https://www.math.stonybrook.edu/~brweber/401s09/.../Lecture12.pdf
Lecture 12 - Metric linear algebra. March 2, 2009. 1 Metrics. Let V be a vector space with basis {v1,..., vn}. Assume V is endowed with an inner product g ∈ g. 2.
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S. Evert. Distance. Metric spaces. Vector norms. Euclidean geometry. Normal vector. Isometry. General inner product. Kernel trick. Linear Algebra in a Nutshell.三篇都看过，这是第一次发表评论。
孟岩关于矩阵、变换、坐标系的阐述，有些地方确实很直观。
不过这种直观有某些局限性。就是说在某一个应用方面这样来理解和思考会很直观。普遍看来一些对概念的理解不具备“普适性”。
不过，课本上的数学用于都很抽象很枯燥，也正是这种抽象的语言，才精准的描述了人类对数学某些局部理解的精微。这些描述的语言可能可以有更完善的改进，就像编写的程序有些地方的语句可以改得更巧妙更坚固一样。孟岩对矩阵理解的这种描述的改进是出于处理计算机图形学当中要用到各种变换而进行深入思考的结果。总的说来有闪光的地方。也有使用起来不是那么灵光的词语。
比如说矩阵就是运动。这样理解相对有些狭隘。
不过总体看来还是瑕不掩瑜的。
数学书上的语言是经过千锤百炼的。也容许我们每个人按自己的理解方式来理解。那么数学书上这种描述就是一个好的语言。它言辞很单调枯燥，可是道理是对的。那么就看你怎样对它加工，使它明确、使它华丽、使它完美。使它更易于理解和使用。这个过程也就是一个人学懂了数学的过程。
综述说完了。
时间有限，说点我的理解作为交流。
向量，不是线代一来就给的是n维的吗？
我们一般可以最多思考出一个3维向量在3维空间里头有多长，指向那个方向。所以n维的一来，头都大了。思考不出来。很抽象。
其实先辈们老聪明了。你n维不是很抽象吗。我不是一下子想象不出来你一个n维向量在n维空间是个什么模样吗？咱直接把每一维的长度挨个儿排成一个柱状图不就可以准确的想象出它的形象了吗。像一根根长短不一的石柱树立在平地上排成一排。第一根石柱高3米，那么这个向量的第1维就是3 。第二根石柱高8米，向量的第2维就是8，以此类推。这样就抓住了n维向量的本质：我可以准确的描述它——n维向量。
好了，两个n维向量就是两幅柱状图。m个n维向量就是m幅柱状图。
当然，课本上空间太小，不适合画很多图。所以就直接写一排数字分别代表每一维柱子的高度。就是我们常看见的：(3 , 8 , 2 , -1 , 5)这种形式。它是一个5维向量，而且用柱状图很容易想出它的形象。
用“柱状图”来思考向量的运算还很方便。
下一步，就是定义向量之间的运算：
两个柱状图
( 3 , 8 , 2 ,-1 , 5 )
( 1 ,-3 , 2 , 4 , 1 )
一上一下每一维都对齐。每个分量分别相加，又得到一个柱状图。
( 4 , 5 , 4 , 3 , 6 )
这叫两个向量的“和”。
两个柱状图
( 3 , 2 , 2 ,-1 , 5 )
( 1 ,-3 , 2 , 4 , 1 )
一上一下每一维都对齐。每个分量分别相乘，又得到一个柱状图。
( 3 ,-6 , 4 ,-4 , 5 )
然后再吧所有分量都叠加起来。得到一个数：2 。这叫两个向量的“内积”。
一个柱状图
( 3 , 1 , 2 ,-1 , 5 )
每一维都乘上相同的一个数 3。又得到一个柱状图。
( 9 , 3 , 6 ,-3 ,15 )
这叫向量的数乘。这个运算在向量空间当中称作外作用，因为在另外一个数域当中取了一个3过来。上面两个运算都是内作用。
然后根据内积的概念就可以定义向量ccss01 发表于Sunday, December 02, 2007 8:22:32 AM IP:举报
还不能一次发完？？===========继续
然后根据内积的概念就可以定义向量的范数和判别两个向量是否正交。以及向量之间的相关性等等。
