qft01 量子場論 在很高能量(即很短距離)時不能自恰 (self-consistent)。因此、量子場論可以看成是某基本理論在低能量之有效場論

量子場論 (Quantum Field Theory) [1] 是目前唯一能滿足特殊相對論及量子力學原理的理論架構。但它不可能是最終的理論 (Final Theory) [2]。因為它一定會在很高能量(即很短距離)時不能自恰 (self-consistent)。因此、量子場論可以看成是某基本理論在低能量之有效場論(Effective Low-Energy Field Theory)。重點是，不管這個基本理論究竟是超弦理論(Superstring Theory) 或其他未知的最終理論，它在低能量之有效場論必然是量子場論

一、引言

量子場論 (Quantum Field Theory) [1] 是目前唯一能滿足特殊相對論及量子力學原理的理論架構。但它不可能是最終的理論 (Final Theory) [2]。因為它一定會在很高能量(即很短距離)時不能自恰 (self-consistent)。因此、量子場論可以看成是某基本理論在低能量之有效場論(Effective Low-Energy Field Theory)。重點是，不管這個基本理論究竟是超弦理論(Superstring Theory) 或其他未知的最終理論，它在低能量之有效場論必然是量子場論。故此，推導出量子場論之理論預測及其與實驗結果的比較，是所有(高能)物理學家一致努力的目標，尤其是具有規範對稱之量子場論，例如描述夸克與輕子之間(電磁、強、弱)交互作用之標準模型(Standard Model)。在標準模型中、描述夸克與膠子之間強交互作用之規範場論是量子色動力學(Quantum Chromodynamics , QCD)。原則上、強子及原子核之一切特性及其間之強作用力都可由QCD 推導出。很不幸的是、任何四維量子場論(除了自由場之外)都沒有精確解 (exact solution)。而弱耦合微擾理論(weak couplng perturbation theory)在強交互作用中又不適用。故此如何得出標準模型(或任何四維量子場論)之非微擾解(nonperturbative solution)，一直是理論物理中最重要及最困難的課題。如果這個技術性問題不獲得有效的解決，我們不能判定高能實驗結果中一些(稀有)獨特事件與理論預測之誤差究竟象徵了新的物理、或者只是標準模型中的非微擾效應。值得注意的是，真正的非微擾效應是不能從Feynman 圖的計算而得，不管你算了多少個Feynman 圖，也可能得不出正確的答案。

在1974 年，Kenneth G. Wilson 提出格點規範場論 (Lattice Gauge Theory) [3]，把連續時空暫時變為一個有限的四維格點，而定義在格點上之量子場論(路徑積分量子化之後)則等價於一個統計力學系統，故此可以用Monte Carlo simulation 求得其非微擾數值解。格點QCD 是目前研究強交互作用理論中唯一最成功的之非微擾規限法。但是、如何

格點規範場論的最新發展

文/趙挺偉

摘要

 

本文簡要回顧格點規範場論之基本概念、及其過去數年的突破性進展，尤其是格點手則對稱之實現，及其對格點QCD 之重要影響。

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把費米場放在時空格點上而保存其在連續場論中之一切特性、一直是最困難的理論課題。

二、格點費米場之手則對稱

在連續場論中、無質量費米場具有手則對稱 (chiral symmetry)。在QCD中，手則對稱扮演著重要的角色，它不允許可加性的夸克質量重整化，而其自發性破壞提供了近似Goldstone玻色子以及其交互作用。因此，當我們要建立一個格點QCD理論時，保存手則對稱是非常關鍵的一步。然而我們一定會遇到Nielson-Ninomiya 定理所綜合的困難：在格點上之Dirac費米場作用量無法同時滿足（i）局域性，（ii）沒有費米子偶對，及（iii）手則對稱。這是格點規範場論自1974年以來的重要難題。

