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规范场
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规范场论的基本原理
1． 基本粒子与对称性
在量子力学领域，粒子这个概念已经发生了根本性的变化。只有当它所指称的实体单个地呈现时，人们才能用经典物理学方法确实把握住它的“粒子”本性；而所指称的实体融合于一个多粒子系统（如一个原子，一个分子或其它更大的系统）时，它偏与系统的其它部分处于EPR关联之中，从而人们再也辨别不了系统中个别“粒子”。就这个意义而言，“粒子”的字面意义已荡然无存。但是，作为物理场的一种特殊理论实体，它在具有本体意义的物理总体理论框架中仍然起着支撑点与交叉点的作用。由于量子场论是研究基本粒子的主要理论之一，我们通常把基本粒子和基本场作为同义词使用。
已经发现的基本粒子有二百多种。它们可分为三类：规范玻色子（如光子，W±玻色子和Z0玻色子）；轻子（如电子，μ子，τ子以及与它们相应的中微子）和强子（包括各种介子，重子以及它们的共振态粒子）。
除了引力相互作用之外，基本粒子之间已知的相互作用有强作用（发生在强子之间），电磁作用（发生在荷电粒子与光子之间）和弱作用（发生在除光子以外的一切粒子之间）。它们的耦合数量级依次为1，10，0.1和10-5。
基本粒子的对称性质可分为两类：时空对称性和内禀对称性。它们分别由时空对称群和内禀对称群来描述。在时空对称群中，最有趣的是洛伦兹群与彭加勒群；在内禀对称群中，最有趣的是幺正群U1,SU2,SU3和SU4[1,p365-366] 。
由于基本粒子的运动速度接近光速和时空的对称性，要求描述基本粒子的波动方程对下列坐变换具有不变性。
（1）由于空间和时间的均匀性，也就是在空间内无绝对的参考中心及在时间上无绝对的参考起点，这就导致了时空坐标原点改动的不变性。
（2）根据相对论的原理，运动方程对于单纯的洛伦兹变换保持不变，也就是对于作匀速运动的坐标保持不变。
（3）由于空间的各向同性，也就是在空间中不存在任何特殊的方向，这就导致三维空间坐标的转动不变性。
（4）由于选择右手坐标与左手坐标的任意性导致空间反射（x’=–x, t’=t）不变性。由于对过去和将来的对称性，导致时间反演（x’=x,t’=–t）的不变性。
上述第一种是位移变换，第二，三种是固有洛伦兹变换（四维空间转动变换），第四种是空间反射和时间反射变换。它们是四种基本的广义洛伦兹变换（保证ds2=dxμdxν为不变量的变换通称为广义洛伦兹变换）[2,p14]。
固有洛伦兹变换构成的集合是旋转群，旋转群的矩阵构成的群就是洛伦兹群。在洛伦兹群中，粒子坐标变换的一般形式为
xμ→xμ’=aμνxν ,
其中aμν就是对应的各平面内旋转的所有矩阵之积。洛伦兹群是彭加勒群的一个子群。后者还包括四个坐标平移子群。在彭加勒群中，粒子坐标的变换式为 xμ→aμνxμ’+aμ ,其中aμ为一个任意的恒4矢量[1,p368]。因此，彭加勒群由10个连续变换构成，保证ds2=dxμdxν在10个连续变换下保持不变，这10个变换是：3个空间转动，由广义的欧拉角描述；惯性参照系的匀速相对运动，由相对速度矢量的三个分量描述；4个平移变换，由沿着时间轴和空间轴的任意连续移动[3,p16]。
把第四种空间反射与时间反射变换结合到洛伦兹群与彭加勒群中，可以构造广义洛伦兹群与广义彭加勒群。群的独立参量的数目称为群的维数，有限维的连续群称为李群，洛伦兹群与彭加勒群都是李群。
现在我们来考察基本粒子的时空性质，即基本粒子的波函数在洛伦兹群L中的变换性质。其一般表达式可写为
