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返回日志首页» 从Huygens原理到等参超曲面 | (分类:默认分类)
Dedicate to my Honey.一个老问题：不正对着光源时为何也能看到光线？标准答案是源于光线的反射和在空气中的散射作用。其实，按照我大学室友的说法，还要加上电磁波的Huygens（惠更斯）衍射效应。尽管后者在高阶近似意义下可忽略。
惠更斯是荷兰历史上最著名的物理学家，是介于伽利略与牛顿之间的一位重量级物理学先驱。他提出了重要的惠更斯原理，与牛顿叫板创立了波动光学理论。惠更斯是将几何学用于力学研究的先驱之一，他对几何学的另一个间接贡献是，后人对惠更斯原理的研究直接导至了对称空间中等参超曲面的概念。如今等参超曲面(Isoparametric hypersurfaces)是黎曼几何里一个独立的研究方向，至今仍有许多open problems.
其实，对于学数学的人来说，惠更斯原理（Huygens principle）不应是陌生的词汇，它在双曲型偏微分方程的某些估计中提供指导思想，几乎出没于各个版本的本科生偏微分方程教材。
一个出人意料的结论是：偶数维空间里波动方程的解具有后效性，就像水面波，一石激起千层浪，久久不能平息。奇数维空间里的波动方程解无后效性，所以一个距离乐器d距离的听众，在t时刻听到的仅仅是t-d/v时刻所奏的音符，其中v是指音速。这里奇数维很重要，偶数维的话，听众听到的声音可是之前所有时刻声音的叠加…乱糟糟一团…难怪我们要生活在三维空间里了。
惠更斯原理（Huygens principle）
在波的传播过程中，总可以找到同相位的点，这些点的轨迹是一个等相面，叫做波面（也叫做波前）。惠更斯曾提出次波的假设来阐述波的传播现象，建立了惠更斯原理．惠更斯原理可表述如下：任何时刻波面上的每一点都可作为次波的波源，各自发出球面次波；在以后的任何时刻，所有这些次波面的包络面形成整个波在该时刻的新波面。
我们回忆波的传递是波动形式的传播，而不是质点的具体运动，一个例子就是观众席上的人浪，从观众席的一边“喔…喔…”地传到另一边，波动形式是观众们的顺次起伏，传播的是波动形式，不过观众作为振动质点其位置始终没有变。人浪波的波前，就是集体弯腰撅腚的等相面。波前的另一个例子就是海边的波浪，波浪都是平行海岸线涌来的，路过的童鞋可记得是为什么？
借助Huygens原理，人们可以轻易解释光的反射、折射甚至晶体的双折射效应，再加上后来菲涅尔对惠更斯原理的几点补充，惠更斯---菲涅尔原理可以定量的解释波的衍射现象，不过这与下边的等参超曲面问题无关。
等参超曲面（Isoparametric hypersurfaces）
有了三维空间中的波动方程，人们在几何光学里很自然地就会遇到这样的问题：
一列波在均匀介质中传播（从而处处波速相等）时，各个时刻波前（最前边的等相面）的形状是怎样的？
最简单的情况，就是一个点波源诱发的球面波，波前就是同心球面族；然后是一个线波源，诱发的同轴柱面族；或者是一个面波源诱导的平行平面族；没错，其实就这么几种情形，这些结果对于19世纪的物理学家足够了，事实上，Laura，Sommigliana他们就是这么做的。对于紧跟其后的数学家Levi-Civita，Segre,E.Cartan等人来说这个问题还远没有结束，三维欧氏空间的情形解决了，但是高维欧式空间里的波前形状是怎样的呢？曲率不为零的球面空间、双曲空间里又是怎样的呢？这些形状如今称为等参超曲面。
后面的发展证明，这些研究都不是为了数学而数学，很多成果都用到了物理中。数学在物理中总是那么不可理喻额的有效。
考虑高维一般空间里波前的形状，首先就是建立波前所满足的方程：
还是退回到三维最简单情形：波动方程（这个方程相当于波速为单位一）
其中波函数描述各个振动质点的相位；我们要求的波前（等相位面）是波函数取相同值点的集合，描波前的方程里不应含有时间t，波前方程只与空间坐标有关。注意到垂直于某个等相面，波前沿梯度方向的速度在这个等相面上处处相同（均匀介质嘛）
所以
这里的ds是波前沿法方向（其实就是梯度方向）的微小位移。这样，根据波动方程
我们注意到一点，波函数的梯度模长平方和Laplacian，这两个函数限制在等相面上是常数（等参概念源于此，代表等相面上的点都有相同的参数）；这就是波前应满足的方程，所以我们可以如下定义我们的等参超曲面：
把欧式空间换为球面空间或双曲空间，梯度和拉普拉斯算子换为对应空间里的，我们就得到空间形式里等参超曲面的限制方程。
直接代数或分析的解这些方程几乎不可能，人们采取迂回战术，从几何的角度，借助微分几何和代数拓扑的工具找到了很多性质和限制条件。最有意思的一个是，空间形式中，每一族等参超曲面都是互相平行的，即任意两者间的测地线距离相等；每个等参超曲面都是常主曲率超曲面。考虑三维空间中的情形，常主曲率曲面只有平面、柱面或标准球面，这正好是我们前面提到过的所有可能情况。
一个早期的结论是，欧氏空间和双曲空间里的等参超曲面，或者是全脐点超曲面，或者是两个不同类型的全脐点曲面的乘积；而球面中的等参超曲面要复杂的多，是我们的“直觉”所猜不到的。对于球面情形至今没有获得全部的分类。 一个惊人的结论是，这些超曲面全是常主曲率的，不同主曲率的个数只能是1,2,3,4或6.德国人Munzner借助上同调算出来的。别问我，其实我也不懂。
我们师门的一个结果是，球面空间中每一族等参超曲面中（包括退化的焦流形），至少有一个极小子流形，一个Einstein子流形，一个Willmore子流形。借助等参族的性质，我的师兄谢余铨和葛建全解决了一个关于Ginzburgh-Laudau系统（描述第二型超导的方程）的问题，文章很意外地发在分析类的杂志Jounal of Functional Analysis上，看来二位为分析背叛几何了。
最近的一个结论是，我的导师唐梓洲教授和师姐彦文娇证明了等参极小超曲面（甚至焦流形）的第一特征值都等于超曲面的维数。关于极小超曲面的第一特征值问题，是丘成桐先生问题集的第100个problem，Yau猜想球面空间里的极小超曲面第一特征值总等于它的维数。这个问题大家一直难以下手，唐老师和师姐解决了这个问题的等参情形，所以论文很快便被Journal of Differential Geometry录用了。等参族里确有宝藏啊。
对称性，生成元和守恒量
对称性，生成元和守恒量
【同类阅读】对称性闲话一则
大病初愈，头脑发昏，一时冲动，遂作此文。望文生义，科普水平，还望明鉴，顺颂求琪。
很早以前就听说过，空间平移不变性决定了动量，时间平移的不变性决定了能量。咋听上去非常牛逼，实际想起来百思不得其解：动量和空间的不变有什么关系？能量和时间的对称有什么关系？时间和能量，位置和动量的测不准，这又是从何而来的关系？这些性质之间逻辑上的一致性如何解决？本期CCTV (R) 走进科学(TM)，就带你走进这层层迷雾，拨开对称性的神秘面纱。。
1 对称性
芸芸众生可从此处开始读起。什么是对称性呢？对称性其实又是一种随意性，冗余性，不必要性，它表明我们在描述物理运动的时候，引入了不必要的量。例如，我们表述一个质点小球和另一个质点小球的碰撞运动，大可以建立一个坐标系来描述每个小球的位置，再用位置对时间的微分（速度）来描述每个小球下一个无穷小时刻的位置。这里我们把位置和速度看做独立的变量。显而易见，由这两个量我们就能完全确定小球们在整个观测时间内的运动轨迹了。
问题在于，我们所确定的坐标系，本身是虚构的，不存在的。我们最开始确定坐标系的原点（甚至轴方向），和观测时间的起点，是完全随意的。换言之，如果我们把两个小球从坐标系的一侧，平移到另一侧，我们把观测的时间起点从所谓东部时间上午8点改成西部时间下午3点，两个小球的碰撞结果都不会变。
坐标系原点的任意性（平移不变），时间起点的任意性（时不变）和坐标系轴朝向的任意性（旋转不变），就叫做这个力学系统的对称性。除了这些初步的对称性以外，坐标系右手定则的任意性（空间反演），时间箭头的任意性（时间反演，你可以让小球碰撞物理过程像看录像一样倒放，你也无法分辨哪一个是真实的时间箭头）也属于物理系统通常具有的根本的对称性。
2 对称性的破坏
当然不是我们所研究的所有系统同时具有上述对称性（不然这个世界就大大的简化了）。比如小球运动在一个蜿蜒崎岖的山地上，那么系统就不具备连续的平移不变性。如果早上10点的时候弹了小球一下，那么这个系统就丧失了时间不变性（碰撞事件发生在10点之后和10点之前，结果完全不一样）。如果我给小球加上电荷，再在给定方向上加一个电场，空间反演对称性。如果我再在给定方向加上一个磁场，现在时间反演对称性也没有了。
既然本文的主题是讨论对称性和守恒量，我们就假定系统具备平移，时间和旋转对称性。一般而言，在一个均匀空间，无外力的系统中，这个条件是满足的。
3 生成元
既然系统对某些变量具有对称性（或者冗余性），如果我们把这些变量进行增减的变化，按照上述事实，描述系统的运动方程应该不变，也就是我们观测的物理过程和结果都不会变。实际上，因为大变化都是小变化积分而来，根据微分精神，我们只需要研究关于这些变量无穷小的变化，就能知道系统在这些变化下会不会不变了。
我们就以“生成元”来表示这些无穷小变化。
简单起见，我们先来研究一维空间的平移变化。
抽象的说，把空间平移变化记做一类算子，他的作用如下：
（1）
显然，就是把一个函数在坐标轴方向上整体平移移动了a。其中，U(a) 就是平移算符，a是无穷小变化的参数，是一个无穷小量。无穷小量的含义是，在所有接下来的分析中，我们只考虑他的一次项，高次项全部舍去，因为：
（2）
由（1）式，我们就能得到U(a) 在单位操作（也就是U(0)=I，零操作）附近的表达式，因为：
（3）
根据定义，在这个情况下，生成元就是：
， 是一个微分算符。
一旦我们确定了生成元，我们就能写出任何参数下平移变换的表达式。不难看出，因为一个有限长的平移其实就是无穷个无穷小平移的叠加，根据算符的乘法操作：
（4）
微积分告诉我们：
（5）
不要害怕，算符的微分只需要把指数进行泰勒展开就可以了。很显然，这个有限长平移生成元算符，就是一个泰勒展开的微分算子，因为：
（6）
4 守恒量和Noether定理
知名美女数学家兼物理学家Noether在1910年代证明过一个突破性的定理，也就是所谓Noether定理。简而言之，也就是说，如果系统存在一个对称性，那么他就一定存在一个守恒量。所为守恒量，就是说在整个系统的演化过程中，这个量的值不变。而且，这个守恒量和生成元具有相同的代数性质（也就是相差一个常系数，显然，如果一个量守恒，那么这个量乘以一个常数，加上一个常数，也守恒。守恒量的表达式并非是唯一的。一个最著名的例子是，我们经常把任意的一个状态的能量，比如地球表面的重力势能，或者无穷远处的静电势能，或者基态的能量等，取做零，叫做选择参考面，这无非就是把能量减去一个常数）。
Noether说，对于每一个对称操作，系统具备的守恒量（在假定对称操作不影响L表达式的前提下）为：
，其中L是拉格朗日量，
，也即对称操作后的微小变化，, U 就是上述的变换操作。
鉴于这是一个科普文，Noether定理的详细描述这里就不在赘述，有兴趣的同学可以去看任何一本理论力学，量子物理或者量子场论的教材，描述程度各有不同。
就让假设我们相信Noether定理，通过分析拉格朗日量和所谓哈密顿变分原理（另外一篇科普日志讲述了这个原理）：
（7）
系统的运动轨迹由变分最小值确定：
（8）
就是牛顿第二定律。
那么从空间平移对称性，注意对位置x而言，平移生成元作用在x上后，dx/dx=1. 我们能得到的守恒量（把他叫做p）是：
（9）
显然这就是动量。如果从时间对称性，我们就能得到：
（10）
也就是说，如果系统存在时间对称性，L 对时间的偏微分为0，那么，我们就有一个守恒量：
L-pv 或者 pv-L。 我们把后者叫做H。
而显而易见：
（11）
这个不变量就是能量。
而系统如果存在旋转对称性，Noether定理告诉我们这个守恒量是：
（12）
而J就是旋转变换的生成元，这可以由无穷小旋转的旋转矩阵得出，实际上J=J1(x)+J2(y)+J3(z)，其中每个J都是一个矩阵。而旋转操作的结果就是：
, theta 是指向转轴方向，其大小就是旋转量的大小。由右手定则容易判断这个定义的正确性。
5 生成元和守恒量
扯了这么多守恒量，他们和生成元究竟有什么关系呢？下面我们就来完成本次走进科学的目的，一探究竟。
任何一个描述力学状态的量，在整个运动过程中，都可以被位置，动量和时间完全确定，这是经典力学的基本结论，也是第一小节分析的结果（因为速度和动量只相差一个常数：质量），因此我们可以将其写作：
（13）
那么，我们来研究f 随位置变化的情况。
第三节说过，f 随位置的变化完全由生成元确定，而与此同时：
注意到dp/dx=0，他们是独立变量。
其中{} 是泊松括号，在经典力学中，其物理意义是生成元和函数的泊松括号就是函数在这个生成元下的无穷小变化量。
由此可见，平移生成元对应着动量 p， 而时间生成元对应着能量H。然而，经典力学中，生成元和守恒量的关系的确立是具有随意性的，因为经典力学中，并不存在态，算符，以及可观测量的性质。在量子力学中，生成元和对易括号[]，以及守恒量的关系就十分明确了。
特别需要注意的是，根据不同理论中空间和时间的关系，就空间是一种标记还是算符，，我们对守恒量的数学定义（是偏微分还是全微分）是不同的。比如场论和量子力学就不一样。
7 量子力学，测不准关系
虽然经典力学中，生成元与守恒量关系的确立并非完全必要（因为我们完全可以在相空间内用单值函数的微分描述运动状态，x和p是独立的），但他们对于量子力学理论的建立具有相当的提示作用。在量子力学中，根据对应性（其实这也算经典力学对量子力学的提示之一），我们把泊松括号改成对易括号[]，那我们就有：
其中A是任意算符，p是动量算符，H是能量算符（哈密顿量）， J是角动量算符。加入i是为了保证各个算符都的本征值都是实数，这样左右两边取厄米共轭的时候能正确引入一个负号；加入普朗克常数是为了让左右单位一致，因为算符本身还有自己的单位（能量，动量和角动量等）。
那么，根据量子力学中态在算子下作用的关系：
而同样的变换下，由可观测量为：
状态的平移等价于算符的共轭：
由此我们就能确定各个算符为：
等。这里，我们就明确的看到，守恒量和生成元之间一一对应的关系。
这两者就是量子力学的算符基础，由此，我们可直接得到：
这就是薛定谔方程。
对于角动量生成元的形式，我们需要更为详尽的分析，但大体精神是完全一样的。这部分分析内容在数学中又叫做李代数。
由算子，我们很容易得到测不准定理：
倒数第二个等式由微分的链式法则得到。
这就是量子力学的量子化基础。
相同的，如果我们把时间也作为算子，不难得到：
上述两式就是所谓位置-动量 和时间-能量 测不准定理。
【同类阅读】对称性闲话一则
大病初愈，头脑发昏，一时冲动，遂作此文。望文生义，科普水平，还望明鉴，顺颂求琪。
很早以前就听说过，空间平移不变性决定了动量，时间平移的不变性决定了能量。咋听上去非常牛逼，实际想起来百思不得其解：动量和空间的不变有什么关系？能量和时间的对称有什么关系？时间和能量，位置和动量的测不准，这又是从何而来的关系？这些性质之间逻辑上的一致性如何解决？本期CCTV (R) 走进科学(TM)，就带你走进这层层迷雾，拨开对称性的神秘面纱。。
1 对称性
芸芸众生可从此处开始读起。什么是对称性呢？对称性其实又是一种随意性，冗余性，不必要性，它表明我们在描述物理运动的时候，引入了不必要的量。例如，我们表述一个质点小球和另一个质点小球的碰撞运动，大可以建立一个坐标系来描述每个小球的位置，再用位置对时间的微分（速度）来描述每个小球下一个无穷小时刻的位置。这里我们把位置和速度看做独立的变量。显而易见，由这两个量我们就能完全确定小球们在整个观测时间内的运动轨迹了。
问题在于，我们所确定的坐标系，本身是虚构的，不存在的。我们最开始确定坐标系的原点（甚至轴方向），和观测时间的起点，是完全随意的。换言之，如果我们把两个小球从坐标系的一侧，平移到另一侧，我们把观测的时间起点从所谓东部时间上午8点改成西部时间下午3点，两个小球的碰撞结果都不会变。
坐标系原点的任意性（平移不变），时间起点的任意性（时不变）和坐标系轴朝向的任意性（旋转不变），就叫做这个力学系统的对称性。除了这些初步的对称性以外，坐标系右手定则的任意性（空间反演），时间箭头的任意性（时间反演，你可以让小球碰撞物理过程像看录像一样倒放，你也无法分辨哪一个是真实的时间箭头）也属于物理系统通常具有的根本的对称性。
2 对称性的破坏
当然不是我们所研究的所有系统同时具有上述对称性（不然这个世界就大大的简化了）。比如小球运动在一个蜿蜒崎岖的山地上，那么系统就不具备连续的平移不变性。如果早上10点的时候弹了小球一下，那么这个系统就丧失了时间不变性（碰撞事件发生在10点之后和10点之前，结果完全不一样）。如果我给小球加上电荷，再在给定方向上加一个电场，空间反演对称性。如果我再在给定方向加上一个磁场，现在时间反演对称性也没有了。
既然本文的主题是讨论对称性和守恒量，我们就假定系统具备平移，时间和旋转对称性。一般而言，在一个均匀空间，无外力的系统中，这个条件是满足的。
3 生成元
既然系统对某些变量具有对称性（或者冗余性），如果我们把这些变量进行增减的变化，按照上述事实，描述系统的运动方程应该不变，也就是我们观测的物理过程和结果都不会变。实际上，因为大变化都是小变化积分而来，根据微分精神，我们只需要研究关于这些变量无穷小的变化，就能知道系统在这些变化下会不会不变了。
我们就以“生成元”来表示这些无穷小变化。
简单起见，我们先来研究一维空间的平移变化。
抽象的说，把空间平移变化记做一类算子，他的作用如下：
（1）显然，就是把一个函数在坐标轴方向上整体平移移动了a。其中，U(a) 就是平移算符，a是无穷小变化的参数，是一个无穷小量。无穷小量的含义是，在所有接下来的分析中，我们只考虑他的一次项，高次项全部舍去，因为：
（2）由（1）式，我们就能得到U(a) 在单位操作（也就是U(0)=I，零操作）附近的表达式，因为：
（3）根据定义，在这个情况下，生成元就是：
， 是一个微分算符。一旦我们确定了生成元，我们就能写出任何参数下平移变换的表达式。不难看出，因为一个有限长的平移其实就是无穷个无穷小平移的叠加，根据算符的乘法操作：
（4）微积分告诉我们：
（5）不要害怕，算符的微分只需要把指数进行泰勒展开就可以了。很显然，这个有限长平移生成元算符，就是一个泰勒展开的微分算子，因为：
（6）4 守恒量和Noether定理
知名美女数学家兼物理学家Noether在1910年代证明过一个突破性的定理，也就是所谓Noether定理。简而言之，也就是说，如果系统存在一个对称性，那么他就一定存在一个守恒量。所为守恒量，就是说在整个系统的演化过程中，这个量的值不变。而且，这个守恒量和生成元具有相同的代数性质（也就是相差一个常系数，显然，如果一个量守恒，那么这个量乘以一个常数，加上一个常数，也守恒。守恒量的表达式并非是唯一的。一个最著名的例子是，我们经常把任意的一个状态的能量，比如地球表面的重力势能，或者无穷远处的静电势能，或者基态的能量等，取做零，叫做选择参考面，这无非就是把能量减去一个常数）。
Noether说，对于每一个对称操作，系统具备的守恒量（在假定对称操作不影响L表达式的前提下）为：
，其中L是拉格朗日量，，也即对称操作后的微小变化，, U 就是上述的变换操作。鉴于这是一个科普文，Noether定理的详细描述这里就不在赘述，有兴趣的同学可以去看任何一本理论力学，量子物理或者量子场论的教材，描述程度各有不同。
就让假设我们相信Noether定理，通过分析拉格朗日量和所谓哈密顿变分原理（另外一篇科普日志讲述了这个原理）：
（7）系统的运动轨迹由变分最小值确定：
（8）就是牛顿第二定律。
那么从空间平移对称性，注意对位置x而言，平移生成元作用在x上后，dx/dx=1. 我们能得到的守恒量（把他叫做p）是：
（9）显然这就是动量。如果从时间对称性，我们就能得到：
（10）
也就是说，如果系统存在时间对称性，L 对时间的偏微分为0，那么，我们就有一个守恒量：
L-pv 或者 pv-L。 我们把后者叫做H。
而显而易见：
（11）这个不变量就是能量。
而系统如果存在旋转对称性，Noether定理告诉我们这个守恒量是：
（12）而J就是旋转变换的生成元，这可以由无穷小旋转的旋转矩阵得出，实际上J=J1(x)+J2(y)+J3(z)，其中每个J都是一个矩阵。而旋转操作的结果就是：
, theta 是指向转轴方向，其大小就是旋转量的大小。由右手定则容易判断这个定义的正确性。5 生成元和守恒量
扯了这么多守恒量，他们和生成元究竟有什么关系呢？下面我们就来完成本次走进科学的目的，一探究竟。
任何一个描述力学状态的量，在整个运动过程中，都可以被位置，动量和时间完全确定，这是经典力学的基本结论，也是第一小节分析的结果（因为速度和动量只相差一个常数：质量），因此我们可以将其写作：
（13）那么，我们来研究f 随位置变化的情况。
第三节说过，f 随位置的变化完全由生成元确定，而与此同时：
注意到dp/dx=0，他们是独立变量。
其中{} 是泊松括号，在经典力学中，其物理意义是生成元和函数的泊松括号就是函数在这个生成元下的无穷小变化量。
由此可见，平移生成元对应着动量 p， 而时间生成元对应着能量H。然而，经典力学中，生成元和守恒量的关系的确立是具有随意性的，因为经典力学中，并不存在态，算符，以及可观测量的性质。在量子力学中，生成元和对易括号[]，以及守恒量的关系就十分明确了。
特别需要注意的是，根据不同理论中空间和时间的关系，就空间是一种标记还是算符，，我们对守恒量的数学定义（是偏微分还是全微分）是不同的。比如场论和量子力学就不一样。
7 量子力学，测不准关系
虽然经典力学中，生成元与守恒量关系的确立并非完全必要（因为我们完全可以在相空间内用单值函数的微分描述运动状态，x和p是独立的），但他们对于量子力学理论的建立具有相当的提示作用。在量子力学中，根据对应性（其实这也算经典力学对量子力学的提示之一），我们把泊松括号改成对易括号[]，那我们就有：
其中A是任意算符，p是动量算符，H是能量算符（哈密顿量）， J是角动量算符。加入i是为了保证各个算符都的本征值都是实数，这样左右两边取厄米共轭的时候能正确引入一个负号；加入普朗克常数是为了让左右单位一致，因为算符本身还有自己的单位（能量，动量和角动量等）。
那么，根据量子力学中态在算子下作用的关系：
而同样的变换下，由可观测量为：
状态的平移等价于算符的共轭：由此我们就能确定各个算符为：
等。这里，我们就明确的看到，守恒量和生成元之间一一对应的关系。这两者就是量子力学的算符基础，由此，我们可直接得到：
这就是薛定谔方程。
对于角动量生成元的形式，我们需要更为详尽的分析，但大体精神是完全一样的。这部分分析内容在数学中又叫做李代数。
由算子，我们很容易得到测不准定理：
倒数第二个等式由微分的链式法则得到。
这就是量子力学的量子化基础。
相同的，如果我们把时间也作为算子，不难得到：
上述两式就是所谓位置-动量 和时间-能量 测不准定理。
Tuesday, December 25, 2012
双曲面镜放到抛物面镜的位置，照样成像。不过像差大一点而已
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双曲抛物面成像条件 的結果 (無引號)：
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某双曲抛物面钢网壳屋盖可靠性分析 - 吾喜杂志- 中国知网
wuxizazhi.cnki.net/.../DNDX901.019.... - 中華人民共和國 - 轉為繁體網頁由于边界的不规则性，使双曲抛物面钢网壳的内力分布规律随边界条件改变而带来的变化更加复杂．本文研究边界条件对内力的影响程度和候诊大厅工程设计的安全 ...- [PDF]
＇ 4．3．4线性化展开 - Read
read.pudn.com/downloads122/.../y6891450044.pdf - 轉為繁體網頁檔案類型: PDF/Adobe Acrobat
Ｄ四个顶点的灰度值已知，则使用双线性插. 值得到其值。 ... 定义了一个双曲抛物面与四个己知点拟合。 ... 需要执行条件转移指令，如果执行时预测错误。流水线会被打 ... -
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色影无忌
标题: RC反射系统是不是最好的光学系统? [打印本页][1 楼] 作者: astroluxe 时间: 2005-3-22 15:29
老龚选择了RC镜作为主战武器,为什么呢?是不是因为RC是最好的光学系统?
