含时量子波包模拟三原子化学反应_word文档在线阅读与下载 ...
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含时量子波包法已经成功用于氮原子-双原子气相反应散射领域，并在探索表面科学，含时量子波包法模拟H+HBr反应性散射_word文档在线阅读与 ...
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含时量子波包法模拟H+HBr反... 暂无评价5页2.00元非旋波近似下Λ型三...含时量子波包法已经成功用于氮原子-双原子气相反应散射领域,并在探索表面科学,.含时量子波包模拟三原子化学反应_中华文本库
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含时量子波包法已经成功用于氮原子-双原子气相反应散射领域，并在探索表面科学，[PDF]复球面与全平面
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1. 复球面与全平面. 复球面的北极N 与平面上一个模为无穷大的假想点相. 对应, 这个假想点称为无穷远点, 记为∞。复平面加上点∞. 后, 称为扩充平面或者闭平面和全 ...轉為繁體網頁
复球面与全平面- 126文库
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复球面与全平面复球面与全平面复球面的北极N 与平面上一个模为无穷大的假想点相对应, 这个假想点称为无穷远点, 记为∞。复平面加上点∞后, 称为扩充平面或者闭 ...轉為繁體網頁
1.2 复变函数_百度文库
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2011年3月20日 - 14 复球面与全平面复球面的北极N 与平面上一个模为无穷大的假想点模为无穷大的假想点相模为无穷大的假想点无穷远点, 对应, 这个假想点称为 ...全平面壓合顯示_word文档在线阅读与下载_免费文档
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复球面与全平面. 复平面加上点∞ 后, 称为扩充平面或者闭平面和全平面。原来的复平面又1 称为开平面。 闭平面上的几个概念无穷远点的邻域: 在闭平面上,无穷远点 ...轉為繁體網頁
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20 Pages: 复球面与全平面[精华]: 复球面与全平面[精华],椭球面的切平面方程,平面波球面波,球面全景图,全反射棱镜式球面镜,复平面,重庆复盛路考平面图,复式住宅 ...轉為繁體網頁
复_搜索_中华文本库
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2012年6月10日 - 复球面与全平面. 复平面加上点∞ 后, 称为扩充平面或者闭平面和全平面。原来的复平面又1 称为开平面。 闭平面上的几个概念无穷远点的邻域: 在闭 ...轉為繁體網頁
7面复b_搜索_中华文本库
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复球面与全平面. = , =? 。 ?x ?y ?y ?x 7 解析函数和调和...(x,y) = C1, v(x,y) = C2 确定的B 上...(iv) (v) (vi) w = e z 在复平面上解析,... 资料库1 资料库2 资料库3 资料库4 ...轉為繁體網頁
具有下列性质的非空点集D称为区域- 豆丁网 - Docin.com豆丁网
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2012年11月20日 - 复球面与全平面复球面的北极与平面上个模为穷大的假想点相复球面的北极N 与平面上一个模为无穷大的假想点相对应, 这个假想点称为无穷远点, ...
复变函数 - 第 7 頁 - Google 圖書結果
现代应用数学手册: 分析与方程卷 - 第 398 頁 - Google 圖書結果
https://books.google.com.hk/books?isbn=7302062617 - 轉為繁體網頁
2006
点或者是边界点·例 15 · 4 · 13 "下列各集分别是开集、闭集、有界集晒二怯屹□之 ... 与北极的连线交球面于另一点 P ( f , V , g ) ·这样,除了 N 点外,复平面上的点与球面 ...[PDF]区域
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点为圆心的圆全含于D内（开集性）。 点为圆心的 ... 连通的开集. 简而言之，区域就是连通的开集。 ..... 复球面的北极N 与平面上一个模为无穷大的假想点相. 对应, 这个 ...轉為繁體網頁
[PDF]区域
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定义1.1 具有下列性质的非空点集D称为区域： ... 简而言之，区域就是连通的开集。 .... 思考题：复平面上的椭圆、双曲线和抛物线应该怎样表示？ 7 .... 复球面与全平面.轉為繁體網頁
[PPT]复变函数与积分变换
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复数的乘幂与方根. 复平面点集与区域. 复变函数. 复变函数的极限与连续 ... 取一个在原点O与z平面相切的球面，过O点作z平面的垂线与球面交于N点（称为北极或者球极）。 P ... （7）闭集. 开集的余集. 空集和整个复平面既是开集，又是闭集。 （8）连通集.轉為繁體網頁
单位圆盘- 维基百科，自由的百科全书
https://zh.wikipedia.org/zh-hk/单位圆盘
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当视为复平面C 的一个子集时，开单位圆盘经常记作 \mathbb {D} ... 两个球极平面轉為繁體網頁
[DOC]第一章.doc
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开集与闭集、区域、平面曲线、复球面、复变函数的概念、复变函数的极限与连续、轉為繁體網頁
[PPT]第一章复数与复变函数.ppt
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2、1777年，瑞士数学家Euler建立了系统的复数理论，发现了复指数函数和三角函数 ..... 1、开集与闭集、区域、平面曲线. 2、复球面. 3、复变函数的概念. 4、复变函数的 ...轉為繁體網頁
[FLASH]第一章复数与复变函数
kcjs.ycu.edu.cn/Complexfunction/ja01.swf
教学内容：复数的概念、复数的四则运算、复平面、复数的模和辐角、复数的. 三角不等式、 .... 教学内容：开集与闭集、区域、平面曲线、复球面、复变函数的概念、复变函.
