无论初始膨胀速度如何，碎片的归一化尺寸的分布具有相似性, ,一个具有初始阈值的Weibull 分布描述，近似的，这个分布还可以简化为Rayleigh 分布

第 卷 第 期 力 学 学 报 Vol. No.

年 月 Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics ，

 

1）无论初始膨胀速度如何，碎片的归一化尺寸的分布具有相似性，可以用

一个具有初始阈值的Weibull 分布描述，近似的，这个分布还可以简化为Rayleigh 分布；

烧水的时候，煮沸之前内部的温度分布不是一个简单的问题。这个可以简化成流体在两个不同温度的恒温平板之间的行为，属于Rayleigh–Bénard convection问题。特定的条件下，可以形成规则的条带，例如条状云的结构。更多的时候，是像下面一个微博里的视频那样，内部有着复杂的运动

韧性材料冲击拉伸碎裂中的碎片尺寸分布规律 1)

郑宇轩*,† 陈磊* 胡时胜† 周风华* 2)

*宁波大学 教育部冲击与安全工程重点实验室，宁波 315211

†中国科学技术大学 中科院材料力学行为和设计重点实验室，合肥 230027

摘要：利用有限元方法模拟韧性金属圆环高速膨胀过程中的碎裂过程，获得不同初始膨胀速度下碎片的样本集合。

通过对碎片的尺寸进行统计分析发现：1）无论初始膨胀速度如何，碎片的归一化尺寸的分布具有相似性，可以用

一个具有初始阈值的Weibull 分布描述，近似的，这个分布还可以简化为Rayleigh 分布；2）碎片尺寸的累积分布

曲线呈现阶梯特性，表现出较明显的“量子化”特性。在上述发现基础上，建立一个Monte-Carlo 模型：碎裂点来

自于颈缩点，颈缩之间的间距满足某种连续的Weibull 分布，而碎片的尺寸为随机的若干个颈缩间距之和。概率模

拟表明：除非早期的颈缩间距分布很宽，否则选择的离散性必然导致碎片尺寸分布呈现某种量子化特性。采用L04

工业纯铝和无氧铜试件进行了爆炸膨胀碎裂实验，回收得到的碎片尺寸分布结果与理论分析基本一致。

关键词：韧性材料，膨胀环，尺寸分布，Weibull 分布，碎片尺寸“量子化”

中图分类号：O346.1 国标学科代码：130·1545 文献标志码：A

— — 收到第1 稿， — — 收到修改稿.

1）国家自然科学基金项目（10972108, 11272163）和宁波大学王宽诚幸福基金资助项目

2）E-mail: fzhou@nbu.edu.cn

引 言

材料在高速变形过程中发生碎裂的现象是力学

与材料科学的一个热点研究领域。一个很重要的问

题就是能不能在给定材料特性及载荷条件下，预测

产生碎片的平均尺寸；进一步的问题则是，碎片的

尺寸有没有统计特征。就物理本质而言，碎片尺度

及其统计特征都部分或完全是多裂纹或多损伤破碎

机理的外在表现。对于材料在高应变率下的碎裂机

理和碎裂方式，已经有很多相关理论的研究，许多

学者[1-8]针对金属、岩石等多种材料进行大量实验研

究和数值计算，并从物理机制上对碎裂现象进行了

理论分析，提出了有关碎片尺度和尺度分布的计算

公式。

对于韧性金属材料，Grady 和Kipp[9]将一个与

断裂能量相关的内聚断裂模型引入Mott[10]的卸载

波传播分析，推导出一个预测韧性材料拉伸碎裂过

程中产生碎片的平均尺度的公式。本文作者在前期

工作中，利用ABAQUS/Explicit 动态有限元软件模

拟了一维圆环（杆）在高速变形过程中的碎裂过程

[11, 12]，研究结果表明：Grady-Kipp 公式在广泛的材

料参数和应变率范围内都能较好地预测碎裂过程中

产生的碎片的平均尺寸。

关于碎片尺寸的统计分布模型有很多，代表性

的有指数模型[4]，对数函数模型[13]，能量模型[14, 15]，

复合能量模型[16-18]，Weibull 分布模型[19]等。模型的

多样性也充分反映材料动态碎裂过程是一个非常复

杂的力学过程。对于一维拉伸碎裂过程，N.F. Mott[10,

20]提出了一种一维膨胀环模型来模拟材料冲击拉伸

碎裂现象。在这个模型中，Mott 假定裂纹在高速变

形过程中完全随机地分布在膨胀环上，而每个裂纹

的发展与形成都可以对其周围的区域进行卸载进而

阻止卸载区域产生新的裂纹，Mott 使用了一个概率

密度分布函数来描述碎片的尺寸分布特征。Grady[21]

