在静電學裏,電勢(electric potential)定義為處於電場中某个位置的單位電荷所具有的電勢能。[1]電勢又稱為電位,是純量,其數值不具有絕對意義,只具有相對意義。為了便於分析問題,必需設定參考位置。通常,一個明智的選擇是將在無窮遠位置的電勢設定為零。那麼,電勢可以做如此工作定義:假設檢驗電荷從無窮遠位置,經過任意路徑,抗拒電場力,緩慢地遷移到某位置,則在這位置的電勢,等於因遷移所做的機械功與檢驗電荷量的比值。
電勢
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電勢必需滿足帕松方程式,同時符合相關邊界條件;假設在某區域內的電荷密度為零,則帕松方程式約化為拉普拉斯方程式,電勢必需滿足拉普拉斯方程式。
在電動力學裏,當含時電磁場存在的時候,電勢可以延伸為「廣義電勢」。特別注意,廣義電勢不能被視為電勢能每單位電荷。
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[编辑] 簡介
處於外電場的帶電粒子會感受到外電場施加的作用力,稱為電場力,促使帶電粒子呈加速度運動。對於帶正電粒子,電場力與電場同方向;對於帶負電粒子,電場力與電場反方向。電場力的數值大小與電荷量、電場數值大小成正比。作用力與勢能之間有非常直接的關係。隨著物體朝著作用力的方向呈加速度運動,物體的動能變大,勢能變小。例如,一個石頭在山頂的勢能大於在山腳的勢能。隨著物體滾落,勢能變小,動能變大。
對於某種特別作用力,科學家可以定義其向量場和其位勢,使得物體因為這向量場而具有的勢能,只相依於物體位置與參考位置之間的距離。稱這種作用力為保守力,這種向量場為保守場。
例如,重力、靜電場的電場力,都是保守力。靜電場的純量勢稱為電勢,或稱為靜電勢。
電勢和磁向量勢共同形成一個四維向量,稱為四維勢。從某一個慣性參考系觀察到的四維勢,應用勞侖茲變換,可以計算出另外一個慣性參考系所觀察到的四維勢。
[编辑] 靜電學裏的電勢
在靜電學裏,電場


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電勢能的數值是人為設定的,沒有絕對意義,只有相對於某參考位置的已設定參考值,才有物理意義。假若要設定電勢能在空間任意位置的數值,必須先設定其在某參考位置







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在靜電學裏,








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[编辑] 疊加原理
電場遵守疊加原理:假設在三維空間裏,由兩組完全不相交的電荷分佈所產生的電場分別為


總電勢為抗拒總電場力所做的機械功每單荷電量:
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[编辑] 電勢的微分方程式
應用積分符號內取微分方法,電勢的梯度為。
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所以,電勢滿足帕松方程式:
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由於電勢乃是純量,而電場是具有三個分量的向量,所以,很多時候,使用電勢來解析問題會省去很多運算工作,帶來很大的便利。
[编辑] 拉普拉斯方程式的解答
在某空間區域內,假設電荷密度為零,則電勢必須滿足拉普拉斯方程式,並且符合所有相關邊界條件。[编辑] 邊界條件
在靜電學裏,有三種邊界條件:- 狄利克雷邊界條件:在所有邊界,電勢都已良態給定。具有這種邊界條件的問題稱為狄利克雷問題。
- 紐曼邊界條件:在所有邊界,電勢的法向導數都已良態給定。具有這種邊界條件的問題稱為紐曼問題。
- 混合邊界條件:一部分邊界的電勢都已良態給定,其它邊界的電勢的法向導數也已良態給定。
[编辑] 分離變數法
應用分離變數法來解析拉普拉斯方程式,可以將問題的偏微分方程式改變為一組較容易解析的常微分方程式。對於一般問題,通常會採用直角坐標系、圓柱坐標系或球坐標系來分離拉普拉斯方程式。但是,對於其它比較特別的問題,另外還有八種坐標系可以用來分離拉普拉斯方程式。[2]分離之後,找到每一個常微分方程式的通解(通常為一組本徵方程式的疊加),電勢可以表達為這些通解的乘積。將這表達式與邊界條件相匹配,就可以設定一般解的係數,從而找到問題的特解。根據拉普拉斯方程式的唯一性定理,這特解也是唯一的正確解答。[编辑] 兩個半平面導體案例
假設在xy-平面的無限平面導體被一條位於



