电磁场问题的泛函 泛函的数学意义是函数空间对数值空间的某种确定的映射关系，泛函定义域中的每一种可取函数对应一个确定的泛函值

电磁场的泛函法

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电磁场的泛函法 - 电磁场的泛函法

电磁场的泛函法 - 正文

以泛函方程为电磁场问题数学模型的各种近似解法，区别于以函数方程为数学模型的各种经典的严格解法或近似解法。
　　电磁场问题的泛函 　泛函的数学意义是函数空间对数值空间的某种确定的映射关系，泛函定义域中的每一种可取函数对应一个确定的泛函值。通常，泛函J 具有含可取函数U(X)（及其导函数）的定积分的形式

　　 (1)

式中X表示n维空间的积分变量(x₁,x₂,…,x_i,…,x_n)；Ω是n维积分区域；F是以U，媉U／媉x_i,…为变元的函数式。
　　电磁场问题中不少具有明确物理意义的工程参量可以表示为未知场函数的泛函，例如分立导体A与B之间的电容量 C是导体表面电荷函数σ(r)或导体之间电位函数φ()的泛函

　　 (2)

　　 (3)

式中V是以导体表面S(A)和S(B)为边界的场域,ε是场域中媒质的介电常数，G(│′)是以r′为源点和r为场点的电位格林函数,线积分路径L(AB)可取任意起迄于S(A)和S(B)的连续曲线。又如，波导的传播常数或电磁谐振腔的谐振频率都是电场函数和(或)磁场函数的泛函；天线的输入导抗或散射物体的散射截面都是其电流函数的泛函等。
　　电磁场问题由未知场函数的方程（微分方程、积分方程等）和定解条件所组成，按泛函的观点可抽象为算子方程的形式

　　　 (4)

式中Ω是未知函数U的定义域,f是Ω内的已知函数;Γ是Ω的边界，g是Γ上的已知函数；A是方程算子,b是边界条件算子。问题的近似解与准确解之差为误差函数，经算子A和b分别映射为方程的和边界条件的余量函数R_e和R_b。余量函数说明解在整个定义域上的近似程度，由于它们实际上不可能恒等于零（否则就是准确解），只能按某种平均意义来衡量。通常取近似解余量函数的某种加权内积值作为评价其准确性的误差泛函。
　　电磁场问题中的这两类泛函──参量值的泛函和误差泛函，分别对应于两类求解方法，即变分法和加权余量法，统称为泛函法。
　　变分方程 　40年代，物理学家J.S.施温格首先将变分法引入电磁波的散射和绕射问题。变分法的泛函方程又称变分方程，是使泛函的一阶变分等于零δJ＝0,即泛函式对可取函数取驻定值（稳定值）。电磁场问题中的各种物理原理（能量原理、最小作用量原理和反应原理等）往往能说明某些参量的泛函值具有驻定性，其可取函数必须取能使泛函为驻定值（包括极大或极小值的情况）的形式，从而使这些参量与电磁场未知函数归结成统一的求解内容。例如，根据静电场最小储能的汤姆逊定理，可知式(2)和(3)的泛函都应为极小值，据此可同时求解电容量和电荷函数或电位函数,根据所得1/C和C的近似值（略大于准确值）可判断其误差。
　　此外，抽象为算子方程的数学模型还可转化为等价的变分方程，使变分法可以直接用于求解方程的未知函数。例如，确定性算子方程的等价关系为

(5)

式中A是线性正算子,示内积;本征值算子方程的等价关系为

　　(6)

式中A是线性下有界算子，λ是待定本征值,变分方程(6)中两个内积之比称为瑞利商。根据电磁场问题的具体物理条件和性质，变分方程可以附有或不附有边界条件和强加约束条件。边界条件将影响近似解函数形式的选择，强加约束条件可通过拉格朗日乘子法被变分方程所吸收。另一方面，泛函取驻定值的变分方程对应有泛函积分式中被积函数F对其变元的某种微分方程,称为该变分方程的欧拉微分方程。凡欧拉微分方程在所给边界条件下的解必定是使所对应的泛函值驻定的可取函数。
　　变分法的求解过程分为间接法和直接法两类。早期所用的间接法是先将变分方程转化为它的欧拉微分方程后再求解；直接法则有正交函数系展开法、有限差分法和里兹法等。应用最普遍的是称作里兹法的直接法。
　　加权余量法作为算子方程的一类近似解法的概括，包含有伽略金法(1915)、子域法（1923）、最小二乘法(1928)、狭义的矩量法（1932）和配置法（1937）等独立发展的解法，它们都有相似的求解过程，使近似解余量在各种平均意义下的误差泛函值等于零。R.F.哈林顿(1967)将这些方法引入电磁场边值问题并称之为（广义的）矩量法。解算子方程的伽略金法与所对应的解变分方程的里兹法完全等价，而且是矩量法中收敛性最好的一种选择。
　　在泛函法的近期发展中，还将有限差分的思想加入到变分法或加权余量法中，相继出现了有限元法(1960)、边界元法(1967)和单矩法(1974)等复合泛函法。
　　里兹法 　选取某一与线性无关的完备的函数 序 列｛Φ_i(X)|｝作为基函数序列，构成方程的近似解的序列

　　　(7)

式中｛C_i|_n｝是待求的线性组合系数。于是泛函的驻定值问题δJ＝0就转化为多变量函数的极值问题

　　(8)

由此解出｛C_i｝后即得n级近似解 U(X)。对于线性算子方程的等价变分方程，所得的式(8)为线性代数方程组,例如对确定性方程(5)，可得

　　(9)

对本征值方程(6)，可得

　　(10)

式中 λ为本征值的 n级近似解。根据基函数序列的完备性，n取得越大则近似解的准确性越好,且收敛于准确解。
　　当变分方程附有第一类齐次边界条件时，要求基函数序列都符合齐次边界条件（变分方程不必满足第二类或第三类边界条件）。若附有第一类非齐次条件，则应先将它归入方程的未知函数而维持边界条件的齐次性。
　　加权余量法 　选取基函数序列同变分法。另选取线性无关的权函数序列｛W_j(X)|_n｝,将它们依次对方程的余量函数作内积，使所得误差泛函都等于零。即有

　 (11)

对于线性算子方程，所得的式(11)亦为线性代数方程组。例如，对确定性方程(5)，可得

　 (12)

对本征值方程(6)，可得

　 (13)

随着n的增大，近似解也收敛于准确解。
　　当｛W_j(X)｝=｛Φ_j(X)｝，即权函数序列与基函数序列相同的加权余量法称为伽略金法，显然与里兹法等价。子域法以矩形脉冲函数为权；配置法以δ-函数为权；狭义的矩量法以幂函数序列 ｛xⁱ|｝作为权函数序列；最小二乘法则以余量函数对待求系数的变化率作为权函数的复共轭。另一方面,基函数序列也有各种不同的选择，用得较多的是矩形脉冲函数、三角脉冲函数、分段正弦函数等分域基函数；有时也用多项式全域基函数。
　　若选取的基函数严格满足所给的方程，但近似符合边界条件，则从边界条件的余量函数R_b出发同样能建立加权余量法的方程组，并据以求得问题的近似解。这类解法称为边界积分法。
　　利用有限差分法的概念，将加权余量法的子域未知函数表示成离散结点上未知函数取样值的多项式插值函数，就发展成有限元法(当子域为整个场域的一部分时)或边界元法(当子域为场域边界的一部分时)。单矩法在实质上是数学边界上的边界元法与界内的有限元法（或有限差分法），以及界外的分离变量法三者的联合。
　　参考书目