在Mott 研究的基础上提出了能量模型，并结合

Johnson-Mehl-Avrami（JMA）理论提出了解析概率

模型。

本文数值模拟了韧性金属圆环在初始径向膨胀

速度下的自由膨胀、断（碎）裂现象。通过网格划

分技术产生具有不同碎裂特征的相同圆环。在不同

初始膨胀速度下对多个圆环的进行碎裂数值实验，

获得大量的碎片样本。通过统计分析碎片的尺寸分

布，给出了描述碎片尺寸的统计学模型。统计分析

同时表明，韧性碎片的尺寸分布具有某种离散性特

征，即碎片尺寸在一定范围内被“量子化”。建立了

一个Monte-Carlo 分析模型，对造成这种“量子化”

的原因进行了统计学模拟。

1 计算模型

类似于文献[11]，建立了有限元分析模型：圆

环材料为OFHC，几何尺寸为外径R=21mm，内径

r=20mm，垂直环面的高度h=1mm。对圆环沿径向

均匀施加初始膨胀速度，如图1（a）所示。在给定

初始膨胀速度下，圆环发生自由膨胀、断裂和碎裂，

如图1（b）所示。有关数值模拟和分析的详细过程

在文献[11]中已做详细报道。本文从统计角度出发，

系统地分析了韧性金属圆环在不同条件下碎裂产生

的碎片尺寸，并研究碎片的分布特征和规律。

图1(a) 膨胀环有限元模型

Fig. 1(a) Finite Element model of the expansion ring

图1(b) 膨胀环碎裂后状态

Fig. 1(b) Status of the expansion ring breaking into pieces

2 碎片尺度分布规律

2.1 碎片尺度分布函数

为了对圆环断裂碎片尺寸进行统计分析，需要

得到在同一种加载条件下多个膨胀环发生膨胀碎裂

的碎片集合。我们采用四面体二次单元对几何尺寸

固定的圆环进行不同网格划分，每次划分时四面体

单元的尺寸和形状系数完全一样，仅仅网格划分起

点不同。网格单元平均尺寸为0.185mm，在此网格

尺寸下数值模拟已经收敛[11]。通过这种方法，我们

得到物理上完全相同的5 个圆环。由于每个圆环的

内部有限元网格不同，在每次模拟中圆环发生碎裂

的断裂点和断裂形态也有所不同。这样我们可以通

过数值模拟，得到5 个试件个体，在初始膨胀速度

分别为200m/s，250m/s，300m/s，350m/s，400m/s

时的碎裂过程。通过有限元后处理技术，收集每次

数值实验获得的碎片个数，如表1 所示。

表1 不同应变率下不同圆环的断裂碎片数

Table 1 Number of fragments of different rings under different

strain rate

初始速度

（m/s）

环1

碎片

数

环2

碎片

数

环3

碎片

数

环4

碎片

数

环5

碎片

数

碎片

样本

数

200 15 15 16 13 15 74

250 22 20 21 20 22 105

300 26 25 28 26 27 132

350 34 31 33 30 33 161

400 36 38 36 35 35 180

测量5 个“数值”金属圆环碎裂后产生的每个

碎片的体积，根据圆环碎裂后的整体长度及所有碎

片的体积比，换算得到每个碎片的长度。对所有碎

片的集合（样本个数分别为74、105、132、161、

180）进行尺寸的统计分析，绘出不同初始膨胀速度

下碎片尺寸分布图，如图2（a）~（e）所示。可见

碎片的平均尺寸随着初始膨胀速度的提高逐渐减

小，碎片的尺寸分布范围的绝对值也随着初始膨胀

速度的提高逐渐变窄。

图2(a) 初始膨胀速度200m/s 碎片尺寸分布

Fig. 2(a) the distribution of fragment size of 200m/s initial

expansion velocity

图2(b) 初始膨胀速度250m/s 碎片尺寸分布

Fig. 2(b) the distribution of fragment size of 250m/s initial

expansion velocity

图2(c) 初始膨胀速度300m/s 碎片尺寸分布

Fig. 2(c) the distribution of fragment size of 300m/s initial

expansion velocity

图2(d) 初始膨胀速度350m/s 碎片尺寸分布

Fig. 2(d) the distribution of fragment size of 350m/s initial

expansion velocity

图2(e) 初始膨胀速度400m/s 碎片尺寸分布

Fig. 2(e) the distribution of fragment size of 400m/s initial

expansion velocity

如果采用碎片平均尺寸将每个碎片的尺寸归一

化，则在不同应变率下，碎片的尺寸分布具有某种

相似性，都服从一定的分布。在研究脆性材料的碎

裂过程中，作者发现，可以用一个带有最小阈值的

三参数Weibull 分布较好地描述脆性碎片的尺寸分

布[22]。在本文中，作者沿用描述脆性碎片分布的

Weibull 累积分布函数：

0

0

( )

n

min

min

s s

N( s ) N exp

s

s s −

> = −

⎡ ⎛ ⎞ ⎤

⎢ ⎜ ⎟ ⎥ >

⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦

(1)

其中N(> s)为尺寸大于s的碎片个数， 0 N 为碎片

总个数， min s 为最小碎片尺寸， 0 s 和n 分别为

Weibull 参数。进一步，通过拟合，发现可以近似采

用一种特殊的，n = 2的Weibull 函数，即Rayleigh

分布来描述：

2

0

0

min ( )

min

N( s ) N exp s s s s

s

⎡ ⎛ − ⎞ ⎤

> = ⎢−⎜ ⎟ ⎥ >

⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦

(2)

相应地，Rayleigh 概率密度函数为

2

2

0 0

2 ( )

min min ( )

min

s s s s

n( s ) exp s s

s s

⎡ − ⎤ ⎡ ⎛ − ⎞ ⎤

= ⎢ ⎥ ⎢−⎜ ⎟ ⎥ >

⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦

(3)