[2 楼] 作者: funder 时间: 2005-3-22 16:12
选什么不是因为某东西最好，而是它最适合
[3 楼] 作者: astroluxe 时间: 2005-3-22 16:15
UP!
[4 楼] 作者: 黄木人 时间: 2005-3-23 11:51
“选什么不是因为某东西最好，而是它最适合”
至理名言！
[5 楼] 作者: lao_gong 时间: 2005-3-23 15:56
的确要看适用情况， 没有什么是绝对的“最好”。 如果以中长焦摄影为主要目标且预算足够， 那RC的确是很好的选择， 没有彗差，像场也相对较为平整。 但它也有缺点：仍有一定场曲和离轴像散， 反差略低，制造成本高。 这是我的粗略理解， 有错漏还要请各位DX指正补充。
[6 楼] 作者: astroluxe 时间: 2005-3-23 20:23
没有彗差?不会吧?RC的制造成本高在哪里呢?
[7 楼] 作者: astroluxe 时间: 2005-3-23 21:58
RC镜的主镜和副镜都是双曲面镜,
我记得双曲线是没有实焦点的,既然如此,双曲面镜是怎么成像的呢?
这个问题在GOOGLE上查了,没找到双曲面的成像原理!在牧夫上问了,也没人理睬,希望在这里找到答案!
[8 楼] 作者: astroluxe 时间: 2005-3-24 10:38
没有人精通双曲面的成像原理吗?
[9 楼] 作者: lao_gong 时间: 2005-3-24 13:05
我也不是很懂双曲面， 不过觉得你的描述好像有点问题， 双曲面反射镜应该是有2个焦点？ 一个实一个虚， 它是可以成像的， 否则经典卡赛格林也没法用了， 因为它的副镜也是双曲面。 进一步理解， 对于经典卡赛格林或RC，只要主镜的实焦点和副镜的虚焦点重合， 那就可以成像， 不知道对否。
我只能了解到这里了， 这里很多DX啊，哪位出来指点一下？ 正好让大家学学东西。
[10 楼] 作者: 老顽童 时间: 2005-3-24 13:58
不管是抛物面、椭圆面、双曲面，还是球面，在曲率半径比较大的时候都可以近似看作球面镜。凹球面镜成像类似凸透镜，凸球面镜成像类似凹透镜。它们都可以成实像或者虚像。不存在什么镜成实像、什么镜成虚像的道理。
使用抛物面、椭圆面、双曲面镜的理由，是因为它们在一定条件下没有球面像差！抛物面可以精确汇聚平行光，椭圆面可以精确汇聚一个焦点的发出的光线到另一个焦点。双曲面与椭圆面类似，不过另一个焦点在镜片的另一边。
光线实际汇聚到一点，是实像。反向延长线汇聚到一点，是虚像。光路中，实像与虚像对于下一级的成像或计算是相同的。
[11 楼] 作者: astroluxe 时间: 2005-3-26 20:43
老龚你自己就是DX了!
我也不清楚我的描述是不是贴切,只是记得在高中解析几何里学过:双曲面没有实焦点,既然没有实焦点如何成像?
[12 楼] 作者: astroluxe 时间: 2005-3-26 20:53
老顽童编辑,恕俺资质鲁钝,您说了这么多,俺还是不明白双曲面如何成像!惭愧!
[13 楼] 作者: 老顽童 时间: 2005-3-26 21:25
astroluxe：其实我都说了：
1。不管是抛物面、椭圆面、双曲面，还是球面，在曲率半径比较大的时候都可以近似看作球面镜。
也就是说，凸球镜、凹球镜怎么成像，双曲镜就怎么成像。
2。双曲面镜......在一定条件下没有球面像差！
也就是说，（对所有的圆锥曲面）像和物如果分别在一个焦点上，就没有球面像差。
3。不过另一个焦点在镜片的另一边。
所以，双曲面镜如果成像没有球面像差的话，物与像至少有一个是“虚”的（虚物或者虚像）。
[老顽童 编辑于 2005-03-26 21:28]
[14 楼] 作者: astroluxe 时间: 2005-3-27 10:19
谢谢老顽童编辑!
我的数学非常差劲,尤其是解析几何!让我多想想,慢慢理解!
[15 楼] 作者: 老顽童 时间: 2005-3-27 10:53
还是给你画一张图吧！
图中带箭头的直线代表光线。
平行于光轴的平行光线经抛物面镜反射，无球面像差的聚焦到抛物面的焦点。
在抛物面到焦点之间放一块双曲面镜，并使得双曲面的一个焦点与抛物面焦点重合。双曲面挡住了射向抛物面焦点的光线，所以双曲面的“物”是“虚物”！
双曲面反射的光线汇聚到另一个焦点上。由于是一个焦点的“虚物”成像到另一个焦点上形成实像，满足了无球面像差的条件，所以组合的光学系统对于平行于光轴的平行线没有球面像差。
[16 楼] 作者: astroluxe 时间: 2005-3-27 11:36
老顽童编辑,不知道现在您是否有一种好老师遇见了笨学生的无奈感觉?真是不好意思!
您下面画的这张图的主镜是抛物面,抛物面的成像原理我还能理解,但是RC系统的主镜是双曲面呀!我现在想知道的是:在没有加进凸双曲面副镜之前,RC的凹双曲面主镜如何成像呢?>
[17 楼] 作者: 老顽童 时间: 2005-3-27 12:09
看来我的话缺乏说服力，抄一段经典的书吧！
《光学技术手册》：
4.1.1 卡塞格林系统
这种系统由两个反射镜组成，如图6.4-18所示（图就略了，和我的差不多）。主镜是抛物面，副镜是双曲面，且成倒立像，其筒长较短。
4.1.2 格列果里系统
这种系统也由两个反射面组成，如图6.4-19所示。主镜仍为抛物面，副镜为椭球面，成正立像，但筒长较长。
另一本书《反射望远镜》里关于R-C系统的介绍：
......卡塞格林系统像差较小，但制作困难。如果主镜和副镜接近双曲面镜，它可以使平行于光轴的光线经过镜面反射后消除一些像差，即近似地消除三级球差和慧差。因为是由克列基昂提出的、里奇制成的，按他们两人姓氏的第一个字母命名为R-C望远镜。另外还有如果主镜形状是球面的，为了消球差，副镜近似为扁球面。或者副镜是球面的，为了消球差，主镜近似椭球面。这些望远镜系统的优点是容易制造，调整简单，但像差较大。
[18 楼] 作者: 老顽童 时间: 2005-3-27 12:14
astroluxe
泡菜
您下面画的这张图的主镜是抛物面,抛物面的成像原理我还能理解,但是RC系统的主镜是双曲面呀!我现在想知道的是:在没有加进凸双曲面副镜之前,RC的凹双曲面主镜如何成像呢?>
[老顽童 编辑于 2005-03-27 12:16]
[19 楼] 作者: astroluxe 时间: 2005-3-27 12:40
基本上明白了!
[20 楼] 作者: astroluxe 时间: 2005-3-27 12:50
老顽童编辑,您下面引述的关于RC系统的介绍,说制作困难,是不是从制作的角度来讲,加工双曲面这种面形比抛物面等其他面形难的多?
[21 楼] 作者: 老顽童 时间: 2005-3-27 13:36
看样子是的。
工程中，误差小到一定程度，和没有误差的效果是一样的。到了这个时候，可以用有误差的代替理论上无误差的。
[22 楼] 作者: astroluxe 时间: 2005-3-28 20:15
看来我猜对了,果然是双曲面镜最难制造!
不过看样子好象高精度的平面镜比双曲面镜还要难造,这又是怎么回事?
[23 楼] 作者: 老顽童 时间: 2005-3-28 20:50
如果精度相同的话，平面镜制作应当容易得多！因为平面镜可以看作是半径无限大的球面镜，可以直接研磨出来！一般可以用三块坯料交替研磨，所以要比球面镜两块坯料容易！
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图3－5是与图3－4一样的赝平面，不过这里的表示物理时间坐标，为物理空间坐标。虚线分角线为绝对方向，将赝平面分割成两部份。含虚轴e 0 的部份矢径皆为虚长，如矢径0 . 设A点坐标为（），则可知A点对于Ｏ点的时差为，空间差为，而且0的方向角须从e0轴开始，因为若从e 1开始则会跨越绝对方向而失去意义。据（3－19）式可知有0 =OA沿自身以相对速度Ｖ移动，这是虚长向量的特征，这一特征由于物理时间的的不驻性造成。而物理时间流动的不可逆性则使得所有虚长向量沿x01 = OB就没有这种特征。设Ｂ的坐标为（），则可知Ｂ点对于Ｏ点的时间差为，空间差为。同样据（3－19）式可知有其中Ｕ称为时差率，或者从θ0角度看，可称为超速度。时差率在量纲上具有速度倒数的因次，其物理意义为随距离增加的时间差。如果θ0=θ1，则OA和OB应正交，二者合起来构成Ｏ点上的一个惯性参照系，对系的相对速度为Ｖ。可称为该点的速度矢量。图表３－５中，实际上可以用作曲线在A点的局部标架。不同点上的局部标架构成以不同速度相对运动的惯性参照系。由于各点速度不同，。而普通几何平面上的曲线不会有这种性质。其中
从量纲上看，具有加速度因次（米／秒2），对于虚长曲线，是加速度，而则具有所谓加时差率或加超速度因次（秒／米2）。以上的分析亦适用于是１＋３＝４维赝时空（闵可夫斯基时空）。总括地看，赝时空的几何因素都已具有物理意义，而且这些物理量并不依赖于物质存在，反过来，倒是可以认为，比方实长曲面上的曲率，可以产生力学效果，如下式所示：其中Ｕ为某种势，注意这里并不须从时空之外引进物质及其相互作用。赝时空的曲面产生非欧几里德度量，导致非惯性运动，进而可以自然地表现为种种力学现象。从卍时空的虚、实两部份的对称可以想到虚数与实数之间亦应有某种意义上的对称性。但如何从群论的角度处理这个问题呢？可以考虑如下方式：设集为Ｇ，任意元素a∈G，b∈G，c∈G。引进加法和乘法合成。则称Ｇ为一自乘加法群或平方和群。最后一式即是虚数与实数的对称性条件。这个二次型对称条件说明全部实数和虚数的平方总和为零，实际上恰是代数领域对佛法的中观见“真空妙有”的准确数学描述，这将是一个独立课题。而群Ｇ的集Ｇ包含实数和虚数，奇怪的是，传统代数的数系之中却没有此数集的名称。其元素显然不是复数，从如上对称条件可知，a + b为一复数，但是a + b不是Ｇ的元素，因为a和b之间的运算“＋”永远不能实施。
第三章参考文献：
P. K. 洛薛夫斯基 1955 本世纪初叶出现的相对论和量子力学是实证科学发展史上的重要里程碑。就物理学而言，前一个里程碑应该是日心学说，相对性原理，牛顿力学以及万有引力定律。这些理论为整个实证科学奠定了坚实的基础。熟悉物理学发展史的人都知道，创立新理论的先贤都是在克服了传统认识论的束缚之后才得以进入新的境界。实际上，对任何新理论的形成过程而言，认识论上的障碍远远超过技术性的障碍。这里所谓技术是指建立新理论所须的认识论以外的条件，如数学方法，实验技术等等。许多人可能具备这些条件，但只有少数人能够领先突破传统观念的束缚，而领先的差距之大，往往使同行惊讶莫名，或难以接受。爱因斯坦就是一个绝好的例子。他的相对论时空观念即使对于接受相对论的人而言仍然不乏奇特之处。实际上，爱因斯坦在认识论上的最大贡献既不在光量子论，亦不在相对论，而是在于他的引力理论。光量子论和相对论的时空观念在他同时代学者之中或有近似者，或有先驱者，这说明同时代中其他人也可能达到他的认识高度。但爱因斯坦的引力理论则纯粹是他个人的贡献。若没有爱因斯坦，恐怕至今不会有人提出如下形式的引力方程：这个方程左端是几何量 —— 赝时空的曲率张量（通常这个位置应该是引力场的场强），而右端是物理量质量张量。此方程实际上是说物质及物理过程决定时空度量，而反过来时空度量又会影响物质的运动。这实在是一个胆大包天的主意，因为这实际上是说明了物质和时空的虚无之间能相互影响。从技术上看，黎曼、李奇是这一方程的先驱，但在认识论上，爱因斯坦跨出的这一大步则是无人可比的。更有甚者，爱因斯坦晚期的一些论文说明，他寻求某种不包括质量张量的“普遍场”（Gesamtfeld）的方程，并常把质量张量看成是理论的“不恰当因素”，而宁可把质量看成是引力场（几何量!）的奇点。这实质上是意图用几何量定义物理量，也就是要说明物质是如何从时空的虚无之中产生出来。与场方程（4－1）比较之下，可以看出爱因斯坦在认识论上又跨出了一步，这一步彻底跨出了物质。不知道爱因斯坦本人在发展其理论的过程之中是否有跨出物质的这样一种明确意念，实际上他的念头是一直朝着这个方向移动。他的理论如果实现，那无疑就证明了有生于无（老子，道德经）。(4 虽然迄今为止物理学界并不十分重视这样一种认识论的创见，卍时空理论则正是要继承这观念并使之能在理论上实现。众所周知，理论物理涉及的三个基本概念就是时间、空间和物质。而从本文第三章提出的太极结构理论上看，卍时空的虚、实对立统一结构已是完美无缺的体系，物质作为另一个独立因素（第三者）在这体系之中没有容身之地， 除非物质可以从时空的虚无之中派生出来（子女）。实际上，从时空之外引进物质的观念是没有出路的，因此卍时空必须能够无中生有。另一个值得重视的观念就是量子力学的波动理论，其认识论意义特别表现在如下的Schrodinger波动方程之中：波函数的解可以合理地得到定态能值，说明波动作为连续性运动也可以产生分立能级 ——即量子现象。(顺便提一下，波函数理论与同时代的矩阵力学在数学上虽然是等价的，但在认识论上波函数的价值就要高得多。) 更为近代的孤立子理论则在此方向上更进一步，认为某些非线性波动方程可以具有粒子形态的解，其能量有限，体积有限。量子与粒子的波动本质乃是一种有趣的新观念，但物理学界对此观念的兴趣集中在数学技巧上，而不大在意是什么在波动。若将此观念应用于卍时空，并与上述爱因斯坦的时空观结合，便可产生一个十分自然的设想，即，构成物质的根本粒子正是卍时空的波动产物，而物质的能量和质量则正是卍时空波动曲率的体现。(4-2) 这样一种设计实在是经济简洁之至：只要有时间，有空间，加一个扰动就能产生万物。根据上述的原则构想，现在已经可以着手实际地设计卍时空的波动方程。不过在此之前，首先须确定波动面上的几何形式。物理世界的实际情况表现为三维实长空间之中存在着一些对立的、变化的物体。因而要考虑的波的载体应该是三维实长空间，因为只有实长空间里才会有对立 —— 即互外现象。现在为卍时空引进笛卡儿坐标以及标架其中这里以希腊字母表示虚长时间坐标，而以英文字母表示实长空间的坐标，（图4－1）时空的标架向量满足如下条件：相应地，矢径可写成如下形式：
每个乘积之中的双秩标为求和秩标。实长空间可以看作是３＋３＝６维赝空间包容的一个三维实长平面。若是此平面波动起来，就会变为曲面，象波动的水面一样。不同的是这个曲面上的每一个点可以有三个自由度的波动，解析地表示就是。一个虚点在虚三维时间中的运动轨迹为一曲线。若以弧长为参数，则此曲线可以表示如下：(4-8) 而相应的矢径方程为(4-9)
若是波函数，就是向量波函数。值得注意的是参数在波函数之中的地位相当于通常波函数（如Schrodinger）之中的时间t. 由于被定义为虚三维时间曲线（4－7）的弧长，故可据此式求得曲线的虚单位切矢量为
有资格与一起构成一个１＋３＝４维闵可夫斯基时空的标准正交标架，相应地定义为物理时间。对于(4—10)的波函数，（4－11）式可写成(4-12) (4-14) 另一方面方程组（4－9）可以看作是卍时空包容的三维曲面，在附加条件中的限制下，这就是实三维曲面Ｒ３是曲面上任一点处的切矢量。如果右端第二项不为零，则可知此切矢量与之间有一个赝角。为了研究此点上的局部标架，必须考虑赝转动变换，即如（3－20）和（3－21）那样的变换，据第三章参考文献证明此变换可变形为：(4-16)
这种线性变换保证各点上的局部标架之间只相差一个赝转动和一个原点的移动，其物理意义则是每个局部标架相关的参照系都是惯性系而且具有共同的绝对方向。
这里用i = i 表示不对之求和。可以直接验证。此式之中相当于变换式（3-20-21）中的系数根据上述局部标架表达式，可以写出三维实长曲面（4－15）上每一点的度量张量：以后称为空间度量,称为时间度量。从以上的推导过程来看，这些度量张量是以曲面论方式为卍时空包容的三维实长曲面引进的黎曼度量。从曲面论角度看，又可称为切度量，而为法度量。这种曲面上的度量在结构上有一定的特征，即其矩阵的主对角线元素取单位值当只有三个独立分量可取非零值，亦如是，这说明实标架的三个向量不必正交，虚标架的三个向量亦不必正交。一起构成所谓１＋３＝４维爱因斯坦赝时空度量，其结构特征可用矩阵表示如下：这里及以后均用表示爱因斯坦时空的度量，其中。必须注意的是，只有卍时空包容下的三维实长曲面才产生结构如（4－22）的四维爱因斯坦时空的度量。所以可以说是属于的。物理时间从来在物理学中就是虚设的一维，而在这里每一空间点上的终究由空间度量决定，故三维实长曲面上的几何因素之中可以包括。于是三维实长曲面几何，连同物理时间一起考虑，就是度量所确定的几何。现在看来黎曼联络的结构。其表达式为：(4-24) 可以看出，卍时空的三维实长曲面上的几何具有一定的特征。三维实长曲面的方程（4－15）之中，函数一开始就考虑作为波函数被引进，那么现在就该设计它的波动方程。，于是这个波就必须在自己造成的黎曼空间之中传播，这正是空间波的特征所在。由于波动离不开时间，故必须考虑１＋３＝４维的赝黎曼空间 —— 即爱因斯坦时空的波动方程，其一般形式为：(4-28) 为协变张量的行列式，而微商则表示关于的代数余子式。这里的由（4－22）及（4－20）决定，而是必要条件。(4-30) 而则可由（4－24）―（4－27）诸式求得。至此，卍时空之中的三维实长曲面的波动方程已经确定。由于不仅是切度量，连法度量亦随其所在点的波动而变，故（4－29）可以被称作是时空波动方程。(4-31) 如果把系数和都展开成波函数的微商形式，则整个方程会变得非常复杂，然而却可以明白显示出除波函数及其微商的组合之外，并不须引进其它独立函数作为度量张量。由于和包含波函数的一阶和二阶微商的非线性组合，可能使得方程的严格解不易求得，然而非线性又是特殊解的存在条件，要知道，线性波动方程不会存在粒子形态的解。而波动方程（4－29）的非线性来自两方面，一是每个分量波受自身造成的黎曼度量影响，二是三个分量波互相影响。二者都可以从度量张量的结构特征看出来。同理，关于时间度量有同样的特征。由于可取非零值，又由于其值由波函数决定，故可知沿方向的坐标曲线会与一样波动，而在物理上这就说明波的传播轨道会随一起波动，根据量子力学的经验，波动轨道在闭合情况下会产生整波数条件及分立能级解。波动方程（4－29）有没有沿闭合轨道传播的行波解，要在求出解之后才能知道。但根据的前述特征，至少存在形成闭合轨道的条件。假定一个轨道沿着方向（见４－17式），而向量的变化可以表示如下：.这说明轨道的切向量与其变化率向量恒正交。这一条件非常适合于产生闭合轨道。(4-34) 现在来看一看，是否存在沿闭合轨道传播的行波解。亦可写成
此式是波动空间关于度量（4－22）的二次形式，说明弧长的微分与矢径微分的二次关系。由于是波前上一点的运行轨道之弧长，而则是该点的矢经，故可据此分析波前形态。根据分析，此式说明理论上存在三种可能的波前形态。，(4-40) 即，这正是局部欧几里德空间的二次形式。此式容许弯曲轨道，但是由于故退化为单位矩阵（见4－22式），从而使波动方程（4－29）退化为线性方程，于是轨道必须是直线，即(4-41)
这是一个以原点为中心，s为半径的球面，对应一个普通线性波动程的行波解，在这里的情况下可称之为线性解。第二种情形是，当，于是空间变成黎曼空间，而矢径只在原点O的切欧几里德空间有意义，在普遍情况下，则必有这说明会有两个不同的波前。一个是沿黎曼空间的短程线以绝对速度 运动的所谓绝对波前，另一个则是矢径在原点O的切欧几里德空间内描述的所谓相对波前。以除（4－39）两边并考虑到（4－37），可知
从此式可看出值得注意的是，慢波实质上只是原点上的切欧几里德空间之中的一种假相，它的相对波前与绝对波前并不重合。成立，故与慢波解情形不同。由于Ｇ12、Ｇ23、Ｇ31不都为零，则短程线方程(4-47) ,(4-49) (4-50) 亦可写成（4-51）这是以原点O为中心，m为半径的球面方程，波前不会超出此球面，因此可称之为相边界。而相边界内，的矢端迹表示的波前称为相波前。从外观上看，相波前应是一个以原点为中心周期地膨胀与收缩的球面，其法线速度是相对的。然而不要忘记，波前上每一点的轨道速度都是绝对的，因为由（4－47）、（4－37）可得这种情形下的解将称为孤波解。图4－2是描述孤波的示意图。原点O为波源。波前上一点从原点出发，沿轨道弧长Ｓ1、Ｓ2、Ｓ3、Ｓ4、Ｓ5运动，最终返回原点。上述诸点的切矢量表示，而绝对波前面在每一点上与切矢量正交。图中仅以实线曲线表现出两条相反的轨道。虚线同心园表示相波前在不同时刻的球面形状，其半径为。最大的虚线园表示相边界W孤波的绝对波前以绝对速度运行，因此这种波在任何参照系中都不会静止下来。于是可见，构成物质的根本成分是一些不停地自己运动的粒子。而孤波的相波前以相对速度膨胀和收缩，进而产生了可以实际观测到的相对运动。虽然绝对波前和相波前有如此的区别，二者却又是重合的 —— 凡绝对波前所到之处必是相波前之所在。由于轨道是周期闭合的，故轨道具波动性，从而可以预期会存在整波数条件和量子现象。而相边界W的存在又使得孤波具有明显的粒子特征。如此可见，孤波解是极富特色的解。另外值得指出的一点是，圆形闭合轨道只是最简单的情形之一。实际上可能出现的闭合轨道如椭圆，多叶玫瑰线，或更复杂的曲线，这些轨道会使相波前的行为更趋复杂，从而使得孤波解呈现出不同种类，但是并不改变孤波具有粒子形态的的基本特征。今设一孤波绝对波前上任一点，从原点O的波源出发，沿闭合轨道返回波源，所需的时间称为孤波的轨道周期T，这也是相波前的胀缩周期。闭合轨道的周长称为轨道波长，于是易知有：W的方程为（4－51）。如果此孤波以相对速度V对Ｋ系运动，则其相边界应该呈椭球形。为了说明这一点，设速度V仅沿轴方向，则相边界WW’：其中为W’> m。二者的关系可据相对论的公式表示为此式表明轴方向变为长轴是由于所谓相对论效应，本质上则是由于Ｋ系与系之间的洛伦滋变换所致。图4－3画出了新系。此图的空间部份只能画出两维，故以园表示球，以椭园表示椭球。图中的半径为m的实线园表示相边界W，此边界在K’系看来变成斜的实线园所示的形状，其在Ｋ系的投影为一虚线椭园，此即新的相边界W’(4-55)