把向量的每个分量的数域扩充一下，分量为复数的可以定义复向量。
分量为m维向量的可以定义维矩阵。
向量的分量之间不是1维、2维、3维这么按自然数排布下去的。比如，来个第1.2维、第2.6321维等可以扩充到“分维”，这个按下不表。
向量的分量之间按实数关系排布的，就是一元函数。所以孟岩说过，一般的一元函数都是无穷维的向量。而且这个向量也满足上面3中运算规则。比如两个函数叠加——向量的加法，一个数乘上一个函数——向量的数乘，两个函数在相同的定义域内积分——向量的内积（孟岩所说“一个对象可以表达为无穷多个合理选择的对象的线性和。”可以在这里和下面的卷积处找到印证）。
如果再给向量定义两个运算方法叫做移位和反折。移位，就是柱状图的柱子一起往左或者一起往右移动n个单元格（注意，这里和一元函数那里其实隐含的添加了一个概念，就是柱子们之间现在有序了，不是单纯向量里面的不注重顺序的柱子），那么就可以引申出更丰富的内涵。比如移位空出来的直接填0还是循环移位等等。当然有多种方式就靠我们自己去定义，最后检验一下如果能够“自圆其说”就是好理论。
反折，就是以当中某一个分量的位置为中心。或者以某两个分量之间的位置维中心。一排柱子以这个中心转180度。
有了移位和反折这种运算。那么两个函数就多了一种有用的运算：卷积。信号系统和数字信号处理里面用得很
多。这个按下不表。
如果柱状图的每一个柱子的高度都不是常数，都是变化的，并且都是随着某一个变量变化的，那么可以说整个柱状图都是随着这个变量变化的。那么这个柱状图就不是“常”柱状图，而是“变”柱状图。就是说这个n维的矢量不是“常矢量”，而是“变矢量”，简称“变矢”。说白了就是你给我一个变量，我还你n个函数值。这就打破了课本上之前所学的函数只能是一一映射（一射一）或多射一（多元函数有多个自变量，但每次给定多个变量时，只能得到一个函数值）。从而实现了一射多。你给定一个自变量，我第一个分量是一个值，第二个分量又是一个值，第三个……；说白了一个矢量函数是由n个一射一的函数组成的，它们自变量相同，得到的函数值不一定相同（呵呵，这也能叫一射多）。
演绎一下：如果柱状图的每根柱子都是随着相同的多个自变量变化的。那么就是多射多了。
多元单值函数（多射一），自变量就可以看作是一个向量。这种函数就可以看作是在一个向量空间当中取一个向量来，就映射出一个单纯的数值（数量）。向量空间的内积运算就是一个例子。
多射多的函数，就可以看作是取一个m维向量来，就映射出一个n维向量的值。——这就是向量的“变换”。或者叫做不同的向量空间之间的“映射”。
更进一步，如果这个“变换”是线性变换。
并且给定了定义域（原象空间，也就是取m维向量的地方）和值域（象空间，也就是得到的n维向量所在的集合）的基之后；再说一遍：如果给定了这种线性变换的定义域空间的基和值域空间的基之后，这个变换就可以用一个矩阵来表示。就是孟岩所说的Ma = b。写成Mx = y。x是m维的。y是n维的。
再把一元函数当中的导数的概念拉进来。一个一元函数随着自变量简单有序的变化（说白了就是递增或递减）从而函数值产生了变化（即使不变也ccss01 发表于Sunday, December 02, 2007 8:23:46 AM IP:举报
痛苦的继续=======================早知道就难得写了
再把一元函数当中的导数的概念拉进来。一个一元函数随着自变量简单有序的变化（说白了就是递增或递减）从而函数值产生了变化（即使不变也是一种变化，就跟哲学当中静止也是一种特殊的运动一样）。把前后两个函数值相减再除以自变量的变化量。然后再强调自变量的变化很小（就是去求极限）。就得到函数的导数。
同样，一个变矢（一射多）随着自己的一个自变量变化，也就能n个分量的变化。一求变化率的极限就是n个导函数。所以变矢的导数是矢量。
同样，一个多射一的函数f(Z)，设Z是一个n维向量。随着Z的一点小小的变化（即每个每个分量都有小小的变化，即使某些分量没变化也是一种变化，就跟哲学当中静止也是一种特殊的运动一样），函数值也有变化。每个分量的变化量可能不相同。有的大有的小。函数值变化量只有一个。所以，函数值变化量针对每个分量的变化率是不同的。那么函数值针对n个分量的变化率就有n个。所以多元函数的全导数就是梯度。
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