任何一个物理过程都是在时空中发生和演化的，因此它
们必然与时空的对称性有关所谓内部对称性是与不改变时空坐标的场的变换相联系的，如果
理解成是与准确到不改变时空坐标的二阶量(即由罗伦兹变换保持不变的变换相联系的，那
么，我们就可怀疑所谓内部对称性所描述的场是改变了时空坐标的高阶小量.尽管这种改变在
芬斯勒时空中的宇宙演化铃曹盛林1) 莫小欢)
Aug. 2000
Vol. 36 No.4
(1)北京师范大学天文学系.100875. 北京， 2)北京大学数学研究中心.100871. 北京，第一作者62 岁，男，教授)
摘要物理学实质性的进展，往往是与时空结构的变化密切相关的F 反之也可猜测新的时空
几何结构必应导致新的物理发展.近10 多年来，芬斯勒几何逐渐引起数学家的兴趣，而它将对物
理学的发展起到什么作用呢本文考虑了芬斯勒几何与突变论的自然联系并由此讨论其在宇宙论中的应用.
关键词芬斯勒几何;芬斯勒时空4 宇宙演化E 宇宙创生;宇宙暴胀分类号P 159. 2
早在1854 年， Riemann 在其著名的就职演说中就提到，微分几何的度规除了可用二次形
式的平方根定义外，也可用四次微分形式的四次方根定义他在该论文中对广义空间引入了基
于弧长元素为s 2 =F(X1 ， … ， x";dx1 ， … ， dx") 的度量结构，这里， F(x ， y) 是一个定义在切丛TM 上的关于y 的正一次齐性函数(当y手0 时 ，一种重要的特别情形是F2 =gij(x)dxidxj ， 历史的进程赋于此特别情形以黎曼几何的名称.
1900 年， Hilbert 在他对未来数学发展提出的23 个问题中的第23 个问题，就是度规的定
义问题 1918 年， Finsler 在他的博士论文中讨论了基于变分定义度规的一般原则，并由此讨论了在这类空间中的曲线和曲面的性质特征.芬斯勒几何的名称就来自此论文.现代的研究表
明芬斯勒几何并不是黎曼几何简单的推广;恰当地说它是没有二次形式限制的黎曼几何[1.2] •
从广义相对论发展的角度来看，爱因斯坦于1913 年同格罗斯曼合写的《广义相对论纲要
和引力论》一文中利用黎曼度规引出引力的拉格朗日作用量. 1924 年爱丁顿在《相对论的数学
理论沪一书中在讨论几何学分支和电动力学"时提及，通常采用基本张量幡G阳gJ4' +FJ4" 其
中gJ4' 为对称张量， FJ4' 为反对称张量.为得到新的不变量，我们可利用表达式3μ *BArp •
dXpdx.dx;.dxr ， 从而得到新的理论洞察力.
Rindler 在1977 年出版的《相对论精义沪一书中提到芬斯勒几何并给出一类非黎曼度规dt12= (dX4+dy4) 1I2.
前苏联学者Asanov 研究了广义相对论的芬斯勒推广;他用芬斯勒空间的密切黎曼度量
张量取代通常广义相对论中的黎曼度量张量，在分析了爱因斯坦场方程对拉格朗日密度构造
的限制条件的基础上指出:目前已知的，仅有惟一的非黎曼度规函数F(x ，z)= [直仙).
铃国家自然科学基金资助项目(19873004.19871001)
收稿日期12000-06-05
442 北京师范大学学报自然科学版) 第36 卷
ZE)]l》足限制条件
在Asanov 的专著《芬斯勒几何、相对论和规范理论)[5J一书中，进一步讨论了在上述度规下的运动学问题这些研究表明，在芬斯勒时空结构的基础上，进一步考虑相对论的发展将是
很有前景的研究方向.