L(a)ψ(x)→ψ’(x)=Tψ(x),
式中L(a)表示这种变换是在洛伦兹群元素a∈L的作用下发生的。人们称波函数空间是变换群的表示空间，矩阵T为群元素a在此空间中的表示。变换的具体方式依粒子波函数的类型而已。无自旋粒子称为标粒子，其波函数是粒子时空坐标的实（或复）标函数；自旋为1的粒子称为矢粒子，其波函数是粒子时空坐标的4维复函数；自旋为1/2的粒子称为旋量粒子，其波函数是4分量旋量；还有含更高分量的张量粒子[1,p370]。
知道了各类基本粒子波函数的时空性质，便不难这样构造波函数的组合Q(x),使得它们在彭加勒群（包括洛伦兹群与坐标平移群）变换中保持不变，即Q’(x’)=Q(x)。这些组合称为相对论不变量。
当我们说基本粒子具有时空对称性的性质时，意指它们的相应波函数密度的一些特定组合（即形成一定的结构）以相对论不变量的形式出现于场的拉格朗日函数密度之中。相应的拉格朗日方程是洛伦兹协变的，换言之，在彭加勒群的变换中，这些方程保持形式不变。这样，基本粒子的时空对称性得到了最终的形式体现[1,p372-374]。
现在，我们转向基本粒子的内禀性质。这种性质表现为在时空坐标不变的条件下，仍存在着仅变换波函数形式的变换Фa(x)→Ф’a(x)。这些变换因粒子类型而已。它们刻划了场与相应基本粒子的内禀性质，所以称为内禀变换。在内禀变换中，物理系统不变的那些性质，称为内禀性质。后者是由对称群描述的，包括电磁场的规范对称U(1),同位旋SU(2)对称，味SU(3)对称，SO(10)对称等等[1,p374]。
物理学中存在着两类性质很不相同的对称性，一类称作整体对称性，一类称作局部对称性。整体对称性是对空间中一切点施以相同变换的一种对称性，而在局部对称性中空间每一点都独立地变换。李新洲认为，这一区别可以用一只轮胎（环面）来显示，在环面上我们标出一些不同点。如果选定通过环面垂直中心轴，轮胎能够转动某个角度而保持形状不变。又因为环面上所有的点都以相同的方式变换（转过同一角度），所以说它是一种整体对称变换。
对于一只理想的轮胎，能使每一点独立地运动，把这些点推或拉到环面上的一个新位置，而保持轮胎的外形不变。由于环面形状仍然不变，所以这一过程也是一种对称变换。每一点的变换与其他点无关，所以它是一种局部对称性。但当各点独立运动时，轮胎表面就要伸缩，在发生位移的各点之间就会产生弹性力。
从整体对称性向局部对称性过渡后就能描绘电磁力的起源，并且有理由猜测其他的力也产生于局部对称性。用群论的语言来说，电磁力起源于U(1)局部对称性，弱力起源于SU(2)局部对称性，而强力起源于SU(3)局部对称性[4,p21-22]。
如果粒子的几率不被内禀变换所改变，这样的变换就构成一个群，称为幺正群。幺正变换与其伴矩阵的乘积为单位矩阵。幺正变换可以表示为V=Uexp(iα)的形式，其中U是行列式为1的幺正矩阵，这样它就可以分解为两种变换：一是相变换，它就是乘以exp(iα)的变换；二是由矩阵U确定的变换。前者构成相变换群；后者构成特殊幺正群，记为SU(n)。SU(n)群的维数是n2–1。
下面我们结合基本粒子波函数，讨论各种具体的内禀变换及相关的内禀对称性[1,p374-375]。
我们先注意到麦克斯韦电磁场方程组和量子力学中的波动方程在规范变换 Aμ→Aμ+∂χ/∂xμ ψ→ψ exp(ieχ/ħc)
下是不变的。我们把这表述为由场Aμ和ψ所描述的物理对象对于相exp(ieχ/ћc)所表征的变换具有对称性。代表这些变换的矩阵是一维的，即是一个数。变换exp(ieχ/ћc)显然是幺正的。因此名词U(1)的含义是“幺正的，一维的”。
