有效场理论 Hatree-Fock Nambu-Goldstone定理 减少的生成元个数对应着Goldstone粒子数目 减少的生成元个数对应着Goldstone粒子数目

有效场理论（用了个叫Hatree-Fock

*Nambu-Goldstone定理
规范对称性破缺产生保护无能隙Goldstone激发，然后通过相应规范场耦合的加入，那么应该是都可以的。这就是所谓Nambu-Goldstone定理的内容，其适用于描述任意连续对称性破缺恢复模式。连续对称性的群代数结构是Lee群，破坏掉的对称性即是少掉了一些Lee代数生成元，减少的生成元个数对应着Goldstone粒子数目。规范场就是破坏了的生成元所构成的Lee导数，对应的场分量就可以“吃掉”那多出来的Goldstone粒子。


从规范理论的角度来看，$\phi$场真空凝聚是导致$U(1)$规范不变性的破坏，因此产生恢复对称性的零能Goldstone模。在加入$U(1)$规范场耦合后，通过规范变换后讲拉格朗日量重新规范化后，Goldstone谱消失，取而代之的有效理论中规范Boson变成具有有效质量的激发。这就是所谓规范Boson吃掉Goldstone粒子后产生了质量。开头说过Higgs机制其实来源于凝聚态物理。最早是Anderson在描述超导体时引入，其中电子对形成的Cooper对就相当于$\phi$复标量场的地位，其中相位场就是超导相干相位。其真空凝聚破坏$U(1)$对称性，形成电子系统BEC凝聚，这样一来，Goldstone模产生，意味着超导基态随相位变化是零能隙的，作用动量算后符产生相位梯度形成整体动量，因此产生超流性质的超导电流;它与电磁场耦合使得产生有效质量，由于光子带了有效质量了之后，拉格朗日量中就会多出$m^{*} A_{\mu}A_{\mu}$的项，导出的Maxwell方程形式就会发生变化，Coulomb作用在导体中是Yukawa型的，磁场也指数衰减，从中就可得出穿透深度。于此同时，Goldstone模消失，超导电流在穿透区域也消失。这些也就是唯象理论London方程给出的内容，此即Minssner效应。此外，此理论还告诉人们穿透深度与超导能隙有关。

Phantom_Ghost (Glaube am Chaos) 2014-06-13 20:28:20

我看端阳等各位都解释得齐全了，我比较懒，只能拙技地把自己以前写的Anderson-Higgs机制的note放这了,当作是连续对称性破缺的例子:


最早Higgs机制是在凝聚态物理中出现，早期并不想高能物理那样，凝聚态理论中的Higgs机制仍不是相对论形式。

我们不妨先从凝聚态物理的量子多体理论的角度来讨论Higgs机制。一个复标量场(Higgs场)具有两个自由度:振幅场$\chi$以及相位场$\theta$，即分离变量形式为$\phi=\chi\;exp (i\frac{\theta}{\sqrt{2}\;\langle\phi\rangle})$ ;我们可以首先对Higgs机制采用二次量子化的量子多体理论的语言来进行描述。对复标量场进行平移，我们可以来研究一下这种真空自发破缺的动力学行为(自发性的原因是因为并非哈密顿量造成真空的对称性破缺，也即非动力学因素，而是真空基态的简并使得它被破坏)。由于$\chi$场在哈密顿量中具有$\chi^4$自作用能，引起真空凝聚的时零点能是非零的，并使得真空发生相变(能谱由原来的抛物面变为“墨西哥帽”形状)而处于$\chi$场的Bose相干凝聚态，计算场激发的平方谱可发现正比于$\phi$场质量项平方，由于是复的场，因此还出现一支零质量Goldstone谱(在计入规范场耦合后会消失)。现在考虑单模复标量场与$U(1)$电磁场耦合，利用超流体理论中的处理方法“Bogoliubov变换”，变到新的“准粒子”真空态来讨论。在新的真空本底上，中性$\chi$场的元激发(经过变换后哈密顿量对角化，它对应于Green函数的极点)具有实质量。而原来横向极化的两个零质量光子变成了带有效质量的重光子，同时这个重光子还具有一个纵向极化自由度。从而原来无质量三个场:$\theta$场以及两个极化方向的电磁场分量，在经过真空相变合并为同一种重光子的三个极化自由度。从相互作用看，这个过程既依赖于$\chi$场的自相互作用引起的真空相变，也依赖于$\chi$场与$\theta$场以及电磁场之间的相互作用耦合。从规范理论的角度来看，$\phi$场真空凝聚是导致$U(1)$规范不变性的破坏，因此产生恢复对称性的零能Goldstone模。在加入$U(1)$规范场耦合后，通过规范变换后讲拉格朗日量重新规范化后，Goldstone谱消失，取而代之的有效理论中规范Boson变成具有有效质量的激发。这就是所谓规范Boson吃掉Goldstone粒子后产生了质量。开头说过Higgs机制其实来源于凝聚态物理。最早是Anderson在描述超导体时引入，其中电子对形成的Cooper对就相当于$\phi$复标量场的地位，其中相位场就是超导相干相位。其真空凝聚破坏$U(1)$对称性，形成电子系统BEC凝聚，这样一来，Goldstone模产生，意味着超导基态随相位变化是零能隙的，作用动量算后符产生相位梯度形成整体动量，因此产生超流性质的超导电流;它与电磁场耦合使得产生有效质量，由于光子带了有效质量了之后，拉格朗日量中就会多出$m^{*} A_{\mu}A_{\mu}$的项，导出的Maxwell方程形式就会发生变化，Coulomb作用在导体中是Yukawa型的，磁场也指数衰减，从中就可得出穿透深度。于此同时，Goldstone模消失，超导电流在穿透区域也消失。这些也就是唯象理论London方程给出的内容，此即Minssner效应。此外，此理论还告诉人们穿透深度与超导能隙有关。

