观点，人工神经网络模型的结
构和行为可由统计模型来描述"考虑参数（连接权，
阈值）!(（!)
，!*
，⋯，!!
）的神经网络，当参数! 在
参数空间" 中变化时，构成一个神经网络族，其中
每个网络实现的输入输出关系都可用概率分布
"（#；!）或条件概率分布"（$!#；!）表示，因而!
维参数! 对应的神经网络族构成了一个! 维统计
流形，并且是对偶平坦的，称为神经流形（+,-./0
1/+23405［%］），参数! 起到了坐标卡的作用，用来识
别和表示一个神经网络模型系统"
通过统计模型表示，人工神经网络和微分流形
间可以建立起一座联系的桥梁"感知机、640781/++
机、9/-::2/+分布型神经网络、混合专家神经网络结
构和许多借助于统计模型来描述的神经网络模型结
构，都可以统一到指数族或混合族分布所表示的对
偶平坦流形框架下［%］，因而我们可以利用指数族及
混合族的几何特性来讨论神经网络的内在结构并分
析网络的信息处理机制和能力"信息几何理论为神
经网络的研究开创了一个极为重要的研究方向"
" 修剪算法的信息几何分析
"#! 神经流形的分层结构
根据;1/.2［ )<］的研究，神经流形具有分层结
构，也就是含有较少参数的流形空间作为子流形包
含在含较多参数的流形空间中：若参数集合%"&，
且由参数集合% 构成的流形为’%
，由参数集合&
构成的流形为’&
，则有’%"’&"这样的分层系统
具有非常有趣的几何结构，而这些几何结构则与系
统学习的动态行为有着密切的联系"信息几何正是
研究这种与概率分布相关的参数空间内在几何特征
和结构以及这种几何结构与学习等信息处理行为关
系的强大工具，下文给出更详细的分析"
设由一族神经网络构成的对偶平坦流形’，其
参数用向量形式表示为!(（!)
，!*
，⋯，!!
），在’上
引入两个互相对偶的坐标系,(仿射坐标系! 与1(
仿射坐标系"，且它们互相正交"设)"’为对偶平
坦流形’的子流形，若) 在’的,(仿射坐标系!
下可以表示为线性子空间，则称) 为,(平坦子流
形"若在’的1(仿射坐标系" 下为线性的，则称)
为1(平坦子流形",(平坦子流形) 本身也是,(平
坦流形，根据信息几何理论它也是1(平坦流形"
定义!#考虑一个,(平坦子流形的嵌套：*)"
**"⋯"*!
，其中*+
是*+=)
的,(平坦子流形，每
一个*+
都是对偶平坦的，称这种嵌套序列为,$平
坦层次结构，或者简称为,$结构"可构成,(结构的
典型例子就是指数族分布"
引入+(截断（+(>-7）［)<］的概念，对任意的+ 有：
!+=(（!+=)
，!+=*
，⋯，!!
）"
设!+=(（,+=)
，⋯，,!
），则对于’中的所有具
有相同!+= 坐标的分布构成了一个子集*+
（!+= ），即
其中!+= 的值固定为!+= ：!+=(!+= ，但是! 中的其
)#)< 计算机研究与发展 *<<#，?@（’）
他分量可自由取值，因而对每个! 值都可得到一个
!!平坦子流形：
"#
（"#$）%｛&（’；!）(!#$ %"#$｝，
#$%#$"，⋯，)#
它们构成了整个流形* 的一个分裂，称为!!平
坦分裂：!"#$"#
（"#$）%*#
特别地当"#$%&，则可在* 中引入一个分层结
构，且为!!结构：
""
（&）""’（&）" ⋯"")
（&）%*# （"）
与上面的过程相对偶的，可以讨论对偶坐标"
下构成的层次结构#设：
+#
（#!,）%｛&（’；!）("!, %#!,｝，!,%"，⋯，##
（’）
对于每个# 值，式（’）表示* 中所有具有相同
"!( 坐标的分布构成的)!平坦子流形，且它们构成
了)!平坦分裂：!#!,$#
（#!,）%*#
由于坐标系! 与" 的正交性，这两种分裂正
交，即子流形与+#
在任意点均正交#
据以上"#
分析可以看到，一个单一结构可以
通过分解参数向量分解为许多层次结构#每一个层
次结构都构成了一个对偶平坦子流形，嵌入到它的
平坦包容流形中，显然子流形的维数小于其包容流
形的维数#
从式（"）可知，如果对参数向量中越来越多的分
量赋值为&，则新参数向量构成的流形形成了一族
互相嵌套的子流形，而这种将参数中的分量赋值为
&的行为恰恰对应于修剪过程#如将参数向量中的
对应于某权值的分量置为&则相当于剪去该权值所
对应的连接；如赋值为&的各分量恰恰都为同一神
经元所对应的各权值，则相当于剪去该神经元［""］#
综上，神经流形的参数结构具有分层特性，正是