贾厚玉
mjhy@zju.edu.cn
第一章 复数与复变函数
第二章 解析函数
第三章 复变函数的积分
第四章 级数
第五章 留数
第六章 保角映射
第七章 Laplace变换
第一章 复数与复变函数
复数及其代数运算
复数的表示
复数的乘幂与方根
复平面点集与区域
复变函数
复变函数的极限与连续
复数及其代数运算
a) 复数：一对有序实数（x, y），记为 z=x+ i y
规定：
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
乘法交换律、结合律和分配律 均成立。
c) 共轭复数：
互为共轭复数
容易验证
d) 复平面
一对有序实数（x，y）
平面上一点P
复数 z = x + i y
x
y
z = x + i y
O
实轴、 虚轴、复平面
Z 平面、 w 平面
e) 复数的几种表示法
几何表示：平面上一矢量与一复数z构成一一对应，复
数的加减与矢量的加减一致。
x
y
O
加法运算
x
y
O
减法运算
复数的三角形式与指数形式
利用极坐标来表示复数z，
则复数 z 可表示为
三角式：
指数式：
复数的 模
复数的 幅角
讨论：
的幅角称为Arg z的主值。记为
2）复数“零”的幅角没有意义，其模为零。
3）当 r = 1时，复数z称为单位复数。
利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。
设
定理
y
O
指数形式表示
推广至有限个复数的乘法
除法运算
或者
例：已知正三角形的两个顶点为
求三角形的另一个顶点。
x
y
O
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
复数的方根
设
为已知复数，n为正整数，则称满足方程
的所有w值为z的n次方根，并且记为
设
则
即
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
例：
即
复球面与无穷远点
z
P
N
球极平面射影法
取一个在原点O与z平面相切的球面，过O点作z平面的垂线与球面交于N点（称为北极或者球极）。
P
对于平面上的任一点z，用一条空间直线把它和球极连接起来，交球面于P。
从几何上可以看出：
Z平面上每个以原点为圆心的圆周对应于球面上的某一个纬圈，这个圆周以外的点则对应于相应纬圈以北的点，而且若点z的模越大，球面上相应的点则越靠近北极N。
由此我们引进一个理想“点”与北极N对应。称之为无穷远点
扩充复平面 ＝ 复平面＋
约定无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义；另外
等也没有意义。
N
复平面点集与区域
（1）邻域
（2）去心邻域
（3）内点
点z是点集E的内点
存在z的某个r邻域含于E内，即
（4）外点
点z是点集E的外点
存在z的某个r邻域不含E内的点
（5）边界点
点z 既非 E 的内点，又非 E 的外点
边界点的任一邻域无论多小，都既含有E的内点，又同时含有E的外点。
（6）开集
点集E中的点全是内点
（7）闭集
开集的余集
空集和整个复平面既是开集，又是闭集。
（8）连通集
E中任意两点可以用一条全在E中的曲线连接起来。
（9）区域
非空的连通开集
（10）有界区域
如果存在正数M，使得对于一切D中的点z，有
（11）简单曲线、光滑曲线
点集
称为z平面上的一条有向曲线。
则称 D为有界区域。
简单曲线：
简单闭曲线：
光滑曲线：
（12）单连通区域
设D为复平面上的区域，若在D内的任意简单闭曲线的内部仍属于D，则称D为单连通区域，否则称多连通区域。
没有交叉点。
例：
Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为
Z平面上以 z_0为中心、R为半径的圆周方程为
例：
（1）连接z1 和z2两点的线段的参数方程为
（2）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为
（3）z1、z2，z3 三点共线得充要条件为
例：
证明：若|z1|=|z2|=|z3|=1,z1+z2+z3=0, 则z1，z2，z3是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的三顶点。
证明：
由于
所以 z1，z2，z3
位于单位圆上。又
得
即
同理可以得到
得证。
例：
考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。
（1）
该方程表示到点2i和－2距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接点2i 和－2的线段的垂直平分线，它的方程为y = －x。
