Killing场的主要意义我们已经看出来了，就是这个场诱导出来的群是保度规的，保度规的变换如果写成分量形式就是这个矩阵的行列式是1，也就是这个群的分量写成的矩阵是单位矩阵。保度规带来的主要意义就是保线长，保线长的主要意义我们在狭义相对论中已经介绍过了，就是设定标准：固有时一样。所以我们的洛伦兹变换就是其中一种killing场诱导出来的一个群。叫洛伦兹群。对于一个维度固定的流形，它所具有的killing场是有限制的，这些killing场（把killing场看成是元素）如果看成是一个集合，这个集合可以构成一个线性空间，这个空间的维度是确定的。意思就是说虽然对于一个维度固定的流形而言，killing场可以写出无穷多个，但是本质上说killing场就那么几个。所以选出狭义相对论的坐标变换公式也比较简单。就是从那几个killing场诱导出来的群里面一个一个挑，发现除了洛伦

广义相对论广义协变原理

格式：doc

时间：2014-07-20 22:30

浏览：0

页数：2

收藏：0

积分：80 举报

20120307广义相对论广义协变原理

    20120307广义相对论广义协变原理
    广义协变原理说的就是物理定律在所有参考系中，所有坐标系中表述都是一样的。这句话我们听过很多遍了，在学习狭义相对论的时候我们也看过这样的表述，但是这个所谓的协变原理对相对论这个模型数学处理上的要求是什么呢？
    狭义相对论中的四维语言的处理方法似乎已经给我们了一定的暗示，我们的主要目的就是找到客观的量，不是参考系依赖，不是坐标系依赖的量。微分几何中我们基本上全部都在学习这样的量，而具体的流形表示，张量分量这些东西是微分几何中那些客观量的表示讨论，就像群的表示论一样。
    在微分几何里面，一个流形是客观存在的，它的性质也客观存在的。它的性质我们用度规（就是流形上的一个02型满足度规公里的这样一个张量场）来标识。同时我们还有一系列的量，比如和度规适配的导数算符等等。广义相对论要求的广义协变性就是要求描述物理定律的方程中只能出现这样的客观的东西。 意思就是方程中只能出现张量，还有配套的一些算符。这样一来这个方程就不会是坐标系，或者参考系依赖的了。所以在广义相对论里面所有的参考系都是平权的，不管是惯性系还是非惯性系。
    广义相对论的时空背景是一个非常一般的流形，这个一般的流形就不是平直的。 我们见过这样的非欧几何的研究方法，就是把不平直的流形用一个共形保角的映射对应到平直的空间中来研究，这个涉及到具体的表示了，我还不会。
    在这里除了流形中的张量这个概念以外我们把其他的一些量都好好的理一理。度规就不用说了，本质上就是张量，满足一定性质的张量，以后应该就是把流形和平直流形建立联系的桥梁。导数算符一直是一个非常抽象的概念，至今都没有见过他的真面目，因为这个导数算符本质上说只有语言的表述，看到的数学表述都只是它在某些特殊情况下的表示。方程就是从导数算符开始的。在这里我们学习过很多的导数，什么李导数，什么协变导数，还有费米导数。
    李导数我一直没有搞明白是什么回事，我只知道李导数和其他导数一样都是沿着一条所谓的积分曲线（积分曲线就是流形上面某个矢量场中的线，满足这条线上面每一点的切向量就是矢量场在这点的矢量，比如电场线就是电场的积分曲线）得到的导数。 如果度规沿着某条积分曲线的李导数是零，那么这个积分曲线就是很特别的积分曲线，这个积分曲线对应的这个矢量场就是一个killing场，killing场的积分曲线诱导出来的单参微分同胚群是一个isometric（就是保度规的群）
    群就是一个线性变换，这个应该不难理解。
    积分曲线能够诱导出一个变换，这个应该不难理解，想象一下，给你一个矢量场，我们就会有所谓的场线，场线就是积分曲线，积分曲线对应着一个场，这个场线会有所谓的等势线，我们把势是多少定位一个参数，这个参数就是单参微分同胚群中的参数。这个群的操作法则是这样的，给定一个流形上的点，和一个参数，我们就把这个点沿着积分曲线移动这个长的位置。
    Killing场的主要意义我们已经看出来了，就是这个场诱导出来的群是保度规的，保度规的变换如果写成分量形式就是这个矩阵的行列式是1，也就是这个群的分量写成的矩阵是单位矩阵。保度规带来的主要意义就是保线长，保线长的主要意义我们在狭义相对论中已经介绍过了，就是设定标准：固有时一样。所以我们的洛伦兹变换就是其中一种killing场诱导出来的一个群。叫洛伦兹群。对于一个维度固定的流形，它所具有的killing场是有限制的，这些killing场（把killing场看成是元素）如果看成是一个集合，这个集合可以构成一个线性空间，这个空间的维度是确定的。意思就是说虽然对于一个维度固定的流形而言，killing场可以写出无穷多个，但是本质上说killing场就那么几个。所以选出狭义相对论的坐标变换公式也比较简单。就是从那几个killing场诱导出来的群里面一个一个挑，发现除了洛伦
兹群。其他的群对应的都是经典的时空变换，也就是伽利略变换，还有一些就根本没有对应这参考系的变换，只是单纯的坐标系变换。
    协变导数的前提是有一条timelike （类时）曲线还有一个要求协变导数的矢量，协变导数也是一个矢量沿着一个曲线求导数，协变导数的物理意义我不太清楚，但是我知道当这条timelike 曲线是测地线的时候，某个矢量沿着这条测地线的协变导数等于零对应的物理意义就是这个矢量沿着这条测地线平移。如果协变导数不等于零，那么这个矢量就不是沿着这条测地线平移的，仅此而已。
    如果这条曲线不是测地线，这条曲线的切向量沿着这条曲线的协变导数的意义就是这个曲线对应的粒子的四维加速度。四维加速度为零也就是说这条线是测地线，这个四维加速度为零的方程也就是测地线方程。
    平移情况是一个对物理很有意义的一种情况，这个平移是我们在平直空间中平移的推广，因此这个平移和我们熟知的平移有着相同的一些性质，比如说保两个平移矢量的内积。
    而如果这条先不是测地线，我们采用费米导数算符来说平移，费米导数满足在曲线是测地线的时候与协变导数相同，但是在非测地线的时候，作为平移的推广。