W’的半焦距，则是离心率。于是此式说明孤波作为整体的相对运动速度与其相边界椭球形的离心率成正比。由于孤波不是一个静态体系，椭球形边界内的两个焦点不能同时存在，就是说，孤波的相波前只能是从一个焦点出发，经相边界反射，再聚集到另一个焦点。以后将称孤波的这种运动为跨步。图4－4即是跨步运动的示意图。由于焦距为2f，故可算出每跨一步所需的时间 —— 或称跨步周期：(4-57) .(4-58) (4-59) 孤波的跨步运动方式构成一切相对运动的基础。原则上，卍时空的波动皆以绝对速度传播。因此若无孤波解，则永无相对运动。孤波亦能解释惯性运动的本质，因为椭球形相边界会使孤波不停地沿长轴方向跨步，即保持匀速直线运动。更值得注意的是，运动孤波相边界的椭球形状来自相对论效应，亦即依赖于洛伦兹变换。而在经典的迦利略变换下，孤波的球形边界仍将变到球形，因此不会出现（4－55）式那样的长短轴关系式。这样一来，在经典力学范围内根本无法解释两个同样球形的孤波何以会相对运动。甚至在低速相对运动的情况下，也不能以迦利略变换代替洛伦兹变换，因为只要两个孤波相边界同为球形，它们就不会有相对运动。于是应该可以看出，孤波实际上也解释了相对论效应的本质。根据前面讨论的孤波结构特征可以知道，孤波经过之处的空间度量 —— 非指孤波自身引起的度量 —— 的任何非欧几里德变化都会影响孤波的运动状态，亦即偏离惯性运动，这样便产生力学现象。孤波在卍时空理论中将扮演物质根本粒子的角色，孤波之间若不存在相互作用，则等于是不能被探测到的幽灵粒子。既然粒子由时空波动产生而非独立于时空之外，那么就不能设想从时空之外为这些粒子引进一整套力学法则。实际上，波动方程的非线性既可以产生孤波，也可以产生相互作用。现在先就一般的非线性算子作一个简单的讨论。设为某个微分方程的算子，而和为此方程的两个独立解，亦即同一时刻给定不同初始条件得到的解，而且则是线性算子。此式说明和两解共存情况下与各自单独存在情况下并无差别，每个解并不因为另一解共存而发生任何改变。这就意味着两解之间没有相互作用。
则为非线性算子。其实这就说明共存解会互相影响。考虑到每个独立解都是定义在一定时空域上的函数如，表示此时空域上的某种规律，以后称方程所有解的定义域之和为此方程的统治域。如果一个非线性方程在其统治域上只允许一个独立解存在，那么此方程代表的规律并无实际意义。因为实际规律都具有一定的普遍性，至少要适用于两个以上独立事物。
方程(4-64)称为原方程的相互作用方程，它描述共存解的相互依存系，也构成原方程的定解条件之一。这个理论实际上深刻地揭示了力学的本质。作为一个例子，现在来求孤立子理论的Kortweg-deVries(K-dV)方程的相互作用方程。Ｋ-dV方程为：下标t，x表示偏微商。设u(t,x), v(t,x)为其两个独立解，现以u + v代入算子并展开：
亦即显然，若方程若有更多的独立解共存，则（4－68）将增加项数以包含所有独立解的两两混合积。而所有独立解定义域之和就是K-dV方程的统治域。表达式（4－66）之中曾分离出两个完整的算子及，从而使相互作用方程得以简化。但是对于卍时空波动方程（4－29）的相互作用方程就一般不能进行这种分离，因而共存解的相互作用方程不会呈现简单的形式。波动方程（4－29）的非线性主要来源于度量张量实际上是一个一阶非线性偏微分算子，分析这个算子的非线性，就可判断共存孤波解之间的相互作用状况。亦即
不恒为零的地点，必恒为零，反之亦然。于是（4－70）式中Ａ、Ｂ混合积的所有项均变为零。于是（4－70）式变成
对于同样理由，又可写成然而就这种相离的情况而言，孤波之间实际上应该普遍地存在相互作用。如果考虑到孤波对其相边界之外的空间会有影响，就可以解释这种相互作用。实际上，假设相边界W)，其上的波函数为宗量之中只有 t 不是常数，因此随时间 t 的波动过程会在相边界每一点上全部实现，从而必然对相边界外部的自由空间产生扰动。这一周期性扰动若以线性波方式传播出去，则其所到之处必引起度量波动，从而影响其它弧波的运动。这种线性波将被称为孤波的溢出。显然溢出波的频率应该等于相波前的胀缩频率，这使得整个情况很象敲打一个钟而使远处的另一个钟发生共振一般，理论上应该只有轨道频率相同的孤波才会互相影响，而且，仅限于库伦类型的相互作用，因为溢出波波前总曲率必然与距离平方成反比。考虑溢出的情况下，前述度量表达式（4－70）之中，Ａ、Ｂ二者必有一个是溢出波。如果求的孤波解，则只有溢出波会与 叠加。而溢出波可以看作是已知的线性波，它引起的度量波动另一种情况是两个孤波相交，亦即两个相边界相交。这种情况下，度量（4－70）不能被简化。代入波动方程后将得到一个繁杂的相互作用方程，(4—73)亦不成立，因此必有相互作用存在。从图4－6可以看出，对每个孤波而言，相交部份意味着中心对称条件被破坏，相边界的球形发生畸变，从而两个孤波必须重新组织成一个统一体系，包括两个变形孤波及其相对非惯性运动——即相互作用在内。而这种情况下的相互作用则不必遵守库伦平方反比定律。由此可以看出，这里所谓外力实际上是共存解的非线性现象。总而言之，在满足共存解相互作用方程的条件下，孤波解之中应该包含了相互作用下的运动。加速运动看起来象是有外力作用，本质上却和惯性运动一样是孤波自己运动，是每一个非线性共存解的本具属性。其中为空间轨道弧长，如果沿着空间轨道写下波动方程，则应该具有二维形式。因为其时空变量分别为，故其度量应为
于是波动方程退化为一维空间的线性波动方程：
设其柯西问题满足如下初始条件：
则可得行波解为
的函数，故引式是的一阶非线性方程，而待定函数必须满足此方程。（4－78）的每一项都如此代入，则可得三维空间的非线性波动方程（4－29）的行波解的可取形式。但是本章不准备继续讨论解的具体问题。值得指出的是，按照（4－37）式：，可知有
此式左端是孤波三维轨道弧长平方，而右端则是三维虚长波矢量的矢端迹弧长平方，此式表现的对称性说明，波矢量在虚三维空间（时间）的转动与波在实三维空间的传播轨道的弯曲之间有一定的关系。这种对称性也提示，非线性波动方程（4－29）可以有对称形态的方程存在，即与对调的方程，那将可用于描述虚三维时间I3的波动，其三维波矢量是实长：这样的研究就将进入对零上限世界的探讨，那将是十分有趣的课题。华严经介绍的华藏世界广狭无碍、互具互摄的奇异境界确实与零上限空间的互内和非逻辑性相当吻合。不过要从物理科学角度证明这报身境界不是虚拟幻境而是物理实在[注二]，则要依赖于对波动方程求解。仿照爱因斯坦的引力方程，可以为孤波定义能量，即真正用几何量去定义物理量。可以用守恒的曲率张量来定义守恒的能量密度张量：(4-84) . (4-85) 可以看出和与Ｒ一样可能会随时间波动。这些量在孤波内部是否守恒，需要用实际的孤波解来验证。(4-86) 至此可以看出，卍时空的波动理论可以用这种方式从时空的虚无之中产生物质及其相互作用。这样一来，理论物理的基本因素就不必再包含物质，而只剩下时间与空间的对立统一，这即是卍时空波动理论的哲学意义所在，同时也是对佛法的缘起性空理论的最佳证明。[注二]任何事物作为“物理实在”存在必须满足如下全部三个条件： 占据有限非零时间；（有始有终）占据有限非零空间；（有内有外）具有有限非零能量。（与其它物理实在有相互作用能力）三者缺一不可。就是说，有时间、有地点、有作用能力的事物，才是物理实在。如果心灵、精神、灵魂、鬼、神、仙、佛、天国、净土、华藏世界等事物不满足这三个条件之中的任何一个，那么它们在物理上就根本不存在，对人类也不会有任何作用。但是如果对人类有作用，说明它们存在，那么就要证明它们何时、何地、以何种能量形态存在，这是实证科学无可回避的问题。同样，也不能用“万法唯心”作为遁词把问题化为乌有，问题恒存在。另一方面，物理实在与无限无关。任何实在的物理量趋于正、负无限大都是灾难，因此无限不是物理实在，而只是一种逻辑操作上的可能性(如自然数N+1>N可以无限递推)。任何事物被描述成超时间、超空间或能量无限，那就说明它不是物理实在，非时空非事物，实证科学对之完全不必理睬。本文已经证明，能量是时空曲率的体现，而时空是虚实度量的对立统一。第四章参考文献：
The Meaning of Relativity, A. Einstein, Princeton, 1955
Introduction to Quantum Mechanics, L. Pauling, E.B. Wilson, 1955
本文至此已在四章之中有序地介绍了一系列奇特发现和与之相关的新理论。本文已成功地证明了在逻辑、代数、几何和物理领域都存在着非逻辑现象。物理上则证明了还应该存在另外一个非逻辑的世界。虽然难于想象，但这另一半宇宙至少在理论上并不比已知的这一半更荒唐，因为这二者拥有十分自然而完美的对立统一关系。零上限空间和零下限空间的对立统一关系在数学上的证明是如此简单和明确，以至于看不出有任何理由去怀疑零上限空间存在的可能性。诚然，其源自金刚经的非逻辑性是如此难于理解，若不是出于对佛祖真诚的信任，没有人会认真对待这样的奇谈怪论。佛法和实证科学这两个看来不相干的体系在本文的分析之下显现出奇妙的内在联系。实际上这二者是分头朝不同的方向（内、外）去追求真理。既然同是追求真理，那就迟早要碰面，因为真理只有一个。本文提出的非逻辑系统，零上限空间，时空的太极结构，卍时空及其波动理论等等，都源自佛、道两家的基本观念与近代物理学基本理论的交汇融合。这一结合已如此奇妙地导致理论物理学朝着一个出人意外的方向突破，而且还必将继续颠覆一切传统认识论的统治。无可避免的是来自传统认识论——主要是狭隘的科学认识论——的反抗。但一切反抗都将是徒劳的，因为面对本文，它首先需要攻击的既不是佛法，也不是非逻辑，而是宇宙的基本规律——对立统一。本文的论证模式是对立统一法则在基本理论上的完美体现。实证科学在这里第一次照见了与自身统一的对立面，而推翻对立面就是推翻自己。本文在这里要再一次强调佛法对实证科学的指导地位。今天的实证科学虽已形成庞大而精密的体系，但若在对宇宙间万事万物的认识深度和广度上与佛法相比，则相差悬殊。实证科学从其有限的已知领域里产生出狭隘的认识论，佛法则依仗其圆满无上智慧探究了实证科学的一切未知领域。世尊在阿含经中详尽无余地描述了器世间——即应化身境界所在多重物质世界的神奇结构，并在四十九年的说法之中一再准确地重申，从无差误。佛陀的描述也被诸多菩萨——即佛陀的有修有证的弟子们广泛印证，证明这显然不是随意编造的神话。然而佛陀所描述的宇宙实相至今仍埋没于狭隘的科学认识论的深重误解之中。实际上，东方古圣贤们在特殊状态下（甚深禅定）所直觉到的宇宙实相，对于西方的实证科学观念而言，的确显得深不可测。佛法是内求自性，为道日损；而科学则外求诸相，为学日进，二者本是背道而驰。内修内证是圣贤法，而科学家都是外求凡夫，所以在亲自尝试内修之前最好不要妄断圣贤见地为迷信或幻觉，因为一如本文已经证明的那样，确实应该有内外相反的两个世界共存，方合对立统一之理。所以可能真有内求这回事，佛祖先贤所言非虚，而凡夫俗子愚盲不觉。实际上，任何深入研究过佛法的人都不得不对其系统的无比宏大、完整、严谨、精确以及理论的深刻、彻底，方法的丰富、奇妙具有深切印象。没有理由认为佛陀和历代先贤们倾毕生精力，世代相续地编造一个如此庞大的“神话”（三藏十二部）。倒是有充分的理由认为，这些先贤是最不会讲假话的人。所谓“神话”，都是实话。有幸的是几个世纪以来实证科学毕竟是一步一个脚印地[注三]接近这个实相。二十世纪初叶，非逻辑因素已经在相对论和量子力学的理论中出现，并在整整一个世纪之中困扰着科学家和哲学家。现在可以看到，一些有孛常理的物理怪论在数学上都与虚数i有关，而根据本文的理论，虚数i导致非逻辑性是十分自然而可以理解的。今天，在佛祖发现非逻辑世界两千五百年后，实证科学才开始认识非逻辑，这就是内求和外求的差距。不过，正是由于实证科学是一步一个脚印地前进，才能开辟出一条通路，让所有的博地凡夫都能共享方便。正是沿着这条路线，科学终将与佛法殊途同归。西方著名学者之中亦不乏对佛法有真知灼见者，如物理学家爱因斯坦，哲学家罗素，历史学家汤恩比，这些都是不那么容易被迷信糊弄的人。实证学者若能不吝花费时间和精力去钻研佛法，或者甚至去实修，那将必定获益良多。可以预言，二十一世纪的一切高科技重大发现、发明皆将出自佛、道两家[注四]的理论与实践，更具体地说，就是出自“神话”。浩瀚的佛经、道藏就是未开发的巨大宝藏，而金刚经中隐藏的就正是开启宝藏的钥匙。本文仅以阿里巴巴的著名咒语作为结束：芝麻，开门吧。*****************************************************************
[注三]实证科学的真理价值来自于每前进一步都有客观的证明。科学按照统一共享的科学范式实证自身，这包括两部分：一是理论的数理证明和定量分析，二是对理论的实验验证。前者是科学家给出的论证，而后者则是大自然的认证。二者一致才是可靠的证明。这种完美的实证方式保证科学认识体系的发展不会因科学家的法我执而走向谬误。而科学家的法我执是极其顽固的，其顽固性表现在科学认识论上的每次突破都要经历百年为单位的长期思想斗争，更表现在科学家都不知道自己有法我执。不突破法我执就没有创新。自我突破和创新不能靠逻辑证明得来，而是象艺术家一样靠直觉的悟性和灵感。有创造的科学家都依赖个人直觉的启示，但是真正的困难还是在于按照统一的科学范式证明这感悟正确并纳入共享的逻辑体系。悟性、灵感绽放出的奇花，若不经实证就不结异果，而终无价值。佛法内求，亦复如是，从升起次第到圆满次第，层层相应，步步实证，其成就更是艰难非凡。
[注四]“释家”、“道家”和“儒家”一样，在古代中国都是学派的名称，但是前两家逐步宗教化了，释家成了佛教，道家成了道教。其根本原因可能是由于生存压力。这两个出世学派的授业不能解决学生入世谋生的问题，所以难于作为教育事业成为世人投资的对象，于是不得不采取自古流行的宗教形式，应允投资者可以在彼岸世界得到更好的回报，以此换取维持学派生存的资粮。教徒的供养和捐助是自愿的而且可以不求入世的回报。本文在此前的章节之中只提到佛法、道法、佛家、道家，而从未提及佛教、道教，那是因为学派一旦变成宗教信仰，就会丧失思辩性而被迷信侵蚀，而崇高的信仰转化为低俗的迷信也就失去了智慧。本文在理论上不依赖任何宗教信仰。实证科学是迷信的死敌，二者之间没有调和的余地。而宗教的任何真实性，也唯有实证科学有资格作出客观的判决（虽然目前实证科学还没有发展到这一水平，但是为期不远了）。几千年的宗教发展史已经完全证明，宗教之间以及教派之间的争论永远都不会有结论，因此是毫无意义的。宗教作为信仰不具有科学那样以统一共享范式实证自身的能力，佛教作为信仰也不例外（证量唯佛与佛知）。但佛教教义的主体部分——佛法，包括理法和事法，则完全不是一种信仰，而是具有高度智慧和思辩性的理论和实践体系，其认识论上的成就更是远在任何宗教之上，也非当今狭隘的科学认识论所能比拟。佛法认识论之深刻彻底，突出表现在其缘起性空理论要求最终要舍弃佛法，以实证佛法自身的空性（“法尚应舍，何况非法”），这样的彻底性在认识论上是绝无仅有的。道法已在百尺竿头，与此悟境只一步之遥。科学认识论则绝对不会要求实证科学舍弃其自身，因为迄今为止，实证科学还不知道性空为何物，故尔离实相尚远。而本文的成就正是在佛法的指导下，以实证科学的方法研究宇宙的实相，同时也促使科学自身产生革命性进步。 后记
奇文上网五年，实无一人受解，可叹！学界执有，着相外求，奇技淫巧，识深障重。或虚名实利，庸才碌碌，不堪讨教，有失期待。佛法尊贵，错示无缘，可惜！后续章节，再不面世。新浪网关闭本站，今易地重开，原复四章，以饷贤者。念科学界多一阐提，自是真理，痴迷我执，非当头棒喝决不醒悟，故深入其理体，严析其正谬，超越其局限，挑战其权威，机锋所向，何可辩者？心明彻，事看穿，理参透。开深密，解至疑，除大谬。反转论乾坤，颠倒看宇宙。金刚橛对阵笑群雄，看尔等如何消受。释义：解至疑—— 破解时间、空间与物质之谜，释有生于无，证缘起性空。除大谬—— 矫正集论，创逻辑对象，揭示集、散互补，朴、素相依；完善群论，补正二次型对称条件，理证真空妙有； 洞见非线性方程共存解及其相互作用之为力学本质。反转论乾坤—— 数理证明，阴阳两界，内外相反。颠倒看宇宙—— 定量分析，虚实时空，大小颠倒。前一篇：金刚经之奇解(一）后一篇：[转载]什么是江恩理论< 前一篇金刚经之奇解(一）后一篇 >[转载]什么是江恩理论X分享到...选择其他平台 >>
- Apr16
在任何平面上，只有有限域的面积具有算术意义。（不具算术意义。）而虚平面上的有限域只能是闭合边界的外部，因而虚平面上只讨论外部面积。而外部面积正是应当取负值。如，实质上可以看作是，意为原点O收缩成虚园，即应从最大的外部面积 —— 零，减去的外部面积。对比地看，实园面积如，意味着原点膨胀为园，因此应从最小内部面积 —— 零，加上园的内部面积。由此可见，面积取负值与取正值同样具有明确的意义
在任何平面上，只有有限域的面积具有算术意义。（不具算术意义。）而虚平面上的有限域只能是闭合边界的外部，因而虚平面上只讨论外部面积。而外部面积正是应当取负值。如，实质上可以看作是，意为原点O收缩成虚园，即应从最大的外部面积 —— 零，减去的外部面积。对比地看，实园面积如，意味着原点膨胀为园，因此应从最小内部面积 —— 零，加上园的内部面积。由此可见，面积取负值与取正值同样具有明确的意义
×相关博文推荐博文金刚经之奇解（一）后记
如来是真语者，实语者，如语者，不诳语者，不异语者。金刚经艰深晦涩，历来令解读者困惑不已。此经的特别之处在于经文中反复出现的一系列所谓“即非是名”句。附录A列出了金刚经中所有明显的“即非是名”句。金刚经不算很长，其中集中了如此之多的“即非是名”句，为其它佛经中所罕见。典型的“即非是名”句可举例如下：
“所言一切法者，即非一切法，是故名一切法。”
“如来说诸心，皆为非心，是名为心。”
“如来说诸相具足，即非诸相具足，是名诸相具足。”等等。
世尊在金刚经中一再重复地使用这种句型，显然是要传达某种重要信息，要强调此信息所包含的重要观念。然而一般人在读过这些句子这后，常感莫名其妙。历代论经者都力求对这些句子作出合乎逻辑的解释，但这些解释往往迂回曲折，而且终究都不能解释这些句子本身所固有的、明显的、公然的和直截了当的非逻辑性。
“即非是名”句的通式可以表示为：
其中“A即非A”这样的命题是不可能有逻辑解释的，这就使得对这些句子作出的任何逻辑解释都成为徒劳。
大致说来，论经者一般都是用真如佛性之不可说来掩盖“即非是名”句的非逻辑性。真如佛性，莫测高深，本不可说，不足为怪。而“即非是名”句所论者：“身相”，“福德”，“微尘”，“众生”等等，皆为名相，而无不可说。说出来又如此地不合逻辑，则必然引起理解上的抗拒。
任何文章或讲话之所以难懂，是因为令人产生了理解的中断。这里所谓“理解”是指在现有知识的逻辑系统之中定位。中断则导致不能定位。造成中断的原因可能是语言上的，也可能是逻辑上的。其分类如下：语法中断 —— 词句之间的语法复杂、混乱、错误导致；逻辑结构中断 —— 概念之间逻辑关系复杂、混乱、错误；此中以逻辑中断的第三种 —— 非逻辑中断最为罕见，亦最为严重。其严重性表现在非逻辑性完全无法被现有逻辑系统接受，中断无法弥补，从而在理解上构成坚硬的、不可逾越的障碍。金刚经的“即非是名”句就是非逻辑中断的典型范例。在现有的逻辑系统内，这个中断将永远存在下去。如此看来，问题很清楚：若回避“即非是名”句的非逻辑性，则不能解悟金刚经。然而历史上确实有些人对金刚经的“即非是名”句不感困惑。如金刚经的启请人长老须菩提就很受用。须菩提因深解义趣而涕泪悲泣。世尊虽语出惊人，但毕竟不会是故意让人听不懂。世尊在金刚经中亦明确指出：“若复有人，得闻是经，不惊不怖不畏，当知是人，甚为希有。”这说明世尊深知此经难解。那么应该相信，这些句子已经是尽可能清楚地道出了一个证悟者所见到的秘密。非逻辑的语言，描述的正是非逻辑现象。这种现象只可亲证，不可言说。勉强说出来，便是“即非是名”句，根本不象话，从而无法纳入现有的逻辑系统。一旦接受这样一种观点，就意味着完全放弃对“即非是名”句作出逻辑解释。那么唯一的出路就是去探讨所谓非逻辑现象存在的可能性。而这个探讨的第一步，就是要首先澄清什么是非逻辑，以及它与现有逻辑系统的区别。为了讲清楚什么是逻辑系统，本文提出一套形式化的描述方法，以便于精确地论述和研究。逻辑系统（简称逻辑）包含五个基本成份，或称逻辑元素，它们是：—— 逻辑键，即“是”与“非”，符号：“_”（字下线）“ˉ“（字上线）；—— 序偶，即一切相对度量之结果，由比较所得，如“大”与“小”，“好”与“坏”，等等，符号：“G”，“S”；—— 概念，即空间、时间及其中的一切事物对应之逻辑形态，每个概念可分解为外延与内涵，符号：“Ex”,“In”；以上诸项，均无法定义，现简要说明如次：实际上，逻辑学就是研究是非的学问。若无是非，即无逻辑。这里采用的符号“_”（字下线）和“ˉ”（字上线）适合于以后的形式化描述。设有概念名a，则a为“是a”，为“非a”。如果叠用是非，则有：符号“∪”（逻辑和，并集）、“∩”（逻辑积，交集）来自集论。由于是仅有的两个运算，二必择一，故若求非，有如大小，远近，快慢，冷热，等等，总是成对出现。其特征是与度量有关，如尺寸，距离，速度，温度，等等。比较事物之差别即为度量。两两相较即是相对度量，产生序偶。与一公共单位一一相较，即是绝对度量，产生数量。从语言学上看，序偶对应于形容词和副词，用于说明事物的属性。每对序偶独立，与其它序偶不相关。若对序偶求非，则有：这是逻辑的主要成份。每个概念有一个名字。每个概念可分解为两部分：外延和内涵。一个概念若除去外延和内涵，就只剩下一个名字。现设一个概念名为，其外延以表示，而内涵以表示，则所谓外延律和内涵律可表示如下：之内涵等于其各个种概念内涵之逻辑积（交）。但此二式并未说明何为外延，何为内涵。下标i则正是与某序偶相关的度量。（1—1）、（1—2）两式都只含有一个下标，故此两式描述的是最简单的情形，即此概念仅有一种属性i。对于一般的多属性概念，其外延律及内涵律可以如下方式表示：其中下标i、j、k、l称为秩标，所含下标的个数称为秩，而且m、n则为该秩所含种数。这种高秩表达式较为繁复，故以下的讨论多采用（1—1）、（1—2）两式，而所得的结论仍可不失其普遍性。若将非键运用到逻辑表达式，可满足分配律，即：亦即比较（1—5）、（1—6）与（1—1）、（1—2）两式，可知二者相象，只是外延律与内涵律互易，非A的外延满足内涵律而内涵满足外延律。（1—5）、（1—6）两式亦说明，只要概念A的外延、内涵确定，则非A也就有了确定的外延和内涵。因此，在这个意义上，可以将非A（）亦看作是概念。从而有。此式说明外延包含内涵，于是内涵成了外延的一部份，从而内涵也必须满足外延律，而这是不可能的，因此（1—7）式必成立。亦即外延与内涵对立。
此式两端取非即：
此式说明外延与内涵统一。于是外延与内涵既对立又统一。
此式说明。（1-9）
此式说明外延A与内涵互补。“互补”一词来自集论。以上的证明说明对立统一和互补是等价的。对于一般概念，可知有