1 芬斯勒几何及其3 个不变量
1. 1 芬斯勒结构定义若函数F:TM→ [0 ，∞)满足:①F <X， ).y) =).F(x,y)'V ).ε R[O ， ∞) ;
( F ITM\{O} (表示除去O 点)是C∞的;③ ([O/2)F2 Jyγ( 正定)在TM\{O} .满足此3 个条件的切
丛上的非负函数则称F 为 上的芬斯勒结构
第3 个正定性条件，对于相对论的应用中是不必要的;相反，由于相对论对于ds2 必须保
持号差(一+++)或(+一一一〉的要求，我们也希望所定义的芬斯勒结构在引出的黎曼度规张量中能具有相对论所需的号差.
1.2 希尔伯特形式设M ， F) 为芬斯勒空间， (x' ， y') 是TM 的局部坐标
定义F.;dx' (构造了一个L形式)是SM 上的整体微分形式，称为希尔伯特形式，记为ω.
命题形式与局部坐标选取无关
证明:若G' ， y') 是TM 上另一坐标，我们有Fy'dx' = F y1dx' , (Fμ=(缸i/ éX' )F/) ，故Fy1 •dx' 是整体的.由齐性可得F,;(x ,).y)dx'=F y1 (x ,y)dx' ， ).ε R+
利用嘉当结构方程，由希尔伯特形式可得到芬斯勒结构中的联络 形式和曲率2 形式.可
见，在芬斯勒几何中希尔伯特形式相当于通常黎曼几何中的度量1 形式，但黎曼几何中的度量
形式是定义在流形上的，而希尔伯特形式是定义在切丛上的.因此，一般情况下，芬斯勒几何中
的曲率张量可分为 部分:流形上的、切空间的、两者交叉的，适当选取坐标系可使纯切空间的
部分为零;于是，曲率张量只剩下2 部分，分别称为黎曼曲率张量和闵柯夫斯基曲率张量.
1.3 基本张量对于一个r 阶欧拉齐次函数Z(x ， ky) ， 有
Z= (x ,ky) =krZ(x ,ky) , (1)
意味着
yi òZ (x ,ky) /òy' =rZ (x ,y). (2)
利用式(2) 于芬斯勒度量，函数F 2 可得
F2(x ,y) =gij(X ,y)yiyi , (3)
其中gi, (X ,y) = O/2)(fF2(x ,y)/òy'òy' , (4)
gi/X ， y) 称为基本张量或称芬斯勒度规张量.在芬斯勒几何中它相当于黎曼几何中的黎曼度
规张量，角标 也是对称的.这里的区别是，黎曼度规张量仅是流形上的坐标' 的函数，因此
ò，， (x)/ò 三0; (5)
而芬斯勒度规张量gij(x.y) 不仅是流形上的坐标' 的函数，而且是切矢量y' 的函数.由此引
入了芬斯勒流形中的第3 个重要不变量嘉当张量C忡1.4 嘉当张量嘉当张量C" 是定义为C，i是= O/2)òjò是(6)
或由基本张量gij的定义可得
第4 期曹盛林等z 芬斯勒时空中的宇宙演化443
C;jÆ= (1/ 4)êÌ F2 /òyi ò句l. (7)
按定义，嘉当张量CijÆ的3 个角标均为对称的.因为对于黎曼几何总有式(5) 成立，也就是说嘉
当张量恒为零，故嘉当张量C;川自然地成了一个芬斯勒结构所确定的几何结构偏离黎曼几何
程度的描述.
我们知道，数学的发展总是给物理学提供了新的有效工具.当然科学史往往是从相反的角
度表明:一个新的物理理论总是建立在新的几何结构基础上.狭义相对论创立3 年后，闵柯夫
斯基揭示出它的时空结构是一个具有号差为( 或一2) 的伪欧空间 量子力学揭示微观世界是
遵从希尔伯特空间的;广义相对论一开始就明确地把理论建立在弯曲的(伪黎曼空间黎曼曲
率张量是黎曼几何偏离欧几里得几何程度的描述，而广义相对论恰好揭示出它表述了时空中
的引力相互作用，并由此提出了爱因斯坦场方程假设
现在，如果我们相信广义相对论对引力的描述是完备的，即任何一种引力场的出现必然且
只能导致一种时空的黎曼结构，相反，任何一类时空的黎曼结构也只能表述一类引力相互作
用，那么，表述偏离黎曼几何程度的嘉当张量CijÆ物理上能表述什么相互作用呢如果能，那么它只能描述引力以外的相互作用;因此我们猜测芬斯勒几何可能是建立几何化统一场论的有
力工具.
