在静電學裏，電勢（electric potential）定義為處於電場中某个位置的單位電荷所具有的電勢能。[1]電勢又稱為電位，是純量，其數值不具有絕對意義，只具有相對意義。為了便於分析問題，必需設定參考位置。通常，一個明智的選擇是將在無窮遠位置的電勢設定為零。那麼，電勢可以做如此工作定義：假設檢驗電荷從無窮遠位置，經過任意路徑，抗拒電場力，緩慢地遷移到某位置，則在這位置的電勢，等於因遷移所做的機械功與檢驗電荷量的比值。
電勢
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表示；而其大小則用 
來表示。電勢必需滿足帕松方程式，同時符合相關邊界條件；假設在某區域內的電荷密度為零，則帕松方程式約化為拉普拉斯方程式，電勢必需滿足拉普拉斯方程式。
在電動力學裏，當含時電磁場存在的時候，電勢可以延伸為「廣義電勢」。特別注意，廣義電勢不能被視為電勢能每單位電荷。
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[编辑] 簡介
處於外電場的帶電粒子會感受到外電場施加的作用力，稱為電場力，促使帶電粒子呈加速度運動。對於帶正電粒子，電場力與電場同方向；對於帶負電粒子，電場力與電場反方向。電場力的數值大小與電荷量、電場數值大小成正比。作用力與勢能之間有非常直接的關係。隨著物體朝著作用力的方向呈加速度運動，物體的動能變大，勢能變小。例如，一個石頭在山頂的勢能大於在山腳的勢能。隨著物體滾落，勢能變小，動能變大。
對於某種特別作用力，科學家可以定義其向量場和其位勢，使得物體因為這向量場而具有的勢能，只相依於物體位置與參考位置之間的距離。稱這種作用力為保守力，這種向量場為保守場。
例如，重力、靜電場的電場力，都是保守力。靜電場的純量勢稱為電勢，或稱為靜電勢。
電勢和磁向量勢共同形成一個四維向量，稱為四維勢。從某一個慣性參考系觀察到的四維勢，應用勞侖茲變換，可以計算出另外一個慣性參考系所觀察到的四維勢。
[编辑] 靜電學裏的電勢
在靜電學裏，電場
內某位置 
的電勢 
，以方程式定義為[1]
；
是在位置 的檢驗電荷 
所具有的電勢能。電勢能的數值是人為設定的，沒有絕對意義，只有相對於某參考位置的已設定參考值，才有物理意義。假若要設定電勢能在空間任意位置的數值，必須先設定其在某參考位置
的數值。為了方便運算，假設其參考數值為0。然後，就可以將在位置 的電勢能 
定義為從參考位置 緩慢地將檢驗電荷 遷移至 所需做的機械功 
：
。
，必需恰巧抵消處於電場 的檢驗電荷 所感受到的電場力 
，即 
。機械功等於外力 的路徑積分：
；
是從參考位置 到位置 的一條任意路徑，
是微小線元素。在靜電學裏，
，電場是保守場，所以，在積分時，可以選擇任意路徑 ，計算出來的結果都一樣。更詳盡細節，請參閱條目保守力。由於這方程式右手邊的路徑積分不相依於路徑 ，只相依於路徑的初始位置 與終止位置 。若能夠假設無窮遠位置 
的電勢能為 0 ，則可以設定參考位置 在無窮遠位置 ：
。
。
、
之間的「電勢差」 
為
。
是保守場，電勢差也與積分路徑無關，只跟積分路徑的初始位置與終止位置有關。[编辑] 疊加原理
電場遵守疊加原理：假設在三維空間裏，由兩組完全不相交的電荷分佈所產生的電場分別為
、
，則總電場為 
。總電勢為抗拒總電場力所做的機械功每單荷電量：
。
[编辑] 電勢的微分方程式
應用積分符號內取微分方法，電勢的梯度為
。
。
；
是電荷密度，
是電常數。所以，電勢滿足帕松方程式：
。
。
，也就是說，電場不具保守性（由於隨時間變化的磁場造成的效應；參閱馬克士威方程組），則不能使用這些方程式。由於電勢乃是純量，而電場是具有三個分量的向量，所以，很多時候，使用電勢來解析問題會省去很多運算工作，帶來很大的便利。
[编辑] 拉普拉斯方程式的解答
在某空間區域內，假設電荷密度為零，則電勢必須滿足拉普拉斯方程式，並且符合所有相關邊界條件。[编辑] 邊界條件
在靜電學裏，有三種邊界條件：- 狄利克雷邊界條件：在所有邊界，電勢都已良態給定。具有這種邊界條件的問題稱為狄利克雷問題。
- 紐曼邊界條件：在所有邊界，電勢的法向導數都已良態給定。具有這種邊界條件的問題稱為紐曼問題。
- 混合邊界條件：一部分邊界的電勢都已良態給定，其它邊界的電勢的法向導數也已良態給定。
[编辑] 分離變數法
應用分離變數法來解析拉普拉斯方程式，可以將問題的偏微分方程式改變為一組較容易解析的常微分方程式。對於一般問題，通常會採用直角坐標系、圓柱坐標系或球坐標系來分離拉普拉斯方程式。但是，對於其它比較特別的問題，另外還有八種坐標系可以用來分離拉普拉斯方程式。[2]分離之後，找到每一個常微分方程式的通解（通常為一組本徵方程式的疊加），電勢可以表達為這些通解的乘積。將這表達式與邊界條件相匹配，就可以設定一般解的係數，從而找到問題的特解。根據拉普拉斯方程式的唯一性定理，這特解也是唯一的正確解答。[编辑] 兩個半平面導體案例
的絕緣線條分隔為處於y+、y--半平面的兩個導體的電勢分別設定為 
、