场方程在U(1)下的不变性的一个推论，为一守恒律，即在exp(ieχ/ħc)式中的电荷e的守恒。在量子场中，“量子化粒子”为（矢量量子）光子，其静止质量为零，是电荷相互作用的传递者[5,p218-219]。
关于电磁力起源于U(1)对称性，我们可以作出如下的通俗理解。在量子场论中，荷电粒子是由场来描述的，而这种场在时空中的每一点有两个数：场的振幅和相位。振幅度量在某一点出现粒子的几率，相位描写粒子的波动性。在场中所有点的相移都相同时，象一组荷电粒子总能量那样的可观察量保持不变。于是，场在相位变换时就具有整体对称性。局部对称性要求当相位在每一点都可独立变化时，可观察量也不变。要满足局部对称性，就必须引进作为规范场的电磁场，这种场的量子就是产生电磁力的光子。如果仅要求相位的整体对称性的话，带电粒子之间就没有电磁力，没有光子，也就没有光。在数学上，相位的变换构成一维幺正群，这个群只有一个生成元，这仅有的生成元对应于光子[4,p23-24]。
强相互作用对中子和质子的影响方式的不变性称为同位旋对称性。同位旋对称性并非完美无缺的，质子和中子在电磁相互作用时并不对称。如果我们忽略与强相互作用相比“很小”的库仑相互作用和它们之间的质量差，则可以把质子与中子表示为一个同位旋I=1/2在抽象同位旋空间中的两个分量态，I3=±1/2。这并不仅仅是个名称上的约定，而是有两个粒子间相互作用的“电荷无关性”为其物理基础的。
同位旋变换能够把代表核子的一个复空间中的二分量矢量，变换到另一个矢量，同位旋变换是由三参量，二维幺正矩阵确定的变换，并且构成SU(2), 即指特殊幺正单模二维群。我们可以把核子看作是同位旋空间中带箭头的粒子，箭头向上就是质子，箭头向下则是中子。物理粒子总有确定的指向（半质子和半中子的粒子是不存在的），但是描绘核力的方程在箭头作任意旋转时是不变的。在核物理中，同位旋对称是一种整体对称性。如果要求核力不变，那么箭头在所有点都要转过同一角度。由于同位旋变换有三个生成元，杨振宁和他的美国同事米尔斯发现同位旋对称性向局部对称性过渡要引进三个规范场，即三种无质量的自旋为1的粒子[4,p23-24]。
SU(3)群由特殊幺正单模三维矩阵表示，其行列式等于1。它是一个八参量群，即有8个独立的3×3的矩阵，就像SU(2)有3个2×2的σ矩阵一样。它是一种非阿贝尔群。在群理论表示中，有许多不可约的表示D(1), D(3),D(6),D(8),D(10),D(15)……等，它们给出单态1，三重态3，六重态6，八重态8，十重态10……。[5,p221] SU(3)群是成功地反映了强子内对称性的数学群，在这群的表示中，所有强子在数学上都可以看作是由三种叫做夸克的基本实体或场所构成。夸克有不寻常的性质，即它们具有分数电荷（–e/3,2e/3）。这样的分数电荷本来是不难用实验探测的，可是一切探测分数电荷的努力都归于失败。这就导致了夸克禁闭的特设性假设，因为夸克场论本身无法得出“不存在自由夸克”的结论[6,p171]。夸克之间通过交换胶子的虚量子进行相互作用，胶子和夸克的耦合强度与夸克的色荷成正比，于是一们色空间的电动力学——量子色动力学就建立起来了。
2．规范对称性与规范场
基于内对称群变换的不变性构建物质相互作用的规范理论，是理论物理学的一大发明。它们可纳入内涵更为丰富的纤维丛微分几何学的构架之中，则是现代数学物理的一项意义更为深远的发现。
规范场论以一些对称性原理为基础，其中最重要的一条叫做定域规范不变性原理，第一次运用这一原理的人是韦尔（E.Weyl），他证明：如果在拉格朗日量中用协变导数取代普通常数，即 ∂μ→Dμ=∂μ-ieAμ ，