（2）
设 z = x+ iy,
（3）
表示实轴方向与由点i 到 z 的向量之间交角
的主值，因此满足方程的点的全体是自 i 点出发且与实轴
正向夹角为45度的一条半射线。（不包括 i点）
（4）
例： 指出不等式
中点z的轨迹所在范围。
解：
因为
所以
于是有
它表示在圆
外且属于左半平面的所有点的集合
复 变 函 数
复变函数的定义
设 D 是复变数z的一个集合，对于 D 中的每一个z，按照一定的规律，有一个或多个复数w的值与之对应，则称w为定义在 D 上的复变函数，记做
单值函数 f(z):
对于D中的每个z，有且仅有一个w与之对应。
多值函数 f(z):
对于D中的每个z，有两个或两个以上 w 与之对应。
定义：
我们主要考虑单值函数
f(z)是单射（或一对一映射）
对于任意
f(z)是满射
f(z)是双射
f(z) 既是单射，又是满射。
例：
复变函数的极限与连续
函数的极限
定义：设函数w = f (z)定义在z0的去心邻域
如果有一确定的数A存在，对于任意给定的
相应地必有一正数
使得当 时有
那么称A为f (z) 当z 趋向z0时的极限，记作
几何意义：当变点z一旦进入z0的充分小的去心邻域时，它的
象点 f(z)就落入A的预先给定的小邻域内。
关于极限的计算，有下面的定理。
注意：z趋于z0的方式是任意的，就是说，无论z从什么方向，以何种方式趋向于z0，f(z)都要趋向于同一个常数。
定理一
定理二
例
证明函数
当z趋于0时的极限不存在。
解法一
令z=x+iy, 则
所以极限不存在。
解法2
利用复数的三角表示式
当z沿着不同的射线
趋于零时，f(z) 趋于不同的值。
如
极限不存在。
函数的连续
如果
那么f(z)在z0处连续。
如果 f(z)在D内各点都连续，那么 f(z) 在 D 内连续。
定理： f(z)在z0处连续的充分必要条件是 u(x,y), v(x,y)
在（x0，y0）处连续。
连续函数的四则运算、复合运算都成立。
有界区域上的连续函数的最值定理。
例：
例：
研究函数 f(z) = arg z 在复平面上的连续性
因为
故在原点不连续。
不连续，理由是分别从上半平面与下半平面趋于负实轴时，极限值不等。
其余地方均连续。
mjhy@zju.edu.cn
第一章 复数与复变函数
第二章 解析函数
第三章 复变函数的积分
第四章 级数
第五章 留数
第六章 保角映射
第七章 Laplace变换
第一章 复数与复变函数
复数及其代数运算
复数的表示
复数的乘幂与方根
复平面点集与区域
复变函数
复变函数的极限与连续
复数及其代数运算
a) 复数：一对有序实数（x, y），记为 z=x+ i y
规定：
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
乘法交换律、结合律和分配律 均成立。
c) 共轭复数：
互为共轭复数
容易验证
d) 复平面
一对有序实数（x，y）
平面上一点P
复数 z = x + i y
x
y
z = x + i y
O
实轴、 虚轴、复平面
Z 平面、 w 平面
e) 复数的几种表示法
几何表示：平面上一矢量与一复数z构成一一对应，复
数的加减与矢量的加减一致。
x
y
O
加法运算
x
y
O
减法运算
复数的三角形式与指数形式
利用极坐标来表示复数z，
则复数 z 可表示为
三角式：
指数式：
复数的 模
复数的 幅角
讨论：
- 复数的幅角不能唯一地确定。任意非零复数均有无穷多个幅角。通常把
的幅角称为Arg z的主值。记为
2）复数“零”的幅角没有意义，其模为零。
3）当 r = 1时，复数z称为单位复数。
利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。
设
定理
注意多值性
xy
O
指数形式表示
推广至有限个复数的乘法
除法运算
或者
例：已知正三角形的两个顶点为
求三角形的另一个顶点。
x
y
O
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
复数的方根
设
为已知复数，n为正整数，则称满足方程
的所有w值为z的n次方根，并且记为
设
则
即
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
例：
即
复球面与无穷远点
z
P
N
球极平面射影法
取一个在原点O与z平面相切的球面，过O点作z平面的垂线与球面交于N点（称为北极或者球极）。
P
对于平面上的任一点z，用一条空间直线把它和球极连接起来，交球面于P。
从几何上可以看出：
Z平面上每个以原点为圆心的圆周对应于球面上的某一个纬圈，这个圆周以外的点则对应于相应纬圈以北的点，而且若点z的模越大，球面上相应的点则越靠近北极N。
由此我们引进一个理想“点”与北极N对应。称之为无穷远点