至此已知，逻辑键，逻辑运算，序偶，概念都是由互补的两部分组成。范畴亦不应例外。关于概念，这里要指出一点至为重要，即概念之中有两个特殊者，一为空间，一为时间。一般概念所对应之事物均存在于空间、时间之中，每一实在之事物必有其时间、地点，因此时间、空间都是事物存在的物理条件，而此种存在亦可名为物理存在。但时间、空间自身则非事非物，因而时间、空间自身就不能说是物理存在。这要涉及有无，已不是单纯的逻辑问题。概念集是一个不断增加和发展的体系，当然这不会是个无序的体系, 在其发展的一定程度上会出现层次关系，如是便产生范畴以反映层次关系。基本概念源自感官，故可称为直观概念。而将已有概念构造成新概念的方法，可称为概念代数。实际上，概念按其对应之事物可划分为两大类，一类为名概念，与事物对应，在语言上表现为名词；另一类为动概念，对应于事物之间的关系，包括时间关系，空间关系，以及相互作用关系，统称物理关系，语言上则表现为动词。现以英文字符表示名概念, 以希腊字符表示动概念，则组合组合又可称为简单结构，语言上则是一个典型的主、谓、宾结构，这是语言上最大量使用的基本结构。多个简单结构复合，便得到复杂结构，如：
但远不是所有逻辑结构都被命名为一个新概念。一般只有在一个结构经常出现、到处出现，从而在实用上有必要时才被命名为一个新概念。实质上结构可以看作是无名概念，逻辑上与概念有同等地位，在语言上亦被广泛使用。逻辑结构与事物结构的一致性则是实证科学的基本目标。新概念或新的逻辑结构可分类如下：直观的：时空、相互作用关系上的常规事物，可以直接感知的；非直观的：超常规事物，只可间接感知的，如太阳系，原子，电磁波，等等；无相类：不可感知，只可认知。由无相关系构成，如心，原理，社会，政党，科学家，工程师，价值，等等。其中无相类为人类这样的高等动物所特有，尽管人类对无相缺乏认识。如此形成的新概念、新结构与原有的概念和结构之间即产生种种层次关系，从而出现种种范畴，如以下诸例：以上面四对范畴微例，左方为“L”（Low），右方为“H”（High），其它范畴可依此类推。H、L亦为二择一的互补关系，故有范畴数量有限，但内容丰富，而且深入涉及认识论的本质。但本文旨在非逻辑系统的导引，故不拟深入讨论范畴问题。不过如果有幸去研究各种文字在何时出现与范畴相应的词汇，那应该不失为一个有趣的课题。现将前文介绍的形式化逻辑系统列表如下：
G/S
Ex/In
H/L
符号“／”表示互补关系。其中，概念满足外延律及内涵律即（1—1）、（1—2）两式，重写如下：实际上，所谓逻辑系统的基本成份就只有这些。但若在这基础上加以发挥，就是一部完整的逻辑学。现在来对逻辑系统求非。对上述列表求非，则互补双方互易，除此之外并无差异。但外延律及内涵律则很不相同。现重写（1—5）、（1—6）两式于此：此二式说明非A的外延满足内涵律而内涵满足外延律。如果将（1—11）式代入（1—5）、（1—6）两式，则得到
此二式与（１）、（２）两式比较，若不计较外延、内涵之互易，则并无区别。因此，在这种意文上，可以说“A即非A”成立，因为二者实际上是同一结构，只是外延、内涵的地位互易。
至此已可以看出一种非逻辑系统的可能形态，其与上述逻辑系统的差别就仅在于外延律及内涵律，即，可以设：
前述逻辑系统的列表，加上（1—16）、（1—17）二式，便是非逻辑系统。于是非A表达式（1—5）、（1—6）立即成了非逻辑系统的一个特例。但如果除此之外，还存在其它实例，则非逻辑系统就有了广泛的实际意义。以后的章节之中将要证明，在代数、几何和物理学领域都明白无误地存在着非逻辑现象，只是学者们都以不可动摇的逻辑观念抹煞了这个逻辑的孪生兄弟的生存权。这里也不得不预先指出，无论在代数、几何和物理学领域有多清晰、多严格的论证，也无论道理有多么简单，非逻辑这个异数依然是凡夫极难跨越的障碍。毕竟这是佛陀智慧的结晶。对某些人而言，它简直是无底的深渊。将（1—16）、（1—17）式与（1—1）、（1—2）两式比较，就可明白，本文何以要给逻辑系统以如此形式化的描述。实际上舍此则不能准确清楚地表现非逻辑系统与逻辑系统的差异。非逻辑系统是一个奇怪的系统。从（1—16）式可知，此系统的类概念之外延是种概念外延之交，这好象是说局部包含全局。而（1—17）式则说明，类概念之内涵包含所有种概念之内涵，这又好象是说共性包含个性。据前文所言，确实是非逻辑的一个例子。而且在不计较外延、内涵互易的条件下，“A即非A”成立。但这毕竟象是概念游戏。而世尊在金刚经中反复使用“即非是名”句应该不是作概念游戏。再联系到真如佛性之不可说，禅宗的诸多哑谜公案，以及浩瀚经论中在在处处都隐含着的神秘的非逻辑性，这些分明都指向一种非逻辑现象。那么，是否存在这样的体系——不是——其中通行的是非逻辑，便成了一个实际问题。本文已界定了非逻辑系统，下一步就是要找出一个应用非逻辑的体系，并实际去验证非逻辑现象。这应该是需要非常认真对待的事。探讨非逻辑体系，这是一条没人走过的路。现在可以预见的是，沿着这个方向走下去所可能遇到的事物都应该是不寻常的，或者说是不合逻辑的，才对。这条路如果行得通，那么一切“不可说”就都会变成可说的，一切神秘的就都会变成自然的。
这也是一条实证之路，即用实证科学的方法研究佛法。实证科学问世不过四百年，但在人世间已取得了辉煌的成就。实证方法亦经由实践的千锤百炼而能屹立于不败之地。世尊传法的时代，实证科学远未诞生。而当时许多不可说的事物，今天已经被实证科学说得清清楚楚。经论中的许多神通变化，也已经被科学技术逐一实现。实证科学的一切成就都可为全人类所共享。今天，任何国家，任何民族，任何信仰的人，都无异议地在学校里接受科学教育。可以说，人类于心外求法，所得的最高成就，就是这个实证科学。它是人类认识和改造世界的强大武器。实证方法的普遍性、可靠性和实践性确保它可以有效地研究任何领域 —— 包括佛法。无论如何，佛法都不应排斥实证科学。
诚然，实证科学自身是一个分阶段发展的事物，如今远未达到圆满和究竟的地步。而且不无遗憾的是，迄今为止实证科学远没有真正注意到佛法，更少有人意识到直觉的佛法与逻辑的实证方法之间的互补性。实际上，佛法是人类于心内求法的最高成就。因为是内修法，必须亲证，其成就亦不能共享。但由于其理法上的彻底性和事法上的圆满性，使得修行者能够经由渐修、顿悟的途径，获得远远超过实证科学的圆满无上智慧。世尊于两千五百年前就已经非常详尽地道出了宇宙的真相，但至今实证科学家还认为那是神话。其实这只说明了实证科学尚处在其发展过程的初级阶段，而且更可以肯定，圆满究竟的佛法对实证科学的指导地位是不容置疑的。
佛法与科学的结合，就是内求与外求结合，就是证悟与解悟结合，就是览观与实践结合，就是出世与入世结合。长短互补，相得益彰。实现这个结合，就是要坚定地在佛法指导下，以实证方法研究宇宙的实相，同时也促进科学技术的发展。沿着这条路走下去，直至有一天，实证科学验证了佛所说的全部“神话”都是真实不虚的，那时的实证科学才是圆满和究竟的。
宇宙之谜可解，佛法即是究竟。
永远不要忘记世尊真诚的声明：
“如来是真语者，实语者，如语者，不诳语者，不异语者”羅釗冀，April，1999. San Mateo, CA.其中、各自满足对立条件，满足统一条件。实用上常以概念的外延表示概念，如结构表达式（1—12）、（1—13）即是。
如来所说身相，即非身相。
是福德，即非福德性。
所谓佛法者，即非佛法。
庄严佛土者，即非庄严，是名庄严。
（大身）佛说非身，是名大身。
佛说般若波罗蜜，即非般若波罗蜜，是名般若波罗蜜。
诸微尘，如来说非微尘，是名微尘。，
如来说世界，非世界，是名世界。
如来说三十二相，即是非相，是名三十二相。
是实相者，则是非相，是故如来说名实相。
我相即是非相。
人相，众生相，寿者相，即是非相。
如来说第一波罗蜜，即非第一波罗蜜，是名第一波罗蜜。
忍辱波罗蜜，如来说非忍辱波罗蜜，是名忍辱波罗蜜。
若心有住，即为非住。
如来说一切诸相，即是非相。
又说一切众生，即非众生。
所言一切法者，即非一切法，是故名一切法。
如来说人身长大，即为非大身，是名大身。
如来说诸心，皆为非心，是名为心。
如来说具足色身，即非具足色身，是名具足色身。
如来说诸相具足，即非具足，是名诸相具足。
说法者，无法可说，是名说法。
众生众生者，如来说非众生，是名众生。
我于阿耨多罗三藐三菩提，乃至无有少法可说，是名阿耨多罗三藐三菩提。
所言善法者，如来说即非善法，是名善法。
如来说有我者，即非有我，而凡夫之人以为有我。
凡夫者，如来说即非凡夫，是名凡夫。
佛说微尘众，即非微尘众，是名微尘众。
三千大千世界，即非世界，是名世界。
如来说一合相，即非一合相，是名一合相。
世尊说我见人见众生见寿者见，即非我见人见众生见寿者见，是名我见人见众生见寿者见。
所言法相者，如来说即非法相，是名法相。数学由于其精确和严密的逻辑性而在实证科学之中占有特殊地位。数学之中若含有非逻辑因素，一定非常显眼。零分母就是一例。数学回避零分母，因为逻辑性在零分母处被完全破坏。另一个不同的例子是纯虚数，它满足如下方程式：此式足以说明的非逻辑性。但是有趣之处在于，数学非但不回避它，反而能善加利用。由纯虚数参与构成的复数及复变函数理论被广泛应用于力学、电子学等领域而且卓有成效。这恰好说明纯虚数的非逻辑性别有裨益。因此，这是一个值得研究的非逻辑因素。这是代数中的非逻辑因素。(2-1) 虚单位用于几何学，则可得到所谓虚度量空间，或简称虚长空间。传统上，几何学家认为这种虚度量空间的几何学与实度量空间的几何学的差异只是形式上的，即二者的距离表达式只差一个因子：但本文以下的研究将证明，在这个问题上，几何学家们有了一个小小的疏忽，而其结果则是忽略了半个宇宙。为了比较虚、实度量，可以仅就欧几里德空间进行讨论，而结论不失其普遍性。（图形２—１）现于平面上引进笛卡儿坐标系（见图形２-１）。其中O为原点，为标架向量，虚长平面上成立如下关系：亦即，可知为虚长向量。（2—2）式意味着为平面引进虚度量。由于平面实际上是实平面，故这里实际上是将虚平面投影到实平面上，而图形2—1只是虚平面的相，虽然从相上看起来这些虚长向量与实长向量没有两样，但是必须记住，在这里相的直观度量性质是不可信的。
于是可知，这与在相上（图形2－1）看到的情形完全相反。直观地看，是包含，但分析的结果是包含，因此可推知单位四边形在四边形的外面，这就说明，虚度量对平面域的内外判别与实平面相反，或说二者内外互易。进一步的分析证明，这种内外互易不是概念游戏。所谓概念游戏就是故意把外说成内，把内说成外，而实际上什么都没有变。而这里对虚、实空间的内外分判使用的是一个统一的标准，即大的包含小的。上例之中是定量分析的结果，尽管与直观相反，却是坚实可靠的结论。内外互易导至虚、实两种平面具有根本性的区别。为了说明这一区别的根本性所在，特以下列图形2－2及图形2－3分别表示实长平面和虚长平面：（图2—2）（图2—3） 二者同样有三个卵形域A、B和C,有同样的相对位置。图中以深色表示内部，浅色表示外部。图（2－2）中，A在B内，B包含A。C在A、B之外，A、B在C之外。图（2－3）中，B在A内，A包含B。C在A、B之内，A、B在C之内。比较二者则可看出，内外互易在几何上导致一种本质的差别，即在实平面上C与A、B互外，而在虚平面上C与A、B互内。实际上互内是难以想象的事。图形（2－3）是虚平面的相，只能帮助理解，不能帮助想象，因为其大小是颠倒的。现实世界之中，空间为实长，事物相互独立，或者说是对立地存在，这就是互外的现象。在人类的经验之中，事物互外乃是天经地义之理。然而一旦发现有互内的系统存在 —— 虽然目前仅仅是理论上的，那么互外也就变成是有条件的存在了。万事万物对立存在的这个世界也并非是当然如此的，因为可能存在与此相反的世界。鼋鍪抢砺凵系模敲椿ネ庖簿捅涑墒怯刑跫拇嬖诹恕Ｍ蚴峦蛭锒粤⒋嬖诘恼飧鍪澜缫膊⒎鞘堑比蝗绱说模蛭赡艽嬖谟氪讼喾吹氖澜纭?#060;/span>虚平面上有限域的面积取负值，那么负值的面积究竟应该如何理解呢？现在来研究虚平面上的两个同心园和，见图形２－４。O点为园心。矢径可表示为，而满足关系式（2—2）。从而、的矢径方程分别为：由于，故而可知域 为园的内部（无限一侧），而为园的外部（有限一侧）。于是可知是园的外部面积，而不是内部面积。园情况亦如是。
现在令园的半径 趋于零，即园向原点O膨胀，直到，则此时园的外部面积变为零，而园膨胀变为原点O。这在实际上就说明，虚平面上的虚点是大之无外的。相应地，实平面上的实点则与此相反：小之无内。由于虚平面上任何有限域的面积均取负值，因此虚平面上的最大有限面积为零。这就是虚平面可以称之为二维的零上限空间的原因。相应地，实平面就是一种零下限空间，因为其最小有限面积为零。 另一方面，在任何平面上，只有有限域的面积具有算术意义。（不具算术意义。）而虚平面上的有限域只能是闭合边界的外部，因而虚平面上只讨论外部面积。而外部面积正是应当取负值。如，实质上可以看作是，意为原点O收缩成虚园，即应从最大的外部面积 —— 零，减去的外部面积。对比地看，实园面积如，意味着原点膨胀为园，因此应从最小内部面积 —— 零，加上园的内部面积。由此可见，面积取负值与取正值同样具有明确的意义。以下的列表给出虚实平面上基本几何因素的对比。可以看出二者各自成体系。（其中以x, y表示笛卡儿坐标）二维零上限空间的几何可以直接推广到三维空间。就三维虚长空间而言，单位体积，因此可知必为零上限空间。这里再一次指出，区别内外的唯一判据就是：大的包含小的。从以上的论证过程可以看出，零上限空间的奇特性质根源于纯虚数的非逻辑性。现在则须进一步证明它就是一个非逻辑系统。由于第一章中已经提出了非逻辑系统的明确条件，故可依此条件作出证明。设实平面上，以一个闭曲线C围绕成一个单连通域S，见图形2－5。将S分割成n个不相交的子域，其中。则C的内部和外部应满足如下关系：两相比较，可见内部律与外延律相同，外部律与内涵律相同。由此可见实平面具有正常的逻辑性，实际经验亦正是如此的。再来看虚平面，其内部律和外部律应为：两相比较，规律相同，故知虚平面是一个非逻辑体系。在三维空间的情况下，C是一个闭曲面，而S是一个三维连通域，一切证明同上述二维情形一样。不过，在三维情形下，可以研究物体在三维空间的存在状态。不须证明，三维空间的内外分判法则直接决定了其中存在的物体的内外分判。实际上，图形2－5的C可以表示一个物体的界面，S为其内部，而则表示外部其它诸物体之总和。在虚度量空间之中，由于内外颠倒，使得情况非常奇特：虚长空间之中所有物体具有公共内部，这可由（2－10）式说明，因而诸物同体；但诸物又各自有独立的有限外部，故此整体的对外性质等于各独立外部性质之和，这可由（2－11）式说明。在实度量空间之中，诸物对立存在，差别纷呈，故可称之为差别界。然而个性之中恒有共性，即所谓统一的对立。而虚度量空间之中诸物同体，根性同一，故可称之为同一界。然而其共性之中常有个性，即所谓对立的统一。两界具有明显的互补性，而并无优劣之分。由此可见，人类局限于差别界的经验，其认识是不完满的。如果拒绝接受非逻辑体系，则对逻辑体系的认识亦不会深刻。本文以下将讨论如果存在虚度量世界，其中的物体如何运动？如何相互作用？不过这里只是简单涉猎。因为从下一章开始，将要深入讨论非逻辑的物理学。研究一个自由质点在虚三维空间中的运动。给定笛卡儿坐标系 及标架，点的位置可由矢径确定：（以下在每个乘积之中对双秩标求和）标架向量满足如下关系：
于是可知：
即：
质点的速度可以表示为矢径对实值时间的微商：
于是可得：
据此，质点动能为：
此式表明虚度量空间中的运动系统具有负值动能。再来看牛顿引力定律：右端的负号使引力变为斥力。引力使两质点内部靠拢而外部相离，而斥力则使两质点外部靠拢而内部相离。而所谓靠拢意为两点距离趋于零。这两种情形可表现于图形2－6和图形2－7：
（图2—6）（图2—7） 于是可以发现，两种情况下可以产生同样稳定的周期运动。以上的分析说明引力势Ｕ在虚度量空间应取负值。的势为：(2-20) 而总能量为动能与势能之和：(2-21) .此式说明在虚度量空间中的运动系统具有负能态，而且有一个明确的零上限。对于电、磁力可可以作同样的说明。然而，必竟这里的分析只是粗浅的。象质量、在两种空间中有何差异就难以判断，因为在这里它们与空间的几何性质没有明显的联系，虽然理论上这种联系是应该存在的。(2-22) 如图形2－7描述的那种非逻辑世界是否具有实际意义，是一个值得研究的问题。但在进入下一章之前有必要涉及一下集论的问题。这是因为集论既有关于逻辑学，又有关于几何学，二者都是本文的论题。本文第一章关于逻辑系统的理论借用了集论的一些因素，而集论又是几何学的基础。传统的集论显然不能容纳非逻辑系统，因此有必要重新认识集论。集论作为基础理论已经发展有年而且日益深化。不过有趣之处在于，集的定义至今仍然模糊不清。一个传统的定义是：集是满足基本条件Ｐ(x)的事物x的全体，即但逻辑学家发现此定义包含佯谬。(2-23) 这里不妨首先指出，实际上，集是不可定义的，因为集根本不是概念。传统集定义都用到“事物”概念，而逻辑上看，“事物”已经是集了。表达式（2－23）以变量x表达“事物”，而变量x的定义域则不折不扣是一个集。这样看来，传统集定义（2－23）实际上是用集去定义某个子集，因为条件Ｐ(x)恰是从集{x}之中抽取某个子集的条件。从而作为集的定义，（2－23）式是无效的。至于用公理系统去取代集定义，则更是不可思议。集尚未存，何来公理？如果拿传统集定义与逻辑学对概念的处理相比较，就会发现，把概念分解为外延与内涵两部份的作法实在要高明得多。为了说明问题，先采用集的古典定义，即集Ｓ为：此式也说明集的元素与元素之间是以逻辑和相关联的。将（2－25）与外延律（1—1）比较，可发现相同之处。因此仿照内涵律（1－2）立即可写出：
由于Ｓ名为“集”，故可命名为“散”。又由于a、b、c等名为“素”，故可命名a*、b*、c*等为“朴”。“朴”与“散”源出老子道德经：“朴散成器”，“见素抱朴”。于是可知，对于每一集，必有一散与之相应；对于每一元素，必有一朴与之相应。逻辑上看，集相应于概念的外延，而散相应于概念的内涵。外延和内涵都不是概念，因此集根本不是一个概念。若用变量x表示，则（2－25）和（2－26）可以写成更普遍的形式：
这里的s称为逻辑对相，与概念相应。逻辑对相与概念的不同之处在于：Ａ。概念的外延相当于离散集，而集则不限于离散的。Ｂ。概念应用于识别，相当于去确定一个元素或子集属于哪一个集。而集论在应用上则是相反，常对某集用限定条件去确定子集或元素。Ｃ。在概念的应用上，外延与内涵都有价值。而在逻辑对相的应用上则不然，传统几何学只用到集而不用散，尽管指定任何一个集都必须用到散。不过，对于本章研究的虚度量空间几何学而言，就必须应用散为基础，而所谓虚点就正是朴的例子。对于非逻辑系统，理论上可以仿照（1－16）、（1－17）写出非逻辑对相的表达式，但在应用上似乎没有必要。从前面两章的论述中可以注意到，逻辑系统中概念的外延和内涵，逻辑对相的集与散，空间域或物体的内部和外部，都涉及到一个内外分判问题，可见这实在是认识论的一个基本问题。对于上述诸项，都存在两种相反的内外分判方式，而且原则上没有理由认为一种分判方式优于另一种。不过从人类的经验上看，则明显地有优越分判。为了研究这个问题，以后称经验中的内外分判方式为阳，而与之对立的另外一种分判方式为阴，二者的对立统一则称为太极。如此，前面两章出现的内外分判可归结为如下的三级系统：以上诸式之中，Ｉ表示内，Ｅ表示外。本文第一章曾证明内与外之间的关系是互补，即Ｉ／Ｅ，（“／”表示互补）而互补意味着既对立又统一，即：
然而内、外却不是对称的，因为在阳（3－1）和（3－2）两式之中，若将Ｉ、Ｅ互易，Ｉi、Ｅi互易，则会变到阴（3－3）和（3－4），而不是变到阳自身。反之，内外互易也可使阴变为阳而不是变到阴自身。如此却恰好证明阳与阴是对称的，亦即，若在上述四式之中内外互易，则阳、阴互变为阴、阳，而太极不变。另一面，非阳意为对（3－1）、（3－2）两式内外分别取非，由于Ｉ／Ｅ，故有于是此两式分别变换为（3－4）、（3－3）两式，可见
亦即Yang/Yin 成立。因此阴与阳二者既对立又统一。道家的太极图是对此系统的一个十分贴切的标志。从图3－1可以看出，由式（3－1）到（3－4）组成的三级太极系统与此图结构自然吻合。图3—1中所示，阴阳两界，黑白分明（对立），契合园满（统一），大小颠倒，内外相反。要想用一个简图去描述零下限空间和零上限空间二者的对立统一关系，此图堪称绝妙。本文在第二章已经证明实度量空间是零下限空间，而虚度量空间是零上限空间，二者内外相反。那么根据上文，它们应该构成一个太极系统。由式（3－1）到（3－4）组成的三级结构之中，第二级的阳可由三维实度量空间实现，而阴则可由三维虚度量空间实现。按照近代物理学观念，在不考虑物质的情况下，度量应具有欧几里德性质。因此虚、实空间既对立又统一的关系可以用一个３＋３＝６维的赝欧几里德空间实现，其中三维实，三维虚，度量与维度均对称。为了证明这个赝空间确实与太极结构一致，现在为此空间引进笛卡儿坐标系及其标架，见图3－2。g =1,2,3. 这里及以后均规定，下标用英文字符表示实三维，用希腊字符表示虚三维。度量可用克罗内克记号表示，如下：坐标均取实数。图3－２是以二维形式表现虚、实空间之间的关系。在Ｋ系的标架之中，一共存在９个如图3－２所示的赝坐标面，其赝平面几何性质应该都是一样的。现在来看赝空间的单位超球面，其方程为：
亦即：（3—10）
在图3－2上表现为四支双曲线，实际上则是两个５维超曲面在赝坐标面上的截口曲线。其中、是实长，而、是虚长。若令（3－10）式右端趋于零，则方程变为：
这是两个对顶超锥面的方程，在图3－2上则表现为坐标系Ｋ的两支分角线。式（3－11）表明的分量不必为零，但其长度为零。而表示与其自身正交，因此沿分角线的方向，或者说，沿超锥面（3－11）的母线方向为迷向方向。现在来研究图3－2的二维情形。根据（3－10）式可知，两支实长双曲线、的方程为：
此式表明，、诸点的矢经平方恒为－１，为虚单位园，因而分角线与、之间的区域面积取负值，也就是说，这两个区域是虚单位园（、）的外部，图3－2中表示为白色区域。而和的另一侧为内部，图中为深色区域。与此相反，双曲线、的方程为
