cantor 高等微積分是將極限的概念推廣到一般的非空集合，概念的推廣就有賴於距離的定義」，我們理所當然也用了約兩週在介紹賦距空間（metric space），不過教授滿希望能有更一般性的使用，因此談了一點拓樸空間（topological space）；現在，我們能在實數、複數、n維向量或任意集合求極限了

[微積分一] 這門課真的很有趣。根據BBS的前輩指出，「高等微積分是將極限的概念推廣到一般的非空集合，概念的推廣就有賴於距離的定義」，我們理所當然也用了約兩週在介紹賦距空間（metric space），不過教授滿希望能有更一般性的使用，因此談了一點拓樸空間（topological space）；現在，我們能在實數、複數、n維向量或任意集合求極限了。


集列的上、下极限
摘 要：康托尔（cantor）在19世纪创立了集合论成为实变函数理论的出发点。其中，集列的上、下极限是实变函数中的一个难点。讲述了上、下极限的定义，通过例题的分析，介绍了上、下极限的计算方法，并给出单调集列收敛的证明及应用。 关键词：集列 上极限 下极限 单调 1  引言
实变函数论是数学分析中微积分的发展，在数学分析中，人们研究了实变函数论中的可微，可积等基本性质，随着微积分的日益发展，随着数学其他分支和各类实际问题对微积分要求的提高，人们发现数学分析的方法和结果并不能完全令人满意。大家知道，黎曼积分是数学分析研究的主要内容，但是，人们在实际运算中越来越感觉到riemann积分的缺陷，要摆脱限制，力求更灵活的运算，在这种要求下，实变函数应运而生。时至今日，实变函数论已经渗入到数学的许多分支中，它在各支数学中的应用成了现代数学的一个特征，所以凡是想了解并且掌握近代数学的人，都应该认真地学习实变函数论这门课程。
实变函数论的出发点是一般点集

[求助] 关于泛函的集合极限问题 [复制链接]

geophy 发短消息 加为好友 geophy 当前离线 最后登录 2015-3-26  注册时间 2010-8-30  威望 0   活跃度 1540 ℃  金币 26 枚  积分 27  精华 0  帖子 10  主题 2  新手上路 新手上路, 积分 27, 距离下一级还需 23 积分	楼主 发表于 2010-10-29 09:33 |只看该作者 |倒序浏览 |打印 1、关于集列的极限 集列的极限的定义：设A1、A2，…，An，…是任意一列集，由属于上述集列中无限多个集的那种元素的全体所组成的集成为这一集列的上极限，对集列A1、A2，…，An，…那种除有限个下标外，属于集列中每个集的元素全体所组成的集成为这一集列的下极限。 假设一列奇数集列A1={1} ,A2={1,3},A3={1,3,5},…, An={1,3,5,..n}…,那么该集列的上极限是不是An？下极限是不是A1？ 2、关于n维欧氏空间的邻域 [attachimg]40296[/attachimg] 对于邻域的性质4，我不是很理解，既然U(P)和U(Q)都是定点集，那么他们的交集应该不是空集啊，也就是说不论P和Q的大小，一定有既小于P又小于Q的数值，所以他们的交集不应该是空集啊 111.JPG 2010-10-29 09:41 上传 下载次数: 74 下载积分 活跃度 -20 ℃ 65.75 KB, 下载次数: 74
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geophy 发短消息 加为好友 geophy 当前离线 最后登录 2015-3-26  注册时间 2010-8-30  威望 0   活跃度 1540 ℃  金币 26 枚  积分 27  精华 0  帖子 10  主题 2  新手上路 新手上路, 积分 27, 距离下一级还需 23 积分	沙发 发表于 2010-10-29 09:40 |只看该作者 就这个问题
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mathyxx 发短消息 加为好友 mathyxx 当前离线 最后登录 2014-1-12  注册时间 2010-9-5  威望 0   活跃度 22781 ℃  金币 59 枚  积分 66  精华 0  帖子 49  主题 6  注册会员 注册会员, 积分 66, 距离下一级还需 134 积分	板凳 发表于 2010-10-29 10:23 |只看该作者 如果两个数不相等，他们之间一定有个距离，以每个点为心三分之这个距离为半径做圆，这两个圆就是这两个点的邻域，他们是不交的
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gfcao 发短消息 加为好友 gfcao 当前离线 最后登录 2015-12-27  注册时间 2008-3-18  威望 0   活跃度 188120 ℃  金币 89 枚  积分 108  精华 0  帖子 5  主题 3  博主委员会	地板 发表于 2010-11-1 20:18 |只看该作者 你想像一下：如果平面里有两个不同的点，它们之间一定有正的距离吧？分别以这两点为圆心，以两点之间距离的1/3作为半径各作一个圆，这两个圆还能相交吗？一般的距离空间中科类似作这样的小邻域，但在更一般的拓扑空间中需要将它作为公理，这就是所谓的分离性公理。 曹广福
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liliangmatn 发短消息 加为好友 liliangmatn 当前离线 最后登录 2015-12-13  注册时间 2008-12-2  威望 1   活跃度 14922 ℃  金币 287 枚  积分 300  精华 1  帖子 88  主题 17  中级会员 中级会员, 积分 300, 距离下一级还需 200 积分	5# 发表于 2010-11-2 00:36 |只看该作者 回答第一个问题，集合的极限是有上极限、下极限来定义的，一般情况下，上极限大于下极限！至于在集合列满足一定增长或递减条件时，上下极限一定相等！该问题，上下极限为\limit_{n\arrow \infnity}A_n.
