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极小曲面编辑
在数学中，极小曲面是指平均曲率为零的曲面。举例来说，满足某些约束条件的面积最小的曲面。 物理学中，由最小化面积而得到的极小曲面的实例可以是沾了肥皂液后吹出的肥皂泡。肥皂泡的极薄的表面薄膜称为皂液膜，这是满足周边空气条件和肥皂泡吹制器形状的表面积最小的表面。
中文名称
极小曲面
外文名称
minimal surface
目录
1简介编辑
平均曲率为零的曲面。平均曲率定义为：其中k1，k2表示两个主曲率。给定一条闭曲线，可以设想蒙在这条闭曲线上的所有曲面中，有一个面积最小者，这个具有最小面积的曲面正是极小曲面。平面是仅有的极小可展曲面。除平面外，旋转极小曲面都是悬链面，直纹极小曲面都是正螺面。
极小曲面的经典例子包括：
- 欧几里得平面，无特别约束条件下最平常的极小曲面；
- 螺旋曲面：一个线段沿着垂直于其中点的直线匀速螺旋上升时扫过的曲面。这是继悬链曲面后发现的第二种不寻常的极小曲面；
- Enneper曲面。
2研究编辑
著名的普拉托实验是把围成封闭曲线的金属丝放入肥皂溶液中，然后取出来，由于表面张力的作用，在它上面就蒙有表面积最小的薄膜。这种表面积最小的曲面就是所谓极小曲面，从数学上求这膜曲面的问题称为普拉托问题。这个问题可以用变分法来解。
从变分学观点看，可以考虑以已知闭曲线Γ为固定边界的曲面的法向变分。由欧拉-拉格朗日方程(见变分法)，对于任何这样的变分,曲面面积达到临界值的充要条件是曲面的平均曲率h呏0。因此，通常就用这个几何条件来定义极小曲面。
在三维欧氏空间E3中，若一张曲面可用方程z=z(x,y)来表示，则称它为图，或非参数化曲面。由极小条件h=0,E3中极小图的z(x,y)满足下述二阶非线性椭圆型微分方程：
通常称它为极小曲面方程。
E3中极小曲面的重要例子有：①极小的可展曲面是平面；②非平面的极小直纹面是正螺面；③悬链面是仅有的极小旋转曲面；④曲率线为平面曲线的极小曲面是恩纳佩尔极小曲面；⑤舍克尔极小曲面是极小的螺旋面，它可以看作具有实母曲线的平移极小曲面。一般地，E3中极小曲面的坐标可表示为等温参数（使曲面第一基本形式中的E=G，F=0的参数）的调和函数。E3中不存在紧致无边界的极小曲面。
历史上极小曲面的发展是环绕普拉托问题而展开的，这实质上是一个非线性的椭圆型边值问题。早在1930～1931年，T.拉多和J.道格拉斯就各自独立地在广义解的范围内解决了这个问题,他们得到如下的存在性定理:给定任一可求长的空间若尔当闭曲线Γ，总存在一张以Γ为边界的广义极小曲面。这里可能有孤立的分支点，在分支点处曲面不是浸入。直到1970年，R.奥斯曼才证明了拉多和道格拉斯的解是处处内部正则的，即不会有分支点。后来丘成桐等又解决了何时浸入化为嵌入的问题。
除了这类存在性问题外，还有不少属于惟一性方面的问题，其中最著名的是伯恩斯坦定理：E3中完备的极小图必是平面。
正如用导数来确定函数的极值一样，面积泛函的第一变分为零只是面积最小的必要条件，要进一步确定最小面积的曲面，还必须考虑第二变分。在任何法向变分下，使面积泛函的第二变分恒非负的极小曲面称为稳定极小曲面。E3中极小图是稳定的。因此，从伯恩斯坦定理自然产生这样的猜想：E3中完备的稳定极小曲面是平面。这个命题已被D.菲舍尔-科尔布里和 R.舍恩所证明，稍后，M.杜卡莫和彭家贵一起也独立地予以证明。
对于伯恩斯坦定理在高维空间的推广，人们很早就提出这样的问题：设是En的完备极小
超曲面,那么函数z(x1,x2,…,xn)是否必是线性的？1965年，E.迪乔吉证明n=3是对的；1966年,F.J.阿姆格伦证明n=4也是对的。1967年，J.西蒙斯证明当 n≤7时，都是对的。出乎意料的是，E.邦别里、E.迪乔吉和E.朱斯蒂在1968年联合证得,n=8时，就是不对的。因此，这是一个十分有趣的问题。 关于极小曲面及其在高维流形的推广，陈省身、项武义、丘成桐等都作出了重要贡献。