過去23 年來，研究格點QCD的人員絕大多數都是採用Wilson Fermion 或Staggered Fermion 來處理格點費米子。但這兩種方法都有其本身嚴重的缺點。 Wilson Fermion 所加入的 Wilson term 類似純量場(scalar field)的作用而明顯的破壞了手則對稱，同時也引致各運算子的混合 (operator mixings) 而令計算出的物理量需要極複雜的重正化手續之後始能與實驗值比較。另一方面，Staggered Fermion 雖然保留了部份之手則對稱，卻有殘餘的費米場 (species doubling)。只有當格點距離 (lattice spacing) 是零時(a →0)，Wilson Fermion 及Staggered Fermion才可以恢復手則對稱。但是，一切實際的數值計算只能在有限格點距離之下進行。故此、怎樣外推到恢復手則對稱的範疇是一個未解決的難題。

過去五年來，理論物理學家對時空格點上之手則對稱有了新的突破，可以在有限格點距離下，保存費米場的精確手則對稱。基本架構是David B. Kaplan在1992年提出之格點疇壁費米場Lattice Domain-Wall Fermions (DWF)，承襲了V. Rubakov和 M. Shaposhnikov (1983) 及 C. Callan 和 J. Harvey (1985) 在連續場論中的構想。疇壁費米場的基本概念是使用無窮多個費米場(引進第五維的內在空間)，透過其質量之變化像一個階梯函數 (step function), m(s) = mθ(s), 則在 s=0 (Domain-Wall) 處產生無質量且具手則對稱之(左手或右手) Weyl費米場，故此可得到一個 4 維的手則規範場論。如果 m(s) 的值是一個緊密的集 (compact set), 則其邊界條件一定會同時產生左手及右手的費米場，故此變成一個 4 維的向量規範場論。明顯地，在五維格點上，必須要第五維之格點數 (N_s) 是無限大時，才有精確的手則對稱，而其無質量夸克傳遞子可寫成

12525111−−+−HHHHDcγγ(1)

及滿足 。對格點 QCD 之數值計算而言，我們實際上只能使用有限個 N01551=+−−ccDDγγs 費米場來產生 domain-wall，故此夸克場(在無質量極限下) 之手則對稱也並非完全精確。如何去建立這Ns 個費米場之間的 coupling 而令到夸克場有最佳化的手則對稱是一個重要的問題。

在2002年，筆者証明了一般常用的DWF 在Ns有限時不具有最佳之手則對稱，並且提出了一個經嚴格數學證明具有最佳手則對稱之新費米場作用量，稱為最佳化疇壁費米場(Optimal Domain-Wall Fermions) [4,5]，也証明了Optimal

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DWF 之4維有效 Dirac 運算子在平滑規範場中具指數減弱之局域性 (exponentially-local)。此外，其4維有效 Dirac運算子具有正確的拓撲特徵，滿足Atiyah-Singer 指標定理。並且，其軸畸異(axial anomaly)與規範場之拓撲荷密度相符合。故此 Optimal DWF 能夠提供最佳的理論架構來探討 QCD 之非微擾物理現象。

三、格點QCD

雖然格點向量規範場論之手則對稱難題在原理上已經完全解決，但格點QCD之實際數值計算在技術上仍然面臨巨大的挑戰。首先、任何格點QCD的數值計算都受到因有限格點而引致之誤差:(i)有限體積效應 (finite volume effect); 及(ii) 有限格點距離所產生之誤差 (discretization error)。此外、強子質量必須滿足 , 其中是空間任一維度的格點數目。否則、有限體積效應或有限格點距離所產生之誤差會變得難估計。故此、在同一個晶格上，最重及最輕強子質量之比值必須小於。事實上，到目前為止、任何格點QCD的數值計算都因為格點數目太少而顯得不自然(unphysical)。例如、計算出的介子與介子的質量、及其質量之比值都大過實驗值。一個可行的補救方法是利用手則微擾理論(chiral perturbation theory) 推導出之介子與夸克質量之關係式，然後用格點QCD的數值結果把這個關係式中的常數決定出來，再外插到自然的u(d)夸克質量而得出介子與介子質量之理論值。值得注意的是，如果格點QCD採用Wilson Fermion 或Staggered Fermion，則在有限格點距離時不能保存費米場的手則對稱，那麼手則微擾理論便不適用。由此可見，格點手則對稱之實現，對格點QCD之發展，有決定性的影響。 HmLρ11)(−−<<amLaHπρLπ