扩充复平面 ＝ 复平面＋
约定无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义；另外
等也没有意义。
N
复平面点集与区域
（1）邻域
（2）去心邻域
（3）内点
点z是点集E的内点
存在z的某个r邻域含于E内，即
（4）外点
点z是点集E的外点
存在z的某个r邻域不含E内的点
（5）边界点
点z 既非 E 的内点，又非 E 的外点
边界点的任一邻域无论多小，都既含有E的内点，又同时含有E的外点。
（6）开集
点集E中的点全是内点
（7）闭集
开集的余集
空集和整个复平面既是开集，又是闭集。
（8）连通集
E中任意两点可以用一条全在E中的曲线连接起来。
（9）区域
非空的连通开集
（10）有界区域
如果存在正数M，使得对于一切D中的点z，有
（11）简单曲线、光滑曲线
点集
称为z平面上的一条有向曲线。
则称 D为有界区域。
简单曲线：
简单闭曲线：
光滑曲线：
（12）单连通区域
设D为复平面上的区域，若在D内的任意简单闭曲线的内部仍属于D，则称D为单连通区域，否则称多连通区域。
没有交叉点。
平面图形的复数表示
很多平面图形能用复数形式的方程（或不等式）来表示；也可以由给定的复数形式的方程（或不等式）来确定所表示的平面图形。例：
Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为
Z平面上以 z_0为中心、R为半径的圆周方程为
例：
（1）连接z1 和z2两点的线段的参数方程为
（2）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为
（3）z1、z2，z3 三点共线得充要条件为
例：
证明：若|z1|=|z2|=|z3|=1,z1+z2+z3=0, 则z1，z2，z3是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的三顶点。
证明：
由于
所以 z1，z2，z3
位于单位圆上。又
得
即
同理可以得到
得证。
例：
考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。
（1）
该方程表示到点2i和－2距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接点2i 和－2的线段的垂直平分线，它的方程为y = －x。
（2）
设 z = x+ iy,
（3）
表示实轴方向与由点i 到 z 的向量之间交角
的主值，因此满足方程的点的全体是自 i 点出发且与实轴
正向夹角为45度的一条半射线。（不包括 i点）
（4）
例： 指出不等式
中点z的轨迹所在范围。
解：
因为
所以
于是有
它表示在圆
外且属于左半平面的所有点的集合
复 变 函 数
复变函数的定义
设 D 是复变数z的一个集合，对于 D 中的每一个z，按照一定的规律，有一个或多个复数w的值与之对应，则称w为定义在 D 上的复变函数，记做
单值函数 f(z):
对于D中的每个z，有且仅有一个w与之对应。
多值函数 f(z):
对于D中的每个z，有两个或两个以上 w 与之对应。
定义：
我们主要考虑单值函数
f(z)是单射（或一对一映射）
对于任意
f(z)是满射
f(z)是双射
f(z) 既是单射，又是满射。
例：
复变函数的极限与连续
函数的极限
定义：设函数w = f (z)定义在z0的去心邻域
如果有一确定的数A存在，对于任意给定的
相应地必有一正数
使得当 时有
那么称A为f (z) 当z 趋向z0时的极限，记作
几何意义：当变点z一旦进入z0的充分小的去心邻域时，它的
象点 f(z)就落入A的预先给定的小邻域内。
关于极限的计算，有下面的定理。
注意：z趋于z0的方式是任意的，就是说，无论z从什么方向，以何种方式趋向于z0，f(z)都要趋向于同一个常数。
定理一
定理二
例
证明函数
当z趋于0时的极限不存在。
解法一
令z=x+iy, 则
所以极限不存在。
解法2
利用复数的三角表示式
当z沿着不同的射线
趋于零时，f(z) 趋于不同的值。
如
极限不存在。
函数的连续
如果
那么f(z)在z0处连续。
如果 f(z)在D内各点都连续，那么 f(z) 在 D 内连续。
定理： f(z)在z0处连续的充分必要条件是 u(x,y), v(x,y)
在（x0，y0）处连续。
连续函数的四则运算、复合运算都成立。
有界区域上的连续函数的最值定理。
例：
例：
研究函数 f(z) = arg z 在复平面上的连续性
因为
故在原点不连续。
不连续，理由是分别从上半平面与下半平面趋于负实轴时，极限值不等。
其余地方均连续。
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