这种结构上的层次性赋予了修剪算法的可行性#使
用信息几何工具通过对网络内部结构细致的研究更
有利于我们讨论修剪过程的内在机理，信息几何提
供了对修剪算法进行研究的一个新的理论基础#
!"! 反复信息投影的修剪过程
首先给出信息几何的有关定理［*，"&］，它们是分
析信息投影与修剪之间关系的理论依据#注意后续
讨论均在!+仿射坐标系! 下进行，因此信息投影特
指)+投影，)+仿射坐标系" 下的讨论可同理进行#
设& 为一固定分布，&
（#）（’）%,-.)/0 -#"#
.（&，
-），即&
（#）（’）为流形"#
中在黎曼距离意义下离&
最近的点#由定理"可知，该点恰好可由)!投影
得到#
定理#" 设-$ 为"#
中的点，连接& 与-$ 的
)!测地线在-$处正交于"#
（如图"所示），则-$是
惟一的，并且&（#）可由-$给出#
1/.#" 2034-),5/406-47!85/40（)+6-47!85/40）#
图" 信息投影（)+投影）
证明#%-#"#
连接- 与-$的!!测地线包含在
"#
中，因此正交于连接& 与-$的)!测地线，如图"
所示，根据9:5;,.4-!,0定理［*］，有
.（&，-）%.（&，-$）$.（-$，-）
成立，因此，&
（#）%-$，且-$是惟一的# 证毕#
投影&
（#）（’）与最大熵原则有密切关系：
定理!"对于-#+#
，& 到"#
上的)!投影&
（#）
是使得其中熵最大的那个分布，即&
（#）%,-.),< -#+#
/［-］#
证明#&
（#）（’）#+#
，+#
为所有具有相同"#(
的分布构成的流形，即其中的分布与& 具有相同的
#!边缘分布#对任意的-#+#
，&
（#）为它在"#
上的
投影#根据9:5;,.4-!,0定理：
.（-，&）%.（-，&
（#））$.（&
（#），&），
因此，对于-#+#
，使得.（-，&）最小的- 为&
（#）#
又因为
.（-，&）%&-（’）=0-（’）,
&-（’）=0&（’）%,/［-］,01)23，
第’个等号成立是因为& 为一固定分布，因而
&-（’）=0&（’）仅依赖于- 的边缘分布，而边缘分
布对于所有-#+#
是相同的# 证毕#
由定理"与定理’知，对于给定的分布& 以及
子流形"#
，& 到"#
的)!投影，-$ 最大程度保持了
& 的信息#如果把& 看做要逼近的分布，子流形表
示修剪后得到的网络模型，则-$ 对应的坐标就是
修剪后得到的网络模型的参数#以上只是分析了信
息投影与修剪的关系，可以用当前分布到子流形上
的投影来理解修剪过程，但是如何选择冗余的连接
或结点以及如何修剪则由以下分析给出#
不失一般性，本节主要分析对权值连接的修剪，
对于神经元的修剪，该分析同样适用#
">"" 刘蕴辉等：修剪算法的信息几何分析
为了分析简单起见，考虑从初始网络中去掉一
个连接的情况，后续的修剪过程可以同样过程讨论!
设初始网络参数为! 并构成流形!"｛"（#；
!）｝，设要逼近的真实分布表示为"!""（#；!!），
则在信息几何框架下，修剪过程表述如下：
设所有经过一次修剪后的网络模型构成的子流
形为｛$%
&#$"!"’%
，%"$，⋯，&｝，其中& 为! 中的
连接数目，’%
为将被修剪的第% 个连接，所有的
$%
&#$
构成了! 经一次修剪后的& 个候选子流形，下
面的任务就是从这& 个候选子流形中寻找最适合
的作为一次修剪后得到的网络!
作"!到每一个$%
&#$
的%(投影，得到"!
&#$
，由
前文知它满足：
"!
&)$* &’%)*
"&)$#$%
&)$
+%（"!，"&)$
），%*$，⋯，&，
其中，+%（"!，"&#$
）表示真实分布"!到$%
&#$
上的
分布"&#$
之间的距离，令," &’%)* %#［$，&］ +%（"!，
"!
&#$
），则可从候选子流形｛$%
&#$$%"$，⋯，&｝中选
择使得+%（"!，"!
&#$
）最小的$,
&#$
，作为一次修剪
后得到的新的网络，即’,
为修剪掉的连接!
由于在实际中真实分布一般未知，因此通常使
用经验分布来近似逼近真实分布!
以上为第$次修剪的步骤，后续的修剪过程可
同理进行!概括来说，就是对当前模型流形$-+$
考
虑所有可能的一次修剪后得到的候选子流形｛$%
-+$"
’%$%"$，⋯，&｝，并选择第, 个连接作为被剪掉的
连接，,"&’%)* %#［$，&］+%（"!
-.$
，"!
-
），$,
-
作为修剪后的
模型，"!
-
为"!
