玻色愛因思坦凝聚態的熱力學
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這個光子理想氣體的觀點可說是徹底解決了蒲朗克黑體輻射的半經驗性公式的問題。據說當初玻色的論文因沒有新結果，而遭到退稿的命運。他隨後將論文寄給愛因斯坦，愛因斯坦意識到玻色工作的重要性，立即著手這一問題的研究[1]。並於1924和1925年發表兩篇文章，將玻色對光子(粒子數不守恆)的統計方法推廣到原子(粒子數守恆)，預言當這類原子的溫度足夠低時，會有相變—新的物質狀態產生，所有的原子會突然聚集在一種盡可能低的能量狀態，這就是我們所說的玻色-愛因斯坦凝聚[2]。波茲曼統計雖然在極低溫度也會使原子聚集在最低的能量狀態，但是不會有突然聚集的效應，也就是沒有相變。
可惜之後很長的一段時間，沒有任何物理系統被認為與玻色-愛因斯坦凝聚現象有關。1938年，倫敦提出低溫下液氦的超流現象可能是氦原子玻色凝聚的體現，玻色-愛因斯坦凝聚才真正引起物理學界的重視[3]。五十年代，物理學家發展了很多弱耦合玻色系統的理論，華人物理學家楊振寧、李政道和黃克孫在這方面做了很出色的工作，並且得到著名的『李楊定理』[4]。愛因斯坦知道後很有興趣，還特別邀請他們去解釋一番。
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到1995年6月，維曼和康奈爾的研究組利用朱隸文等人發展的雷射冷卻技術，在銣原子蒸氣中第一次直接觀測到玻色-愛因斯坦凝聚狀態[6]。幾個月後，麻省理工學院的沃爾夫岡﹒克特勒研究組在鈉原子蒸氣中也實現了玻色-愛因斯坦凝聚[7]。此後，這個領域經歷了爆發性的發展。目前世界上已有數十個研究組在稀薄原子氣中實現了玻色-愛因斯坦凝聚，國內中正大學物理系韓殿軍教授也在2003年實現了玻色-愛因斯坦凝聚狀態。
二、玻色-愛因斯坦統計分佈
玻色與愛因斯坦所提出的分佈函數為
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其中E 為原子的能階，n(E) 為處於E 能階的原子數目，T 為系統溫度，μ為化學勢，z = exp(μ/kT) 稱為逸度。假設最低能階能量為零時，在極低溫度時化學勢為零，逸度為1。為了計算方便，我們常常將(1)式展開成右邊的級數形式。玻色粒子比波茲曼粒子更喜歡待在低能階的地方，已故華人統計大師馬上庚稱玻色粒子為『愛合群的粒子』，其實是一群懶惰的粒子。
這裡我們採用巨正則系綜，只有巨正則系綜有解析形式的結果。即使如此，對(1)式求和仍是個艱難的任務。事實上我們只會對能階各維度獨立，且能階大小與粒子數無關的系統做計算。如此，總粒子數可表示為
, (2)
接下來對級數求和，用積分來代替
, (3)
對於自由氣體，能階與n平方成正比，因此(3)式積分會得到
的因子；簡諧位能則與n成正比，積分得到kT/j 的因子。最後代回(2)式，可得
的因子；簡諧位能則與n成正比，積分得到kT/j 的因子。最後代回(2)式，可得
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