即相对于波函数的相位定域变换群来说，狄拉克理论是不变的。这种取代的可能性表明了电磁场以及相应的耦合常数e的普适性；同时，这也意味着如此引入的电磁相互作用可以用时空的联络常数作纯几何的处理[5,p171-172]。
现代规范场论的基本思想是杨振宁和米尔斯（R.L.Mills）于1954年提出来的，他们把电荷相互作用的规范不变原理推广到同位旋相互作用的情况。1967年，法捷耶夫（Faddeev）和波波夫（Popov）以及德维特（de Witt）建立了无质量杨-米尔斯场量子化的自洽方案。同年，温伯格（Weinberg）和萨拉姆（Salam）分别独立地提出弱电统一规范理论。在这一模型中，电磁场和中间矢量玻色子场联合成为一个多重杨-米尔斯场。希格斯（Higgs）和基博（Kibble）最先提出用对称性自发破缺来产生矢量玻色子质量的机制，从而为上述弱电统一模型的建立奠定了基础。
1971年，特霍夫特（G. ’t Hooft）证明了，无质量杨-米尔斯场量子化的普遍方法实际上能够不作任何改变地运用于对称破缺的情况。这样就有了为有质量的矢量场建立自洽的量子理论的可能性，而这正是弱作用理论，特别是萨拉姆-温伯格模型所需要的。
截至1972年，在微扰论的框架内建立规范场量子理论的工作已大部分完成。在斯拉夫诺夫（Slavnov），泰勒（Taylor），李（B.W.Lee）和金-玖斯庭（Zinn-Justin），特霍夫特和韦特曼（Veltman）等人的文章中，研究出了不变正规化的不同方法，得到了广义瓦德（Ward）恒等式，创立了微扰论的重整化方法。这样就为杨-米尔斯场建立了一个有限的幺正的散射矩阵[7,p2]。
下面我们来讨论规范场论的数学物理含义。
为了描述场（或粒子）的内部性质，如电荷，同位旋（isopin），重子数，轻子数，味道，颜色等，我们已经引入一个抽象的空间——内禀空间。在内禀空间转动下，场量ψ(x)作变换
ψ’(x)=u(θ)ψ(x)
其中 u(θ)=exp[-iθaTa]是规范场的元素，是一个幺正幺模矩阵，Ta称为群的生成元，θa称为群参数。当参数θa与时空坐标x无关时，叫做整体规范变换。当参数θa是时空坐标x的函数θa(x)时，叫做定域规范变换[2,p287]。
设描述玻色子场的拉格朗日函数为
L=-(∂ψ*/∂xμ)(∂ψ/∂xμ)–m2ψ*ψ
其中m是场粒子的静止质量，ψ*是场量ψ的复数共轭。显然拉格朗日函数在整体规范变换ψ(x)→ψ’(x)=eiθψ(x)，
ψ*(x)→ψ’*(x)=e-iθψ*(x)
作用下不变，即L=−(∂ψ’*/∂xμ)(∂ψ’/∂xμ)−m2ψ’*ψ’= –(∂ψ*/∂xμ)(∂ψ/∂x)–m2ψ*ψ=L .
这时，我们称场ψ(x)具有整体规范不变性，或者说具有整体相位不变性，这个结果是在θ和x无关的情况下得到的。实际上，这里的整体规范群就是U（1）群[8,p178]。
整体规范对称性反映或决定场的内禀特性，例如电荷，奇异数，重子数等。在整体规范对称性作用下，描述场量的拉格朗日函数是不变的，内禀对称性对应的守恒流具有守恒荷θa，当生成元Ta是电荷，奇异数，重子数或同位旋的表示矩阵时，守恒荷θa就对应于场的电荷，奇异数，重子数或同位旋。也就是说，内禀空间的转动不会扭曲粒子或场所在的坐标系的时空变量——位置变量与时钟变量，时空底流形上的纤维丛不发生形变；或者说代表电荷，奇异数，重子数等的内禀空间的转动不产生力的效应。就像轮胎整体绕着垂直于环面中心轴转动的时候，轮胎环面各点之间不显示弹性力一样。
如果场量ψ(x)作如下变换
ψ(x)→ψ’(x)=eiθ(x)ψ(x)， ψ’*(x)=e-iθ(x)ψ*(x) .