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geophy 发短消息 加为好友 geophy 当前离线 最后登录 2015-3-26  注册时间 2010-8-30  威望 0   活跃度 1540 ℃  金币 26 枚  积分 27  精华 0  帖子 10  主题 2  新手上路 新手上路, 积分 27, 距离下一级还需 23 积分	6# 发表于 2010-11-8 22:49 |只看该作者 谢谢各位老师的回答，我明白了，非常感谢！！！ 第一个问题，不知道我理解的对不对。 烦请大家移步：http://bbs.sciencenet.cn/showtopic-116019.aspx 这个问题，不是很明白~
	回复 引用     [求助] 泛函问题请教：如何理解孤立点？ [复制链接] geophy 发短消息 加为好友 geophy 当前离线 最后登录 2015-3-26  注册时间 2010-8-30  威望 0   活跃度 1540 ℃  金币 26 枚  积分 27  精华 0  帖子 10  主题 2  新手上路 新手上路, 积分 27, 距离下一级还需 23 积分 楼主 发表于 2010-11-8 22:53 |只看该作者 |倒序浏览 |打印 [attachimg]41245[/attachimg] [attachimg]41244[/attachimg] 1.jpg (82.73 KB, 下载次数: 97) 2010-11-8 22:53 上传 下载次数: 97 2.jpg (102.03 KB, 下载次数: 104) 2010-11-8 22:53 上传 下载次数: 104 收藏0 分享0 回复 引用 举报 返回顶部 geophy 发短消息 加为好友 geophy 当前离线 最后登录 2015-3-26  注册时间 2010-8-30  威望 0   活跃度 1540 ℃  金币 26 枚  积分 27  精华 0  帖子 10  主题 2  新手上路 新手上路, 积分 27, 距离下一级还需 23 积分 沙发 发表于 2010-11-8 22:54 |只看该作者 内点、界点、外点、聚点的定义都好理解，关于孤立点，如何理解？ 我是这样理解的：把空间E理解为一个球，球内的点（球面以内的点）为内点，球面的点为界点，内点和部分界点都是聚点（根据聚点的定义）。 现在的困惑是，如何理解孤立点？ 根据教材的定义，孤立点应该是邻域内含有有限的属于E的点，这个如何理解？ 回复 引用 举报 返回顶部 lebesgue 发短消息 加为好友 lebesgue 当前离线 最后登录 2015-6-25  注册时间 2008-8-10  威望 2   活跃度 2338 ℃  金币 25 枚  积分 37  精华 2  帖子 53  主题 3  新手上路 新手上路, 积分 37, 距离下一级还需 13 积分 板凳 发表于 2010-11-9 20:18 |只看该作者 還按你的例子，孤立點就是球外的單獨一點。 或者單獨幾個點。 這幾個點也是集合E的一部份。 男人不管多大年龄内心都是少年啊 回复 引用 举报 返回顶部 yisu2002 发短消息 加为好友 yisu2002 当前离线 最后登录 2015-11-18  注册时间 2010-9-23  威望 0   活跃度 29154 ℃  金币 21 枚  积分 27  精华 0  帖子 31  主题 3  新手上路 新手上路, 积分 27, 距离下一级还需 23 积分 地板 发表于 2010-11-9 21:18 |只看该作者 孤悬海外的一点 你把一个集合相像成你的地盘，孤立点是孤悬海外的一点，但还是你的（钓鱼岛？），和外点比较，外点不是你的（冲绳岛？），这样能理解吗？ 