2 芬斯勒结构的突变特征
2.1 突变理论6] 宏观及宇观过程存在大量的不连续的突发过程.能否建立一种合理的理论来处理这些现象呢而从牛顿力学到广义相对论都仅处理平稳的连续变化的物理过程，即便是
量子力学也仅是处理在连续时空背景下的物理系统状态的局部跃迁大量的宏观和宇观的不
连续和爆发现象，特别像宇宙大爆炸这样的整体行为是否可能归结为时空的内禀性质呢
突变理论是这样一种可能程序:这个程序的主题是研究微分方程组的解如何随方程的系
数的变化而变化.很多时候，当方程的系数变化很微小时，解的性质也在小范围内连续变化;但
确实存在这样的一些情况，即当方程组系数作微小变化时会引起解的性质发生数量上的巨大
变化或者性质上的根本变化.从观念上，突变理论极力要抓住这些引起变化的"临界点"，而传统的数学及物理理论往往是把它作为反例而抛弃.从方法上，突变理论把微分方程的m 个系
数扩展成m 个连续参量组成的m 维流形，与n 个自变量的流形直积形成一个m+n 维的流形
MXN; 而传统的方法却恰好相反，首先寻找可积条件，把参数限制在某个小范围，再通过边界
条件把自变量限制在某个有限范围，从而得出解.因此不难推想，传统的方法只是研究了问题的一个分支，而整个物理体系包含着多个分支，突变理论正是通过临界集"的寻找，给这些分
支划出明确的界限.突变理论把体系分为结构稳定的(在小扰动下系统本身也仅发生小的变化)和结构不稳定的(在小扰动下系统可能发生突发性的巨大变化) .而突变理论的实质正是研
究体系的结构不稳定性的存在和发生的条件，以及对具有一定独立参数的系统可能发生的突
变类型的分类
2.2 突变理论的3 个基本定理从数学分析的观点看，突变理论是古典数学分析的自然发展.它具体表现有以下3 个定理.
1)隐函数定理.如果函数在某一点的斜率不为零，则这函数在某个适当的坐标系中可局部
地表示为线性函数.令f(x)= f(XI.X2. … .x.) 在点Xo 是具有非零梯度的函数，即
444 北京师范大学学报自然科学版) 第36 卷
\7 fl .r。手0 ， (8)
则可能找到一个新坐标系y=y(x) 使得
f=yp (9)
即在经过光滑的坐标变换后，函数f 等于yl' 这是我们在古典分析中熟悉的也是物理学中最
常用的定理之一.
现在，如果在某点\7 j=O. 则我们往往说隐函数定理失效，通常问题就讨论不下去了;但
这并不是说问题失去了讨论的意义，而仅仅是不可能再找到线性画数形式的表达式满足问题的答案.实际上，当上述隐函数定理不能再应用时，我们可用第2 个定理一一莫尔斯引理.这引理说 如果飞f= 。但函数的黑森矩阵的行列式det H 手O. 这里黑森矩阵 是函数f(x) 对其变量Xi 的二阶偏导数所组成的矩阵，定义为=[éfl缸iéxjJ. 则(x)有一个标准的二次型
的形式一一莫尔斯鞍.
2) 莫尔斯引理.令f(x)=f(xp 岛，… .x.) 是函数，在某一点Z 有如下性质
\7 j=O. det H=det[éffléJxiéJxjJ#O;
则有一个变量的光滑变换' =x' (x) 使得函数f 发生相应变换f→ ~À(xD2.
这里人是黑森稳定矩阵 的本征值
按变换i=1 λ| 川z: ，二次形(11)可以化为莫尔斯标准形式:
f三Mi. Morse saddle.