采用Rayleigh 概率密度函数（3），拟合不同初始膨

胀速度下圆环断裂碎片尺寸分布数据，分别绘出

200m/s、250m/s、300m/s、350m/s、400m/s 五种初

始膨胀速度下的Rayleigh 曲线，与实际结果的比较

如图2 给出。可以发现，在每一个给定的初始膨胀

速度下，碎片的尺寸分布未必忠实地沿着Rayleigh

分布曲线，但是，在各种初始膨胀速度下，同一个

Rayleigh 函数（3）均能较好的表征碎片尺寸的分布。

图3 将5 条分布曲线绘制在一起进行比较，随着初

始膨胀速度的提高，Rayleigh 概率密度分布逐渐变

窄变高。

图3 不同初始膨胀速度下Rayleigh 概论密度函数

Fig. 3 Rayleigh probability density function under different

initial expansion velocity

2.2 碎片尺寸归一化分布规律

为检验不同应变率下的圆环碎片尺寸分布的相

似性，采用每组试验中得到的碎片平均尺寸ave s 将

每个碎片长度归一化， min 0 / 2 ave s = s + π s ，得到

了不同应变率下的归一化累积分布曲线

0 N(> s) N 与归一化尺寸ave s s 之间的关系，如图

4 所示。从图4 可以发现，经过归一化后，不同初

始膨胀速度下0 ( ) . ave N > s N vs s s 曲线基本处

于同一个带内，而（2）所给出的Rayleigh 分布的

归一化形式，即：

2

min

0 0

N( s) exp s s

N s

> ⎡⎛−⎞⎤= ⎢−⎜⎟⎥⎢⎣⎝⎠⎥⎦恰

好处于实际数据分布带的中间， 这里取

min min ave s = s s 为0.3， 0 0 ave s = s s 为0.79。

图 4 不同初始膨胀速度下碎片归一化尺寸累积分布和

Rayleigh 分布函数比较

Fig. 4 Comparison of cumulative distributions of normalize

fragments size under different initial expansion velocity to the

Rayleigh distribution function

值得注意的是，尽管如图4 所示，各种膨胀速

度下的归一化碎片尺寸的累积分布与拟合的

Rayleigh 分布曲线：

2

0

( ) exp 0.3

0.79

N s s

N

> ⎡⎛−⎞⎤= ⎢−⎜⎟⎥⎢⎣⎝⎠⎥⎦接近，但在每一个具体的速度分布下，累积分布曲

线与Rayleigh 曲线并不完美重合。特别是，实测数

据的累积分布曲线呈明显的阶梯状， 远没有

Rayleigh 曲线光滑。图5 比较了200m/s（样本总数

74）和400m/s 初始膨胀速度（样本总数180）的碎

片分布曲线，高初始膨胀速度情况下，碎片的累积

分布曲线比低初始膨胀速度的结果稍显平滑，但曲

线的阶梯状分布并没有改变。

图5 初始膨胀速度200m/s 和400m/s 下碎片归一化尺寸累积

分布比较

Fig.5(a) Comparison of cumulative distribution of normalize

fragments size under 200m/s and 400m/s initial expansion

velocity

3 碎片尺寸分布离散化和统计模拟

3.1 碎片尺寸分布离散化的原因

碎片尺寸的累积分布曲线出现阶梯，意味着碎

片的尺寸分布不是严格的连续函数，而是具有一定

的离散特征。在数值模拟中，通过对碎片的颈缩和

端口分析发现，所有的断裂点都来自初期颈缩，有

些碎片内部不含颈缩，更多的内部含有1 个、2 个

乃至若干个颈缩[11, 12],这个现象和Zhang[6]等人的实

验结果一致。Walsh[23]曾对Chou 和Carleone[24]的一

维塑性流动模型加以改进，引入颈缩点的二维效应，

预测了一个临界波长，对应于最快速的非均匀摄动

增长，即相当于是非均匀流动的最佳生长间距。在

早期的理论和模拟工作中[25]，我们也得出了相同的

结论，并且进一步提出韧性断裂过程中碎片尺度“量

子化”的假设：即碎裂过程中产生的碎片尺度不再

连续，而等于临界波长（自组织结构特征）的1、2、

3、4....等整数倍，这样碎片尺寸累积分布曲线呈现

阶梯的原因就可以用“量子化”现象来解释。

然而，Zhang 等人[6]在实验研究韧性金属材料

6061-O 铝碎裂特性时指出，发生碎裂之前的初期颈

缩之间的间距并非是完全的确定值，而跨越了一个

相当大的范围，颈缩之间的间距分布符合Weibull

分布特征。问题是，在这种情况下，碎片的阶梯状

分布是否还能得到解释。

3.2 碎片尺寸分布的统计模拟

为此，我们建立了一个Monte-Carlo 分析模型：

假定每一个碎片长度为一个或若干个初始颈缩的间

距，初始颈缩间距不是固定值，而满足Weibull 分

布函数：

k-1

necking

( ) k exp

λλk n s s s

λ

⎛⎞⎡⎛⎞⎤= ⎜⎟⎢⎜−⎟⎥⎝⎠⎢⎣⎝⎠⎥⎦(4)

