突变理论的3 个基本定理, 1)隐函数定理.如果函数在某一点的斜率不为零，则这函数在某个适当的坐标系中可局部

突变理论的3 个基本定理

1)隐函数定理.如果函数在某一点的斜率不为零，则这函数在某个适当的坐标系中可局部

 地表示为线性函数

芬斯勒时空中的宇宙演化铃曹盛林1) 莫小欢)

Aug. 2000

Vol. 36 No.4

(1)北京师范大学天文学系.100875. 北京， 2)北京大学数学研究中心.100871. 北京，第一作者62 岁，男，教授)
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d263/26303.pdf

http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d263/26303.pdf

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芬斯勒时空中的宇宙演化铃曹盛林1) 莫小欢)

Aug. 2000

Vol. 36 No.4

(1)北京师范大学天文学系.100875. 北京， 2)北京大学数学研究中心.100871. 北京，第一作者62 岁，男，教授)

 

摘要物理学实质性的进展，往往是与时空结构的变化密切相关的F 反之也可猜测新的时空

几何结构必应导致新的物理发展.近10 多年来，芬斯勒几何逐渐引起数学家的兴趣，而它将对物

理学的发展起到什么作用呢本文考虑了芬斯勒几何与突变论的自然联系并由此讨论其在宇宙论中的应用.

 

关键词芬斯勒几何;芬斯勒时空4 宇宙演化E 宇宙创生;宇宙暴胀分类号P 159. 2

早在1854 年， Riemann 在其著名的就职演说中就提到，微分几何的度规除了可用二次形

 

式的平方根定义外，也可用四次微分形式的四次方根定义他在该论文中对广义空间引入了基

 

于弧长元素为s 2 =F(X1 ， … ， x";dx1 ， … ， dx") 的度量结构，这里， F(x ， y) 是一个定义在切丛TM 上的关于y 的正一次齐性函数(当y手0 时 ，一种重要的特别情形是F2 =gij(x)dxidxj ， 历史的进程赋于此特别情形以黎曼几何的名称.

1900 年， Hilbert 在他对未来数学发展提出的23 个问题中的第23 个问题，就是度规的定

义问题 1918 年， Finsler 在他的博士论文中讨论了基于变分定义度规的一般原则，并由此讨论了在这类空间中的曲线和曲面的性质特征.芬斯勒几何的名称就来自此论文.现代的研究表

 

明芬斯勒几何并不是黎曼几何简单的推广;恰当地说它是没有二次形式限制的黎曼几何[1.2] •

从广义相对论发展的角度来看，爱因斯坦于1913 年同格罗斯曼合写的《广义相对论纲要

和引力论》一文中利用黎曼度规引出引力的拉格朗日作用量. 1924 年爱丁顿在《相对论的数学

 

理论沪一书中在讨论几何学分支和电动力学"时提及，通常采用基本张量幡G阳gJ4' +FJ4" 其

 

中gJ4' 为对称张量， FJ4' 为反对称张量.为得到新的不变量，我们可利用表达式3μ *BArp •

dXpdx.dx;.dxr ， 从而得到新的理论洞察力.

Rindler 在1977 年出版的《相对论精义沪一书中提到芬斯勒几何并给出一类非黎曼度规dt12= (dX4+dy4) 1I2.

前苏联学者Asanov 研究了广义相对论的芬斯勒推广;他用芬斯勒空间的密切黎曼度量

张量取代通常广义相对论中的黎曼度量张量，在分析了爱因斯坦场方程对拉格朗日密度构造

 

的限制条件的基础上指出:目前已知的，仅有惟一的非黎曼度规函数F(x ，z)= [直仙).

铃国家自然科学基金资助项目(19873004.19871001)

 

收稿日期12000-06-05

 

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ZE)]l》足限制条件

 

在Asanov 的专著《芬斯勒几何、相对论和规范理论)[5J一书中，进一步讨论了在上述度规下的运动学问题这些研究表明，在芬斯勒时空结构的基础上，进一步考虑相对论的发展将是

很有前景的研究方向.