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研究黎曼面，初步產生了復流形的概念（德國韋耳）。 1914年，提出拓撲空間的公理系統，為一般拓撲學建立了基礎（德國豪斯道夫）。 1915年，把黎曼幾何用於廣義
20世紀
- 1901年，嚴格證明狄利克雷原理，開創變分學的直接方法，在工程技術的計算問題中有很多應用（德國希爾伯特）。 首先提出群的表示理論。此後，各種群的表示理論得到大量研究（德國 舒爾、弗洛伯紐斯）。 基本上完成張量分析，又名絕對微分學。確立了研究黎曼幾何和相對論的分析工具（義大利裏齊、勒維.齊維塔）。 提出勒貝格測度和勒貝格積分。推廣了長度、面積積分的概念（法國 勒貝格）。
- 1903年，發現集合論中的羅素悖理，出現所謂第三次數學危機（英國貝.羅素）。 建立線性積分方程的基本理論，是解決數學物理問題的數學工具，併為建立泛函分析作了準備（瑞典 弗列特荷姆）。
- 1906年，總結了古典代數幾何學的研究（義大利 賽維利等）。把由函數組成的無限集合作為研究對象，引入函數空間的概念，並開始形成希爾伯特空間。這是泛函分析的發源（法國弗勒錫，匈牙利 裏斯）。 開始系統地研究多個自變數的復變函數理論（德國 哈爾托格斯）。 初次提出“馬爾可夫鏈”的數學模型（俄國馬爾可夫）。
- 1907年，證明復變函數論的一個基本原理---黎曼共形映照定理（德國寇貝）。 反對在數學中使用排中律，提出直觀主義數學（美籍荷蘭人 路.布勞威爾）。
- 1908年，點集拓撲學形成（德國 忻弗裏斯）。 提出集合論的公理化系統（德國 策麥羅）。
- 1909年，解決數論中著名的華林問題（德國 希爾伯特）。
- 1910年，總結了19世紀末20世紀初的各種代數系統如群、代數、域等的研究，開創了現代抽象代數（德國 施坦尼茨）。 發現不動點原理，後來又發現了維數定理、單純形逼近方法，使代數拓撲成為系統理論（美籍荷蘭人路.布勞威爾） 。
- 1910-1913年，出版《數學原理》三卷，企圖把數學歸結到形式邏輯中去，是現代邏輯主義的代表著作（英國貝.素、懷特海）。
- 1913年，完成了半單純李代數有限維表示理論，奠定了李群表示理論的基礎。在量子力學和基本粒子理論中有重要應用（法國 厄.加當，德國韋耳）。 研究黎曼面，初步產生了復流形的概念（德國 韋耳）。
- 1914年，提出拓撲空間的公理系統，為一般拓撲學建立了基礎（德國豪斯道夫）。
- 1915年，把黎曼幾何用於廣義相對論，成為它的主要數學工具。解出球對稱的場方程，從而可以計算水星近日點的移動等問題（瑞士、美籍德國人愛因斯坦，德國 卡.施瓦茨西德）。
- 1918年，應用復變函數論方法來研究數論，建立解析數論（英國 哈臺、立篤武特）。為改進自動電話交換臺的設計，提出排隊論的數學理論（丹麥 愛爾蘭）。 希爾伯脫空間理論的形成（匈牙利 裏斯）。
- 1919年，建立P-adic數論，在代數數論和代數幾何中有重要應用（德國 亨賽爾）。
- 1922年 提出數學要徹底形式化的主張，創立數學基礎中的形式主義體系和證明論（德國希爾伯特）。
- 1923年 提出一般聯絡的微分幾何學，將克萊因和黎曼的幾何學觀點統一起來，是纖維叢概念的發端（法國 厄·加當）。 提出偏微分方程適定性，解決二階雙曲型方程的柯西問題（法國 阿達瑪）。 提出更廣泛的一類函數空間——巴拿哈空間的理論（波蘭 巴拿哈）。 提出無限維空間的一種測度——維納測度，對概率論和泛函分析有一定作用（美國 諾·維納）。
- 1925年 創立概週期函數（丹麥哈·波爾）。 以生物、醫學試驗為背景，開創了“試驗設計”（數理統計的一個分支），也確立了統計推斷的基本方法（英國費希爾）。
- 1926年 大體上完成對近世代數有重大影響的理想理論（德國納脫）。