此式表明、上诸点矢径平方恒为１，故为实单位园，因而其内外分判与、相反，即，、与分角线之间的区域为实单位园（、）的内部（深色区域），而、的另一侧为外部（白色区域）。拿此图与太极图3－１比较，则不难发现共同之处：此图的黑白区域是互补的，因此可见，迷向方向分隔的实长和虚长区域二者确实具有既对立又统一的关系。两个区域的内外相反，这一点在图3－2上也是十分清楚的。实际上太极图3－1上阴、阳两部份各有一个小园，（“太阴”和“太阳”），即可与图3—2的虚、实单位园相应，如此便可看出两个图是同构的。现在设想太极图阳界的小园“太阳”收缩为一个实点，则阳界全为白色（点外）。再设想阴界的小园“太阴”膨胀为一个虚点，则阴界全为深色（点内）。同样的情况也会发生在图3－2，单位园、，膨胀为原点，则分角线的上下两部分变为全深色，可以看作是原点Ｏ的内部；而单位园、收缩为原点，则分角线左右两部份变为全白色，可以看作是原点Ｏ的外部，见图3－3：这个分析导致对赝空间的一种全新认识。以赝平面为例，据（3－10）和（3－11）的关系，可知坐标分角线是虚、实单位园半径趋于零的结果。又由于分角线上恒为零，故应把分角线看作是原点Ｏ的一部份。而且，分角线将赝平面分割成虚长和实长两部份，其中包含实轴的部份应该看作是点Ｏ的外部，这一点在图表3－3上表现至为明显，而包含虚轴的部份就应该看作是点Ｏ的内部。由于赝平面上每一点都存在与坐标分角线平行的迷向方向，故每一点都具有与Ｏ点同样的结构，这样的点称为赝点。于是现在可以两相比较地说，实点小之无内，虚点大之无外，而赝点则内外兼容。虚平面的结论亦通用于３＋３＝６维空间，不过分角线和迷向方向应以超锥面（3－11）的母线代之。每个赝点应该包括该点上的超锥面（的所有母线）。赝欧几里德空间不是各向同性的，因为迷向方向是特殊方向。然而在迷向方向分隔的每个域内，又都各自具有各向同性。现在来看坐标的转动变换，为简单起见，仅在赝平面上讨论问题。见图3－4，其中为迷向方向，交于原点Ｏ，h为以Ｏ为中心的单位园。原标架为，新标架为。从象上计算，可测角（不含迷向方向）∠ＡＯＢ之两边与单位圆h围成的扇形面积S的两倍即是角度∠AOB（弧度角）。利用极坐标计算则有：于是可知：
从相上看，幅角即旧标架向量转到新标架的角度。现在以θ来表示这个赝角度，于是按可测角的定义，有
现在来看，对于赝角θ，所谓正交是什么意思。可以证明新、旧标架转动变换的一般表达式为：这些公式与实平面上的转动公式很相象：相比之下可以看到，实空间标架的转动有α＝2π的周期重复，而赝空间标架的转动则是赝角θ从－∞到+∞，不发生周期重复的结果。此外，从（3－20）、（3－21）可以明显看出，若将关于旧标架、的坐标值互易，则得到，反之亦然。这说明一个重要事实，就是新标架的和关于迷向方向（图中是分角线）对称。这就是赝空间中正交的意义，称为赝正交。据此可推知，迷向方向对转动变换不变，亦即：迷向方向是绝对方向。赝空间中存在绝对方向是奇特而重要的事实，也是赝空间的存在证据。３＋３＝６维赝欧几里德空间符合太极结构，其虚、实两部份实现了两种内外分判方式的对立统一，从而理论上十分完美。然而到此为止，尚不知这个完美的系统有没有现实意义。要解决这个问题，关键就在于绝对方向的意义。迄今为止在理论物理范围内，只有一个光速不变原理可以与绝对方向扯上关系。实际上，相对论本质上依赖于一个唯一的绝对速度，只要存在一个唯一的绝对速度，无论是否等于光速，都可以合理地得到相对论的结论，因此相对论的核心正是这个绝对速度。相对论的四维理论建立在一个１＋３＝４维赝时空基础之上，其中存在的三维超锥面 —— 所谓光锥 —— 的母线方向就是绝对方向，其物理意义就是绝对速度。那么问题很清楚，若是３＋３＝６维赝欧几里德空间具有现实意义，那么它的绝对方向必然就是绝对速度，而这样一来，三维虚度量空间就必然取代相对论中的一维虚值时间的地位，也就是说，时间应该是三维的。总合起来看，三维实长空间，三维虚长时间，再加上绝对速度，于是整个体系变成了物理体系而不仅是一个几何体系。这样一个３＋３维物理体系之中的坐标系都具有运动参照系的意义，特别如前面为图３－４引进的坐标系Ｋ、Ｋ’是惯性系，因为这些参照系的时间、空间两部份关于绝对方向对称，或可说赝正交。这里及以后将称这样的３＋３＝６维赝欧几里德时空为 卍 时空，佛标“卍”，音“万”，因为此标记用极简约和确切的形式表现两个三维空间正交，故用在此地恰当之至。要使卍时空具有现实意义，则经验地看仍然存在一些明显的问题。以下是关于这些问题的简约解答：Ａ。虚、实度量问题
这个问题实际上对于相对论就已经存在了。只不过相对论时代（直至今日）将时间的虚度量看作只是一种有效的数学形式，而并不当真看作是物理事实，但是卍时空的三维时间的虚度量则必须是物理事实而不仅是数学形式。问题是为何经验中的时间并不取虚值？这是因为只能用虚单位去度量长度，结果仍得实数。设一虚长度ni，以虚单位i去度量，其比值为实数：
而用实单位去度量虚长度或用虚单位去度量实长度则是不可能实现的事，因为虚、实空间之间为绝对方向阻隔，不可逾越。Ｂ。内外互易问题对于相对论的一维虚值时间，这个问题就已经存在，不过那时尚无所谓零上限空间的概念。实际上只要时间取虚度量，无论几维，其内外分判方式都应该与空间的内外分判方式相反。问题在于何故经验中并没有发现内外相反的现象？实际上，这种现象比比皆皆是，人人得见，但人人不识。一个物体，从空间规模（体积大小）上看，总是全局包含局部，每一部份的空间规模必不大于整体的空间规模。但从时间规模（寿命长短）上看则正好相反：每一部份的时间规模必不小于整体的时间规模。物体包含分子，分子寿命长于物体寿命；分子包含原子，原子寿命长于分子寿命，如此等等。一台计算机，其部件的寿命必不短于整机寿命。如有部件损坏，则必须更新以延长整机寿命。如此看来时间、空间的内外相反其实是一个非常明显的事实。而时间自身的互内现象甚至更为明显，那就是时间不能展开如空间一般。如若展开，则过去、现在、未来三部份必为互外，一如空间的前、中、后。因其互内，且以零为上限，故不能展开如空间。无论一维或三维，都是如此。正所谓三际一如。一维时间仅以事物的变化过程来体现，只能以一个过程（如钟表运行）去度量其它过程，所得为一标量，既非三维，亦非一维，因为标量之中并不包含方向信息。在物理学中将其与三维空间对立，看作一维时间，故可称之为物理时间。因此一维物理时间并不包含对三维虚值时间的否定。而三维时间的证据，则有赖于卍时空理论的深入研究。因为整个系统与传统观念有着巨大的差别，故可预见理论上将产生一系列惊人的结果。诚然最终的验证依赖于实践，但结论则不限于只证明了时间的三维结构，因为这多出来的一个三维世界会彻底改变人类对世界的认识。X分享到...选择其他平台 >>
- Apr13
同時探討不同方向的stress, 如tensile stress(normal force產生的)以及shear stress(tangential force產生的), 一個純量符號怎麼可以應付兩種具方向性的性質, 因此才設想出stress, 得有兩個向量的組成(dyad), 這也是張量這個名稱的由來(拉丁文是tensus, 也就是stress or tension的意思). Stress tensor也是科學第一個探討的張量
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幾何和群論 Geometry and Group theory
作者: 蔡豐州醫師
數學家希爾伯特每次看理論物理學家, 很努力的, 拼命的搞出方程式, 物理學家才發現所學的數學根本不夠用. 希爾伯特針對此種屢見不鮮的情況, 有感而發的說: [ Physics is much too hard for physcists.] 以希爾伯特的個性, 他一定是心裏偷笑+嘲笑這些物理學家, 懂一點點也敢跟人家搞方程式, 簡直不自量力. 為了避免這種尷尬, 其實數學這種工具應該是現代科學家必備的, 也許不那麼pro, 至少得聽過, 有些基礎.
大數學家龐加萊曾經一語道破: [整個數學就是群的的學問.] 因此, 討論幾何無可避免會和群整合起來.
首先先從基本的幾何架構說起. 拓樸空間 (topological space) 和 流形 (Manifolds) 是很重要的幾何概念. Manifold 就像是科學的舞台一樣, 表演的元素和角色都呈現在上面, 也因為呈現在上面, 我們需要劇本, 角色和種種對應關係....等等. 每個人, 包括我在內, 乍看這些東西, 心中一定會產生疑問, 為什麼要搞這麼複雜?! 吃飽沒事做. 其實我個人認為, 數學發展至現代, 是有其歷史脈絡的, 也就是過去最簡單的歐氏幾何, 自從西元前三百年, 希臘數學家歐幾里得發表<幾何原本>之後, 我們想當然而的過了兩千年以上, 幾何是平面幾何, 直到遇上曲面的非歐幾何之後, 人總會開始重新思考, 平常平面上的兩個點的距離可以劃一條直線來測量, 但是, 在地球的曲面上, 彎彎的, 怎麼測量? 總不能鑽進地球吧? 過去認為對的定義, 到了曲面都搞不定, 那如果更複雜怎麼辦? 到底什麼是距離? 什麼是空間? 有沒有一些定義可以放諸四海皆準, 數學家不要老是被人吐嘈: [你看, 這裏不適用了喔]... 等等, 過去理所當然的事, 原來不是那麼有道理. 研究科學, 如果每個都用差不多, 或者有些可以, 有些不行的話, 連數學都不穩固, 其他奠基在最基本數學的其他科學, 就會大亂. 人類生活的進步, 就是靠這些, 不能光靠耍嘴皮子, 還是誰拳頭大, 定規則, 定法律? 所以, 回歸到一個我們不太認識的多維空間, 超過直覺的空間時, 點和點之間要研究它的性質, 就得從最基本的集合(set)來下手.
topological space就是一個最基本, 不會出錯的空間定義, 從數學最基本的集合概念來定義, 最為扎實, 不陷入空泛的各說各話, 也就是嚴謹的定義, 當然也可以從各種互通的角度來說明.
數學和其他科學一樣, 需要定義清楚之後, 再作衍生與研究:
A topological space is a set S together with O, a collection of subsets of S, satisfying the following axioms:
1. The empty set and S are in O.
2. The union of any collection of sets in O is also in O.
3. The intersection of any finite collection of sets in O is also in O.從上面的基本定義就可以知道: 一個集合內的組成不管用聯集還是交集都還是其中的一份子才算拓墣空間的性質!! 鬆散隨便的形容: 數學經過"運算"之後, 怎麼做都會一樣就是拓樸, 譬如說: 一個圓變大變小, 拉長/壓扁還是一個圓形的狀態. 先看一下【群】的定義也是類似:
group is a set, G, together with an operation "•" that combines any two elements a and b to form another element denoted a • b. To qualify as a group, the set and operation, (G, •), must satisfy four requirements known as the group axioms:
1. 封閉性 Closure. For all a, b in G, the result of the operation a • b is also in G.
2. 結合性 Associativity. For all a, b and c in G, the equation (a • b) • c = a • (b • c) holds.
3. 基本元素 Identity element. There exists an element e in G, such that for all elements a in G, the equation e • a = a • e = a holds.
4. 反元素 Inverse element. For each a in G, there exists an element b in G such that a • b = b • a = e, where e is the identity element. 運算(operation)之後, 集合內的元素基本上都還在裡面, 就叫做符合"群"的定義. 我們先擱在一旁. 先談論幾何的一些基本觀念.
只要定義清楚, 提供強或弱的條件, 我們就可以討論研究各式各樣的空間, 諸如 Hausdorff space --- 符合Hausdorff axiom也就是for any pair of distinct points p1 and p2 in S, there exist disjoints open sets O1 and O2, each containing just one of two sets. 換句話說, 我們可以針對"點"找到一個夠小的集合, 且包含了各自一個點的集合不相交. 諸如此類, 數學家往往針對各式的空間來研究它的性質.
上述toplogical space還會產生一些觀念:
如open covering (又叫做patches, {Ui}, 後面會再提到): a collection of open sets such that every point in S is contained in at least one of the Ui;
compact: if every open covering {Ui} has a finite sub-collection {U1,.....,Uin} that also covers S.
原本和賭博有關的機率, 建立在鬆散靠直觀經驗架構的機率, 後來嚴格化之後的機率空間(Probability space), 也是類似上述如此的定義方法!!Fig. 1. 流形Manifold的性質上面大概知道一下就好, 重點是我們還是得做我們熟悉的世界, 也就是找到"亂七八糟"or不規則未知世界和我們熟悉東西之間的關聯, 這也是流形的精神所在. 因為, 在紊亂東西裡的一堆點, 點本身其實本身沒有什麼意義耶!! 它只是在那裡, 怎麼辦? 就像我們看著天空的星星, 它一直在那裡, 沒有說話, 當然也不會告訴你, 它在那裡有什麼意義? 它是什麼? 名稱都是人類給予的, 距離等觀念更只是我們賦予的. 萬一在多次元或異形空間更不知所措, 不熟悉讓我們心虛, 很抽象. 我們從出生之後, 到人類所處的環境, 只熟悉三維的座標系, 譬如說直直, 平平的笛卡兒座標系, 也只會用它做測量. 因此, 一定得用對應的關係來賦予意義, 硬把抽象的點和我們所熟悉的, 可度量的座標系攏在一起, 才有所依據, 也就是mapping, 就好像你要比身高, 總要有個人或尺當參考, 比較, 對應, 才能說高矮, 多高等等 . 譬如某個點對應某個數值, 甚至方程式. 即使"怪怪"的空間, 彼此用熟悉或特定的座標系, 找到對應關係, 可以[轉換], 知道我們所要了解與研究的空間性質. 這種數學模式就叫做manifold.
再換一種說法, 或者假想我們是古人, 當我們不知道地球是球狀的時候, 一直"傻傻不清楚"以為是平的, 我們還是很開心的測量, 但是也不會出大錯一樣, 因為只要距離不太遠, 兩點的性質可以說是直線, 而不是球面上彎曲的線. 只不過距離一拉長, 這種近似的作法就不準了!! 這就是manifold的想法, 我們取一個點附近的區域, 當很靠近時, 無線小的極限概念, 就可以假設它類似或等同歐幾里得空間來測量與討論. 當然, 要這樣說, 得經過證明, 事實上已經有人證明出來了---- A manifold is a mathematical space in which every point has a neighborhood which resembles Euclidean space, but in which the global structure may be more complicated----- 無論空間多複雜, 都可以找到很局部的區域類似歐式空間, 這樣就好辦了.
任意一個稀奇古怪的空間, 不一定找得到函數來涵蓋討論它的時候, 也就是在manifold裡怎麼做, 怎麼討論一些性質呢? 畢竟我們只熟悉歐氏幾何. 用不正式的說法就是: 我們先考慮一個 topological space S, 然後把它分成一塊塊, 一片片的patches, 當然我們可以選擇足夠的patches來覆蓋整個S, 也會造成重疊. 然後, 對於任意一個patch, 稱它作U1, 我們可以找到一個map (P1), 來一對一可逆1-1(unique invertible relation)對應至實數空間Rn. 這裡先嚴格定義專有名詞: A set (called an atlas) of maps Pi called charts, which define a 1-1 relation between points in Ui and points in an open ball in Rn.好, 現在再找另一塊patch, 叫它做U2, 它的對應mapping稱作P2, 也對應至另一個實數座標系. 數學巧妙的地方, 就是拐彎沒角, 繞路繞得大家頭昏腦脹, 又好像有一點道理. 前面不是說每一塊patch可能有重疊的地方, 喔, 我們就可以利用互換來找到兩個座標系的對應關係. 怎麼說? 這就像兩個不同的黨, 得找到共同的朋友, 才能建立合作關係或談判. 首先, 利用重疊的區域應該是一樣的共同"話題"或"朋友"(對不起, 白話無聊, 不專業一點, 也因為我是業餘愛好者而已), 所以, 從第一個實數座標系的"東西"反過來mapping(P1-1)就會到重疊的地方, 沒錯(想一下, 不難, 也就是invertible map), 然後, 再用P2不就到另一個實數座標系. 找到了對應轉換(transformation), 座標系換來換去就不再困擾 (這一段的敘述, 如上圖Fig. 1 shown). manifold正式一點的簡短說法是: 1, locally homeomorphic to Rn中的一個open set; 2, 同時 has differentiable transition functions. map既然是地圖觀念, 當然是局部的, 或鄉或鎮或市, 所以就有名詞: 一對一關係地圖的圖表(chart) 和 圖表的集合"圖譜"(atlas)的觀念. 數學上, 上述流形裡的對應, 因為拓僕空間有很多塊patch, 所以才會有上述英文正式一點的寫法是 An atlas of charts . 我們賦予最原始一堆點的拓僕空間和我們實數域的對應地圖關係(map), 就不再迷惘迷路, 這樣我們也可以應用實數域的所有學問, 把兩個領域接軌在一起稱作topological algebra. 雖然數學發展至後面, 一旦用tangent bundle, 就不需要上述的局部座標系, 也不需要atlas的觀念, 但是這畢竟還是不錯的入門, 且具有歷史意義的經典概念.manifold, 既然mapping找到, 或者找到function, 這個function就面臨是否 可微 等等問題, 可微的就叫做 Differentiable manifold, 可微幾次就用大C表示, 如可微三次, C3, 諸如此類. 還有, 一定所有manifold可以找到對應的歐式空間對應嗎? 答案是肯定的, 但是維度要大一點. 這是曾經搬上電影的數學奇才Nash(後來曾經發瘋過) 證明出來的--- Nash embedding theorem: Any manifold can be embedded isometrically into a Euclidean space of large dimension. (定義: immersion: locally one-to-one; embedding: locally diffeomorphism). 另外 strong Whitney embedding theorem: any connected smooth m-dimensional manifold (required also to be Hausdorff and second-countable) can be smoothly embedded in Euclidean 2m-space, if m>0.Manifolds with additional structure:
其實一開始, 因為空間的研究需要, 無論是天文, 地理, 物理等等, 所以才發展出幾何學. 然後遇到不能解釋的, 就找出根本問題 修正定義, 這就是數學往往都是"推廣"而作許多好玩的研究.
對我而言, 做學問有趣的地方不在於什麼都懂, 而是追求知識的過程中發現觸類旁通的快樂!!
有沒有發現上述的集合, 有點像代數(Algebra), 加加, 減減, 移動位置等等. 譬如說: 符合不同的代數運算之後 每一些定義就會有一些性質:
Groupoid(群胚): a, b屬於R---a+b也是
Semigroup(半群): a, b, c屬於R---a+(b+c)=(a+b)+c 結合律(distributive)
Monoid(單子): a, e屬於R---a+e=e+a=a
Group(群): a, a-1 屬於R---a+a-1=a-1+a=e
另外再加上交換律的話, 每個名詞前面加上commutative.
Ring(環)的定義則是: A ring (R,+,.) is a nonempty set R with two binary operations + and . on R. 有下述性質: (1) (R,+) is a commutative group; (2) (R,.) is a semigroup; (3) the two operations are related by the distributive laws.
這些令人覺得無聊的東西, 其實是反過來發展的. 當人類先由一些直觀的東西, 定義簡單的數學, 之後發現好像有些地方不適用, 就做了修正; 又或者, 好像乍看不同的領域, 有些共同的規則, 可以藉由相同的基礎來架構. 於是, 代數, 幾何, 極限等等就變成了數學常用來把不同學問統合的工具. 這無疑是人類智慧的極致發揮, 經過數百年人類精英的投入, 才逐漸發展出現在讀來複雜的理論.