。 的絕緣線條分為兩半，兩個處於y+、y--半平面的導體的電勢分別設定為 、 ，則計算z+-半空間任意位置的電勢這問題，由於邊界條件的幾何形狀適合用直角坐標來描述，可以以直角坐標 
將拉普拉斯方程式表示為：
。
。
。
。
、
。
、
；
、
、
、
都是係數函數。當
趨向於無窮大時，
趨向於零，所以，
。綜合起來，電勢為
。
，y+、y--半平面的電勢分別為 、 ，所以，- 當
時，
、 - 當
時，
。
、
。
項目貢獻出的電勢為
。
項目貢獻出的電勢為
。
。
[编辑] 帕松方程式的解答
[编辑] 電荷分佈所產生的電勢
根據庫侖定律，一個源位置為
的點電荷 ，所產生在任意位置 的電場為
。
內部電荷密度為 
的電荷分佈，在檢驗位置 所產生的電場為
；
是微小體積元素。應用一條向量恆等式，
，
。
；（1）
，
在積分體積 內，則可得到帕松方程式：
。
[编辑] 邊界條件
電勢的方程式（1）只考慮到一群電荷分佈所產生的電勢。假若遭遇邊界條件為電勢的靜電學問題，就不能使用方程式（1），必需使用更具功能的方法。根據格林第二恆等式，對於任意良態函數
與 
，[4]
；
是積分體積，
是包住 的閉表面，
是微小面元素，
或 都是取垂直於閉表面 的法向導數，都是從積分體積 朝外指出。設定
為在 的電勢，
為 與 之間的距離。應用帕松方程式 
，則可得到![\int_{\mathbb{V}'} \left[ \phi(\mathbf{r}') \nabla^2 \left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right) + \frac{\rho(\mathbf{r}')}{\epsilon_0 |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \right]\mathrm{d}^3 r' = \oint_{\mathbb{S}'} \left[ \phi\ {\partial \over \partial n'}\left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right) - \left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right) {\partial \phi \over \partial n'}\right]\mathrm{d}^2 r'](http://upload.wikimedia.org/math/0/6/6/0666a16ab77b28d7d2f14a40e6c82b38.png)
。
- 。
在積分體積 內，則可得到![\phi(\mathbf{r}) =\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{\mathbb{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\ \mathrm{d}^3 r' +\frac{1}{4 \pi}\oint_{\mathbb{S}'} \left[\left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right) {\partial \phi \over \partial n'}-\phi\ {\partial \over \partial n'}\left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right)\right]\mathrm{d}^2 r'](http://upload.wikimedia.org/math/c/0/7/c07b8f8131cde68bc5ac72ca7d2ea02b.png)
。
體內與體外之間的邊界曲面。面積分的第一個項目要求給定在邊界曲面的法向電場，即 
，也就是面感應電荷密度 
。面積分的第二個項目要求給定在邊界曲面的電勢 。假若能夠知道積分體積內的電荷密度、在閉曲面的面電荷密度與電勢，就可以計算出在積分體積內任意位置的電勢。根據柯西邊界條件（Cauchy boundary condition），有時候，給定在邊界曲面的法向電場與電勢，可能會因為給定過多邊界條件，而造成無法計算出一致的電勢的狀況。實際而言，只要給定法向電場或電勢，兩者之一，就可以計算出電勢。[4]
假若積分體積為無窮大空間，當
趨向於無窮大時，則面積分的被積分項目會以 
速率遞減，而積分面積會以 
速率遞增，所以，面積分項目會趨向於零，這方程式約化為先前的電勢方程式（1）。[编辑] 格林函數
包括函數
在內，有一類函數 
，稱為格林函數，能夠滿足方程式
。
滿足拉普拉斯方程式
，
也是格林函數。應用這靈活性質，可以更嚴格地規定格林函數：[4]
- 對於狄利克雷問題，當源位置 在邊界表面
時，規定格林函數 
。這樣，從格林第二恆等式，設定 為在 的電勢，
，則可得到
-
。（2）
- 對於滿足紐曼問題，當源位置 在邊界表面 時，規定格林函數
。
[编辑] 無限平面導體案例
。
；
、