(10)
(11)
(12)
Mi (y)=-yr 一… -yf+yf+l 十… +y~. (1 3)
形式(1 3) 称为莫尔斯鞍.莫尔斯鞍Mô在y=O 有极小值唯一稳定的莫尔斯鞍是Mô
由上面的讨论可知，狭义相对论所采用的闵柯夫斯基度规形式(或伪欧氏空间是一个不
稳定的结构我们猜想这是狭义相对论所揭示的更本质的东西，但它至今尚未引起人们注意.
按上述思路再发展下去，若在平衡点(由\7 f=O 定义稳定性矩阵 是奇异的(det H=
0). 这时莫尔斯引理又失效了.突变理论实际上就是从这里开始显示出它的特色.
3) 汤姆定理.它分为分裂引理和分类定理.
a. 分裂引理.令f(x)是具有如下性质的函数E 在某点有\7 f=o , det H=O. 如果黑森稳定矩阵 有J 个零本征值和z 个负本征值，则函数f(。可分裂成含n-l 个参量的莫尔斯鞍
M尸和含l 个参量的非莫尔斯函数FNM ( 不能用二次形表示的部分) :
f(X)=jNM(刻，… ， xD+ Mi-I (xl+l' … ， x~). (14)
此结果并未给出非莫尔斯函数jNM(X' )的可能分类关于分类的结果有另一个分类定理.
对于一个典型函数f(川在临界点\7 f=O ， 稳定短阵 的本征值通常将不是零.如果函数
f 还依赖于h 个控制参量C=C(C 1 .C2 ， … .ci ) 即f=f(x;C). 则 的本征值亦依赖于C ，即λ=
以C). 汤姆的分类定理指出，非莫尔斯函数的可能标准形式依赖于控制参数h 和零本征值数l
(零本征值的简并度).
b. 分类定理.令fNM(X' .c)是由分裂引理划分的非莫尔斯函数，它依赖于h 个控制参量和
J 个状态参量，则第4 期曹盛林等2 芬斯勒时空中的宇宙演化445
fNM(X' ,c) =Cat(l, k) , (5)
Cat (l ,k) =CG(t) +Pert (l ,k). (6)
这里Cat (l，川是突变函数，它是l 个状态变量和h 个控制变量的函数. Cat (l， k) 可以进一步划分为另一个分裂)2 部分:仅依赖于J 个状态参量的突变芽(germ)CG(t)和依赖于l 个状态参
量和h 个控制参量的扰动ert (l， k). 对于控制参量的依赖是线性的.
依照分类定理，当控制参量不大于4 的情况下，只有7 种基本突变，对它们可以从不同的
角度加以讨论如通过波前的奇点或焦散的奇点和分支，这些讨论还被Arnold[7] 用来讨论有
关宇窗大尺度结构的形成问题的理论模式.
2.3 芬斯勒结构的突变性质通常芬斯勒流形对于任意可允许' ， 要求F(x ， y)>O 和
det ((1 F (x ,y ) /缸'钞)手o. (17)
为使广义相以论向芬斯勒度规扩展，应取消加于度规函数正定性的限制，而将芬斯勒空间扩展
到可以是非正定的情况;于是，在时空流形M 中可能存在非零子集使
det((1 F(x ,y) /axiay') = o. (8)
因此，我们可以在一定条件下利用突变理论中的汤姆定理(部分引理) ，并得到
F(x ,y) =FNM(X ， y'i ， …， y' 是)+Ar， -k(X ， y'Hl ， … ， y'"). (9)
如果矩阵(IF(x ， y)/缸'可)有h 个零特征值和s 个非负特征值，则按汤姆定理(分类定理)有z
FNM(X ,y') =Cat(x ,k) , (20)
其中Cat(x ， k) =CG 伪+Pert(x ， 川是突变函数，它依赖于h 个状态变量/;…， j 和n 个控
制变量岛，…， ι . Cat(x ， k) 可进一步分解为 个部分即CG(k) 和Pert(x ， k). CG(是)仅依赖于
h 个状态变量， Pert(x ， k) 依赖于h 个状态变量和n 个控制变量.显然，如果式。8) 被满足，则按式(4)有
det (gij) = o.
