数学与物理中的场函数
喻纬华 给水排水2班 1014020209
摘要：通过对《高等数学》中微积分理论及《大学物理上》，《大学物理下》的学习，可以发现其理论与实践，抽象与具体的联系，特别是对场的理解上，可以抽象出许多理论也发展出一系列具有应用价值的概念，如电场是有源场，无旋场，磁场是无源场，有旋场等等。本文以各种场为例，探求其场函数，为物理及数学的学习提供理论依据。
关键词：场函数，微积分，向量场，麦克斯韦电磁场方程
从数学的角度看，场量在一个区域内的分布可以用定义在该区域内的一个函数来描述。此函数即为场函数，区域称为场域。给定一个函数，就相当于给定了一个场。若此函数是数量函数
，则对应于向量场。
例如，位于原点的质量为M的质点对于位于点（X,Y,Z）的单位质点的引力为
其中G为引力常数。于是，位于原点的质量为m的质点所产生的引力场为
同理，位于原点且带电量为q的点电荷产生的电场为
其中
为真空介电常数
又有散度和旋度的计算公式
再利用微分算子
场在物理上有两种含义:①在粒子相互作用中起媒介物作用的客体,它分布于整个或部分空间,其性质是空间坐标和时间坐标的函数(静止场不是时间的函数)。②上述客体在量子力学中的类似物,其中空间和时间的函数用时-空中各点的算符来代替。
场的概念在高斯定理上的应用
高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电场强度。虽然高斯定理的适用范围很广，但用它求带电体的电场分布时有很大的局限性，只对那些电荷分布高度对称的带电体，才能使用高斯定理求场强。在选择高斯面时，应注意：（1）首先利用电荷的对称分布确定电力线形状；（2）所选高斯面应平行电场线或垂直电场线；（3）当高斯面法向与电场线平行时，高斯面上的场强
的大小应处处相等，这样
可提出积分号外，积分被简化为对面元的取和。
利用高斯定理求场强的一般步骤：
1、进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）；
2、根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：①待求场强的场点应在此高斯面上，②穿过该高斯面的电通量容易计算。一般地，高斯面各面元的法线矢量
与
平行或垂直，
与
平行时，
的大小要求处处相等，使得
能提到积分号外面；
3、计算电通量
和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯定理求出场强。
应该指出，在某些情况下（对称），应用高斯定理是比较简单的，但一般情况下，以点电荷场强公式和叠加原理以相互补充，还有其它的方法，应根据具体情况选用。
利用高斯定理，可简洁地求得具有对称性的带电体场源（如球型、圆柱形、无限长和无限大平板型等）的空间场强分布。计算的关键在于选取合适的闭合曲面——高斯面。
高斯定理的应用举例
例一：求无限长均匀带电直线的电场分布，已知线上线电荷密度为
。
（1）
解法一：（利用库仑定律求解）
如图（1）所示，我们选择电荷元dq为长度dl上所带电量，即dq=
dl，dq在点P产生的元场强的大小
为计算该积分，首先必须统一积分变量。为便于计算，将变量l和r统一用
表达。由图可知，
，由l又可以得
，代入dl及r后，可得
对于每一个正Y轴上的dl长度，一定存在另一个对称的负Y轴上的dl，这两个长度上的电荷元在点P产生的场强y分量相互抵消，因此求总场强时我们只需对dEx积分。注意
，积分限为
和
，有
（2）
解法二：（利用高斯定理求解）
带电直线的电场分布应具有轴对称性，考虑离直线距离为R的一点P处的场强E（如图（2）所示）。由于空间各向同性而带电直线为无限长，且均匀带电，所以电场分布具有轴对称性，因而P点的电场方向唯一的可能是垂直于带电直线而沿径向，并且和P点在同一圆柱面（以带电直线为轴）上的各点的唱腔大小也都相等，而且方向都沿径向。
作一个通过P点，以带电直线为轴，高为l的圆筒形封闭面为高斯面S，通过S面的电通量为
在S面的上、下底面（St和Sb）上，场强方向与底面平行，因此，上式等号右侧后面两项等于零。而在侧面（S1）上各点E的方向与各该点的法线方向相同，所以有
此封闭面内包围的电荷
由高斯定理得
由此得
由上所述，解法一与解法二的结果相同，由解法一和解法二比较可见，当条件允许时，利用高斯定理计算场强分布要简便得多。
No comments:
Post a Comment