。
。
。
。
、
。
、
;




當



。



- 當
時,
、
- 當
時,
。
、
。

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[编辑] 帕松方程式的解答
[编辑] 電荷分佈所產生的電勢
根據庫侖定律,一個源位置為


。



;

應用一條向量恆等式,
,
。
;(1)
,


。
[编辑] 邊界條件
電勢的方程式(1)只考慮到一群電荷分佈所產生的電勢。假若遭遇邊界條件為電勢的靜電學問題,就不能使用方程式(1),必需使用更具功能的方法。根據格林第二恆等式,對於任意良態函數


;








設定






。
。


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根據柯西邊界條件(Cauchy boundary condition),有時候,給定在邊界曲面的法向電場與電勢,可能會因為給定過多邊界條件,而造成無法計算出一致的電勢的狀況。實際而言,只要給定法向電場或電勢,兩者之一,就可以計算出電勢。[4]
假若積分體積為無窮大空間,當



[编辑] 格林函數
包括函數

。

,

應用這靈活性質,可以更嚴格地規定格林函數:[4]
- 對於狄利克雷問題,當源位置
在邊界表面
時,規定格林函數
。這樣,從格林第二恆等式,設定
為在
的電勢,
,則可得到
-
。(2)
- 對於滿足紐曼問題,當源位置
在邊界表面
時,規定格林函數
。
[编辑] 無限平面導體案例
;




由於接地導體的電勢為零,方程式(2)的面積分項目等於零,方程式(2)變為
。


。


[编辑] 導引
已知函數

。

。



。

。




;


由於





、
、
;



將這些公式代入

。


;

[编辑] 兩個半平面導體案例
假設在xy-平面的無限平面導體被一條位於



。(3)

。


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[编辑] 推廣至電動力學
假設磁場相依於時間(每當電場相依於時間,則此假設成立。逆過來亦成立),則不能簡單地以純量勢


替代地,在定義純量勢時,必須引入磁向量勢

;

根據亥姆霍茲定理[5] (Helmholtz theorem) ,假設一個向量函數

、
;


再假設



;



採用庫侖規範 (Coulomb gauge) ,則磁向量勢

。
。


。

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[编辑] 參閱
[编辑] 參考文獻
2010年,理论物理学界有重大发现。荷兰人艾瑞·威林德(Erik Verlinde)提出“引力能解释为熵力”,引发弦论研究者的大讨论。中科院理论物理研究所研究员李淼对Erik的理论进行了完善,修正了其中一个重要错误。这个理论的意义何在?破绽在哪里?我国的理论物理学家在这方面又有哪些最新发现?带着这些问题,记者在近期举办的一次“果壳时间”科普讲座之后,采访了与会嘉宾——理论物理学家李淼。
引力是否为熵力
(余惠敏)问:过去的一年里,荷兰人艾瑞·威林德(Erik Verlinde)的引力即熵力理论在理论物理学界引起了很大反响,这个理论有什么不凡之处?
(李水)答:威林德2010年1月提出万有引力就是熵力的想法。牛顿认为,引力是无条件的万有引力,是基本力。爱因斯坦的时空理论中,万有引力是时空弯曲引起的,但他仍然认为万有引力是基本力。而在威林德的熵力理论中,即使时空弯曲也是熵变引起的。他认为,引力本身不是基本的作用力,而是一种宏观力,叫做熵力。这种观点目前很流行,同时也有一定的争议。
问:熵力是什么力?
答:熵在物理学中指的是混乱度,混乱度增大,熵增加。熵力的一个例子是耳机线,我们将耳机线整理好放进口袋,下次再拿出来已经乱了。让耳机线乱掉的看不见的“力”就是熵力,耳机线喜欢变成更混乱。熵力另一个具体的例子是弹性力。一根弹簧的力,就是熵力,
熵力:认识宇宙的新视角
作者:余惠敏 来源:网络 更新日期:2012-02-17 浏览次数:
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