利用二次形理论可得到
ds2 = gijdxid.z! = o.
众所周知，式(22)恰好是广义相对论中的光锥另一方面，
det(gij)>O 和det(gi)<O ，
按二次形理论可得到
ds2 = gijdxidxj> 0 和ds2= gjidxidxj<O ,
故时空流形M 由det (;j F(x ,y) /axiayi) =det 的不同值分成4 部分:
det手o ds2>0 类时态物质态 ds2<0 类空态
det=O ds2=0 类光态奇点) dxi = 0 ,i = 0, 1 ,2 , 3 (原点).
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
从式(1 8) 和(25) 可知，在平坦或弯曲的时空流形M 中光锥都是突变集，而类时态和类空
态均是运动粒子的可能态但在平坦时空中突变函数仅是芽，而弯曲时空中还包含了
Pert(x ，的.于是通常相对论中的伪欧空间和伪黎曼空间接莫尔斯引理所赋予的不稳定性在突
破二次形限制定义的芬斯勒结构中，终于揭示出了它的实质在通常的光锥或视界将发生
时空突变
446 北京师范大学学报自然科学版) 第36 卷
3 一种特征类型的芬斯勒时空ds 4
作为例子让我们考虑二元四次齐次代数形式所定义的芬斯勒结构
F4 =A (x ,y )dx4+ B(x ,y )dx3dy+C<X ,y )dx2dy2+ D(x ,y )dxdy3+ E(x ,y)dy4. (26)
为简化，令z=dy/dx 得
φ4=A(x ， y) +B(x ,y)z+C(X'Y)Z2+D(x ,Y)Z3+E(x'Y)Z4: =g, (27)
于是有
g.=4φ3φz' U}= φ.=g./4φ3 ， φφ.=g./4φ
g..= 12φ2φ~+4φ3φ口， φφ..= (4gg..-3g~)/16φ
3.1 希尔伯特形式由
φ.=g./4φ3
得希尔伯特形式
ω= (g./4φ3)dz.
3.2 基本张量由直接计算可知
(28)
(29)
(30)
4gg..-3g.=A (x .y) + B(x.y)z+C(x ,y)z2+D(x'Y)Z3+ E(X'Y)Z4 , (31)
其中
A=8AC-3B2, B=4(6AD-BC) ,
C=2(3BD+24AE-2C勺， D=4<6BE-CD) ,
E=8CE-3D2.
令!=φ 则!.=g./2!, !..= (2g..g-g;>/4!3 ,
故基本张量为g..(x ,y) = (2g..g-gD/8尸.
3.3 嘉当张量由
可得
其中
!...= (8!g2)-1(4g2g...-6gg.g..+2g~)
c...= 06!g2) 一1(4旷...- 6gg.g..+2g;) ,
4g2g...- 6gg.g..+2g.=A1 (x ,y) +BI (x ,y)z+C1 (a ,Y)Z2+
DI (x ,y)z3+El (X ， Y)Z4 十FI (X ,Y)Z5+G1 (X'Y)Z6
为六次多项式.其中
AI =3(B3-4ABC+8A2D) , Bl =6(B 2C+2ABD+16A 2E-4AC勺，
C1 =15(B2D+8ABE-4ACD) , DI =一12(BCD+ 5B2 E + 5AD勺，
EI = -15(BD2+8ADE-4BCE) , FI = -6(CD2+2BDE+16AE2-4C2E) ,
G 1 = 一(D3 - 3CDE + 8BE2).