- 1927年 建立動力系統的系統理論，是微分方程定性理論的一個重要方面（美國畢爾霍夫）。
- 1928年 提出解偏微分方程的差分方法（美籍德國人 理·柯朗）。首次提出通信中的資訊量概念（美國 哈特萊）。 提出擬似共形映照理論，在工程技術上有一定應用（德國 格羅許，芬蘭阿爾福斯，蘇聯 拉甫連捷夫）。
- 1930年 建立格論，是代數學的重要分支，對攝影幾何、點集論及泛函分析都有應用（美國 畢爾霍夫）。 提出自伴算子譜分析理論並應用於量子力學（美籍匈牙利人 馮·諾伊曼）。
- 1931年 發現多維流形上的微分型和流形的上同調性質的關係，給拓撲學以分析工具（瑞士德拉姆）。 證明了公理化數學體系的不完備性（奧地利哥德爾）。發展馬爾可夫過程理論（蘇聯 柯爾莫哥洛夫，美國 費勒）。
- 1932年 解決多元復變函數論的一些基本問題（法國亨·嘉當）。 建立各態歷經的數學理論（美國畢爾霍夫，美籍匈牙利人 馮·諾伊曼）。 建立遞歸函數理論，是數理邏輯的一個分支，在自動機和演算法語言中有重要應用（法國赫爾勃蘭特，奧地利 哥德爾，美國 克林）。
- 1933年 提出拓撲群的不變測度概念（匈牙利 奧·哈爾）。 提出概率論的公理化體系（蘇聯 柯爾莫哥洛夫）。 制訂復平面上的傅立葉變式理論（美國 諾·維納、丕萊）。
- 1934年 創建大範圍變分學的理論，為微分幾何和微分拓撲提供了有效工具（美國莫爾斯）。 解決極小曲面的基本問題——普拉多問題，即求通過給定邊界而面積為最小的曲面（美國道格拉斯等）。 提出平穩過程理論（蘇聯 辛欽）。
- 1935年 在拓撲學中引入同倫群，成為代數拓撲和微分拓撲的重要工具（波蘭霍勒維奇等）。 開始研究產品使用壽命和可靠性的數學理論（法國 龔貝爾）。
- 1936年 寇尼克系統地提出與研究圖的理論。50年代以後，由於在博弈論、規劃論、資訊論等方面的應用，貝爾治等對圖的理論有很大的發展（德國寇尼克，美國 貝爾治）。 現代的代數幾何學開始形成（荷蘭 范德凡爾登、法國外耳，美國 查裏斯基，義大利 培·塞格勒等）。 提出理想的通用電腦概念，同時建立了演算法理論（英國圖靈，美國 邱吉、克林等）。 建立算子環論，可以表達量子場論數學理論中的一些概念（美籍匈牙利人 馮·諾伊曼）。 提出偏微分方程中的泛函分析方法（蘇聯 索波列夫）。
- 1937年 證明微分流形的嵌入定理，是微分拓撲學的創始（美國 懷特尼）。 提出偏微分方程組的分類法，得出某些基本性質（蘇聯 彼得洛夫斯基）。 開始系統研究隨機過程的統計理論（瑞士 克拉默）。
- 1938年 布爾巴基叢書《數學原本》開始出版，企圖從數學公理結構出發，以非常抽象的方式敘述全部現代數學（法國布爾巴基學派）。
- 1940年 證明連續統假說在集合論公理係中的無矛盾性（美國哥德爾）。提出求數值解的鬆弛方法（英國紹司威爾）。 提出交換群調和分析的理論（蘇聯 蓋爾方特）。
- 1941年，定義流形上的調和積分，並用於代數流行，成為研究流形同調性質的分析工具（美國霍奇）。
- 1941年，開始建立馬爾可夫過程與隨機微分方程的聯繫（蘇聯 謝 .伯恩斯坦，日本 伊藤清）。
- 1941年，創立賦范環理論，主要用於群上調和分析和算子環論（蘇聯蓋爾芳特）。
- 1942年，開始研究隨機過程的預測，濾過理論及其在火炮自動控制上的應用，由此產生了“統計動力學”（美國諾.維納，蘇聯柯爾莫哥洛夫）。
- 1943年，提出求代數方程數字解的林士諤方法（中國林士諤）。
- 1944年，建立了對策論，即博弈論（美籍匈牙利人馮.諾伊曼等）。
- 1945年，推廣了古典函數的概念，創立廣義函數論，對微分方程理論和泛函分析有重要作用（法國許瓦茨）。
- 1945年，建立代數拓撲和微分幾何的聯繫，推進了整體幾何學的發展（美籍中國人 陳省身）。
- 1945年，提出了噪聲的統計理論（美國 斯.賴斯）。
- 1946年， 美國莫爾電子工程學校和賓夕法尼亞大學試製成功第一架電子電腦ENIAC（設計者為埃克特、莫希萊等人）。
