摘 要：康托尔（cantor）在19世纪创立了集合论成为实变函数理论的出发点。其中，集列的上、下极限是实变函数中的一个难点。讲述了上、下极限的定义，通过例题的分析，介绍了上、下极限的计算方法，并给出单调集列收敛的证明及应用。 关键词：集列 上极限 下极限 单调 1 引言
实变函数论是数学分析中微积分的发展，在数学分析中，人们研究了实变函数论中的可微，可积等基本性质，随着微积分的日益发展，随着数学其他分支和各类实际问题对微积分要求的提高，人们发现数学分析的方法和结果并不能完全令人满意。大家知道，黎曼积分是数学分析研究的主要内容，但是，人们在实际运算中越来越感觉到riemann积分的缺陷，要摆脱限制，力求更灵活的运算，在这种要求下，实变函数应运而生。时至今日，实变函数论已经渗入到数学的许多分支中，它在各支数学中的应用成了现代数学的一个特征，所以凡是想了解并且掌握近代数学的人，都应该认真地学习实变函数论这门课程。
实变函数论的出发点是一般点集，粗略地说，实变函数论是在点集和集合论的观点与方法渗入数学分析的过程中产生的，用点集的方法研究n维欧氏空间中实变函数性质的学科。在实变中，人们把函数的分析转化为点集关系的研究，从而在点集测度上建立较为完
善的积分理论。在实变函数中与集列极限有关的内容就要与上、下
极限为基础，可见，集合极限的分析在实变函数中意义很重大，在
一般的教学过程中，学生很难真正理解上、下极限的定义及应用。
因此，为了方便学生理解，我们先引入数学分析中大家常见的数列
上、下极限，类似的提出集列的上﹑下极限以及集列的收敛。结合
实例，进一步阐述上、下极限的实质，最后深入的讲解单调集列的
收敛及应用。在本文中，我们改进了文献
[1]
中对定理
1
的证明和
上﹑下极限的计算，方法相对简单，并给出定理
2
的详细证明，这
在文献
[1][2]
中都没有提及。
定义2[1] 对集列a1,a2,…,an,…那种除有限个下标外,属于集列中每个集的元素全体所组成的集称为这一集列的下限集或下极限,记为或。
用集合的概念表示如下 。 显然,。
例1 a1=a3=a5=…{0,1}，a2=a4=a6=…{0}则,. 就像数列未必有极限,集合序列当然也可能没有极限。 定义3[1] 若,则称集列{an}收敛,称a为{an}的极限,记为。 2.2.2上、下极限的等价定义
类似于数列的上、下极限,我们可以定义集列的上、下极限。 定理1 对于任意一串集合a1,a2,…,an,…,都有 (1) , (2)。
证明：(1)若对任意的∈,则对任意的n∈n,存在m≥n,使得∈am,所以对任意的n∈n,有,从而.反之,若,则对任意的n∈n,均有,所以对任意的n∈n,存在m≥n,使得∈am,从而即。
(2)若对任意的,则存在n∈n,对任意的m≥n,使得∈am,所以存在n∈n,均有,从而。反之,若,存在n∈n,均有,所以存在n∈n,对任意的m≥n,使得∈am,从而.即。
例2 设a2m+1=[0,2－],m=0,1,2,…，a2m=[0,1+],m=1,2,3,…
集列的上、下极限
摘 要：康托尔（cantor）在19世纪创立了集合论成为实变函数理论的出发点。其中，集列的上、下极限是实变函数中的一个难点。讲述了上、下极限的定义，通过例题的分析，介绍了上、下极限的计算方法，并给出单调集列收敛的证明及应用。 关键词：集列 上极限 下极限 单调 1 引言
实变函数论是数学分析中微积分的发展，在数学分析中，人们研究了实变函数论中的可微，可积等基本性质，随着微积分的日益发展，随着数学其他分支和各类实际问题对微积分要求的提高，人们发现数学分析的方法和结果并不能完全令人满意。大家知道，黎曼积分是数学分析研究的主要内容，但是，人们在实际运算中越来越感觉到riemann积分的缺陷，要摆脱限制，力求更灵活的运算，在这种要求下，实变函数应运而生。时至今日，实变函数论已经渗入到数学的许多分支中，它在各支数学中的应用成了现代数学的一个特征，所以凡是想了解并且掌握近代数学的人，都应该认真地学习实变函数论这门课程。
实变函数论的出发点是一般点集，粗略地说，实变函数论是在点集和集合论的观点与方法渗入数学分析的过程中产生的，用点集的方法研究n维欧氏空间中实变函数性质的学科。在实变中，人们把函数的分析转化为点集关系的研究，从而在点集测度上建立较为完
善的积分理论。在实变函数中与集列极限有关的内容就要与上、下
极限为基础，可见，集合极限的分析在实变函数中意义很重大，在
一般的教学过程中，学生很难真正理解上、下极限的定义及应用。
因此，为了方便学生理解，我们先引入数学分析中大家常见的数列
上、下极限，类似的提出集列的上﹑下极限以及集列的收敛。结合
实例，进一步阐述上、下极限的实质，最后深入的讲解单调集列的
收敛及应用。在本文中，我们改进了文献
[1]
中对定理
1
的证明和
上﹑下极限的计算，方法相对简单，并给出定理
2
的详细证明，这
在文献
[1][2]
中都没有提及。
求,。 解:, 。
例3 设an=[0,1+],n=1,2,3，…，求,。 解:, 。
说明：在例3中,集列{an}收敛,且收敛于极限集[0,1]. 2.3 单调集列的定义及其收敛的判定
定义4[1] 如果集合序列a1,a2,…,an,…,（简记为{an}）单调上升（下降）,即an an+1（相应地an an+1）对一切n都成立,则称集列{an}为增加(减少)集列.增加与减少的集列统称为单调集列. 定理2 单调集列是收敛的,且 (1)若{an}增加,则。 (2)若{an}减少,则。
证明：(1)若{an}增加,则根据定理1，即上下极限的等价定义,, ,
则,则集列{an}收敛, 且。
(2)若{an}减少,则, ,则,则集列{an}收敛,且。 3 上下极限的应用
定理3[1] 设{si}是一列递增的可测集合：s1 s2 … sn …,令,则。
定理4[1] 设{si}是一列递减的可测集合:s1 s2 … sn …,令,则当时,。
说明：从定理3和定理4中，可知： 对于单增的可测集列， 对单减的可测集列,且当时, 。 参考文献：
[1] 程其襄,张奠宙,魏国强,等.实变函数与泛函分析基础(第二版)[m].北京:高等教育出版社,2003.