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
(37)
(38)
第4 期曹盛林等2 芬斯勒时空中的宇宙演化447
这里一个很有意思的情况是:由式(36)给出的具有四阶齐次代数形式的芬斯勒结构，其对应的嘉当张量是一个六阶代数形式，通常它可由李代数SU6 所表示.如果我们令B=D=O. 即
在芬斯勒结构36) 中去掉破坏时空反演对称性的成分，则嘉当张量最高只是五次代数形式，它
可用李代数SU5 表示.简单比较后不难发现，适当选取参数A.B.C 等6 个系数，便得到三维空间中不同的5 类焦散分支.这是否暗示了芬斯勒几何与突变理论或焦散理论的结合点-
3.4 一个诱人的前景适当选取的芬斯勒结构确实可能通过嘉当张量来引进除引力外的相
互作用，而引力本身仍可通过基本张量加以处理.这能否形成用几何方法研究统一场论的新途
径呢爱因斯坦在创立了广义相对论后的几十年，一直致力于统一场论的研究而一无所获人
们怀疑统一场论能否几何化.今天看来，或许爱因斯坦未能成功的原因在于他的几何始终未能
突破黎曼结构的框架，或许正是芬斯勒几何为物理学中几何化的统一场论的研究打开了一条
新的途径.
通常物理学的研究中基本物理规律所包含的对称性起着非常重要的作用，而物理学的对称性常分为两大类一类是时空对称性，它是与描述物理事件的时空坐标的变换相联系的.牛
顿力学的时空对称性通过伽里略变换来描述，而相对论则用罗伦兹变换取代它.广义相对论的
发展只是把由罗伦兹变换带来的平直的闵柯夫斯基时空(伪欧空间结构用弯曲的伪黎曼时空
结构来取代，它本质上只改变了理解时空对称性的框架，而对时空对称性的内涵并未加以扩展.另一类是所谓内部对称性.在通常的场论中，它们是与不改变时空坐标的场的变换相联系
的.这种变换称为内部空间的变换这些变换构成变换群.物理规律的对称性归结为基本方
程在变换群下的不变性.按照诺特(Noether) 定理，相应于对称群的每一个生成元有物理系统的一个守恒律.
曾经有人企图证明上述的2 种对称性是无法统一的，但后来人们发现为证明此定理的物
理假设并未经受实验检验我们认为，任何一个物理过程都是在时空中发生和演化的，因此它
们必然与时空的对称性有关所谓内部对称性是与不改变时空坐标的场的变换相联系的，如果
理解成是与准确到不改变时空坐标的二阶量(即由罗伦兹变换保持不变的变换相联系的，那
么，我们就可怀疑所谓内部对称性所描述的场是改变了时空坐标的高阶小量.尽管这种改变在
宏观和宇观条件下通常不起显著作用，但在微观条件下可能总起着决定性的作用.把时空结构定义在高次形式下，这正是芬斯勒几何最显著的特色之一.因此，我们猜测物理学中的内部对称性也仅能统一在时空结构的高次对称性中.它正是芬斯勒几何的用武之地.
4 芬斯勒时空ds4 中的宇宙演化
为了解决相对论宇宙论的疑难，人们把希望的目光投向了弯曲时空中的量子理论或量子
宇窗论.1981 年古斯[8]提出了暴胀宇窗论的观念.他假设在普朗克时间pl=t(Tp1 ) 之后和t(T1 )
之前，有一段足够长的时间让宇宙的尺度因子Q(t) 按指数规律增长古斯是基于在大统一理
论中的真空相变的模式得到暴胀的.这个模型成功地克服了大爆炸宇宙论的3 个困难，但却又
带来一些新问题为了克服出现在真空跃迁相变过程中由于大统一理论给出的既宽且厚的势垒而引起宇窗非均匀性出现和相变无法终止，以及相变中产生了过多的磁单极子而至今人们又未观测到一个磁单极子等困难1982 年Linde 等人又提出了"新暴胀宇宙"模型，这在一定
意义上克服了古斯模式的困难为了更进一步追踪宇宙到普朗克时期，并试图回答"宇宙是如
448 北京师范大学学报自然科学版) 第36 卷
何产生的"这样一个最基本的宇宙论的问题， 1983 年霍金等m提出了量子引力的欧几里得处理.他们用具有正定度规+++十)的四维欧氏空间代替通常相对论中的闵柯夫斯基时空(一
+++)，并通过路径积分的方法得到描述极早期宇宙状态的"宇窗波函数"，通过宇宙波函
数"的量子涨落效应引起的破缺效应而使时间由原来的"虚"时间演变到今天的"实时间
至此，宇宙论似乎有了一个从宇宙创生到星系形成的完整图像，但这些图像给人的印象
是:受物理理论的牵连过大，宇窗论既然是研究宇宙整体时空结构和演化的规律，它就应在最
大程度上脱离开各种局部物理理论的框架，而表现出时空的最本质的特色.此外，还有几个问题值得进一步探讨1)在宇宙创生和宇窗暴胀之间没有直接的自然联系;2)大统一理论本身在
粒子物理学中尚存在较多的问题，因此，以它作为暴胀理论的理论基础也必然具有较多的不确定性， 3) 在时空创生的模式中宇窗由四维正定度规++++)演化到罗伦兹形式(一+++)，
似乎暗示空间是比时间更基本的东西，使相对论中时间和空间原本就不理想的对称性变得更
加不对称，这不仅破坏了理论结构的美感，而且破坏了时空对立统一的依存关系.