分別是檢驗位置 、源位置 的直角坐標。由於接地導體的電勢為零，方程式（2）的面積分項目等於零，方程式（2）變為
。
有點電荷 ，則在z+半空間任意位置的電勢為
。
所產生的電勢；右手邊第二個項目，是使用鏡像法時，鏡像電荷 
所產生的電勢。請參閱鏡像法條目的點電荷與無限平面導體段落。[编辑] 導引
已知函數 為格林函數 ，滿足方程式- 。
的傅立葉級數為[2]
。
，滿足狄利克雷邊界條件
，同時，函數 滿足拉普拉斯方程式- 。
以傅立葉級數擴張為![\begin{align}H(\mathbf{r},\mathbf{r}')
& = \frac{1}{2\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\ \mathrm{d}k_x\ \mathrm{d}k_y e^{ik_x(x-x')+ik_y(y-y')}\int_{-\infty}^{\infty}\ \mathrm{d}k_z \left[B(\mathbf{k},z')e^{ik_z z} +C(\mathbf{k},z')e^{-ik_z z}\right]\\
\end{align}](http://upload.wikimedia.org/math/9/4/3/9432541b3c22dacf59a7e866f7e96fc2.png)
。
函數與 
函數的形式相同。這是因為對於無限空間案例與無限平面導體案例，兩種案例的x-邊界條件與y-邊界條件都相同，只有z-邊界條件稍有改變。將 函數的方程式代如，
變為![G_D(\mathbf{r},\mathbf{r}')
= \frac{1}{2\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\ \mathrm{d}k_x\ \mathrm{d}k_y e^{ik_x(x-x')+ik_y(y-y')}\int_{-\infty}^{\infty}\ \mathrm{d}k_z \left[\frac{e^{ik_z(z-z')}}{k_x^2+k_y^2+k_z^2} +B(\mathbf{k},z')e^{ik_z z} +C(\mathbf{k},z')e^{-ik_z z}\right]](http://upload.wikimedia.org/math/4/f/b/4fb35627714da67f4ff74cf943938a71.png)
；
與 
都是係數函數。由於
，對於任意 
與 
， 與 之間的關係為
、
、
；
與 
都是係數常數，而且，
將這些公式代入
，可以得到![G_D(\mathbf{r},\mathbf{r}')
= \frac{1}{2\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\ \mathrm{d}k_x\ \mathrm{d}k_y e^{ik_x(x-x')+ik_y(y-y')}\int_{-\infty}^{\infty}\ \mathrm{d}k_z \left\{\frac{(1+B_0)}{k^2} \left[ e^{ik_z(z-z')}-e^{ik_z(z+z')}\right]\right\}](http://upload.wikimedia.org/math/7/f/0/7f075ff63438f8842a8615f8a361b4e2.png)
。
，必需設定 
。所以，![\begin{align}G_D(\mathbf{r},\mathbf{r}') & = \frac{1}{2\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\ \mathrm{d}k_x\ \mathrm{d}k_y e^{ik_x(x-x')+ik_y(y-y')}\int_{-\infty}^{\infty}\ \mathrm{d}k_z \left\{\frac{1}{k^2} \left[ e^{ik_z(z-z')}-e^{ik_z(z+z')}\right]\right\} \\
& =\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}-\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}''|} \\
& =\cfrac{1}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+ (z - z')^2}} -\ \cfrac{1}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z+z')^2}} \\
\end{align}](http://upload.wikimedia.org/math/6/5/9/65994ccec3d97dc7fa9426bd0f7e9e5a.png)
；
是鏡像電荷的位置。[编辑] 兩個半平面導體案例
假設在xy-平面的無限平面導體被一條位於 的絕緣線條分為兩半，兩個處於y+、y--半平面的導體的電勢分別設定為 與 ，則由於 
