Huygens原理和波的弥散 三维波动方程有明显的波前和尾阵，这就是Huygens原理；而对于二维波动方程而言，有明显的波前，但是尾阵却不明显，其实根本没有，这就是波的弥散

数学物理方程——波动方程理解要点（抄的） 来源： 林博希的日志

数学物理方程——波动方程理解要点

1、Huygens原理和波的弥散：
     三维波动方程有明显的波前和尾阵，这就是Huygens原理；而对于二维波动方程而言，有明显的波前，但是尾阵却不明显，其实根本没有，这就是波的弥散。
    理解了这点，那么波动方程的求解公式及依赖区域，决定区域和影响区域就很好办了。
    a、一维：既有Huygens原理部分（无后效性），又有波的弥散部分。依赖的是区间，决定的区域，影响的亦是区域。
    b、二维：仅有波的弥散部分。依赖的是圆形区域，决定的是锥体，影响亦是椎体。
    c、三维：仅有Huygens原理部分（无后效性），依赖的是球面（注意是球面而不是球体），决定的是球体，而影响的是球面。

2、各种方法的应用：
     a、Duhamel原理（齐次化原理）、延拓方法、分离变量法（Fourier方法、驻波法）、降维法
     Duhamel原理：将非齐次化为齐次，一般方法，要很好的理解，一方面是数学上的推导，另一方面是物理上的解释。
     b、延拓方法：对于半无界问题很有帮助，一端点位移为0，奇延拓；一端点速度为0，偶延拓。这不仅仅就在这有用，其他方面也可加以思考。
     c、分离变量方法：将有限化为无穷，虽繁实简。Fourier对此作了很多工作，看了那历史，D'Alemert对此有了感觉，确受当时的影响而没能发展下去，Fourier却不同，管它呢，对就是对，逐渐让人们接受了这个事实。看Fourier变换：数字分析、常微分方程、数字信号处理、数字图像处理、数学物理方程等等以及工程动力学中都很有用处。
     d、降维法：我们的二维是从三维通过数学分析方法来求得的。这就是人的聪明所在。可惜啊，那从二维变为一维，我到现在还没做出。三维到二维，是从球面到圆面，很好办，用dS*cos(theta)=dsigma就可以了，但从二维到一维，那怎么办？是从圆面到线段，莫非和三维到二维一样，做下去后在对r积分。什么时候看看。

3、波动方程的解的适定性：
    适定性是由D'Alermet提出来的，牛！佩服！
    a、解的存在性：已由上面回答了。可以说是“我思故我在”了。
    b、解的唯一性：是否唯一。
    c、解的稳定性：解是否对初值和边界及自由项有连续依赖。
    b、c通过能量来论述。能量包括势能和动能，它是守恒的，从数学的角度看就是dE(t)/dt=0,从未E(t)=E(0)。在论述过程中建立了两个能量不等式，一般的人都可以通过思考而建立。