phymath999: 在欧式空间中，梯度场由于是由函数的的各方向导数所得来的，我们发现它的导数在局部坐标下看是一个对称阵，于是我们得出相应的特征值都应当是实数。而将坐标拉回也不影响这个结果。而沿着梯度场，函数的值是严格递增的，不可能出现周期点

Wednesday, September 12, 2012

在欧式空间中，梯度场由于是由函数的的各方向导数所得来的，我们发现它的导数在局部坐标下看是一个对称阵，于是我们得出相应的特征值都应当是实数。而将坐标拉回也不影响这个结果。而沿着梯度场，函数的值是严格递增的，不可能出现周期点

双曲动力系统（期中考试）

2012年5月4日 Xiaochuan Liu 发表评论阅读评论

http://www.liuxiaochuan.org/2012/05/midtermhyperbolicdynamic.htm#more-2632

刚刚参加Marcelo Viana教授的Hyperbolic Dynamics的博士课程的期中考试，一共四道题目。
题目一:设 $f:M\to \Bbb R$ 为一个 $C^r$ 的实值函数，期中 $r\geq 2$ .令 $F=grad (f)$ .证明如果 $p\in M$ 是向量场 $F$ 的奇点，则 $DF(p)$ 的特征值都是实数。证明如果 $p$ 是一个双曲形的奇点当且仅当双线性形式 $D^2f(p)$ 是非退化的。更进一步的，证明 $F$ 不包含周期轨道。
证明提纲：在欧式空间中，梯度场由于是由函数的的各方向导数所得来的，我们发现它的导数在局部坐标下看是一个对称阵，于是我们得出相应的特征值都应当是实数。而将坐标拉回也不影响这个结果。而沿着梯度场，函数 $f$ 的值是严格递增的，不可能出现周期点。(反证法)
题目二：令 $f:M\to M$ 为一个微分同胚，令 $\Lambda$ 为 $f$ 的双曲不变集合(Hyperbolic set).设 $p,q\in \Lambda$ 为两个周期点并定义
$p\prec q \Longleftrightarrow W^u(p)$ 在某点横截的与 $W^s(q)$ 相交
再定义 $p \approx q \Longleftrightarrow p\prec q \text{ and } q\prec p$ .
证明上面定义的 $\approx$ 是一个等价关系.更进一步的，证明对任意的开集 $U$ 和 $V$ 与同一个等价类相交非空，则存在 $n\geq 1$ ，使得 $f^n(U)\cap V\neq \emptyset$ .
证明提纲：验证等价类的定义，关键在于验证传递性。而这里我们需要证明的关键是，对于三个点 $p,q,x$ ，满足 $p$ 的不稳定流形和 $q$ 的稳定流形横截相交； $q$ 的不稳定流形和 $x$ 的稳定流形横截相交，可以推出 $p$ 的不稳定流形与 $x$ 的稳定流形也是横截相交的。而这个证明需要 $\lambda$ 引理。
对于第二个问，对于这两个任意给定的开集合 $U$ 和 $V$ ,我们在其中寻找到等价类的点，比如说 $p,q$ ，则我们可以分别作出 $p$ 的不稳定流形和 $q$ 的稳定流形.注意，他们是横截相交的。设交点为 $x$ ，则我们可以利用稳定流形和不稳定流形的性质，得出存在 $f^n(U)\cap V\neq \emptyset$ .
题目三：令 $\lambda\in (0,1)$ .证明如果 $f:\Bbb R\to \Bbb R$ 是一个 $C^1$ 微分同胚，并满足 $f$ 与 $L(x)=\lambda x$ 可交换(就是说， $f\circ L(x)=L\circ f(x)$ ),则 $f$ 是线性的。而另一方面，存在 $R^2$ 上的 $C^\infty$ 的微分同胚，与 $T(x,y)=(\lambda x,\lambda^2 y)$ 可交换，却不是线性的变换。
证明提纲：由题目条件，我们得出 $f(\lambda x)=\lambda f(x)$ .于是，首先，我们可以得到 $f(\lambda^n)=\lambda^nf(1)$ .于是，由于 $f\in C^1$ ,而 $\lambda^n\to 0$ ,我们有, $f(1)=\frac{f(\lambda^n)}{\lambda^n}\to f'(1)$ .现在任取 $x\in \Bbb R^1$ ,我们有 $\frac{f(x)}{x}=\frac{f(\lambda^nx)}{\lambda^n}\to f'(0)=f(1)$ .于是 $f(x)=f(1)x$ 对所有 $x$ 成立。
第二个问，我们构造函数 $h$ 定义如下， $h(x,y)=(x,x^2+y)$ .这是一个非线性的函数，满足与 $T$ 可交换。
题目四：令 $f:M\to M$ 为一个 $C^1$ 类的微分同胚，其中 $M$ 是一个compact的流形。证明如果 $f$ 是结构稳定的，则 $f$ 的所有不动点都是双曲不动点。我们能对周期 $k\geq 1$ 的周期点有同样的断言吗？
证明提纲： $f$ 是结构稳定的，首要的事情就是它的不动点都是simple的。再加上流形是紧致的，于是我们可以证明不动点一定是有限个。假设我们有一个不动点 $p$ ， $f$ 在该点不是双曲的。这样，只需在局部分析这个不动点。把它先push到坐标上去，再将函数在那里通过一个bump函数微微调整，最后在pull back这个函数，我们最终可以得到两个不同的函数， $f',f'''$ 他们在 $p$ 点都是双曲的，但是他们稳定流形和不稳定流形的维数不同。这样他们是不可能共轭的。（P.S.本题具体写起来最麻烦。）
为了给出一个反例，我构造了圆周上的微分同胚，满足每个点都是周期为2的周期点。同时这个微分同胚共轭于圆周的旋转，从而是结构稳定的。但是我构造出来的例子中，该圆周有非双曲的周期点，即，导数正好为 $1$ .

phymath999

Wednesday, September 12, 2012

双曲动力系统（期中考试）

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