在弱电统一模型中，真空手征对称性破缺也会产生真空相变，场的Yukawa型耦合赋予新真空下粒子质量。这也是通常高能物理里面所指的Higgs机制($SU(2)$规范场的Higgs机制)，电弱统一的GSW机制中规范对称性破缺方式是$SU(2)\times U(1)$破缺为$U(1)$，（手征对称性破缺）会产生三个Goldstone模，费米子场$\psi$通过Higgs机制中Yukawa型耦合$-\lambda\bar{\psi}\psi\phi$(在标准模型中，可以证明这种耦合类型是费米子与标量场唯一可重整化耦合方式),由于Higgs场$\phi$具有非零真空期望值，因此这一耦合对真空态展开后就得到fermion质量项$-m\bar{\psi}\psi$,这样一来使得其中三种粒子获得质量，即$W^{\pm}、Z$ ;剩下一个维持零质量的即光子。 在标准模型中， 所有基本粒子的质量都来源于电弱统一理论中的规范对称性自发破缺。

这里面，系统的对称性自发破缺实际上是个很微妙的事情。一个物理系统的真空态是由 拉格朗日量所确定的，或者准确地说是由于其中含有的有效势 $V_{eff}$决定（如前面的$\phi^4$有效势）； 然而系统却不具有拉格朗日量所具有的对称性呢。其中的原因在于许多物理系统都具有简并的真空态，如果把所有这些简并的真空态视为一个集合，它的确与 拉格朗日量具有同样的对称性。 但物理上真实情况是真空态只是该集合中的一个态，这个态往往不具有整个集合所具有的对称性，这就造成了对称性的自发破缺。如果一个量子系统的基态是简并的，那么系统的物理基态难道不应该是这些简并态的某种量子叠加吗？ 这种量子叠加态如在量子力学中所见到那样，往往会破除原有的基态简并性（我们通常做简并微扰就是这样），并且使真正的基态具有与原先简并基态的集合相同的对称性。在这种情况下，对称性自发破缺岂不是不存在了？对于有限体系来说确实如此(除非有什么机制，比如对称性禁止简并基态间的相互耦合)。但在量子场论中通常假定体系的空间体积趋于无穷（凝聚态物理里面的量子多体系统也满足这一点），这时不同真空态之间的相互耦合趋于零，严格的对称性自发破缺只发生在这种情形下。

*Nambu-Goldstone定理
规范对称性破缺产生保护无能隙Goldstone激发，然后通过相应规范场耦合的加入，那么应该是都可以的。这就是所谓Nambu-Goldstone定理的内容，其适用于描述任意连续对称性破缺恢复模式。连续对称性的群代数结构是Lee群，破坏掉的对称性即是少掉了一些Lee代数生成元，减少的生成元个数对应着Goldstone粒子数目。规范场就是破坏了的生成元所构成的Lee导数，对应的场分量就可以“吃掉”那多出来的Goldstone粒子。


关于对称破缺的解释

来自: 小五(听了很多遍的歌才是最好听的歌) 2014-06-04 11:28:06

大家好，一般在解释对称破缺的书或文章上会看到一个解释，就是把势能项的场看成是经典的，然后求这些场的一个取值条件，使得经典势能取值最小；场的取值条件具体要求场之间有依赖关系，如果选择一个特殊的场的分布，例如给场的某个分量一个vev，其他分量都是0，那么我们就可以看在这个特殊分布下拉氏量的对称性如何，然后比对一下对称性是不是改变了。

我的问题有两个：
为什么要把场看成经典的？
为什么要给vev？

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