其中λ为颈缩之间的特征间距，k 为Weibull 系数。

我们固定λ=4，通过改变参数k 的值来模拟不同跨

度范围的Weibull 分布。图6 描绘了三种不同k 值

的Weibull 分布概率密度函数。k=20 时，Weibull

分布表征了一个较狭窄的区域，颈缩间距近似等于

临界波长；k=2 时，Weibull 分布的宽度很大，为

Zhang 等人实验观察的初始颈缩间距分布宽度；k=6

为两者中间状态。

图6 不同k 值的Weibull 概率密度函数

Fig. 6 Weibull probability density function under different k

采用Monte-Carlo 方法模拟碎片尺寸：有权重

地随机选取1~6 之中的1 个整数M，然后从满足图

6 所示概率分布的初始颈缩间距的集合中抽取M 个

间距，相加作为碎片尺寸，重复此过程得到1000

个碎片尺寸样本，并对这个尺寸样本进行统计分析。

根据以往膨胀环碎裂实验的经验：中间尺度碎片数

量多，大部分碎片内部包含1~4 个颈缩，极端尺度

的数量少且数量多的尺度略向小尺度倾斜。碎片对

颈缩间距的选择涉及复杂的物理机制，不在本文的

讨论范围。本文中人为地设置权重规则来近似表征

这种选择规律，具体为：M=1、2、3、4、5、6 的

概率比为5：8：10：9：5：2。图7（a）~（c）给

出颈缩间距分布不同、即图6 所示的Weibull 分布

取不同k 值情况下的碎片尺寸分布直方图。可见：

k=20 时，碎片尺寸表现出明显的离散特征，大部分

碎片尺度的分布接近于4、8、12、16 等区域；k=6

时，碎片尺寸的分布结果与有限元模拟结果较接近；

k=2 时，Weibull 分布曲线几近完美地描绘碎片尺寸

分布。随着k 值的减小，即初始颈缩间距的分布宽

度越大，最后的碎片尺寸分布越符合一个理想的没

有“量子化”特征的Weibull 分布。

，

图8 为不同k 值情况下的碎片归一化尺寸累积

分布和Rayleigh 分布函数比较。当k=20 时，即初

始颈缩间距为一狭窄区域，碎片累积分布呈明显的

阶梯分布。而随着k 值的减小，即初始颈缩间距跨

度范围越大，碎裂累积分布曲线渐显光滑，直至最

后和Rayleigh 分布函数几乎重合。故此，碎片尺寸

分布的阶梯分布特性应来源于初始颈缩间距的分布

特性，初始颈缩间距服从的Weibull 分布跨越的范

围决定了后期碎片尺寸分布的光滑程度。

图8 不同k 值下碎片归一化尺寸累积分布和Rayleigh 分

布函数比较

Fig. 8 Comparison of cumulative distributions of

normalize fragments size under different K to the Rayleigh

distribution function

4 膨胀环实验

为了验证上述数值计算和分析的正确性，开展

了爆炸膨胀环环实验。试件环材料为L04 工业纯铝

和TU1 无氧铜，试件几何尺寸均为外径R=21mm，

内径r=20mm，垂直环面的高度h=1mm。实验中采

用激光位移干涉仪对试样环的径向膨胀速度进行测

试。图9 给出实验前安装在爆炸驱动器上的试件，

驱动器中上半部分为铝环，下半部分为铜环。对10

个L04 铝环和10 个TU1 无氧铜环，进行了膨胀碎

裂实验，实测L04 铝环初始膨胀速度为128 m/s，共

回收到76 个碎片，而TU1 无氧铜环初始膨胀速度

为118 m/s，共回收到89 个碎片。统计回收碎片的

尺寸（通过称重换算），绘制得到膨胀环断裂碎片尺

寸分布的直方图，如图10a、b 所示。从图中可看出：

虽然两种材料性质不同，发生碎裂时的应变速率也

未必一样，但是相同的Rayleigh 函数能较好的描述

L04 铝环和TU1 无氧铜环断裂碎片尺寸的分布规

律。

图7(c) 碎片尺寸分布（k=2）

Fig. 7(c) the distribution of

fragment size (k=2)

图7(b) 碎片尺寸分布（k=6）

Fig. 7(b) the distribution of

fragment size (k=6)

图7(a) 碎片尺寸分布（k=20）

Fig. 7(a) the distribution of

fragment size (k=20)