原則上，所有強子(hadron)的質量及衰變常數(decay constant) 等一切特性都可以用上述的方法求得。但是、格點QCD還有一個巨大的挑戰: 就是如何包括動態夸克之效應。到目前為止、大多數格點QCD的數值計算都忽略了動態夸克之效應，而把夸克之費米行列式設為常數，稱為quenched approximation。原因是計算費米行列式之效應比計算夸克傳遞子之計算量多100 倍以上。從理論上估計，因忽略動態夸克之效應而引致之誤差大約是15~20 % 左右。

明顯地，格點QCD的研究，需要大量的數值計算。因此、研究高效率的演算法是格點QCD的重要課題，尤其是動態夸克方面。另一方面，由於個人電腦之計算效能與價格比performance/price 迅速提升，使PC cluster成為研究格點QCD最有效的平臺。筆者領導之格點QCD研究組於台大物理系自2001年起建造PC cluster，專供格點QCD的研究計算。現在(2003/11)已經完成64 nodes(每一個node包含Pentium 4、1 Gbyte 記憶體及120 G 硬碟等)。筆者的構想是希望建造一部超過 one Teraflops 的 PC cluster (256~512 nodes)，以便可以進行包括動態夸克之格點QCD的研究計算。

四、有限溫度及化學位能之格點QCD

如果我們希望從QCD第一原理出發去了解早期的宇宙、及目前重離子實驗中可能觀察到的現象，例如、強子物質(hadronic matter)與夸克膠子漿(quark-gluon plasma) 之間的相變，我們只能依賴格點QCD去求得其非微擾數值解。

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上述溫度為零的格點QCD可以很容易便推廣到有限溫度的情況。因為，其中是時間維度的格點數目，故此只要令便可達到目的。如果要考慮有限化學位能，則問題變得頗為困難。因為這時費米行列式變成複數，故此其有效作用量(effective action)也是複數而不能用Monte Carlo simulation求得其正確的規範場組態。另一方面，如果我們把費米行列式歸入觀察量，而只用純規範場作用量所產生規範場組態來計算的話，則不能抽樣到正確的規範場組態而引致結果錯誤。最近提出的一些方法[6]可以處理化學位能 不太大的情況。然而，對溫度低及化學位能高之最令人感興趣的個案，至今仍無可行之法。)0(=T(TtNL)0)0≠1)(−∝aNTtNt(μ<≠μ

五、格點超對稱

除了QCD 中長久以來的重要物理難題如自發性手則對稱破壞(spontaneous chiral symmetry breaking) 及色囚禁(color confinement) 等都必須要非微擾(或數值)解之外，在超弦、超對稱及超重力等理論中有很多重要物理問題也會因非微擾數值解而獲得更深一層的理解。故此、怎樣把超對稱制定在時空格點上是一項重要的研究課題。但這是一項非常困難的任務，因為在格點上沒有無窮小的平移(infinitesimal translations)而明顯的破壞了超對稱。

最近提出的一個可行的方法[7]是設法在格點上保存部分的超對稱，藉此禁止了一切破壞超對稱的有關運算子(relevant operators)的出現，並且希望超對稱可以在連續極限時以偶然對稱(accidental symmetry) 的形式出現，而不須要微調各耦合常數。最近、Kaplan 等人根據這個概念已建構了一系列在各維度格點上之超對稱模型[7]。但是、如何計算出這些格點超對稱模型之非微擾數值解仍然是困難重重。首先、所有的場都必須是完全無質量(exactly massless)，而且我們不能忽略其動態費米場之效應。但是、其費米行列式不一定是正實數。因此我們不能用Monte Carlo simulation去求得其正確的場組態或任何物理量。明顯地，如何計算出格點超對稱場論之非微擾數值解是一項比計算格點QCD更巨大的挑戰。