-+$
到每一个$%
-
的%(投影："!
- "
&’%)*
"-#$%
-
+%（"!
-+$
，"-
）!如图,所示：
-)(!, .*/01/2342’*)*(2’6/00（%72’8/61)3*）!
图, 一次修剪过程（%7投影）
从以上所述%(投影与最大熵原则的关系可知，
每一步的修剪均最大程度保留了原模型的信息，表
明修剪掉的单元对模型的输出影响最小，这种修剪
过程的信息几何解释给出了从几何角度对修剪的含
义与可行性的一种很好的理解，并从信息几何的观
点给出了修剪法内在机理的诠释，该理论工作为我
们后续提出新的修剪策略提供了理论基础和依据!
! 基于信息几何的修剪算法
!"# 基本思想
引入代价函数/（!9
）%+（&"0
，!9
）+19
，第$
项表示模型与数据的拟合程度，第,项表示模型的
复杂度，其中!9
表示模型9（文中用模型的参数来
表示模型），&"0
表示从数据中得到的经验参数用来
逼近表示数据的真实分布!参考:;<［$,］中复杂度的
表示：19"!-，!’=，!">*2",2，其中- 为模型中
的参数数目，2 为样本容量!
对于一系列嵌套模型，34(34#$(⋯(3$(
3=%0，其中34
表示从初始全连接模型0 中去掉
4个连接!
则代价函数利用?@1A&(3’&*定理可分解为
/（!!3$
）*+（&"0
，!!34
）.134 *
+（!!3=
，!!34)$
）.+（!!34)$
，!!34
）.134 *
!-3=.) 4)$
%*=
［+（!!3%
，!!3%)$
）)!］，
其中，-3=
表示初始网络所含参数的数目!显然，只
要当递减一阶时有+（!!34
，!!34+$
）*!，则通过投影
到这个低阶子流形上可以减少代价函数/，且最期
望的子流形是使得+（!!34
，!!34+$
）最小的那一个，该
过程一直进行到代价函数不再降低，则修剪结束!
!"$ 实验及结果
为检测算法的可行性与有效性，我们使用概率
神经网络进行了实验，具体步骤如下：
$）选定一个神经网络! 作为产生数据的真实
模型，即系统标准连接；
,）随机产生样本均值以及协方差矩阵并使用
93*1/7<&’3方法产生一组样本；
B）以与! 有相同结点数的全连接网络开始使
用该算法进行修剪，得到修剪后的新网络!5；
C）比较!5与真实模型!，通过结果误差度衡量
方法的有效性!结果误差度的定义为系统结构错误
关联（误增、误删）与系统标准连接的比值!
选用图B所示D个结点$=条连接的概率神经
网络作为真实模型，分别随机选取$=C 和$=E 个样
本进行修剪，样本数为$=C 时得到结果为图C，最终
网络结果误差度为$!$=，样本数为$=E 时结果为图
E，误差度为=，得到了标准连接，表明了方法的可
行性!
$F$, 计算机研究与发展 ,==F，CB（G）
!"#$% &’)*+,)-$
图% 真实模型
!"#$. /’0"0#’1(-2$
图. 修剪结果
!"#$3 /’0"0#’1(-2$
图3 修剪结果
!"#$4 5’’’(’)（!89:3）$
图4 误差曲线（样本数为9:3）
图;、图4为真实模型与模型间误差以及代价
函数两者分别随修剪掉连接数变化的曲线规律$达
到最低点的连接数即为修剪掉的最优连接数目，从
图中看出两者变化趋势一致，表明使用文中的代价
函数得到的模型分布一致收敛于真实分布，显示了
算法的有效性，样本数增加时两者基本重合，表明样
本数越多算法效果越好$
!"#$; 5’’’(’)（!89:.）$
图; 误差曲线（样本数为9:.）
! 结束语
本文给出了神经网络结构修剪法的信息几何理
论解释，通过使用信息几何工具对网络内部几何结
构进行研究，从而论证了修剪的理论可行性，并研究
了修剪的内在机理$利用神经流形参数结构的层次
性，将修剪方法表述为一系列从当前模型流形到其
子流形的信息投影问题，投影过程是在最大程度保
留原模型信息量的情况下搜索需要修剪的冗余连接
或结点的过程$在理论分析基础上，本文还提出了
新的修剪算法，在概率网络上的实验结果证明是可
行和有效的，对于前馈<=/网络还需要对网络的
表达形式做进一步的转化，该算法在<=/上的实
现是我们下一步的工作$
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刘蕴辉，>?ML年生，博士，主要研究方向为
神经计算/
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罗四维，>?BB年生，教授，博士生导师，主要研究方向为神经
计算、并行处理、多媒体技术/
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黄华，>?MM年生，博士，主要研究方向为神
经计算/
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李爱军，>?LB年生，博士，副教授，主要研
究方向为神经计算/
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>L>B 计算机研究与发展 AKKL，BC（?）
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