 

1 芬斯勒几何及其3 个不变量

1. 1 芬斯勒结构定义若函数F:TM→ [0 ，∞)满足:①F <X， ).y) =).F(x,y)'V ).ε R[O ， ∞) ;

( F ITM\{O} (表示除去O 点)是C∞的;③ ([O/2)F2 Jyγ( 正定)在TM\{O} .满足此3 个条件的切

丛上的非负函数则称F 为 上的芬斯勒结构

 

第3 个正定性条件，对于相对论的应用中是不必要的;相反，由于相对论对于ds2 必须保

持号差(一+++)或(+一一一〉的要求，我们也希望所定义的芬斯勒结构在引出的黎曼度规张量中能具有相对论所需的号差.

1.2 希尔伯特形式设M ， F) 为芬斯勒空间， (x' ， y') 是TM 的局部坐标

 

定义F.;dx' (构造了一个L形式)是SM 上的整体微分形式，称为希尔伯特形式，记为ω.

命题形式与局部坐标选取无关

 

证明:若G' ， y') 是TM 上另一坐标，我们有Fy'dx' = F y1dx' , (Fμ=(缸i/ éX' )F/) ，故Fy1 •dx' 是整体的.由齐性可得F,;(x ,).y)dx'=F y1 (x ,y)dx' ， ).ε R+

利用嘉当结构方程，由希尔伯特形式可得到芬斯勒结构中的联络 形式和曲率2 形式.可

 

见，在芬斯勒几何中希尔伯特形式相当于通常黎曼几何中的度量1 形式，但黎曼几何中的度量

 

形式是定义在流形上的，而希尔伯特形式是定义在切丛上的.因此，一般情况下，芬斯勒几何中

 

的曲率张量可分为 部分:流形上的、切空间的、两者交叉的，适当选取坐标系可使纯切空间的

部分为零;于是，曲率张量只剩下2 部分，分别称为黎曼曲率张量和闵柯夫斯基曲率张量.

 

1.3 基本张量对于一个r 阶欧拉齐次函数Z(x ， ky) ， 有

 

Z= (x ,ky) =krZ(x ,ky) , (1)

意味着

 

yi òZ (x ,ky) /òy' =rZ (x ,y). (2)

利用式(2) 于芬斯勒度量，函数F 2 可得

F2(x ,y) =gij(X ,y)yiyi , (3)

其中gi, (X ,y) = O/2)(fF2(x ,y)/òy'òy' , (4)

gi/X ， y) 称为基本张量或称芬斯勒度规张量.在芬斯勒几何中它相当于黎曼几何中的黎曼度

 

规张量，角标 也是对称的.这里的区别是，黎曼度规张量仅是流形上的坐标' 的函数，因此

 

ò，， (x)/ò 三0; (5)

而芬斯勒度规张量gij(x.y) 不仅是流形上的坐标' 的函数，而且是切矢量y' 的函数.由此引

入了芬斯勒流形中的第3 个重要不变量嘉当张量C忡1.4 嘉当张量嘉当张量C" 是定义为C，i是= O/2)òjò是(6)

或由基本张量gij的定义可得

 

第4 期曹盛林等z 芬斯勒时空中的宇宙演化443

C;jÆ= (1/ 4)êÌ F2 /òyi ò句l. (7)

按定义，嘉当张量CijÆ的3 个角标均为对称的.因为对于黎曼几何总有式(5) 成立，也就是说嘉

当张量恒为零，故嘉当张量C;川自然地成了一个芬斯勒结构所确定的几何结构偏离黎曼几何

程度的描述.