- 1946年，建立現代代數幾何學基礎（法國 外耳）。
- 1946年，發展三角和法研究解析數論（中國 華羅庚）。
- 1946年，建立羅倫茲群的表示理論（蘇聯 蓋爾芳特、諾伊瑪克）。
- 1947年，創立統計的序貫分析法（美國 埃.瓦爾特）。
- 1948年，造成穩態機，能在各種變化的外界條件下自行組織，已達到穩定狀態。鼓吹這是人造大腦的最初雛形、機器能超過人等觀點（英國阿希貝）。 1948年，出版《控制論》，首次使用控制論一詞（美國諾.維納）。
- 1948年，提出通信的數學理論（美國申農）。
- 1948年，總結了非線性微分方程在流體力學方面的應用，推進了這方面的研究（美籍德國人弗裏得裏希斯、理 .柯朗）。
- 1948年，提出範疇論，是代數中一種抽象的理論，企圖將數學統一于某些原理（波蘭愛倫伯克，美國桑.麥克倫）。
- 1948年，將泛函分析用於計算數學（蘇聯康脫洛維奇）。
- 1949年，開始確立電子管電腦體系，通稱第一代電腦。英國康橋大學製成第一台通用電子管電腦EDSAC。
- 1950年，發表《電腦和智力》一文，提出機器能思維的觀點（英國圖靈）。
- 1950年，提出統計決策函數的理論（美國埃.瓦爾特）。
- 1950年，提出解橢圓形方程的超鬆弛方法，是目前電子電腦上常用的方法（英國大.楊）。
- 1950年，提出纖維叢的理論（美國斯丁路特，美籍中國人 陳省身，法國艾勒斯曼）。
- 1951年，五十年代以來，“組合數學”獲得迅速發展，並應用於試驗設計、規劃理論、網路理論、資訊編碼等（美國埃.霍夫曼、馬.霍爾等）。
- 1952年，證明連續群的解析性定理（即希爾伯特第五問題）（美國蒙哥馬利等）。
- 1953年，提出優選法，並先後發展了多種求函數極值的方法（美國基費等）。
- 1954年，發表《工程式控制制論》，系統總結自動控制理論的新發展（中國錢學森）。
- 1955年，制定同調代數理論（法國 亨.加當、格洛辛狄克，波蘭愛倫伯克）。
- 1955年，提出求數值積分的隆姆貝方法，是目前電子電腦上常用的一種方法（美國隆姆貝格）。
- 1955年，制定線性偏微分算子的一般理論（瑞典荷爾蒙特等）。
- 1955年，提出解橢圓形或雙線型偏微分方程的交替方向法（美國拉斯福特等）。
- 1955年，解代數數的有理迫近問題（英國羅思）。
- 1956年，提出統籌方法（又名計劃評審法），是一種安排計劃和組織生產的數學方法為美國杜邦公司首先採用。
- 1956年，提出線性規劃的單純形方法（英國鄧濟希等）。
- 1956年，提出解雙曲型和混合型方程的積分關係法（蘇聯道洛尼欽）。
- 1957年，發現最優控制的變分原理（蘇聯龐特裏雅金）。
- 1957年，創立動態規劃理論，它是研究使整個生產過程達到預期的最佳目的的一種數學方法（美國 貝爾曼）。
- 1957年，以美國康納爾實驗室的“感知器”的研究為代表，開始迅速發展圖像識別理論（美國 羅森伯拉特等）。
- 1958年，創立演算法語言ALGOL58，後經改進又提出ALGOL60，ALGOL68等演算法語言，用於電子電腦程式自動化（歐洲GAMM小組，美國ACM小組）。
- 1958年，中國普遍地使用和改進“線性規劃”法。
- 1958年，中國科學院電腦技術研究所試製成功中國第一架通用電子電腦。
- 1959年，美國國際商業機器公司製成第一台電晶體電腦“IBM7090”。第二代電腦——半導體電晶體電腦開始迅速發展。
- 1959—1960年，伽羅華域論在編碼問題上的應用，發明BCH碼（法國霍昆亥姆，美國兒.玻色，印度雷.可都利）。
- 1960年，提出數字濾波理論，進一步發展了隨機過程在制導系統中的應用（美國卡爾門）。
- 1960年，建立非自共軛算子的系統理論（蘇聯克雷因，美國 頓弗特）。
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