有趣的是，如果我们采用芬斯勒度规来描述宇宙时空，则一种极简单的模式可将宇窗的极早期的演化过程，以最简单的形式给予统一的描述.
4.1 芬斯勒时空的宇审论意义我们假设宇宙的时空度规具有如下的芬斯勒时空形式:
ds= (dT 4 十dX 4 +dy4+dZ 4 + 2hdy2dZ2 - 2hdT2dX2 )1/4. (39)
为了方便，让我们仅考虑二维情况.令
ds= (dr+dR4- 2hdT2dR2 )1/4 , 0ζh~ 1. (40)
按第3 章中讨论的芬斯勒几何，我们可找到一个嘉当张量.若令z=dR/dT ， 则由式(3 6)(
38) 可得
C...= Ids I 一10 (1 - h2 ) (z _Z5). (41)
如果我们进一步考虑四次齐次形式的小扰动，则嘉当张量中将包含通常焦散理论中的5
类焦散分支，它们给出了宇窗物质分布的原初扰动并一直持续到宇窗的热大爆炸时期.嘉当张量为零后，则以物质密度的不均匀分布形式留下其遗迹.而按突变理论， dT4 +dR4- 2hdT2dR2
是一个典型的双尖点突变，并且，当h 取值不同时有不同的突变特征.这些特征颇有些类似于
宇宙极早期的演化特征.有趣的是，在双尖点突变的应用中齐曼用它来讨论经济发展中的通货膨胀inflation) ，而宇宙暴胀the inflation of the universe) 正是从通货膨胀一词得来的.
4.2 时空创生的芬斯勒结构令h=O ， 则ds= (dT4+dR4)1/4. (42)
按照突变理论，芽(T4 十R4) 是紧致的.紧致芽起的重要作用是因为它的任何扰动存在一个极小值如果极小值表示某些系统的稳定平衡态，那么，对于扩展空间的每一点存在一个系统的
稳定状态另一方面，代数方程T4 +R4=0 仅有零实根，如果我们认为只有实根值代表可观测量，那么，对于时空流形M(T ， R)=T4 +R4 所定义的时间 和空间 都没有独立的可观测意
义川旦按突变理论， M(T ， 如有演化意义，且由赫森矩阵行列式
T R
Aaτ
A哇
一一
R
AU
q 臼
,9" T0
一T
R
H 分
部
A哇
为分
鸟UA
形
流
将
值同
不
的
(43)
第4 期曹盛林等2 芬斯勒时空中的宇宙演化449
T 2R 2<O, 时间的种子T2 R 2 >O ， 空间的种子;
T 2R 2=O , 突变集T=R=O ， 原点.
(44)
若式(44)的简单的几何结构确实描述了宇审时空创生基本特色，它就具有以下特点.
1)简单性:如果说宇宙确实有一个创生时期，那么它将是宇宙结构具有最简单最对称的海
沌时期.在能表述→个演化并具有最简单最对称的时空结构中式(42) 给出的芽几乎是唯一的.