，方程式（2）變為
。（3）
是z+-半空間，xy-平面是其邊界閉曲面的一部分，格林函數在xy-平面的法向導數的方向是朝著負z方向：![\begin{align}{\partial G_D\over \partial n'} & =-\ {\partial G_D\over \partial z'} \\
& =-\ \cfrac{z - z'}{[(x-x')^2+(y-y')^2+ (z - z')^2]^{3/2}}\ -\ \cfrac{z + z'}{[(x-x')^2+(y-y')^2+(z+z')^2]^{3/2}} \\
& =-\ \cfrac{2z}{[(x-x')^2+(y-y')^2+ z^2]^{3/2}} \\
\end{align}](http://upload.wikimedia.org/math/2/9/9/299f5c0659985db41f8249ae3a3c99b7.png)
。
的邊界閉曲面在無窮遠位置的電勢為0，所以，只需要計算xy-平面給出的貢獻，就可以得到在 內部任意位置的電勢。將上述方程式代入方程式（3）：[3]![\begin{align}\phi(\mathbf{r}) & =\frac{2z}{4 \pi}\left\{\int_{0+}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\cfrac{V \mathrm{d}x'\mathrm{d}y'
}{[(x-x')^2+(y-y')^2+ z^2]^{3/2}}+\int_{-\infty}^{0-}\int_{-\infty}^{\infty}\cfrac{-V \mathrm{d}x'\mathrm{d}y'
}{[(x-x')^2+(y-y')^2+ z^2]^{3/2}}\right\} \\
& =\ \frac{zV}{\pi}\left\{\int_{0+}^{\infty}\frac{\mathrm{d}y'}{(y-y')^2+ z^2}
-\int_{-\infty}^{0-} \frac{\mathrm{d}y'}{(y-y')^2+ z^2}\right\} \\
& =\frac{2V}{\pi}\ \arctan{\left(\frac{y}{z}\right)} \\
\end{align}](http://upload.wikimedia.org/math/9/1/f/91f490aaadbdeaa9a6cbe189d2fae818.png)
。
[编辑] 推廣至電動力學
假設磁場相依於時間（每當電場相依於時間，則此假設成立。逆過來亦成立），則不能簡單地以純量勢 描述電場。因為 根據法拉第電磁感應定律，
，電場不再具有保守性，
相依於路徑。替代地，在定義純量勢時，必須引入磁向量勢
，定義為
；
是磁場。根據亥姆霍茲定理[5] （Helmholtz theorem） ，假設一個向量函數
滿足以下兩條件：
、
;
是個純量函數，
是個向量函數。再假設
和 ，在無窮遠處都足夠快速地趨向 0 ，則 可以用方程式表達為
;
只作用於 ，體積分的體積為 。採用庫侖規範 （Coulomb gauge） ，則磁向量勢
遵守
。
。
，結果也成立。所以，永遠可以找到磁向量勢 ：
。
是一個保守場：
。
，滿足 
。因此，下述方程式成立：
。
不相依於時間。從另一方面來說，對於含時向量場，電場的路徑積分與靜電學的結果大不相同：
。
[编辑] 參閱
[编辑] 參考文獻
2010年，理论物理学界有重大发现。荷兰人艾瑞·威林德（Erik Verlinde）提出“引力能解释为熵力”，引发弦论研究者的大讨论。中科院理论物理研究所研究员李淼对Erik的理论进行了完善，修正了其中一个重要错误。这个理论的意义何在？破绽在哪里？我国的理论物理学家在这方面又有哪些最新发现？带着这些问题，记者在近期举办的一次“果壳时间”科普讲座之后，采访了与会嘉宾——理论物理学家李淼。
引力是否为熵力
（余惠敏）问：过去的一年里，荷兰人艾瑞·威林德（Erik Verlinde）的引力即熵力理论在理论物理学界引起了很大反响，这个理论有什么不凡之处？
（李水）答：威林德2010年1月提出万有引力就是熵力的想法。牛顿认为，引力是无条件的万有引力，是基本力。爱因斯坦的时空理论中，万有引力是时空弯曲引起的，但他仍然认为万有引力是基本力。而在威林德的熵力理论中，即使时空弯曲也是熵变引起的。他认为，引力本身不是基本的作用力，而是一种宏观力，叫做熵力。这种观点目前很流行，同时也有一定的争议。
问：熵力是什么力？
答：熵在物理学中指的是混乱度，混乱度增大，熵增加。熵力的一个例子是耳机线，我们将耳机线整理好放进口袋，下次再拿出来已经乱了。让耳机线乱掉的看不见的“力”就是熵力，耳机线喜欢变成更混乱。熵力另一个具体的例子是弹性力。一根弹簧的力，就是熵力，
熵力：认识宇宙的新视角
作者：余惠敏 来源：网络 更新日期：2012-02-17 浏览次数：
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