将这组变换代入玻色子场的拉格朗日量，我们得到L’≠L。显然，对于定域规范变换，拉格朗日量不具有不变性，或者说，场ψ(x)不具有定域规范不变性。如果我们根据规范对称性原理，反过来要求场ψ(x)应当具有定域规范不变性，来修改拉格朗日函数L，取 L=-(∂/∂xμ+ieAμ)ψ*(∂/∂xμ-ieAμ)ψ-m2ψ*ψ ,式中的Aμ系辅助场由于使得拉格朗日量具有规范不变性，我们称这个辅助场Aμ为规范场。因此，我们可以一般地说：由定域规范变换下不变性所要求存在的场，称为规范场[8,p178-179]。通过引进规范场与规范势，场量的导数∂μψ(x)改写成了协变导数Dμψ(x)。这个附加的规范场体现了场与粒子的相互作用，导致了局域时空的不均匀与不对称，自由场拉格朗日量的不变性遭到了破坏，局域时空的均匀与对称性是在对场量进行规范变换时再次得到恢复的[9,p325-329]。
定域规范变换能够改变场量的拉格朗日量，这意味着与定域规范变换有关的内禀空间的转动扭曲了粒子或场所在的坐标系的时空变量——位置变量与时钟变量，形成了一个弯曲的纤维丛镶嵌在平直或弯曲的时空坐标的底流形上；或者说内禀空间的转动产生了力的效应，就像轮胎各点之间独立运动导致轮胎表面伸缩出现弹性力；这种新产生的内禀空间扭转力是用规范场产生的规范势来表示的，类似于引力场或者非惯性运动扭曲时空坐标产生引力效应或惯性力效应。因此，规范场也具有引力场的曲率特征，比如杨-米尔斯场描述了电荷空间的平行位移，并决定电荷空间的曲率特征。在阿贝尔群U(1)的情况下，电荷空间的曲率张量与电磁场强度张量一致，这就成功地把电磁场几何化了。但是，将这种场与时空本身的性质关联起来的大量尝试尚未成功[7,p9-11]。赵国求等人提出的粒子量子波动的曲率特征，可以借助于康普顿物质波与代表电磁场的纤维环丛的曲率联系起来，量子曲率并不代表时空底流形的曲率，所以将几何化电磁场与时空性质联系起来的努力在量子曲率解释中也没有成功。直到后来发现了两个超对称变换等效于彭加勒变换，才出现内禀空间的转动与时空流形的变换联系起来的希望。
3．规范场方程[2,p290-295]
由电动力学中常按最小耦合方式引进电磁场的启示，按照杨-米尔斯的观点，我们可按下列方式引进规范场，即定义协变导数为 Dμ=∂μ+Aμ(x) , Aμ(x)=−igAαμ(x)Tα
其中Aαμ(x)称为规范势，它是四维时空的矢量，这表示规范场是一个矢量场（对应于自旋为1的粒子）。在电磁场的情形下，我们令耦合系数g=e, 而Dμ=∂μ−ieAμ 。
仿照电磁场，我们定义规范场强Fαμν为Fμν=DμAν–DνAμ ,
其中 Fμν= –igFαμνTα Aμ=−igAαμTα
将Fμν,Dμ,Aμ的定义式代入上式，可以得到
Fαμν=(∂μAνα–∂νAμα)−gfαβγAμβAνγ
这是规范场强与规范场势之间的关系式，与我们熟悉的电磁场和电磁势之间的关系相比，多出了与结构常数fαβγ有关的项。当fαβγ=0时，就得到电磁场的情况。
我们根据规范势与规范场强的变换规律，仿照电磁场，可令规范场的拉格朗日为 LF=-FαμνFμνα ,
借助变分原理，可由LF导出自由规范场的运动方程为
∂μFμν+[Aμ,Fμν]=0,
写成分量形式为∂μFαμν+gfαβγAβγFγμν=0,
在电动力学情况中，内部空间只有一个分量，结构常数fαβγ=0, 上式变成熟知的Maxwell方程： ∂μFμν=0 。
4．希格斯机制
在规范场的拉格朗日量中没有包含场量Aαμ(x)的平方项，这是规范不变性所要求的，的确A’μ(x)Aαμ’(x)≠Aαμ(x)Aαμ(x),
