浅议保守力和非保守力的定义
陈洛恩
师家成
(
玉溪师范学院物理与教育技术系, 云南玉溪653100)
[
关键词] 保守力; 非保守力; 定义
[
摘 要] 对保守力和非保守力定义的两种表述的等价性进行了分析研究, 认为其中一种表述
更为准确和严密
.
[
中图分类号] O313 [ 文献标识码] A [ 文章编号] 1009- 9506( 2002) 03- 0056- 02
On Definitions of Conservative Force & Non
- conservative Force
CHEN Luo- en
SHI Jia- cheng
(
Physics Dept . Of Yuxi Teachers College, Yuxi 653100, Yunnan)
Key Words
: conservative force; non- conservat ive force; definitions
Abstract
: Analyzing & studying the equivalence of the two definitions of conservative force& non- con
servative force, this paper considers one of the def init ions more accurate & more rigorous.
保守力和非保守力是研究一个力学体系的两个重要概念
, 前者不会引起孤立系统机械能的变化, 后者则
可能导致系统的机械能与其它运动形态能量的交换
. 在现行的众多力学教科书中, 对两者的定义一般有两种
表述方法
. 第一种为: 做功由初末位置决定, 而与所沿路径无关的力称为保守力. 做功与具体路径有关的力称
为非保守力
. 第二种表述为: 沿闭合路径做功为零的力称为保守力, 沿闭合路径做功不为零的称为非保守力.
一般认为这两种表述是等价的
, 因为数学上有 若线积分与路径无关, 则其环量为零, 反之亦然!的结论; 另一
方面
, 就非保守力中的一个典型例子∀ ∀ ∀ 滑动摩擦力做功而言, 它沿闭合路径所做的功确实不为零, 而且 实
验表明
, 在同样的接触条件下, 质点运动所走的路线越长, 摩擦力的功的绝对值越大. !数学结论和物理实验
的一些事实使人们对这种等价性深信不疑
.
然而
, 数学上的这种等价性要求力必须是场函数, 若不是场函数, 未必有等价性; 另一方面, 物理中有关
摩擦力做功的实验极为有限
, 而摩擦力又是一个由动力学方程决定的物理量, 因而, 应存在着这样的可能性,
当作用在物体上的主动力取某个恰当的力函数时
, 作用在该物体上的摩擦力做的功与路径无关.
如图所示
, 一个质量为m 的小滑块, 在切向外力F 的作用下自A 点开始由静止沿图中半径为R 的竖直
圆周轨道运动
, 设小滑块与圆周轨道的摩擦系数为. 又设F 的切向投影为:
F
= ( a- g ) mcos+ ( 2a+ g) msin ,
式中
g 为重力加速度, a 是一个与g 量纲相同的正常数, m 为小滑块的
质量
, 为小圆环在任一位置时的运动方向与重力方向的夹角. 现要求小滑
块运动至
B 点时摩擦力f 做的功.
取圆周轨道所在平面为惯性系
o- xy , A, B 两点的直角坐标和小滑块
在任一位置
P 时的受力如图中所示. 设小滑块的速度为v, 则其牛顿运动微
分方程为
:
F + mgcos- f = m
dv
dt
( 1)
N- mg sin= m
v
2
R
( 2)
f = N ( 3)
#
56 #
玉溪师范学院学报 第
18 卷 2002 年 第3 期
Journal of Yuxi Teachers College Vol. 18 No. 3 Jun. 2002
[ 收稿日期] 2002- 03- 24
[ 作者简介] 陈洛恩( 1956- ) , 男, 云南思茅人, 博士, 教授, 主要从事力学教学及研究.
由
( 1) ∀ ( 3) 式, 得到v 关于t 的微分方程:
dv
dt
=
acos+ 2asin - v
2
R
( 4)
解之得
:
v
2
= 2aR sin ( 5)
f = m( 2a+ g) sin ( 6)
于是
, 小滑块自A 点沿圆周轨道运动至B 点时f 做的功为:
W= ∃B
A
f #d r = - ∃B
A
fds
= - ∃B
A
m( 2a + g) sin#ds
= m( 2a+ g ) ∃A
B
ds
#sin= m( 2a+ g ) ∃x
1
x
2
dx
= m( 2a + g) ( x 1- x 2 ) ( 7)
由于在上述问题中没有对半径
R 作出任何限制, 因而( 7) 式的结论对圆心在AB 的中垂线CD 上且连接
AB
两点的任何半径的圆弧轨道均成立. 它表明, 当切向力F 取某些值时, 滑动摩擦力的功确实只与初末位
置有关
, 而与小滑块运动的路径无关. 而且, 这样的F 也不止一个, 令a 取不同的正数, 将给出不同的切向
力
. 容易看出, 当连接A、B 点的轨道不是圆弧时, 仍可找到恰当的F , 它可使摩擦力做的功与路径无关.
尽管该摩擦力做的功与路径无关
, 但当小滑块自B 点反向运动到A 点时, 摩擦力也在轨道的各点上与
自
A 到B 时的方向反向, 其功仍为负, 导致该摩擦力沿闭合路径的功不为零.
由此我们得到下述结论
: ( 1) 对于保守力, 两种表述是等价的; 但对非保守力而言, 两种表述不一定等价.
( 2)
就准确和严密性而言, 我们认为第二种表述优于第一种表述. 因为做功与路径无关时, 沿闭合路径的功可
能为零
, 也可能不为零.
[
参 考 文 献]
[ 1]
梁绍荣等. 普通物理学( 第一分册, 力学第二版) [M] . 北京: 高等教育出版社, 1995. 95~ 98, 167.
[ 2]
赵凯华, 罗蔚茵. 力学( 新概念物理教程) [M] . 北京: 高等教育社, 1995. 69~ 73, 115~ 117.
[ 3]
陈洛恩等. 摩擦力做功与 路径无关!一例[ J] . 物理通报, 2000, ( 9) : 42.
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