代數與極限加入空間的概念, 就可以正式為一些空間定義, 包括向量空間(vector space). 先粗略看一下定義:
提到向量空間之前, 先討論向量本身. 向量在我們求學的時候, 一直把它當作直線, A和B兩點拉一條帶有箭頭的線, 叫做向量, 表面上沒錯, 但是那只適用於三維的歐式空間, 嚴格叫做 position vector. 在球面2-sphere上就不對了, 兩點一連就會穿過球, 而被切斷中斷, 那沿著球面連結兩點的弧線叫做向量嗎? 也不是, 怪怪的, 因為這種向量沒辦法符合代數性質, 不能直接加減, 不能處理. 好, 數學家很聰明, 那只好用極限, 無限小(infinitesimal)的概念, 球面上畫很小很小一段, 不就很像"小直線", 不就可以再度應用向量的概念嗎? 或者從另一個角度看, 我用一個平面只切這個點, 那不就是在切平面上走一小段叫做向量, 或者稱做 切向量(tangent vector). 仔細一看, 這樣的想法不就是微積分的概念嗎? 沒錯. 所以 tangent vector 又可以稱為 derivative operator.
現在借用上述的流形觀念, 假設manifold M 上面的 patch U, 上面存在一個局部座標 local coordinates xi, patch U 上面一條path. 我們假設沿著path上的線性遞增增加的參數s, 我們可以得到manifold M上沿著這條path的點, 表示為 xi=xi(s). 然後接著考慮一個在M上面的smooth function f. 沿著上述那條path上的點, 可以用f產生數值為f(xi(s)).
根據chain rule, 我們可以代出
, 左邊最下方的表示法, 是愛因斯坦對於"和"的簡寫方式(Einstein summation convention).
我們可以定義下述 沿著那條path的 directed derivative operator V, 這樣可以將smooth function f 導向map至R 實數域, 也就是產生數值 .
這樣的定義就可以符合 linearity property V(f+g)=Vf+Vg ; Leibnitz property V(fg)=(Vf)g+f(Vg).
在M上的p點的tangent vectors所構築而成的向量空間, 稱做 tangent space, 記做Tp(M) .
接著, 我們可以運用泰勒展開式(Taylor's theorem), 表示local coordinates xi:
, xip denotes the coordinate system to the point p.
我們定義:
---Vi 就是向量 V 的組成.
然後就得到, 因此就可以發現向量空間的基底(coordinate basis)就是, 這裡可以發現切向量空間的維度等於座標系xi的數目, 也和manifold M 的維度一樣. 總結一下, 有別於唸書時代定義於歐氏空間的直線, 向量 V 現在的定義是獨立於座標系(coordinate-independent) , 也就是沒有關係; 但是它的組成 Vi 是和座標系相關的(coordinate-dependent). 大方向沒變, 東西沒變, 但是觀察者改變的話, 只是裡面的每一個座標方向改變而已, 那麼改變的公式很簡單, 利用chain rule, , 這就是general coordinate transformations.
這個切向量空間上每一點不是會有很多條經過它的所有可能切向量, 把它們集合起來就是 tangent bundle, , 定義為T(M)或TM.
回到前面提到的向量空間(vector space), 定義是說向量經過有限次數的加法(addition)或乘上"純量"scalar multiplication)仍舊還是屬於向量空間內, 這是封閉性.
一般而言, 舉例: 在Rn裏的向量空間, 向量的表示方法為: n-tuplet (a1, a2, ....., an)
加法(vector addition): (a1, a2, ....., an) + (b1, b2, ....., bn)=(a1+b1, a2+b2, ....., an+bn)
scalar multiplication: r 是實數, r(a1, a2, ....., an)=(ra1, ra2, ....., ran)
當然, 在實數域裡, commutativity, associativity等一大堆性質依舊成立.
不同的向量空間X, Y 經過彼此運算, 也會成為另一種形式的向量空間, 也就是張量空間(tensor-product (vector) space) : 張量積也符合distributive law , 假設xi, yj分別是X,Y的basis, 所以張量空間 tensor product space Z=zijxiyj, 它的維度就是兩個空間維度的乘績.
從上述就可以輕易發現, 純量和向量其實就是張量的特例, 不過現實世界還有一個常見的量, 物理和機械工程領域稱為covector, 數學習慣稱作 linear functional (源自linear algebra, dual space的duality). 這是什麼? 簡單的說, 就是把covector x 和 vector v一起運算, 會產生純量(scalar), 記號計做 <x,v> 或 . 為什麼要搞這個, 因為實際例子有發生過. 舉例來說, 有n個產品x (x1, ...xn), 每個產品有其相對應的價格p (p1,...pn), 現實生活我們要算總價格, 會分別把它們乘起來, 得到 , 您會誤以為, 這不就是向量的內積 (dot product or inner product) 嗎? 幹嘛多此一舉, 多一個定義? 很像是沒錯, 但是數學得精確, 畢竟 p 和 x 屬於不同的空間, 所以不能說是內積, 因為內積是大家都在同一個向量空間才可以相乘. 因此, 這類會將向量經過相乘產生純量的另一空間的東西, 稱作covector, 注意到沒, p和x不能相加 (數量和價格沒辦法相加), 所以各自隸屬不同的空間. 您不必沮喪, 怎麼會那麼複雜? 不玩了, 好像沒用? 放棄吧! 其實數學光看現代發展出來的內容, 一大堆, 這都是發展數百年逐漸得來的, 有的憑空推演而來, 有些則是經驗或其他應用科學倒回來影響數學而產生, 絕對沒有特別難, 只是一下子要吸收, 會突然感到害怕, 我也是如此, 克服心理障礙是重要的課題. 人為定義與推理, 沒有人天生就會的. 這些已經變成高階研究的工具, 不懂, 等於自外於科學領域, 不屬於這一"群"裡面.
煩一點, 來點正式一下的定義: for every vector space X, there exists the notion of its dual space X* , which is the space of linear maps
. 把X變成在實數域裡的純量的東西叫做Covector.
變來變去, 不同的東西可以變嗎? of course.
其實已經發生過or 本文提到過了, 我前面“蓋“過. 我們從頭再用向量的微分形式來說明, 溫習一下.
一樣, 向量是座標表示法x (x1, x2,.... ,xn). 不是純量數字怎麼會有微分, 和以前高中學得不太相同, 其實有的.
還記得manifold嗎? 我們假定y=f(x), 也就是向量 x 經過f函數產生數值y. 當然如果x隨 t 改變( 根據證明: 曲線都可以用時間表示一個函數), 也就是這些點形成一條curve f(x(t)) . 利用chain rule得到
定義速率v=(v1, ...., vn)=dx/dt
上述簡化成, 左邊的符號就可以另外稱為梯度gradient (grad f):
. 和前段提到的 , f 就是grad, 只是表示方法不同而已. 還有您可能發現, 奇怪? f不是純量or數值嗎? 怎麼經過grad之後變成向量. 沒錯, 就和covector一樣, 很多東西可以轉換.
上述是針對整條curve, 如果只針對某一點x 的v方向, 會出現什麼? 答案就是極限or微分概念:
所以, 稱作在方向 v 的directional derivative of f . 唉, 有時候自我催眠, 每天看, 就不會覺得囉唆無聊?! 我們到這裡, 靈活運用一下, 可以把向量空間裡的東西, 都加一點covector觀念, 譬如tangent space(bundle), 就有相對應的cotangent space(bundle)等等.
df 或 就是covector, 因為, 所以 這種df 或 "東西" 稱作differential 1-form 或 exterior derivative 或 gradient.
單位的轉換, 是無所不在的, 科學的研究把一些量乘來乘去, 總是會發現單位有時候怪怪的. 回頭從張量說起, 粗略來說, 張量(tensor)在數學領域屬於multilinear algebra, 物理領域裡多指空間. 張量從物理角度說明比較容易, 我們必須得從單位說起. 舉例來說: 什麼是 stress(T) 應力 ? 按照物理的定義是[單位面積dS所承受的力F], F=TdS, 力是向量沒錯, 面積呢? 微積分裏它也是orientable, 有方向性, 所以也可視為向量. 那你就會猜, 按照公式推理, stress不是純量, 就是一個"奇怪"未知/未定義過的量, 公式才會單位不出錯. 但是我說純量不行, 為什麼這麼說? 因為, 如果物理學要同時探討不同方向的stress, 如tensile stress(normal force產生的)以及shear stress(tangential force產生的), 一個純量符號怎麼可以應付兩種具方向性的性質, 因此才設想出stress, 得有兩個向量的組成(dyad), 這也是張量這個名稱的由來(拉丁文是tensus, 也就是stress or tension的意思). Stress tensor也是科學第一個探討的張量. 有一就有二, 有二就有三, 如此數學的推廣, 我們就知道, 純量是量乘以零個方向, 向量是純量乘以一個方向, dyad是純量乘以兩個方向, triad則是純量乘以三個方向, 如此類推到n個方向的n-ad, 一個名詞就是指張量方向的個數, 也就是rank, 前述分別是純量rank=0, 向量rank=1, dyad--rank=2, triad--rank=3,....n-ad -- rank=n. 推理一下, 每個方向如果座標系有m個方位(m維), 那麼變數乘起來不就很可觀, 也就是n x m, 這就是matrix的運算規則一樣.
由matrix很重要的性質, matrix放前面乘和放後面乘, 算出來的結果是不一樣的, 因此, UV不等於VU, 不符合交換律, 所以張量也是[非交換]的(non-commutative).
.
Manifolds definable by a particular choice of atlas:
Topological manifold
Piecewise linear manifold
Differentiable manifold
Smooth manifold
Analytic manifold
Complex manifold
Riemannian manifold
Pseudo-Riemannian manifold
Finsler manifold
Symplectic manifold
Almost complex manifold
Lie group
Infinite-dimensional manifolds:
Hilbert manifold
Banach manifold
Fréchet manifold
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In a flat manifold such coordinates can be extended indefinitely, but even on a curved manifold they are well-defined out to some finite distance from the given point O, with this distance being dependent on the amount of curvature
In a flat manifold such coordinates can be extended indefinitely, but even on a curved manifold they are well-defined out to some finite distance from the given point O, with this distance being dependent on the amount of curvatureControversies Over the Equivalence PrincipleIn attempting to generalize the (then) restricted theory of relativity in 1907, Einstein was strongly influenced by the evident fact that a person in a gravitational free-fall does not feel their own weight. In other words, for someone falling freely in a gravitational field, it is as if the gravitational field does not exist. This idea, which Einstein called "the happiest thought of my life", is strikingly similar to Galileo's realization (three hundred years earlier) that, for someone moving uniformly in a straight line, it is as if the motion does not exist. This insight of Galileo's was the basis of special relativity, and it's easy to see why Einstein regarded his theory of gravity as a generalization of relativity.
The idea that gravity "does not exist" with respect to a freely falling system of reference was raised by Einstein to the status of a principle, which he called the Equivalence Principle. (Interestingly, just as in the case of the relativity principle itself, the original primitive version of the principle of equivalence was given by Galileo, who argued that all objects undergo the same acceleration due to gravity.) Einstein gave various statements of the equivalence principle over the years, and many other people have proposed interpretations of it as well. Einstein’s original statement of this idea, in his 1907 review article on relativity, was disarmingly simple:We consider two systems S1 and S2… Let S1 be accelerated in the direction of its X axis, and let g be the (temporally constant) magnitude of that acceleration. S2 shall be at rest, but it shall be located in a homogeneous gravitational field that imparts to all objects an acceleration –g in the direction of the X axis. As far as we know, the physical laws with respect to S1 do not differ from those with respect to S2; this is based on the fact that all bodies are equally accelerated in a gravitational field. At our present state of experience we have thus no reason to assume that the systems S1 and S2 differ from each other in any respect, and in the discussion that follows we shall therefore assume the complete physical equivalence of a gravitational field and a corresponding acceleration of the reference system.An essentially identical statement of the principle of equivalence is given in Einstein’s 1911 paper on the bending of light, where he talks again about a homogeneous gravitational field, and of course he immediately applies this principle to the gravitational field of the Sun, so there can be no doubt that he had in mind “real” gravitational fields produced by masses. In an article on the fundamental ideas of relativity theory, written in 1920, Einstein recalled his epiphany in greater detail:When I was busy (in 1907) writing a summary of my work on the theory of special relativity, I also had to try to modify the Newtonian theory of gravitation such as to fit its laws into the theory… At that moment I got the happiest thought of my life in the following form: The gravitational field has a relative existence only in a manner similar to the electric field generated by magneto-electric induction. Because for an observer in free-fall from the roof of a house there is during the fall – at least in his immediate vicinity – no gravitational field. This is to say, if the observer lets go of any bodies, they remain, relative to him, in a state of rest or uniform motion…This is similar to most modern statements of the principle, in the sense that it asserts a gravitational field – over a sufficiently small region (“immediate vicinity”) – can be “transformed away” by a suitable choice of free-falling coordinate system. Nevertheless, some modern scholars have claimed that Einstein never endorsed this “infinitesimal” form of the equivalence principle in arbitrary gravitational fields. For example, John Norton (1985) accuses Pauli of misrepresenting the principle by stating it in this form, and yet Einstein himself explicitly tells us that this is how he first conceived the idea, and how he continued to view it in 1920. Of course, in the same 1920 article he went on to sayOne can also start with a space that has no gravitational field. A material point in this space, when sufficiently distant from other masses, behaves free of acceleration relative to an inertial system K. However, if one introduces a uniformly accelerated coordinate system K’ relative to K (uniformly accelerated parallel translation), … we can also view K’ as an admissible system (at rest) and attribute the acceleration of masses relative to K’ to a static gravitational field that fills the entire space that is under consideration.This is similar to Einstein’s actual statement of the principle in the 1907 review article, and also to the formulation in his 1916 paper on the general theory, but it’s worth noting that he presents it here as a secondary alternative, another side of the same coin. That he considered both of these as entailed by the equivalence principle can be seen from his autobiographical notes, written in 1949:Now it came to me, the fact of the equality of inertial and gravitational mass, i.e., the fact of the independence of the gravitational acceleration from the nature of the falling substance, may be expressed as follows: In a gravitational field (of small spatial extension) things behave as they do in a space free of gravitation, if one introduces into it, in place of an “inertial system”, a frame of reference accelerated relative to the former.We also find in Einstein’s obituary for Ernst Mach (1916) a clear expression of the idea that it is not possible to distinguish – locally – a gravitational field from an accelerating coordinate system. He wrote that, although Mach clearly recognized many of the weaknesses of classical mechanics and the principle of inertia…the vivid consciousness was missing that the equivalence of inertial and gravitational mass elicits a postulate of relativity in a wider sense, because we are not in a position to decide by experiments if the falling of a body relative to a coordinate system is caused by the presence of a gravitational field or by a state of acceleration of the coordinate system.In some ways the clearest expression of the principle is the one given in Einstein’s 1918 paper on the foundations of the general theory, where he wroteInertia and gravity are phenomena identical in nature. From this and from the special theory of relativity it follows necessarily that the symmetric fundamental [metric] tensor gmn determines the metric properties of space, the inertial behavior of bodies in this space, as well as the gravitational effects.This and many other similar statements show that, unlike many modern scholars, Einstein did not regard “flat” Minkowski spacetime as being free of a gravitational field. He regarded the inertial field and the gravitational field as identical, represented by the metric tensor. In particular, he did not identify curvature with gravitation, which is why in his 1907 review article he was able to speak about a “homogeneous gravitational field”. According to some modern physicists this is a contradiction in terms, because they maintain that a gravitational field is identical with intrinsic curvature of the spacetime manifold, whereas (by definition) curvature is absent from a homogeneous gravitational field. Nevertheless, it is possible – at least in principle – to construct such a thing, by a suitable arrangement of masses (a fact which strangely doesn’t seem to embarrass those who identify gravity with curvature). The resolution of this conundrum is simply that gravity is not a local phenomenon. Indeed this is another way of expressing the equivalence principle. A crude depiction of this idea is shown in the figure below.It’s possible to arrange masses in such a way as to produce a situation such as shown in this figure. There is no doubt that this situation requires the existence of some curvature somewhere, but the interior region can be intrinsically flat, even though free objects in the interior accelerate relative to the flat exterior spacetime. Would we really say there is no gravitational field in the “flat” interior region? This shows that it is too simplistic to identify gravity with curvature. It is analogous to claiming an absolute distinction between electric and magnetic fields. The approach advocated by Einstein – regarding the metric tensor as both the gravitational and the inertial field, regardless of whether there is curvature at any given point – is much more intelligible.In Einstein’s 1921 Princeton lectures (published in book form as “The Meaning of Relativity” in many subsequent authorized editions up to 1955) we find another clear assertion of the infinitesimal version of the equivalence principle:In the immediate neighborhood of an observer, falling freely in a gravitational field, there exists no gravitational field. We can therefore always regard an infinitesimally small region of the space-time continuum as Galilean.Despite all these clear statements, Norton (1985) argues that Einstein not only didn’t endorse the “infinitesimally flat” interpretation of the equivalence principle, but actually gave a “devastating” argument against it. This refers to Einstein’s 1917 correspondence with Moritz Schlick on how (and whether) the geodesic equations of motion of general relativity can be derived from the assumption of local inertial motion together with the equivalence principle. Schlick had written an exposition (which Einstein generally admired) of relativity theory, but on this one point Einstein objected:[Your] derivation of the law of motion of a point mass... is based on the premise that the point moves in a straight line as seen from the local coordinate system. However, from this nothing can be derived. The local coordinate system is generally significant only at the infinitesimal level, and at the infinitesimal level every continuous line is straight.Taken out of context, Einstein’s claim that “every continuous curve is infinitesimally straight” would be rather puzzling. It's true that the difference between the tangent directions at two points on a continuous curve goes to zero as the points are brought arbitrarily close together, but the measure of deviation from straightness is not this difference, but rather this difference divided by the path distance between the two points. In other words, the deviation from straightness is represented by the rate at which the tangent direction changes per unit distance along the curve. This rate does not go to zero in the infinitesimal limit. Of course, to evaluate this rate in an unambiguous way, we need to be able to single out a suitable coordinate system at the given point. In Riemannian geometry this is represented by Riemann normal coordinates, which can be defined at any given point O to not only have vanishing Christoffel symbols at that point, but to also be such that the ratios of the coordinates of any other given point P in the vicinity of O are equal to the ratios of the differential components of the geodesic path OP at the origin, and such that the sum of the squares of the coordinates equals the square of the extremal path distance from the origin. In a flat manifold such coordinates can be extended indefinitely, but even on a curved manifold they are well-defined out to some finite distance from the given point O, with this distance being dependent on the amount of curvature. (Beyond that distance the coordinates overlaps and hence are no longer well-defined.) It can be shown that the geodesic curves of the manifold are precisely the curves that are unaccelerated in terms of the Riemann normal coordinates at every point along the curve. Hence the idea that we arrive at geodesic motion by combining Galileo’s law of inertia with the equivalence principle is basically valid.Nevertheless, Einstein was justified in taking exception to Schlick’s derivation, because Schlick didn’t introduce Riemann normal coordinates, but rather based his argument on the assertion that Minkowski coordinates can be defined in an infinitesimal region. Moreover, he then proceeded to treat the infinitesimal line element ds as if it was of non-zero extent, by claiming that the “law of motion” of an inertial path is expressed by the line elementThis could be construed as a valid equation for a straight line only if the differentials were replaced with finite increments and the metric was Minkowskian over a finite region. Needless to say, the terms of this “line element” are actually infinitesimals, and this relation between the differentials applies to any curve in spacetime, not just to straight or inertial paths. Thus Einstein was correct in pointing out that nothing can be inferred from this about the “law of motion” of inertial particles. When he said every curve is infinitesimally straight, he just meant that the line element (which Schlick was presenting as the equation of an inertial path) applies to all paths, whether they are inertial or not.Having recognized the vacuity of Schlick’s argument, the question is how to repair it. We could point out the existence of Riemann normal coordinates, give the actual condition for “straightness” (i.e., the vanishing of the second derivatives) in terms of such coordinates, and then show how those conditions transform into the geodesic equations in terms of arbitrary coordinates. This would carry through, in a legitimate way, the basic idea that Schlick seemed to be trying to express, which is that “straightness” in the infinitesimal implies geodesics in the finite regime. However, this approach requires more mathematical sophistication than may have been desirable in a popular book of this kind. So, Einstein apparently tried to take a shortcut, making use of nothing but the line element, which is the only mathematical entity that Schlick had introduced (aside from a brief glimpse of the variational condition in a footnote, which is not invoked in the discussion). Einstein wroteThe correct derivation runs as follows: In principle there can exist finite (matter-free) parts of the world for which ds2 = dx12 + ... + dx42 with an appropriate choice of the reference system. (If this were not the case, then the Galilean law of inertia and the special theory of relativity could not have held good.) In such a part of the world, the Galilean law of inertia holds with this choice of reference system; and the world line is a straight line, and therefore a geodesic, with an arbitrary choice of coordinates.This is certainly true as far as it goes, but it doesn’t really address the issue, because it is limited to regions of flat spacetime, since it relies