 

我们知道，数学的发展总是给物理学提供了新的有效工具.当然科学史往往是从相反的角

度表明:一个新的物理理论总是建立在新的几何结构基础上.狭义相对论创立3 年后，闵柯夫

 

斯基揭示出它的时空结构是一个具有号差为( 或一2) 的伪欧空间 量子力学揭示微观世界是

遵从希尔伯特空间的;广义相对论一开始就明确地把理论建立在弯曲的(伪黎曼空间黎曼曲

率张量是黎曼几何偏离欧几里得几何程度的描述，而广义相对论恰好揭示出它表述了时空中

的引力相互作用，并由此提出了爱因斯坦场方程假设

现在，如果我们相信广义相对论对引力的描述是完备的，即任何一种引力场的出现必然且

 

只能导致一种时空的黎曼结构，相反，任何一类时空的黎曼结构也只能表述一类引力相互作

 

用，那么，表述偏离黎曼几何程度的嘉当张量CijÆ物理上能表述什么相互作用呢如果能，那么它只能描述引力以外的相互作用;因此我们猜测芬斯勒几何可能是建立几何化统一场论的有

力工具.

 

2 芬斯勒结构的突变特征

2.1 突变理论6] 宏观及宇观过程存在大量的不连续的突发过程.能否建立一种合理的理论来处理这些现象呢而从牛顿力学到广义相对论都仅处理平稳的连续变化的物理过程，即便是

量子力学也仅是处理在连续时空背景下的物理系统状态的局部跃迁大量的宏观和宇观的不

 

连续和爆发现象，特别像宇宙大爆炸这样的整体行为是否可能归结为时空的内禀性质呢

突变理论是这样一种可能程序:这个程序的主题是研究微分方程组的解如何随方程的系

数的变化而变化.很多时候，当方程的系数变化很微小时，解的性质也在小范围内连续变化;但

 

确实存在这样的一些情况，即当方程组系数作微小变化时会引起解的性质发生数量上的巨大

 

变化或者性质上的根本变化.从观念上，突变理论极力要抓住这些引起变化的"临界点"，而传统的数学及物理理论往往是把它作为反例而抛弃.从方法上，突变理论把微分方程的m 个系

数扩展成m 个连续参量组成的m 维流形，与n 个自变量的流形直积形成一个m+n 维的流形

 

MXN; 而传统的方法却恰好相反，首先寻找可积条件，把参数限制在某个小范围，再通过边界

 

条件把自变量限制在某个有限范围，从而得出解.因此不难推想，传统的方法只是研究了问题的一个分支，而整个物理体系包含着多个分支，突变理论正是通过临界集"的寻找，给这些分

支划出明确的界限.突变理论把体系分为结构稳定的(在小扰动下系统本身也仅发生小的变化)和结构不稳定的(在小扰动下系统可能发生突发性的巨大变化) .而突变理论的实质正是研

究体系的结构不稳定性的存在和发生的条件，以及对具有一定独立参数的系统可能发生的突

 

变类型的分类

2.2 突变理论的3 个基本定理从数学分析的观点看，突变理论是古典数学分析的自然发展.它具体表现有以下3 个定理.

1)隐函数定理.如果函数在某一点的斜率不为零，则这函数在某个适当的坐标系中可局部

 

地表示为线性函数.令f(x)= f(XI.X2. … .x.) 在点Xo 是具有非零梯度的函数，即

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\7 fl .r。手0 ， (8)

则可能找到一个新坐标系y=y(x) 使得

 

f=yp (9)

  

即在经过光滑的坐标变换后，函数f 等于yl' 这是我们在古典分析中熟悉的也是物理学中最

 

常用的定理之一.

现在，如果在某点\7 j=O. 则我们往往说隐函数定理失效，通常问题就讨论不下去了;但

这并不是说问题失去了讨论的意义，而仅仅是不可能再找到线性画数形式的表达式满足问题的答案.实际上，当上述隐函数定理不能再应用时，我们可用第2 个定理一一莫尔斯引理.这引理说 如果飞f= 。但函数的黑森矩阵的行列式det H 手O. 这里黑森矩阵 是函数f(x) 对其变量Xi 的二阶偏导数所组成的矩阵，定义为=[éfl缸iéxjJ. 则(x)有一个标准的二次型

 的形式一一莫尔斯鞍.