回复 引用 举报 返回顶部 yisu2002 发短消息 加为好友 yisu2002 当前离线 最后登录 2015-11-18  注册时间 2010-9-23  威望 0   活跃度 29154 ℃  金币 21 枚  积分 27  精华 0  帖子 31  主题 3  新手上路 新手上路, 积分 27, 距离下一级还需 23 积分 5# 发表于 2010-11-9 21:20 |只看该作者 还有你用的这个教材里补集的符号让人看着真难受:) 回复 引用 举报 返回顶部 geophy 发短消息 加为好友 geophy 当前离线 最后登录 2015-3-26  注册时间 2010-8-30  威望 0   活跃度 1540 ℃  金币 26 枚  积分 27  精华 0  帖子 10  主题 2  新手上路 新手上路, 积分 27, 距离下一级还需 23 积分 6# 发表于 2010-11-10 16:02 |只看该作者 各位，请看界点、孤立点的定义 回复 引用 举报 返回顶部 gfcao 发短消息 加为好友 gfcao 当前离线 最后登录 2015-12-27  注册时间 2008-3-18  威望 0   活跃度 188120 ℃  金币 89 枚  积分 108  精华 0  帖子 5  主题 3  博主委员会 7# 发表于 2010-11-10 19:39 |只看该作者 直观地说，E的孤立点就是在该点附近不再含E中除该点之外的点。 gfcao 已有 1 人评分 金币 收起 理由 shaoww + 2 曹老师大驾光临本论坛，论坛幸甚，坛员幸甚！ 总评分: 金币 + 2   查看全部评分 回复 引用 举报 返回顶部 geophy 发短消息 加为好友 geophy 当前离线 最后登录 2015-3-26  注册时间 2010-8-30  威望 0   活跃度 1540 ℃  金币 26 枚  积分 27  精华 0  帖子 10  主题 2  新手上路 新手上路, 积分 27, 距离下一级还需 23 积分 8# 发表于 2010-11-11 18:49 |只看该作者 谢谢您的回答，这个不是很好理解，我慢慢在想吧~ 回复 引用 举报 返回顶部 geophy 发短消息 加为好友 geophy 当前离线 最后登录 2015-3-26  注册时间 2010-8-30  威望 0   活跃度 1540 ℃  金币 26 枚  积分 27  精华 0  帖子 10  主题 2  新手上路 新手上路, 积分 27, 距离下一级还需 23 积分 9# 发表于 2010-11-14 09:46 |只看该作者 根据界点的定义：界点的任一邻域既有属于E的点也有不属于E的点 根据孤立点和界点的关系： "孤立点必为界点，" 所以：那么孤立点的任一邻域既有属于E的点也有不属于E的点 "但E的界点除了是孤立点外，还可能是聚点。" 根据聚点的定义：聚点的任一邻域内含无穷多个属于E的点 因此，我的理解是：孤立点是特殊的界点，即，这种界点邻域含有的是有限的属于E的点，不是含有无限属于E的点。 这个该如何理解？ 在我想来，界点一旦含有属于E的点，那么就是无限的，如何理解是有限的？ 集列的上、下极限   摘   要：康托尔（ cantor ）在 19 世纪创立了集合论成为实变函数 理论的出发点。 其中， 集列的上、 下极限是实变函数中的一个难点。 讲述了上、下极限的定义，通过例题的分析，介绍了上、下极限的 计算方法，并给出单调集列收敛的证明及应用。   关键词：集列   上极限   下极限   单调   1   引言   实变函数论是数学分析中微积分的发展，在数学分析中，人们研 究了实变函数论中的可微，可积等基本性质，随着微积分的日益发 展，随着数学其他分支和各类实际问题对微积分要求的提高，人们 发现数学分析的方法和结果并不能完全令人满意。大家知道，黎曼 积分是数学分析研究的主要内容，但是，人们在实际运算中越来越 感觉到 riemann 积分的缺陷，要摆脱限制，力求更灵活的运算，在 这种要求下，实变函数应运而生。时至今日，实变函数论已经渗入 到数学的许多分支中，它在各支数学中的应用成了现代数学的一个 特征，所以凡是想了解并且掌握近代数学的人，都应该认真地学习 实变函数论这门课程。   实变函数论的出发点是一般点集，粗略地说，实变函数论是在点 集和集合论的观点与方法渗入数学分析的过程中产生的，用点集的 方法研究 n 维欧氏空间中实变函数性质的学科。在实变中，人们把 函数的分析转化为点集关系的研究，从而在点集测度上建立较为完