图9 L04 工业纯铝和无氧铜试件环

Fig. 9 the experimental Aluminum and OFHC ring

specimens

图10(a) L04 工业纯铝碎片尺寸分布

Fig.10(a) the distribution of fragment size of Al L04

图10(b) TU1 无氧铜碎片尺寸分布

Fig.10(b) the distribution of fragment size of OFHC

将L04 工业纯铝和TU1 无氧铜试件发生碎裂的

碎片尺寸，按照碎片平均尺寸进行归一化，得到类

似于图4 的归一化累计分布数据。将这两组实验数

据和数值模拟结果、以及前面提出的理论分布模型

进行比对，如图11 所示。不难看出，铝碎片和铜碎

片的累积分布曲线也呈一定阶梯状分布，但其阶梯

范围跨度较数值模拟较小，呈现相对光滑的态势，

与上一节概率分布模拟中初始颈缩间距分布k=6 的

情况相似。这说明：实验中的膨胀环试件所包含的

初始颈缩间距并不固定，可能是具有一定尺寸宽度

的Weibull 分布。然而Zhang 在研究韧性材料Al

6061-O 实验过程中指出颈缩间距服从的Weibull 分

布为概率分布模拟中k=2 的情况，初始颈缩间距分

布很宽，但从上面的分析我们可以看出在此种情况

下，碎片尺寸累积分布为极其光滑，且和Rayleigh

累积函数吻合很好，与实验中的阶梯状分布不符。

而造成这种差异性的原因，很可能是Zhang 等人统

计的颈缩间距是宏观上的显著颈缩，其已经是一个

或若干个初始颈缩间距之和，故其统计的颈缩间距

的分布应比实际的初始颈缩间距分布范围更广。另

外，相对L04 工业纯铝实验结果，TU1 无氧铜的碎

裂尺寸分布更加接近前文给定的Rayleigh 分布曲线

函数：

2

0

( ) exp 0.3

0.79

N s s

N

> ⎡⎛−⎞⎤= ⎢−⎜⎟⎥⎢⎣⎝⎠⎥⎦。造成此现象的主

要原因是L04 工业纯铝试件中存在比较显著的初始

缺陷，产生部分过小或过大尺度碎片，影响了碎片

尺寸的分布规律；比较而言，无氧铜材料更加均质，

初始缺陷的影响不大，所产生碎片的分布更符合理

论模型。

图11 碎片归一化尺寸累积分布和Rayleigh 分布函数比较

Fig. 11 Comparison of cumulative distributions of normalize

fragments size in experiments and simulations to the Rayleigh

distribution function

5 结论

本文的主要工作和结论如下：

（1）采用有限元方法模拟了不同初始膨胀速度

下韧性金属圆环膨胀碎裂的过程，通过对产生的碎

片尺寸进行统计分析，发现碎片尺寸分布具有相似

性，Rayleigh 概率密度函数可以较好地描述金属碎

片的尺寸分布。

（2）不同初始膨胀速度下金属膨胀环碎片的尺

寸分布经过归一化，整体可以用同一条Rayleigh 分

布曲线描述，但是每一种膨胀速度下的碎片尺寸的

累积分布曲线都呈现阶梯分布特性，表明碎片尺寸

具有一定的“量子化”特性。

（3）碎片尺寸分布呈现“量子化”的原因在于

圆环碎裂点都来自于初始颈缩发生点，由于拉伸颈

缩的产生是一种自组织现象，颈缩之间的间距相对

集中。通过统计学模拟表明：碎片尺寸分布的阶梯

分布特性与初始颈缩间距的分布特性相关，初始颈

缩间距分布所服从的Weibull 分布的宽度决定了后

期碎片尺寸分布的光滑程度，颈缩间距分布的宽度

越小，碎片尺寸分布的“量子化”特性越明显。

（4）对L04 工业纯铝和TU1 无氧铜圆环试件进

行了爆炸驱动膨胀碎裂实验，回收得到的碎片尺寸

分布特性与上述数值理论分析结果相比：两类材料

的累积分布曲线中都呈现了一定的阶梯特性，与采

用Weibull 系数为6 的颈缩间距分布进行统计模拟

所得到的结果一致；相对而言，缺陷较少的无氧铜

试件的碎片分布更加接近理论预测的Rayleigh 分

布。

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第 卷 第 期 力 学 学 报 Vol. No.

年 月 Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics ，

Characteristics of fragment size distribution of ductile materials

