set 李老师说的很好，，“（向量）空间为体，矩阵为用”， 矢量是什么？满足关于加法和数乘的那八点运算规定的集合的元素都可称为矢量。故，三维笛卡尔坐标系（人类所熟知的）中的矢量，不过是一种特殊的矢量

李尚志 理解矩阵 矢量是什么？满足关于加法和数乘的那八点运算规定的集合的元素都可称为矢量。故，三维笛卡尔坐标系（人类所熟知的）中的矢量，不过是一种特殊的矢量。

博主在主贴中开始提到的问题，即“逆序数”的概念，在下面这个视频里面有一个很好的说明，
http://v.youku.com/v_playlist/f1862776o1p5.html


按照李尚志老师的说法，“（向量）空间为体，矩阵为用”，矩阵的引入，从解方程组的角度，也极其自然。

同济这本书现在好像也不把行列式放在最前头了，但是要说明行列式的逆序数定义法，要从二元，三元行列式入手，而对二元，三元行列式的最直观的理解，其实是从空间解析几何和矢量代数里面来的。

李老师说的很好，矢量是什么？满足关于加法和数乘的那八点运算规定的集合的元素都可称为矢量。故，三维笛卡尔坐标系（人类所熟知的）中的矢量，不过是一种特殊的矢量。

由于线性方程的系数构成行向量，而且也可以进行加法和数乘（三种初等变换是同解变形），故也可称为矢量。

n次多项式的集合同样组成向量空间。

他们之间还可以构成同构。故搞清楚了一个，其他空间也就搞清楚了。

函数也可组成向量空间。如福立叶级数，小波基，其实都可认为是某个线性空间的基。

如此，则向量空间的八条其实就规定了向量。向量是无须作定义的。

同济的书那种写法，如果老师水准不够的话，学生根本不能领会其中精义的。他们原意可能是不想讲的太深，结果却适得其反。

李尚志老师这种讲法，是从线性方程组入手的，从具体的例子出发，各种概念（线性相关，rank）,理论（线性空间，变换），算法（高斯消去）的motivation都一清二楚。这其实才真正体现了理论建立的实际过程。才符合人们认知的规律。

李尚志的行列式引入我觉得是最本质的，看了之后，觉得很爽。

我还看了一下MIT Strang的线性代数的Video，如果论到逻辑的清晰性，应该说可能还不如李尚志的讲法。但是两者毫无例外都是从线性方程组开始讲的。

说句题外话，过去数学发展的历史难道不都是如此？都是从具体的问题出发。伟大的问题导致伟大的理论产生。只是由于法国那批布尔巴基的成员倡导公理化之风后，才把教材给弄成了那个样子，真是造孽。