2) 对称性:芽(42) 表述的时间T) 和空间R) 是完全对称的，它们不仅是在表达式中的位
置而且在演化特征上都是完全对称的，特别是时间和空间将同时由不可观测状态演化到可观测状态，也就是说，它们将同时创生.
3) 稳定性:我们已说过芽(42) 是双尖点突变芽中的惟一的紧致芽，而紧致芽的重要性在于
能产生出一个稳定平衡态，那就是空间它意味着时空一旦创生(由不可探测转变为可探测将
会形成一个稳定结构
的时空创生于类光宇窗:如果对于芽(42) 我们仍把ds=O 描述成类光态，那么在宇宙时空
创生前宇宙惟一能表象的就是类光态零是代数方程r+R4 =O 的惟一实根，它又表象类光
态.通常相对论认为，不可能建立以光速运动的惯性参考系，也就是说，当物质以光速运动假
定它是可能的) ，通常的时空度量已失去意义因此，不难设想宇宙极早期有一个"类光时期"
(即假定宇宙中所有物质全处于光速运动的混沌状态 ，此时我们通常意义下的时空度量概念
已失效.
5) 可用SU5 表示的推动力场按式(42) 可得
C...= Ids 1-10(z-z5). (45)
4.3 暴胀宇宙的几何模式在时空创生后的宇窗时空度规为ds= (dT4 +dR4 一2hdT2dR2) 1/4 , O<h<l , (46)
这也是→个双尖点突变并描述一个尺度按指数增长的宇宙，也就是说时空一旦创生，则芽(42)
即转化成(46) ，宇宙必然进入尺度因子按指数增长的暴胀阶段.由赫森矩阵(T ， R ， h) 的4 个
实根可将流形M(T ， R) 划分成9 个部分，这里不详叙述.
暴胀过程中参量h 从O 增加到1.有趣的是此时的嘉当张量可由式(4 1)看出，它将由式
(45) 表述的最大值变为零.
4.4 热大爆炸当参量h=l 的瞬间，宇宙即开始了热大爆炸的历史.此时，式(46) 的度规变为退化形式， 4 个实根变成2 个双重根，故此时的时空流形仅划分成4 部分.
如果度规有形式
ds= (dT4 +dR4 一2dT2 dR2)1/4= [( -dT2+dR2)2JI/4 ,
它是闵柯夫斯基时空情况.如果度规有形式
(47)
ds= (dT4+dR4+ 2dT2dR2)1/4= [(dT2+dR2)2JI/4 , (48)
这恰好是欧几里得空间
也就是说，时空完全成为我们今天的情况.嘉当张量在此时已消失，但在宇宙的前2 个演
化时期中它以物质密度的不均匀分布的形式留下其遗迹.这些密度的不均匀分布提供了宇宙
大尺度结构形成的原初扰动谱
关于芬斯勒时空中的相对论及其观测检验，在我们的有关文章[lO- I4J 中已有详细的讨论
450 北京师范大学学报自然科学版) 第36 卷
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Proceedings the Third M Grassmenn Meeting on General Relativity. Amsterdam, Science Press and
North-Holland Publishing Co .1983
THE EVOLUTION OF THE UNIVERSE ON
THE FINSLER SP ACETIME
Cao Shenglin 1) Mo Xiaohuan 2)
( l)Department of Astronomy. Beijing Normal University. 100875.Beijing.Chinal
2) School of Mathematical Sciences. Peking U niversity.1 00871. Beijing .China)
Abstract According to the different properties between the Riemann metrics and the
Finsler metrics. it is discussed that the spacetime will have the catastrophe nature on the
Finler spacetime metrics. In relation to some interesting subjects in the process of evolution
of the universe. the nature of Finsler spacetime ds4 and its cosmological implications are
discussed. It is shown that the natures of the universal evolution could be attributed to the
geometric features of the Finsler spacetime.
Key words Finsler geometry; Finsler spacetime; evolution of the universe; creation of
the universe; inflation of the universe
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