因而它是破坏规范不变性的。可是，场量的平方项反映场（粒子）的质量，没有Aαμ(x)的平方项，就意味着规范场（规范粒子）没有质量。光子质量为零，相应的传递电磁作用的规范场是电磁场，没有质量，这是符合实验事实的。但是传递弱相互作用的规范粒子——中间玻色子W±,Z0是有质量的，没有Aαμ(x)的平方项与客观不符，这是规范理论遇到的一个困难，如何使规范粒子获得质量呢？这可借助于对称性的破缺与Higgs场来实现。
Higgs场是人们为了解决规范场论中的中间玻色子的质量问题而引入的，但至今尚未从实验上发现Higgs场（Higgs粒子），但人们相信它的存在。Higgs场在内部空间可能有多个分量，但在时空的空间中只有一个分量，因而是一个自旋为零的标量场，用φa(x)表示，σ=1,2,…,n代表内部空间的分量指标。先讨论只有一个分量的简单情况，这时场的拉格浪日量可写成
Lφ=(∂μφ∂μφ)/2–μ2φ2/2–λφ2/4
与一般的标量场不同，这里μ2<0,而且存在自作用项–λφ4/4（λ≠0）。
上式描述的Higgs场，其质量m=μ是虚数。在内部空间反射变换φ(x)→ –φ(x)下，场的拉格朗日量是不变的，也就是说系统对内部空间反射是对称的，但场的真空态在内部空间反射变换下却是不对称的，这可以从以下的讨论中看出。
真空态就是能量最低的态。把场量φ(x)看成广义坐标，而相应的广义动量就是 π(x)=∂Lφ/∂۠φ·(x)=φ·(x)
场的哈密顿密度（能量密度）是
Hφ(x)=π(x)φ·(x)–Lφ=π2(x)/2+(▽φ(x))2/2+μ2φ2/2+λφ4/4
由于上式的时空导数∂μφ都是平方项且系数为正，故场的最小能量条件是φ(x)=常数=φ，场的势函数是 V(x)=μ2φ2/2+λφ4/4取极值 dV/dφ=μ2φ+λφ3=0 φ2=−μ2/λ
d2V/dφ2=μ2+3λφ2= −2μ2>0
所以Higgs场的能量最低态是（如左图）
φ02 =−μ2/λ
φ0=υ=+(–μ2/λ)1/2
或 φ0=−υ=−(−μ2/λ)1/2真空态的能量 E0-V0=-μ4/4λ
我们可以选定φ0=<|φ| >0=υ=+(–μ2/λ)1/2
为Higgs场的真空态，显然，在内部空间反射变换φ(x)→−φ(x)下，由于υ≠–υ，一种真空变成了另一种真空，也就是说真空态在内部空间反射变换下，对称性是破缺的。
如果我们把Higgs场φ做一平移
φ’(x)=φ(x)-υ
新的Higgs场φ’0=<׀φ’׀>0=<׀φ׀>0–υ=0在内部空间反射变换φ’(x)→−φ’(x)下是不变的，也就是说，新场的真空是对称的。将Higgs场的平移公式代入Lφ得到新场的拉格朗日量（丢掉一个常数项）
Lφ’=∂μφ’∂μφ’/2+μ2φ’2–λυφ’3−λφ’4/4
显然，由于出现φ’3的项，在内部空间反射变换下，新的拉格朗日不是不变的，而是对称性破缺，这是Higgs场的质量
−m2/2=μ2 m=(−2μ2)1/2
是实的。综上所述，Higgs场有两个特点：其一，当它以Lφ式描述时，质量是虚的，在内部空间反射变换下，拉格朗日量是对称的，而真空是破缺的；其二是当它以Lφ’描述时，质量是实的，拉格朗日量是破缺的，而真空态却是对称的，这就是Higgs场的破缺对称性，常称为自发破缺对称性[2,p295-297]。
赵国求认为，在Lφ代表的弱相互作用中，m2<0,真空能够自发破缺,与Higgs场对应的几何形态（赵国求原文中是时空，我认为这是不确切的，因为规范场的几何形态不同于时空底流形的曲率特征）是不均匀的与不对称的，这表明希格斯粒子受到了某种新的作用，这实际上是Goldstone玻色子的作用，在这个场作用下，Higgs场的几何形态变得不均匀与不对称了，就象引力作用扭曲时空底流形，但是Higgs场的扭曲不是整体时空的曲率特征，而是时空中局域形态的曲率特征。在规范场论中，Goldstone玻色子是无质量的粒子，不能作加速运动，尽管它对Higgs场施加作用，并且扭曲了Higgs场，但是Goldstone玻色子的几何形态是均匀的与对称的，这就象均匀的流体充入轮胎能够改变轮胎的几何形态那样。Higgs场与Goldstone玻色子场的总系统的几何形态也是不均匀与不对称的。