[2] 江泽坚,吴智泉.实变函数论(第二版)[m].北京:高等教育出版社,2002
[DOC]《实变函数》电子教案下载.doc - 欢迎来到重庆邮电大学理学院
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故对一般收敛函数列，在Riemann积分意义下极限运算与积分运算不一定可交换 .... 三、集列极限. 设是一个集合序列，，其上限集和下限集分别定义为. 上极限集： ... 极限集. 如果集列的上极限集与下极限集相等，即. 则称集列收敛，称其共同的极限 ..... 本节要点内点、外点、界点、聚点、孤立点及开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概念.实变函数课程教学大纲_百度文库
wenku.baidu.com/view/9e20d0fd770bf78a6529540f.html - 轉為繁體網頁
2012年5月27日 - 4、教学重点与难点：集合的基本运算及集合列的上、下极限集第三节（4 课时）映射与 ... 112 3、教学要点：集合势的概念、Bernstein 定理；单调集列的收敛性。 ... 4、教学重点与难点： Borel 集、 Cantor 集以及开集、闭集及完备集的构造。紧空间- 维基百科，自由的百科全书
https://zh.wikipedia.org/zh-hk/紧空间
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在数学中，如果欧几里得空间 Rn 的子集是闭合的并且是有界的，那么称它是紧致的。例如，在R 中，闭合 ... 扩展到紧集。一个简单的例子是对以下性质的证明：定义在紧集上的连续实值函数是一致连续的。 ... 所有在这个集合中的序列都有收敛子序列，它的极限点属于这个集合。 这个集合的 ... 这个定义对偶于使用开集的定义。 某些作者 ...拓扑空间- 维基百科，自由的百科全书
https://zh.wikipedia.org/zh-hk/拓扑空间
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拓扑空间是一种数学结构，可以在上頭形式化地定義出如收敛、连通、连续等概念。 ... 一词涵盖了开集，闭集，邻域，开核，闭包，导集，滤子等若干概念。 ..... 网的目的在推广序列及极限，网的收性称作Moore-Smith收敛。 ... 的欧几里得拓扑；在这种拓扑空间中，一个点列收敛于一点，当且仅当，该点列在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。[DOC]实变与泛函分析初步02012 - 湖北省教育考试院
www.hbea.edu.cn/files/.../02012实变与泛函分析初步.doc
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它的研究对象仍然是定义在一般集合上的实函数，而采用的思想和方法是集合论的 ... 可测集类；掌握可测函数的基本概念与基本性质、依测度收敛的可测函数列及其性质； ... 及互相之间的关系；了解并掌握开集、闭集、完备集的定义及性质，以及直线上开 ... 集合的并、交、余、D.Morgan法则；上限集、下限集、单调集列及其极限集；一一 ...[DOC]《实变函数》考试大纲
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2、熟练掌握开集、闭集的运算，了解直线上开集的构造，知道直线上闭集和完备集的构造。 ... 3、理解勒贝格测度的可列可加性以及单调可测集列极限的测度。 ... 的极限函数的连续性，函数列不收敛点集的表示，函数列的上、下极限，“几乎处处”的概念。Number Theory in Shandong University
www.prime.sdu.edu.cn/ghji/realanalysis.htm
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... 结合律和分配律, 差和补集的De Morgan公式; 集合列的上极限和下极限; 集合的乘积. ... 2, 点集. 3/3, 度量空间, n维欧式空间, 领域的定义, 点列的收敛, 点集的距离, R^n中的区间; ... 3/7, 开集, 闭集, 紧集, 自密集与完备集, Cantor集及其性质. ... 对极限运算封闭; (II)可测集类: 零测集, 区间, 开集, 闭集, G型和F型集, Borel集和sigma[Notes: Analysis 2.2] 基础拓扑：点列极限与开集闭集| Mind on ...
mindonmind.github.io/.../notes-analysis-basic-topology-op...
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2013年11月1日 - 定义2.2.1 是点列， ，如果对 , 使得 , 那么称 为 的极限。记作: 定理2.2.1 ，那么: 证明利用距离的性质。 定义2.2.2 ，如果 对 成立，称 按分量收敛至.
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