六、結語及展望

格點規範場論是目前探討量子場論之非微擾(數值)解之唯一最成功的理論架構。隨著過去數年來格點手則對稱的突破性進展，格點QCD或任何格點向量規範場論在原理上已經完全解決。故此、我們可以展望在未來數年，格點QCD會隨著電腦之計算效能與價格比performance/price 之迅速提升而對高能物理現象學及實驗作出重要的貢獻，例如、計算出B介子之衰變常數(decay constants) ,及混合參數,等。但是、包括動態夸克之計算仍然是技術上的極大的挑戰。因此、我們要繼續努力研究高效率的動態夸克演算法。 BfBsfBBBsB

在有限溫度(及化學位能之格點QCD方面，它的重要性是可以讓我們從QCD第一原理出發去了解早期的宇宙、及預測目前重離子實驗中可能觀察到的現象，如強子物質與夸克膠子漿之間的相變及相關的物理量。因為費米行列式變成複數，故此我們不能用傳統的Monte Carlo simulation來計算觀察量。雖然最近提出的一些方法可以處理化學位能不太大的情況;，然而對溫度)0≠T)0(≠μ

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低及化學位能高(最令人感興趣)的領域，仍舊束手無策，極需要有突破性的進展。

如引言所述，量子場論一定是某基本理論在低能量之有效場論。但是、不管這個基本理論究竟是超弦理論或其他未知的最終理論，它在低能量之有效理論必然是規範場論(標準模型)。現在，大多數的理論物理學家都認為這個基本理論在很高能量時具有超對稱。故此、如何計算出超對稱模型之非微擾(數值) 解是一項重要的研究課題。雖然，最近已有一系列在各維度格點上之超對稱模型[7]，然而、其數值解之可行性要視乎我們是否可以解決因費米行列式所產生之難題:(i)如何計算出包括動態費米場之有效作用量;及(ii)如何對非正實數之機率分佈進行Monte Carlo simulation。很明顯地，我們必須要在理論上或技術上有所突破。

參考資料：

 

[1]關於量子場論之基本概念， 讀者可參閱教科書 A. Zee,"Quantum Field Theory"(Princeton University Press, 2003)

[2] S. Weinberg, "Dreams of a Final Theory" (Pantheon Books, 1992)

[3] 關於格點規範場論之基本原理及方法，讀者可參閱: H.J. Rothe,"Lattice Gauge Field Theories, An Introduction", Second edition (World Scientific, 1997); 及I. Montvay and G. Munster,"Quantum Fields on a Lattice"(Cambridge University Press, 1994).

[4] Ting-Wai Chiu (趙挺偉), Phys. Rev. Lett. 90, 071601 (2003); Phys. Lett. B 552, 97 (2003); hep-lat/0303008.

[5] 關於格點費米場之最近回顧，讀者可參閱:Ting-Wai Chiu (趙挺偉),"Recent Development of Domain-Wall/Overlap Fermions for Lattice QCD", Plenary talk at Lattice 2003, hep-lat/0310043.

[6] 關於有限溫度及化學能之格點QCD的最近回顧，讀者可參閱: S. D. Katz, "Lattice QCD at

finite T and μ", Plenary talk at Lattice 2003, hep-lat/0310051.

[7] 關於格點超對稱之最近回顧， 讀者可參閱: David B. Kaplan, "Recent Developments in Lattice Supersymmetry", Plenary talk at Lattice 2003, hep-lat/0309099.

作者簡介

趙挺偉自1982年起任教於台灣大學物理學系。1974年畢業於香港中文大學物理系，1980年獲美國猶他大學物理學博士。1980-1982年，任美國加州大學博士後研究員。1987-1989年，任教於美國加州理工學院(Caltech)物理學系。趙挺偉之研究專長為量子場論，高能物理，及計算理論。

Email: twchiu@phys.ntu.edu.tw

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