fragmentized under high strainrate tension1）

Yuxuan Zheng*,†, Lei Chen*, Shisheng Hu†, Fenghua Zhou* 2)

* MOE Key Laboratory of Impact and Safety Engineering, Ningbo University, Ningbo, Zhejiang, China;

†CAS Key Laboratory for Mechanical Behavior and Design of Materials, The University of Science and Technology of China, Hefei,

Anhui, China

Abstract: Finite Element Method has been used to simulate the fracture and fragmentations of ductile metallic

rings undergoing high rate expansions. In this paper, the numerical fragments obtained from the FEM simulations

were collected for statistical analysis. It is found that: 1) The cumulative distributions of the normalized fragment

sizes at different initial expansion velocities are similar, and collectively the fragment size distributions are

modeled as a Weibull distribution with an initial threshold. Approximately, this distribution can be further

simplified as a Rayleigh distribution, which is the special case with the Weibull parameter to be 2; 2) The

cumulative distribution of the fragment sizes exhibits a step-like nature, which means that the fragment sizes may

be "quantized". A Monte-Carlo model is established to describe the origination of such quantization. In the model,

the fractures occur at the sites where the tensioned material necks. The spacing of the necking sites follows a

narrow Weibull distributions. As the fragment size is the sum of several (a random integer) necking spacing, the

distributions of the fragment sizes automatically inherit the quantum properties of the random integers as long as

the spacing distributions are not so wide. The experimental results conducted on Al L04 and on OFHC agree with

the analysis.

Key words: ductile materials, expanding ring, fragment size distribution, Weibull distribution, fragment size

"quantization"

Recived ，Revised

1） The project supported by the NSFC (10972108, 11272163) and the K. C. Wong Magna Fund of Ningbo University

2） E-mail: fzhou@nbu.edu.cn