L´evy过程,β为偏度.该随机过程的概率密度满足含源汇项的空间分数阶扩散方程

吕龙进博士毕业论文
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分数阶奇异扩散方程的随机表示
当一个随机过程的概率密度函数函数一个偏微分方程,我们则称该随机过程为该方程的随机表示,当然随机表示是不唯一的.我们知道一个标准扩散方程的随机表示可以是标准布朗运动,对于奇异扩散方程,其随机表示又会是什么呢？
我们首先讨论的是一个地下水渗流扩散模型的随机表示.考虑方程
∂C(x,t)∂t+µ∂C(x,t)
∂t
∗f(t)=L(x)C(x,t),这里算子L(x)=−∂∂xvC(x,t)+D∂
2
∂x2,其中v是平均速率,D是扩散系数.
∂C(x,t)
∂t
∗f(t)表示两项的卷积.这个方程是由Schumer[73]首次提出的,用来描述堆浸可动和不可动区溶质运移模型,在多孔介质中,溶液区域分为可动溶液区域不可动溶液区域,把这个不可流动溶液对整个模型的影响因素考虑在内,从而建立了这个可动和不可动区溶质运移模型.C(x,t)表示整个区域的浓度（包括可动与不可动区域）,我们把这个方程称为修正的对流-弥散方程（ADE）.很多学者对这个方程进行过求解,大多数集中在数值模拟[74].我们证明了随机过程Yt=X(Et)是该方程的随机表示,其中,主过程X(τ)服从
dX(τ)=vdτ+
√
2DdB(τ).
次级过程Et服从
Et=inf{τ>0:Aτ>t},
其中Aτ=τ+Dτ(m>0),Dτ是一个初始值为0的增长L´evy过程,其Laplace变换为Ee−kDτ=e−τµkˆ
f(k),这里ˆf
(k)表示f(t)的Laplace变换.14



第一章引言
接着我们将由布朗运动驱动的随机过程推广到一般情形,即
dX(τ)=F(X(τ))dτ+D1/γdLγ,β,λ(τ),
其中,F(x)是依赖于空间x的外力项,D是扩散系数,而Lγ,β,λ(τ)是漂移项为零,缓和的标准γ平稳L´evy过程,β为偏度.该随机过程的概率密度满足含源汇项的空间分数阶扩散方程
∂∂τf(x,τ)=−∂∂x[(F(x)+12γβDλγ−1)
f(x,τ)]−12
λγf(x,τ)+1+β4De−λx/D∂γ∂xγ
[eλx/D
f(x,τ)
]+
1−β4Deλx/D∂γ∂(−x)γ
[e−λx/D
f(x,τ)].(1.2.7)接着我们部分地回答了Magdziarz在文[49]中提出的问题.他通过运用点过程知识,构造一个类似Poission过程的关于Sα(t)的更新过程,证明了随机过程
dX(t)=f(t)dSα(t)+dB(Sα(t))
是外力项依赖于时间的分数阶反常扩散方程∂∂tp(x,t)={−∂∂xf(t)+12∂2∂x2}
R0D1−αt
p(x,t),0<α≤1,
的随机表示.同时,在他的文章中也指出了,当外力项不仅仅依赖于时间t,而且同时还依赖于空间x时,这种方法不适用,此时方程随机表示还是一个问题.