on the Minkowski metric being applicable over a finite region. So, to this point, Einstein has only asserted that the stationary paths are independent of coordinate system (up to diffeomorphism). Then he concludes his “correct derivation” by sayingThat the worldline of a point is a geodesic in other cases too (if none other than gravitational forces act) is an hypothesis, even if a very obvious one.Needless to say, this is not the promised “correct derivation” of the proposition that particles follow geodesic paths in curved spacetime, because he ends up claiming instead that there is no derivation, i.e., that the proposition is an independent hypothesis. This may seem surprising, in view of the fact that (as explained above) the geodesic equations of motion can be explicitly derived from the premise that the geodesic paths are precisely the paths that are linear (unaccelerated) in terms of the Riemann normal coordinates at each point. But of course that derivation relies on the hypothesis that the space is actually a Riemannian manifold, which corresponds precisely to the Equivalence Principle in general relativity. Hence, Einstein’s correction to Schlick is valid, provided we understand that the needed hypothesis to which he refers is nothing other than the Equivalence Principle.To substantiate this interpretation, we need only read the “corrected” version of the derivation as presented in later editions of Schlick’s book. We see immediately that his confusion was due to a basic misunderstanding of the Equivalence Principle. He actually enunciates two separate principles, one devoid of content and called by him the Equivalence Principle, and the other actually embodying the meaning of the Equivalence Principle but called by a different name. It is the latter that he invokes (with Einstein’s approval) to fulfill the required hypothesis and complete the derivation of geodesic motion.According to Schlick, the Principle of Equivalence is the proposition that the acceleration of a free particle may, with equal justification, be interpreted as an effect of inertia or of gravity. Well, this sounds superficially somewhat like an attempt to express the Equivalence Principle, but it is too vague to carry any real meaning. The statement that acceleration can equally well be "interpreted" as the effect of either of two conventionally distinguished "causes" doesn't have much scientific content. For example, it doesn't specify what it means to "interpret" something as being an effect of inertia or an effect of gravity. Inertia is understood to manifest itself in the lack of acceleration of a free particle, so if we say we can interpret the acceleration of a particle as an effect of inertia, we must mean something more complicated, such as the idea expressed by Einstein's elevator example. In other words, we must mean the apparent accelerated motion of a particle with reference to one system of coordinates can be interpreted as inertial (un-accelerated) motion with reference to a different (accelerated) system of coordinates. Likewise the "gravity interpretation" will have meaning only if it is expressed in terms of coordinate systems.If Schlick had pursued this to its conclusion, he would have found (as did Einstein and most modern authors on the subject) that the real content of the Equivalence principle can be expressed by simply saying that special relativity applies in every sufficiently small region of spacetime (i.e., the very definition to which Norton objects). In fact, Schlick himself does indeed come to understand that this proposition is a crucial principle underlying general relativity. He says…for infinitely small domains, and for systems of reference, in which the bodies under consideration possess no acceleration, the special theory of relativity holds.Compare this with, for example, Weinberg’s statement of the Equivalence PrincipleAt every spacetime point in an arbitrary gravitational field it is possible to choose a locally inertial coordinate system such that, within a sufficiently small region of the point in question, the laws of nature take the same form [as in special relativity] in the absence of gravitation.Unfortunately, instead of referring to this as the correct statement of the equivalence principle, Schlick assigns it a separate name, dubbing it the “principle of continuity”. The source of this was presumably Ernst Mach, who, along with Einstein, is usually cited as inspiring the logical positivism of Schlick and the rest of the Vienna Circle. In “The Science of Mechanics” Mach wroteIn all his reasonings, Galileo followed, to the greatest advantage of science, a principle which might appropriately be called the principle of continuity. Once we have reached a theory that applies to a particular case, we proceed gradually to modify in thought the conditions of that case, as far as it is at all possible, and endeavor in doing so to adhere throughout as closely as we can to the conception originally reached. There is no method of procedure more surely calculated to lead to that comprehension of all natural phenomena which is the simplest and also attainable with the least expenditure of mentality and feeling.Schlick regarded the proposition that special relativity applies in infinitely small regions as an example of the principle of continuity – or rather, he regarded the thought process leading to this proposition as an example of that principle, but the proposition itself is nothing other than the equivalence principle. This is what he invokes to repair his argument about geodesic motion (in response to Einstein's criticism). He failed to recognize that this “principle of continuity” subsumes what he earlier called the principle of equivalence. In essence, Schlick chose to bifurcate the equivalence principle into one meaningless part and one meaningful part, and call the meaningful part by a different name. Everywhere he uses the term “principle of continuity” he means what is commonly known today as the equivalence principle. Furthermore, it is the infinitesimal form of the principle, i.e., the form that Norton contends is dealt a devastating blow in the Einstein-Schlick letters. Far from supporting Norton’s claim, those letters (and the rest of the writings of Schlick and Einstein) conclusively refute it, and prove that the infinitesimal form is precisely what they had in mind, and certainly what is needed to complete the derivation of geodesic motion (given the premise of inertial motion in special relativity).To be clear, we do not claim to be able to derive geodesic motion “from scratch”, but simply that the combination of the (naive) law of inertia for flat spacetime together with the equivalence principle (which allows us to carry over all the intrinsic properties of flat spacetime to infinitesimal regions of curved spacetime) is sufficient to imply that inertial particles follow geodesics. In view of this, Norton’s use of the Schlick-Einstein discussion to argue against the infinitesimal form of the equivalence principle is unfounded.It’s interesting that Einstein didn’t detect Schlick’s “error” on first reading, and in fact had only praise for the treatise. He wrote to Schlick on February 6Your exposition is of matchless clarity and perspicuity… I have absolutely nothing to criticize, but can only admire the pertinence of your way of thinking and expression.Not until six weeks later, on March 21, did he write a follow-up note, containing the objection discussed above. He wrote:Upon re-reading your fine essay in Naturwissenschaften I do find another small inaccuracy. I am informing you of it in case your article is reprinted elsewhere…Schlick dutifully altered the passage in question when his essay was republished a couple of years later, paraphrasing (as best he could) Einstein’s “correction”. In the revised version, Schlick wroteIf we could now regard the domains of the 'local' system as being infinitesimal, the whole world-line in it would shrink to an element ds, [so] the reflection made above would become meaningless, and we could draw no further inferences. However, since the Law of Inertia and the Special Theory of Relativity have been so widely confirmed by experience, it is clear that there must in reality be finite regions, for which, if we choose a suitable system of reference, [the Minkowski line element is valid], viz. those parts of the world in which, with this chosen system, no perceptible influence of gravitating matter exists. In it the world-line is for this system a straight line, and consequently for arbitrary systems a geodetic line.Up to this point he is talking purely about flat spacetime, and repeating Einstein’s explanation about how the straight lines in terms of Minkowski coordinates generalize to geodesics in terms of arbitrary coordinates. Hence there is no physical content, it merely describes the mathematical consequences of changing the coordinate system. Then Schlick continuesWe now again recall our Principle of Continuity (according to which the new laws are to be assumed, in such a way that the old laws are contained in them unchanged as nearly as possible, and the new ones resolve into the latter for the limiting case) ; and we then make the hypothesis that the relation obtained in this way is valid quite generally for every motion of a point under the influence of inertia and gravitation, i.e. that the world-line of the point is always a geodetic even when matter is present. This gives us the desired fundamental law.So, as noted above, Schlick invokes the equivalence principle, albeit under a different name. Of course, he still hasn’t made use of the actual conditions for “stationarity”, other than noting the variational integral in a footnote, but perhaps for a popular book that is sufficient. As an aside, we note that Schlick’s second definition of the principle of continuity (in parentheses in the above passage) he seems to anticipate Bohr’s “correspondence principle”.Torretti (1983) repeated the claim that “every curve is straight in the infinitesimal”, and to support this he notes that lines of constant latitude on the Earth’s surface are generally not geodesics, even though they may be considered (by local townspeople) to be “approximately straight” in a small region. But this is a false analogy, precisely because lines of constant latitude are not straight lines on the Earth’s surface, despite how they may be informally regarded, and the deviation from “straightness” of these lines is independent of how small a region we consider. It is perfectly possible at any point on the surface of a sphere to define – by means of local absolute measurements – a set of Riemann normal coordinates, in terms of which the geodesics through the origin are precisely the straight lines, i.e., the curves whose second derivatives vanish. Lines of constant latitude are not straight in this sense, and their non-straightness is independent of how small a region we consider. Granted there may be practical difficulties in making measurements on a very small scale, just as it may be practically unfeasible to measure the speed of a moving object over an arbitrarily short duration of time, but it does not follow that all objects are motionless.Torretti (like Norton) confuses properties of the manifold with properties of the coordinate systems. Recall that Einstein explicitly distinguished between these two things, at least for flat manifolds, in his letter to Schlick, when he said the straight lines are the curves with zero second derivatives in terms of Minkowskian coordinates, and he then asserted that these lines are also straight even if we express them in terms of any other coordinate system, because straightness is invariant. By saying this, Einstein is stipulating that he is not defining straightness as a coordinate-dependent thing (such as one might define lines of constant latitude as “straight”). He recognizes that we can always define coordinates (even in a flat manifold) that curve in tandem with any given path, such that the curve’s second derivative is zero in terms of these coordinates, but this is of no significance, because straightness is a coordinate-independent quality, based purely and unambiguously on the metrical properties of the manifold. Lines of constant latitude on a sphere are not straight in this coordinate-independent sense, regardless of how small a region we consider, so Torretti’s argument is based on a misconception. Einstein was correct in saying that the proposition that particles move along geodesics in spacetime was a hypothesis, but he was wrong in saying that it was a separate hypothesis from the combination of the principle of inertia in flat spacetime and the equivalence principle. These two principles already entail the general geodesic hypothesis, because even in flat spacetime we can define physical straightness only in terms of the metrical properties of the manifold, and these properties are carried over, locally, to curved spacetime by the equivalence principle. Hence we must conclude that Einstein (not to mention Norton, Ohanian, and Torretti) was mistaken in thinking that a separate hypothesis is needed.Ironically, in later years Einstein continued to be vexed by this issue, and he tried to show that the geodesic hypothesis is actually unnecessary, because it is implicit in the field equations themselves. It’s true that the field equations of general relativity entail geodesic motion for mass-energy (in the absence of non-gravitational forces) but, as explained elsewhere, this is really just a consequence of the fact that Einstein chose for his field equations a gravitational tensor whose covariant derivative vanishes identically, to ensure local conservation of energy-momentum, and this requirement is essentially equivalent to the geodesic hypothesis. Weinberg, for one, downplayed the investigations of Einstein and others into the question of whether the equations of motion in general relativity follow from the field equations (a by-product of which was the development of the post-Newtonian approximation for celestial mechanics), commenting that “the equations of motion in general relativity should be derived from the equations of motion in special relativity and the Equivalence Principle”.Incidentally, it’s interesting that Einstein often expressed his basic principles in terms of "impossibilities", such as the impossibility of distinguishing between inertia and gravity in suitable circumstances. He apparently borrowed this approach from thermodynamics, whose first and second laws he characterized as assertions of the impossibility of perpetual motion machines of the first and second kind. Perhaps this was due to his experience as a patent examiner.The validity of Einstein’s strong version of the equivalence principle has been (and continues to be) challenged by many authors, usually based on the claim that tidal effects and/or intrinsic curvature make it possible to distinguish gravity from acceleration, even over arbitrarily small regions of spacetime. One of the most outspoken critics was J. L. Synge, who famously wrote (in his 1960 text on general relativity)I have never been able to understand this Principle… Does it mean that the effects of a gravitational field are indistinguishable from the effects of an observer’s acceleration? If so, it is false. In Einstein’s theory, either there is a gravitational field or there is none, according as the Riemann tensor does not or does vanish. This is an absolute property; it has nothing to do with any observer’s world-line. Spacetime is either flat or curved… The Principle of Equivalence performed the essential office of midwife at the birth of general relativity, but… I suggest that the midwife be now buried with appropriate honors and the facts of absolute space-time faced.
Clearly Synge was a proponent of the idea that gravity is to be identified with curvature, an idea which, as discussed above, is fundamentally contrary to the meaning and content of general relativity. Carrying on with this tradition, Ohanian argued that we can easily detect the presence of gravitation in a freely falling region by noticing the tidal distortion exhibited by a non-viscous drop of liquid in free fall. He observes that this distortion does not go to zero as the size of the droplet approaches zero. However, this reasoning is fallacious, because the equivalence principle is understood to refer to sufficiently small regions of spacetime, not just of space. We must consider a small spatial region in the free-falling frame over a sufficiently short duration of time. (This can also be regarded as a spatial limitation from the standpoint of the “stationary” frame.) When Ohanian's water droplet enters this region, the molecules are already configured with the tidal bulge, and when those molecules depart the region they are in the very same configuration. This is just a re-statement of Einstein’s story about the man falling from a roof, who finds that, if he lets go of some objects, they remain relatively stationary or move uniformly. This does not disprove the equivalence principle, it confirms it. The molecules of the droplet have exhibited no acceleration relative to this free-falling system of coordinates. The particular way in which those molecules were configured when they entered the region is irrelevant.In his book “Gravitation and Spacetime”, Ohanian describes an actual measurement technique which he claims falsifies the equivalence principle. He describes a small (a fraction of a meter) device capable of detecting extremely small amounts of tidal distortion while in free fall. However, he blithely mentions that the measurement precision is proportional to the settling time, which he says is roughly 10 seconds. Well, this time interval represents three billion meters, which hardly qualifies as infinitesimally small, and Ohanian admits that the detected tidal effects go to zero as the time interval goes to zero. Far from falsifying the equivalence principle, this (again) merely confirms it.It is sometimes argued that the equivalence principle is true but trivial, because on an infinitesimal basis we can choose a coordinate system that makes any curve “straight”, but this is just a repetition of Einstein’s objection to Schlick’s derivation of geodesic motion. We cannot make any arbitrary curve “straight” in the sense of being stationary under continuous variations. Of course, as noted above, we can choose a coordinate system that is accelerated in tandem with a given particle, but if (for example) we match the acceleration of an electron in an electric field, we will find that a neutron is generally not in uniform motion with respect to those coordinates, even at the very same point. Hence the acceleration produced by an electric field cannot be “transformed away” by a change of coordinate systems. In contrast, if we choose a coordinate system to match the gravitational free fall of a particle, then every other particle has the same acceleration at that point. This is by no means a trivial fact. (Einstein called it “extremely strange” in his “Ideas and Methods” paper.)The equivalence principle signifies that there is no gravitational force, per se. In a region of spacetime where gravity exists, there is nothing "there" other than spacetime, and the inertial motion of mass-energy. Gravitation is an attribute of spacetime, rather than something that exists within spacetime. All the other forces in nature, such as electromagnetism, seem to exist within space and time, as do all other forms of mass-energy. This is one of the fundamental reasons that gravitation doesn't fit easily into the framework of the other fundamental forces and particles. It also helps explain the approach taken by the minority of researchers (including Einstein) who treat gravitation, inertia, and spacetime as the primary objects of study, rather than following the majority who take non-gravitational forces and particles (which seem to exist within spacetime) as the main focus of interest.By the way, Einstein had occasion to respond directly to the charge that the equivalence principle is trivial because it applies in general only over infinitesimal regions. In