如果只有一个Goldstone玻色子场参与作用，Higgs粒子也只能在一个场中（或内部空间的一个方向上）作加速运动，因此真空只在一个方向发生破缺。如果Goldstone粒子不只一个，那么Higgs粒子也就不只在一个场中作加速运动。有多少个Goldstone玻色子，Higgs粒子也就在多少个方向上做加速运动，真空也就在多少个方向发生破缺。于是，Goldstone玻色子的数目应该与真空破缺的数目（或破缺生成元的数目）相等，要使真空再度均匀对称，就必须引进与破缺生成元数目一致的规范场Aμ，规范场Aμ应该取代Goldstone玻色子的作用（表现为吸收了Goldstone玻色子的作用），这正是弱电统一理论中的要求。
在弱相互作用中，我们考虑的是双态粒子，粒子之间实际上是有弱相互作用的。引进规范场，只能消除场量局域规范变换时自动引入的相互作用场对粒子的作用，却不能消除粒子之间的弱相互作用。粒子之间有相互作用，粒子的加速运动就不可避免。因此，中间玻色子的质量不能象光子那样等于零。
实际上，电子的质量不能为零，传递弱相互作用的三个规范粒子也有质量。为了解决粒子的质量问题，需要引进Higgs机制。为此先引入Higgs场，并与轻子场和规范场组成统一的粒子系统。
如果弱相互作用中的三个规范粒子都有质量，那么，它们都应做加速运动。因此，由它们带进的几何形态会有三种不同的不均匀与不对称方式。要使空间的均匀与对称性不因它们而破坏，我们必须事先安排三种相反的不均匀和不对称。Higgs场在m2<0时刚好有这种功能。如果Higgs粒子提供的三种不均匀，不对称形式与弱作用规范粒子提供的三种不均匀不对称形式相互抵消，时空自然会恢复原有的均匀性和对称性，自然规律与拉格朗日密度自然保持不变，这就是Higgs机制的作用[9,p332-344]。
Higgs机制可以以不同的自发破缺方式生成质量，但是在包含弱玻色子质量的同时还应保持理论的可重整性。在一个自发破缺的规范理论中，对称性仍然存在，仅仅是由于基态的特殊选择而隐藏起来。温伯格和萨拉姆猜测这一理论仍然是可以重整的，特霍夫特于1971年完成这一猜测的证明。关于弱相互作用和电磁相互作用的标准模型由有四个规范场的规范理论构成，其中有光子场和三个有质量的玻色子场，W±和Z0粒子。通过对称性自发破缺，生成规范场及费米子的质量，保留一个规范场无质量。这一理论是可重整的，包含一个（或多个）Higgs标量粒子，但没有Goldstone玻色子。
尽管有很多吸引人的特征，公正地说，Higgs机制是弱电规范理论中最不令人满意和最不确定的部分。单个Higgs二重态的最小选择足以产生规范玻色子和费米子的质量，但这些费米子的质量是理论的参数，必须输入它们的实验值；另一不确定性表现在中性Higgs粒子的质量本身也不能被预言。而实验上对Higgs粒子存在的证实自然是我们迫切期待的[10,p242-250]。
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8. 薛晓舟 张会：《现代物理学哲学问题》，河南大学出版社，1996年10月第1版。
9．赵国求 吴新忠 万小龙：《物理学的新神曲——量子力学曲率解释》，武汉出版社，2002年5月第1版。
10. 杨纯斌 等：《夸克与轻子物理——原理导引》，华中师范大学出版社，2000年3月第1版。
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