reply to a paper by Ernst Reichenbacher in 1920 he wrote[Reichenbacher] raises the objection against the principle of equivalence that gravitational fields for finite spacetime domains in general cannot be transformed away. He fails to see that this is of no importance whatsoever. What is important is only that one is justified at any instant and at will (depending upon the choice of a system of reference) to explain the mechanical behavior of a material point either by gravitation or by inertia. More is not needed; to achieve the essential equivalence of inertia and gravitation it is not necessary that the mechanical behavior of two or more masses must be explainable by the mere effect of inertia by the same choice of coordinates. After all, nobody denies, for example, that the theory of special relativity does justice to the nature of uniform motion, even though it cannot transform all acceleration-free bodies together to a state of rest by one and the same choice of coordinates.He had made the very same point in a footnote to his 1911 paper on light deflection:Of course we cannot replace any arbitrary gravitational field by a state of motion of the system without a gravitational field, any more than, by a transformation of [special] relativity, we can transform all points of a medium in any kind of motion to rest.Disagreements about the meaning and significance of the equivalence principle are, in a sense, extensions of the old debates about the principle of least action. Some scientists, from Maupertius to Planck, have regarded the principle of least (or stationary) action with almost mystical reverence, as some kind of expression of divine will, whereas others have seen it as merely a descriptive device, applicable in many (but not all) contexts, with no profound underlying significance. (The “sum over all paths” formulation, advanced by Feynman, goes some way towards “explaining” why stationary action is so prevalent, but only by means of quantum superposition, which then leads to the measurement problem of quantum mechanics.) It’s interesting that the non-local and even teleological aspects of general relativity were already present in the ancient debates over least action, and the same concerns can be seen in Einstein’s “correction” of Schlick. The claim that “every continuous path is infinitesimally straight”, and therefore it is not possible to distinguish straight paths from curved paths on an infinitesimal basis, is essentially equivalent to the claim that “infinitesimal stationarity” cannot be the cause of anything. In other words, if we claim that over a sufficiently small interval the difference between the motion of a particle moving on a curved path cannot be physically distinguished from a particle moving on a straight path, then we cannot account for the fact that the particle moves in a straight path (even in flat spacetime) – unless we invoke the principle of least action over a finite interval.Hence we are led to a non-local application of the principle if we insist that it can have no causative effect over infinitesimal intervals. Indeed the sum-over-all paths explanation is explicitly non-local, which of course is what leads to the measurement problem. An alternative approach is to simply reject any sort of causal implications, and regard geodesic motion (stationary action) as purely descriptive, or else to suggest that it is tautological for free objects to move along geodesics because we ultimately define geodesics (and the rest of our spatio-temporal model) by the paths of free objects. The question then becomes one of consistency, i.e., why there so much coherence in the motions of objects, such that it is possible to define a single system of space and time coordinates (not necessarily flat) in terms of which the motions of such a large number of entities are (at least approximately) geodesics. 分离公理- 维基百科，自由的百科全书
https://zh.wikipedia.org/zh-hk/分离公理頁庫存檔在拓扑学及相关的数学领域裡，通常对于所讨论的拓扑空间加有各种各样的限制 ... 空间或「柯尔莫果洛夫空间」，若在X內，任意兩個相區別的點皆為拓撲可區分的。0101
让我们谈谈幸福的日记
转这学期拓扑学助教的日志
2012-09-17 13:10:06
先说一下我的出现规律，我每周四课间会去收作业，但是不会久呆，因为我自己还有课程。如果有同学要补交作业的话请在不晚于第二周周一之内完成，我工作日一般会在数学学院图书馆（理科一号楼一楼偏英杰交流中心的门），周末补交请短信联系我。如果包老师对此有额外要求以包老师的要求为准。逾期不交我会记录下来酌情扣分。
一，关于教材和参考资料
本课程的内容是点集拓扑和代数拓扑基础。教材大家都知道了。但是我不得不吐槽一下课本。很多地方的表述模糊不清，我学的时候着实吃了不少苦头。所以参考书还是要推荐一下的。
最经典也是最可靠的教材无疑是Munkres的《拓扑学》。如果有英文版更好，中文版会担心翻译不准确的地方。当然这不是硬性要求。仅供学有余力的同学参考。
其他的补充材料我觉得不用再去买了，买了也没多大意义。网上有些资源可以利用起来。（以下内容需要外网，推荐使用netpas，还比较便宜）
最常用的一个是MIT的open course。里面有很多课程，不单是数学课。对应课程在
http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-901-introduction-to-topology-fall-2004/。大家可以下一下讲义。
另外还有一个MIT的拓扑学课程，授课的是C.Barwick。这个讲义不是完成版，但是水平相当高。有兴趣的同学可以去感觉一下差距。作者主页上现在不提供这个下载，但是我把它放在新浪ishare上了。
http://ishare.iask.sina.com.cn/f/19706456.html
（节操！节操！没有这样给自己加分的吧！需要的同学可以给我发邮件索取。）
最后一个是芝加哥大学教授J.P.May的关于点集拓扑的一个summary。优点是提纲挈领，抓重点抓得很好。May是近几十年来最优秀的代数拓扑学家（或者可以加上之一？），他所写的都是真正在研究中被用到的，而不是仅仅作为反例的存在。我觉得这个小summary可以作为测试用。
http://math.uchicago.edu/~may/FINITE/REUNotes2010/Topology10.pdf。
最后是
http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-904-seminar-in-topology-fall-2005/
二，常见的搜索参考资料的网站
作为助教gg，手上自然是有很多好的资料源的～
常用的有下面几个：
arxiv.org：几乎所有数学家发表较新的论文的地方，Perelman的关于三维Poincare猜想的论文最早就发在上面。好处是不用版权从哪里都能上，而且似乎不用外网……坏处是年代较早的文献在上面搜不到，因为那时候还没有这个网站呢……
未名学术搜索：图书馆主页上有，功能极其强大，并且好处是仗着校内ip可以下载很多文献。坏处暂未发现。
以上两个是找论文的。
Google：啥都不说了，搜书的时候记得后面加上PDF或DJVU试试。但是不推荐，毕竟侵犯版权……
http://en.bookfi.org/ 你能找到的电子版数学书几乎都在里面。
有了这些基本上可以找到足够使用的电子资料了。
三、ms轮到吐槽课本了？
首先想说的是，对于一个代数拓扑学家而言，他关心的对象并不是同胚的拓扑空间，而是同伦等价的。同伦等价是后面的定义，这个定义比同胚更广。
关于开集的定义，书上写的三个条件之一是“任意多个开集的并是开集”。并在一起的开集数量不仅可以无穷多，也可以是不可数多个。
定义1.4后面的关于x属于集合A的闭包的等价定义是非常常用的命题。
拓扑学中有限性的条件非常重要，很多命题必须要求有限个空间，或者有限步内实现才能成立。做个类比，就像数学分析里面的两个极限可以交换次序。
书上第一章第三节，关于\overline{\mathscr{B}}的定义中，若干成员指的是任意，可以是有限个也可以是无穷多个。本文中所有的无穷多都是指可以可数也可以不可数甚至可以更多。
四、拓扑学分类及吐槽
大致的大致，拓扑学的下属分支可以分为点集拓扑，代数拓扑，微分拓扑，几何拓扑几类。但是类与类之间并没有清楚的界限。其中点集拓扑更多地是工具，而不是研究对象。其他三类极其粗略地说，区别是在研究方法上，而研究对象在很大程度上会有重叠。
这段纯属抛砖，至于能不能引来玉这个事情就不好说了。
至于吐槽，就是想说国内某重点大学某教授的研究方向是点集拓扑……
暂时就这些吧，以后每次判完作业以后写本章内容和作业题点评。
以下是王家骏老师的意见，不代表本人见解。
準備學幾何拓樸的，應該學Armstrong+Hatcher+Milnor+Bott；準備代數拓樸的，應該學Armstrong+Spanier；至於May，一點就通的天才型可以用，否則還是紮實一點好。單獨做微分拓樸的人，相對來說少一些。Munkres嘛，對非以點集拓樸為發展方向的學生來說，其點集拓樸內容有些過多。畢竟，流形才是拓樸學以至幾何學研究的中心對象，對代數幾何的人來說，流形和variety是思想上大致相同的。
主要是討論連續變換的問題，所有的拓樸學都是以此為基礎 這是 http://www.shs.edu.tw/works/essay/2006/04/2006040921112294.pdf 的 HTML 檔。
G o o g l e 在網路漫遊時會自動將檔案轉換成 HTML 網頁。認識拓樸 Page 1 認識拓樸 1 篇名 認識拓樸 作者 林泂志。台中一中。二年九班 劉育瑞。台中一中。二年九班 柯翔文。台中一中。二年九班 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com 認識拓樸 2 壹●前言 之所以研究此主題的動機，是由於老師在上課時提到了拓樸學(topology)，而高 中的課程中並沒有將其列入教材，並且老師因為課堂上的時間關係，實在也無法 深入加以介紹。在我們之中又有人聽過生物領域似乎也有用到這門學問，這些原 因使我們對「何謂拓樸」更加疑惑又好奇。 在老師大略的講解中，似乎透過拓樸就可以將看似不同的兩物視為同樣的東西， 這種看法衝擊了我們原來對物體的觀點。在我們的觀念中，正方體就是正方體， 長方體就是長方體，無論如何也看不出不同形狀如何互通，實心又如何變成空 心。如果我們這樣看待物體又能帶來什麼好處或者是妙用？且這麼抽象的學問又 要如何和講求實際的生物學扯上關聯？看來這些問題都要靠我們自己去尋找答 案。雖然不確定現在的我們是否用得到這樣的學問，但既然上課有提到，那麼相 信「拓樸」應該不是一門我們完全不能了解的學問吧。 貳●正文 一、概述 拓樸指的是數學的一個分支，也可以說是拓樸學中的一個概念。在這裡先撇開開 集合的定義等等，那是學理上的說法，比較抽象。 拓樸學(topology)，簡單的說，是一種擺脫了所謂的測量(measurement)和距離 (distance)的一種幾何的數學上運用的方法。既然擺脫了計量法(metrics)的約束， 自然能夠允許形變的發生。在空間上，所有的扭曲、伸長、壓縮、壓扁或拉長， 從拓樸的角度，並不會對原先的空間造成影響。在這個前提之下，我們可以說在 拓樸之上，圓形和橢圓是一樣的，球體也相當於卵形的橢圓體。當然所謂的形變 並不包括撕裂的部份，為什麼呢？這個部份稍後再提到。它的整個架構其實包含 得非常的廣泛。其最大的好處就在於：在一個已經發生形變的狀態下，仍然保有 的某些特定的性質，而那些不變量(invariants)便是拓樸所要研究的重點。 究竟什麼是拓樸學呢？就是一個無法分辨圈餅跟咖啡杯的人，有人這樣說。 有別於一般傳統的幾何學容易讓我們聯想到可測量的量，諸如角度、距離、空間 等等，在拓樸學則是著重於其連續性(continuity)以及相對位置(relative position) 的關係。例如最常聽到的點集拓樸(Point-set topology)，或稱一般性的拓樸(General topology)在處理一個圖形的時候，常將幾何的圖形視為許多點的集合，整個的集 合就形成一個空間；而組合拓樸(Combinatorial topology)和代數拓樸(Algebraic PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com 認識拓樸 3 topology)則將圖形視為無數極小的組成結構分子(smaller building blocks)的集合。 二、拓樸學發展歷史 拓樸學的發展其實可說是歷史悠久了。在 19 世紀中的時候，常被視為是代數學 (algebra)或是解析幾何學(analytic geometry)的分支。但是到了今天，拓樸學已經 從中獨立出來，成為數學中一門獨立的學問了。 拓樸學的起源，是在實數軸上對點集的研究、以及流形(manifold)、度量空間及 泛函分析等等。這裡泛函分析指的是解析學的範疇之一；度量空間則是一集合， 並且其中所有元素之間距離可定。因為不是主題故不多提。 拓樸學是數學上的一個分支。一開始是叫做 analysis situs，由 Leibniz 提出。拓 樸這個字最早是在 1847 年德國被 Johann Benedict Listing 引進，這裡指的拓樸是 topologie，有別於英文的 topology。然而在此之前十幾年中，Listing 已經一直在 使用這個字了。英文的這一個字直到 1930 年才被 Solomon Lefschetz 引進，用以 取代先前的 analysis situs。 三、基本概念 拓樸學主要研究的內容，在於透過同胚(homeomorphism)的轉變之後留下來不變 的性質。由於這些轉變一般能夠透過橡膠的操作達到類似的效果，所以拓樸學又 稱為橡膠幾何(rubber-sheet geometry)。其應用範圍之廣泛，小從電腦網路、生物 學到粒子物理學甚或是蛋白質組成的幾何形式中都可見到拓樸學的蹤跡。拓樸學 能夠告訴我們一個點和其他點之間的相對位置關係，但是它並沒有辦法處理粗糙 或光滑表面以及距離的問題。在這個前提之下不只是圓和橢圓一樣，我們甚至可 以說球體和正方體也是同胚。或是徒手畫一個地圖也可以是簡單拓樸的運用。 四、歐幾里得空間與拓樸 拓樸所定義的空間最常被拿來與歐幾里得空間比較。事實上，最簡單的拓樸空間 就是我們所熟知的歐幾里得空間(Euclidean spaces)。一般來說，所謂維度指的就 是「獨立的量」。有 n 個維度就表示有 n 個獨立的量。直線屬於一維，平面是二 維，而三維就是我們熟悉的，立體的空間。 五、流形 簡單的說，是具有部分歐幾里得空間性質的空間。流形在數學中是研究可微性的 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com 認識拓樸 4 要角之一。其概念就是類似用無數個極小的平直單位連接而成的面。歐幾里得平 面以及地球這種類似球體，還有古典物理學的許多平面和空間，都是屬於這樣的 範疇。舉地球為例，地球我們可以將它看成是一個球體，雖然如此，我們仍會有 一種地球表面是平面錯覺。這就可以很清楚的解釋流形的概念了。在這個例子 中，就是在球體的表面上，當取一塊表面積趨近於零的時候，球體的表面就會相 當於一個平面，縱使球體應該沒有一個地方是平的。 另外，流形應該要視為一個理想的柔軟表面，柔軟到牽動一個地方就會影響到全 部。並且由於它組成的小結構體是堅硬的，而且小到可以到微分上使用，因此在 物理及數學上都非常重要。流形的種類有很多，拓樸流形就是一種簡單的流形。 而微分流型不但符合拓樸的要求且適用於微積分。 特殊的流形的特性，常用使用數字或幾何的表示方法表達，以便分別這些流形。 像是拓樸學的不變量就提供了一種分類流形的方法。流形可以是有限的或是無限 延伸的，例如圓形就是一種有限的流形，而且是一維的。但是一條直線則是一個 無限延伸的流形。同樣的區分法也可以用在不同維度的各空間上。有些由二維組 成的流形可以使用一種稱為尤拉數(Euler number)的不變量將其分類。把一個完 整的表面分割成三角形，無論怎麼分割，只要沒有一個頂點落再另一個三角形的 任一邊上，則同形式的流形就會有同一個尤拉數。在封閉的表面中，尤拉數的整 數部份會小於或等於 2。同樣的道理也可以用來說明為什麼咖啡杯和甜甜圈會是 一樣的東西，並且，形變中的撕裂會對這些性質造成改變，因此不被允許。 拓樸學是運用適當的不變性來了解一個流形的外貌，以及如何被轉換成另一個流 形。許多這方面的研究會著重於那些難區分的流形之間更微小的不變量。並且由 於更高維度的流形是不可能被看見的，所以不變量就更顯的重要了。 六、拓樸的種類 由於此部分涉及許多高中未接觸到的部分，故只簡單介紹，就不再深入探討。 01. 點集拓樸學(point-set topology) 又稱為一般拓樸學(general topology)，一般所稱拓樸學僅止於此。主要是討論連 續變換的問題，所有的拓樸學都是以此為基礎。是一種抽象的數學處理方式。 02.組合拓樸學(combinatorial topology) 用代數中的組合學來處理拓樸的問題，就是組合拓樸。 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com 認識拓樸 5 03.代數拓樸學(algebraic topology) 引進代數，使用代數的抽象概念來研究拓樸空間的拓樸。目標是取拓樸空間加以 分類，此部份舊稱組合拓樸。 04.微分拓樸學(differential topology) 這是一種處理微分流行上可微函數的數學領域，是在研究微分方程時被提出的。 在物理學的相對論上有非常廣泛的應用。而微分幾何就是在流形上的微積分。 05.幾何拓樸學(geometric topology) 幾何拓樸學引進幾何的觀念到拓樸上來，幾乎可以說是同等於研究低維度如 2 維、3 維、4 維的拓樸學。在數學中主要是研究流形及嵌入。扭結理論和辮子群 就是其中最具代表的主題，一般說到拓樸學常舉的例子如橡皮筋也是此種拓樸學 的範疇之一。 参●結論 拓樸學近來已經成為主流的數學研究主題之一，跟從前附屬在其他種類的數學底 下的情形已經有很大的不同。John L. Kelly 在寫 General Topology 一書的時候， 在序裡面清楚地表示他原本想把書命名為「年輕分析學家的必備知識」，由此可 見拓樸的重要性。今天的拓樸學是歸類在純粹數學而非應用數學，雖然如此，這 種理論的東西除了用來解決拓樸自身的問題以外，數學其他的領域也常常用到這 種拓樸的方法來解決問題，如數論、微分方程等等，並且對於科學也產生了很大 的影響，尤其是在理論科學方面。例如在關於微分幾何的部分，這種理論對相對 論也有著非常重要的影響力，也就是說，其重要性是不容許被忽略的。而且就現 在看來，拓樸的發展性似乎並不只如此。或許在不久的將來，拓樸也能夠一躍而 成為數學和科學之間的橋樑之一。 肆●引註資料 Topology – From MathWorld http://mathworld.wolfram.com/Topology.html Topology – From Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Topology PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com - 邻域式定义：
這是 http://gc.nuaa.edu.cn/math/data/wangluojiaoxue/%E5%B7%A5%E7%A7%91%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%88%86%E6%9E%90%E8%AF%BE%E4%BB%B6%E2%80%94%E2%80%94%E9%A9%AC%E5%84%92%E5%AE%81%E7%A0%94%E5%88%B6/5%20%E5%A4%9A%E5%85%83%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%AD%A6%E5%8F%8A%E5%85%B6%E5%BA%94%E7%94%A8/1%20n%E7%BB%B4%E6%AC%A7%E6%B0%8F%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%B8%AD%E7%9A%84%E7%82%B9%E9%9B%86.pdf的 HTML 檔。
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N维欧氏空间点集的初步
知识
度量空间与n维欧氏空间
度量空间中的各类点集
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∎ 本章将研究一种特殊的集合——空间中的点
集。
∎ 所谓空间，是一类具有某种结构的集合，往
往成为数学研究的载体和对象。
∎ 分析学科所关心的空间的结构包括度量、范
数、开集、闭集等。
∎ 本章的主要内容为度量空间，特别是n维欧氏
空间中的各类点集，这将为我们研究新的积
分奠定基础。
--------------------------------------------------------------------------------
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1. 度量空间与n维欧氏空间
度量，也称距离，是空间理论的基本概念，下面给出它的定义：
定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x,y，都有唯一确定的实
数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足：
（1）正定性：
（2）三点不等式：
yx
yxd
yxd
=
⇔
=
≥
0),(
,0),(并且
),(),(),(,
zydzxdyxdXz
+
≤
∈
∀
称d(x,y)是x,y之间的距离，称(X,d)为度量空间或距离空间。
由性质(2)立刻可以得到度量的对称性，即d(x,y)=d(y,x).
若(X,d)为度量空间，Y是X的一个非空子集，则(Y,d)也是一个度量空
间，称为(X,d)的子空间。
例1 欧氏空间n
ℜ
例2 连续函数空间],[
baC
--------------------------------------------------------------------------------
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度量空间中点集的一些基本概念——邻域
定义(邻域)：
δ
δ
{
}δ<
),(|
0
PPdP
0
P
0
P
距离空间(X,d)中所有和定点 的距离小于定数
全体，即集合
称为点 的 邻域，记作
)(
),(
0
0
PU
PU
或
δ
显然，在 ,,,
3
2
1
ℜ
ℜ
ℜ
分别是以 为中心以为 半径的开区间、
),(
0
δ
PU
0
P
δ
开圆和开球。邻域具有如下的基本性质：
的点的
(1)
)(
PUP
∈
(2) 对于P的两个邻域
),(),(
2
1
PUPU 存在邻域
)(
)(
)(
2
1
3
PUPUPU
∩
⊂
(3) 对于
),(
PUQ
∈
存在Q的邻域
)(
)( PU
QU ⊂
(4) 对于
,
QP
≠
存在P和Q的邻域 ),(),(
QUPU 使得
∅
=
)(
)(
QUPU
∩
--------------------------------------------------------------------------------
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点列的极限
(I)
式定义：
N
−
ε
{ }∞
=1
nn
P
为度量空间(X,d)中一点列，若对于任意的
,0
>
ε
存在自然数N，使得n>N时有 ,),(
0
ε<
PPd
n
则称该点列收敛于 ,
0
P 记作
.
lim
0
PP
n
n
=
∞
→
(II) 邻域式定义： 若对于
0
P 的任意邻域 ),(
0
PU 存在N，使n>N时有
),(
0
PUP
n
∈
则称该点列收敛于 .
0
P
性质： 1. 点列的极限是唯一的；
2. N维欧氏空间点列的收敛是按坐标收敛；
3. 点列的收敛满足线性；
4. N维欧氏空间中的收敛点列等价于Cauchy点列
--------------------------------------------------------------------------------
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点集的直径：一个非空点集E的直径定义为
).,(
sup
)(
,
QPd
E
EQP
∈
=
δ
有界点集：一个非空点集E称为有界集合，若 .)(∞
<
E
δ
直径及有界点集
点集的距离
两个非空点集A, B的距离定义为
).,(inf
),(
QPd
BAd
BQ
AP
∈
∈
=
注：若A={P*}，即A为单点集，则可记
)*,(),(
BPdBAd
=
注. 收敛点列必为有界点集，n维欧氏空间的有界点列必有收敛子列
--------------------------------------------------------------------------------
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度量空间中点集的一些基本概念——区间
定义： n
ℜ 中的点集(
)
{
}n
ibxax
xx
i
i
i
n
,,1,
|,,,
2
1
=
<
<
称为一个开区间；若将其中的不等式全部换成
,
i
i
i
bxa
≤
≤
,
i
i
i
bxa
≤
<
,
i
i
i
bxa
<
≤
则上述点集分别称为闭区间、
左开右闭区间、左闭右开区间，统称为区间，记作I。
i
i
ab− 称为I的第I个边长；∏
=
−
n
i
i
i
ab
1
)
(
称为I的体积，记作|I|.
--------------------------------------------------------------------------------
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2. 度量空间中的各类点集
首先，我们考虑度量空间(X,d)中的点与给定点集之间的关系。设E
为X中的一个点集，P为X中的点，则P和E的关系具有如下几种：
(1) P附近全是E的点，即存在P的某邻域
此时称P为E的内点；
,
)( E
PU ⊂
(2) P附近全不是E的点，即存在P的某邻域
,
)(
∅
=
EPU
∩
此时称P为E的外点；
(3) P附近既有E的点，又有不属于E的点，即对P的任意邻域U(P),
,
)(
)(
∅
≠
⊄ EPUE
PU
∩
且
此时称P为E的边界点，简称界点；
(4) P附近有E的无穷多个点，即对P的任意邻域U(P), EPU
∩
)(
为无限集合，此时称P为E的聚点；
(5) P附近除P外没有E的点，即存在P的邻域U(P),
{ }
PEPU
=
∩
)(
此时称P为E的孤立点。
--------------------------------------------------------------------------------
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点集间的关系
显然，空间中任意的点P是且只能是上述(1)(2)(3)中的一个，或者是
且只能是上述(2)(4)(5)中的一个，即
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
ℜ
外点
孤立点
聚点
或
外点
边界点
内点
中的点
来说，
对某点集
n
E
(1) 内点一定是聚点，外点一定不是聚点；
(2) 聚点可以是内点，也可以是界点，但不能是外点；
(3) 孤立点一定不是聚点、内点或外点，一定是界点；
(4) E中的点要么是聚点，要么是孤立点；
(5) 界点要么是聚点，要么是孤立点。
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聚点
关于聚点，下面三条是等价的：
(1)
P是E的聚点；
(2)
P的任意邻域内，至少含有一个属于E而异于P点；
(3)
存在E中互异的点所成的点列{ },
n
P
PP
n
n
=
∞
→
lim
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开核、边界、导集、闭包
定义：(1) E的全体内点所成的集合，称为E的开核，记作 E
(2) E的全体边界点所成的集合，称为E的边界，记作 E∂
(3) E的全体聚点所成的集合，称为E的导集，记作 'E
(4) E与E的导集的并集，称为E的闭包，记作
)'
(EEE
∪
=
闭包是一个非常重要的概念，我们有如下结论：
{
}∅
≠
∀
ℜ
∈
=
EPU
PU
P
PE
n
∩
)(
),(
|
有
的邻域
这样可知：
{
}
的全体孤立点
EEEEE
EE
∪
∪
∪
'
=
∂
=
∂
=
--------------------------------------------------------------------------------
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重要性质
前面介绍的一些点集在分析学科中是非常重要的，具有以下的性质：
(1)
( ) ( ) ( )
,
;
c
c
c
c
E
E
E
E
⎛ ⎞
=
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
(2)
;
,
,''
,
BABABA
BA
⊂
⊂
⊂
⊂
则
若
(
)'''
BABA
∪
∪
(3)
=
(4) (Bolzano-Weierstrass定理)若E为有界的无限集合，则
;
' ∅
≠
E
.
,
,
∅
≠
∂
ℜ
≠
∅
≠
E
E
E
n
则
设
(5)
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开集和闭集
定义：若集合E的每一点都是E的内点，则称E为开集；
若集合E的每一个聚点都属于E，则称E为闭集。
开集和闭集是最重要的两类点集，它们具有以下的性质：
(1) 对任意的点集E，
;
',
是闭集
和
是开集EE
E
(2) 点集E是开集当且仅当
;
EE
=
E是闭集当且仅当
;
'
EE
EE
⊂
∂
⊂ 或
(3)
;
,
的最小闭集
是包含
的最大开子集
是包含于
E
E
E
E
(4) 若E为开集，则E的余集为闭集，若E为闭集，则E的余集为开集；
(5) 任意多个开集的并集以及有限多个开集的交集仍为开集；任意多
个闭集的交集以及有限多个闭集的并集仍为闭集；
(6) 对于任意两个互不相交的闭集，一定存在两个互不相交的开集
分别包含这两个闭集。
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有界闭集和紧集
{ }
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⊂
∈
∈
i
Ii
Iii
U
F
U
∪
,
有限覆盖定理：设F为n维欧氏空间有界闭集，则对任意的覆盖F的开集族：
存在有限个开集同样覆盖F。
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⊂
=
i
n
i
U
F
1
∪
定义：设M为度量空间X的子集，若对于X的任意一族覆盖M的开集，
一定存在其中有限个开集仍然覆盖M，则称M为X的紧集。
定理：度量空间的紧集一定是有界闭集。
思考：判断下面说法的正确与否，
(1) 设E,F为两个不相交的闭集，则一定有d(E,F)>0；
(2) 设E,F为两个不相交的闭集，其中E为紧集，则一定有d(E,F)>0.
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开域、闭域、区域
开域——若非空开集E 具有连通性, 即 E 中任意两
点之间都可用一条完全含于 E 的有限折线相连接,
则称 E 为开域. 简单地说, 开域就是非空连通开集.
闭域—— 开域连同其边界所成的集合称为闭域.
区域—— 开域、闭域、开域连同其一部分界点所
成的集合, 统称为区域.
不难证明: 闭域必为闭集; 而闭集不一定为闭域.
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*自密集、完备集、稠密集、疏朗集
定义：设E为度量空间(X,d)中的点集，
(1) 若E中的每一个点均为其聚点，即
,'
EE
⊂
则称E为自密集；
(2) 若E与其导集相等，即
,'
EE
=
则称E为完备集；
(3) 若E的闭包为全空间，即
,
XE
=
则称E为稠密集；
(4) 若E的闭包没有内点，即
,∅
=
E
则称E为疏朗集，或称为无处稠密集。
注意：完备集为没有孤立点的闭集；
疏朗集的余集一定是稠密集，但稠密集的余集未必是疏朗集。
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※ 举例讨论上述点集的性质
例1 证明: 对任何
2
R ,
S ⊂
S∂ 恒为闭集.
证如图所示, 设 0
x
S
∂
为
的任一聚点，欲证
（即 亦为 S
0
x
S
∈∂
的界
0
x
点）. 为此
0,
ε∀ > 由聚点定义，存在
0
( ; )
.
y U x
S
ε ∩
∈
∂
S
S
∂
0
x
0
( ; )
U x ε
( ; )
U y δ
y
⋅
y
0
( ; )
( ; ),
U y
U x
δ
ε
∀
⊂
再由 为界点的定义,
在
--------------------------------------------------------------------------------
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的点. 由此推知在
内既有S
S
( ; )
U y δ
的点, 又有非
S
0
x
0
x
S
∈∂
的任意性,
为 的界点, 即
, 也就证得 S
∂
为闭集．
注 类似地可以证明: 对任何点集
2
R ,
'
S
S
⊂
导集
亦恒为闭集. ( 留作习题 )
∗
2
R .
E ⊂
例2 设
试证 E为闭集的充要条件是：
c
int( ).
c
E E
E
E
E
=
∂
=
∪
或
S
S
0
( ; )
U x ε 内既有 的点, 又有非 的点. 所以, 由 ε
--------------------------------------------------------------------------------
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证 下面按循环流程图来分别作出证明.
d
E E E
= ∪
① 已知 为闭集( 即
),欲证
E
.
E E
E
=
∂
∪
,
,
p
E p
E
E
为此
或是 的聚点 或是 的孤立点.
∀ ∈∂
'
'
,
p E
E
E
p E
∈
⊂
∈
若
，则由
得
；而孤立点必属
.
E
E E
∂ ⊂
∪
E
E E
∂ ⊂
于 ；从而
，故
反之显然有
c
c
'
int( )
E E E
E E
E
E
E
=
=
⇒
∂
⇒
=
∪
∪
①
②
③
⇑
--------------------------------------------------------------------------------
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.
E E
E
⊂
∂
∪
综合起来, 便证得
int
.
E
E
E
=
∂
∪
E E
E
=
∂
∪
，
c
int( ).
c
E
E
=
② 已知
欲证
为此
c
,
,
,
p E
p E
E E
p
E
则
而由
故 必为 的
∀ ∈
∉
∂ ⊂
外点,
,
0,
( ; )
.
U p
E
δ
δ
∃ >
= ∅
∩
按定义
使
从而
c
c
c
c
( ; )
,
,
int( ).
U p
E
p E
E
E
δ
故 是 的内点 即
⊂
⊂
c
c
c
c
int( )
.
int( ).
E
E
E
E
⊂
=
有
这就证得
反之显然
③
c
c
int( ),
'.
E
E
E E E
p
=
=
∀
∪
已知
欲证
为此
c
(
,
,
p E
p E
∈
∈
据条件可证
若不然
从而由
',E
∈
c
c
int( ),
> 0,
( ; )
,
p
E
U p
E
δ
δ
∈
∃
⊂
条件推知
故
使
--------------------------------------------------------------------------------
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),
'
.
p E
E
E
⊂
与 为 的聚点相矛盾 故
这就证得
注 此例指出了如下两个重要结论:
(i) 闭集也可用 “ E E
E
=
∂
∪
”来定义 ( 只是使用
起来一般不如 “
'
E E E
= ∪ ”方便, 因为有关聚点
有许多便于应用的性质 )．
'.
E E E
= ∪
(ii) 闭集与开集具有对偶性质——闭集的余集为开
集; 开集的余集为闭集. 利用此性质, 有时可以通
过讨论
来认识 E.
c
E
--------------------------------------------------------------------------------
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例3 以下两种说法在一般情形下为什么是错的?
(i) 既然说开域是“非空连通开集”，那么闭域就是
“非空连通闭集”；
D
(ii) 要判别一个点集 是否是闭域, 只要看其去除
边界后所得的是否为一开域, 即
\
D D
D
“若
为开域,则 必为闭域”.
∂
答 (i) 例如取
{
}
( , )|
0 ,
S
x y xy
=
≥
这是一个非空连
通闭集. 但因它是第一和第三象限的集合 G 与其边
S G
G
=
∂
∪
界 (二坐标轴) 的并集(即
), 而 G 不是
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开域, 故 S 不是闭域 (不符合闭域的定义).
D
E
F
(a)
(b)
(c)
(ii) 如图所示,
\ ;
E D D
=
∂
.
F E
E
=
∂
∪
集为
(c)中的点集为
易见
E 为一开域, 据定义 F 则为闭域；然而
,
D E
E F
≠
∂ =
∪
(a)中的点集为 D; (b)中的点
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显然不符合它为闭域的定义.
( \ )
.
D D
D
与
不一定相同
∂
∂
∂
由此又可见到:
--------------------------------------------------------------------------------
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复习思考题
1. 试问在 R 中的开集、闭集、开域、闭域、区域
等集合是数直线上怎样一些点集？
2. 设 E, F 分别是 R
2 中的开集和闭集．试问在 R
3
中 E 是否仍为开集？F 是否仍为闭集？
3. R 中的单调有界性定理和确界原理, 为什么在
R
2 中没有直接对应的命题？
4. 为什么说 “在一切平面点集中，只有 R
2 与 ∅
是既开又闭的点集” ？
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2
R ,
D
A
D
⊂
“若
是
AB
点,则直线段
与
D
D
∂
A
B
, B
D
的内点 是 的外
5.
:
试讨论有哪些方法可用来论证如下命题
D
∂ 至少有一交点.”(II) 邻域式定义： 若对于 0 P 的任意邻域 ),( 0 PU 存在N，使n>N时有 ),( 0 PUP n ∈ 则称该点列收敛于 . 0 P 性质： 1. 点列的极限是唯一的； 2. N维欧氏空间点列的收敛是按坐标收敛； 3. 点列的收敛满足线性； 4. N维欧氏空间中的收敛点列等价于Cauchy点列 - [FLASH]
距离范数拓扑
www.math168.com/UploadFiles/20091015152218642.swf檔案類型: Shockwave Flash
表示空集）； （2）有限个开集的交集是开集； （5.4） （3）任意个开集的并集是开集。 有了开 ... 内任意两个点，则它们之间的距离为 .... 中任意两点 ... 例如，在欧氏空间中，可以用不相交的开集将两个不同的点分开，但在一般的拓扑空间中没有这种隔离性。 [PDF]N维欧氏空间点集的初步知识 - 南京航空航天大学精品课程建设
gc.nuaa.edu.cn/math/.../1%20n维欧氏空间中的点集.p... - 轉為繁體網頁檔案類型: PDF/Adobe Acrobat - 快速檢視
空间中的各类点集，这将为我们研究新的积 ... 度量空间中点集的一些基本概念——邻域. 定义(邻 ..... (6) 对于任意两个互不相交的闭集，一定存在两个互不相交的开集 ...
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