这种除法定义的光的速度，是一种没有意义的坐标速度
第七章 等效原理和质谱仪
（1）
在上一章已经说到，牛顿水桶的问题，牛顿解释这个问题的时候，引进了非惯性力。但是，马赫有所不同，马赫认为不存在什么虚拟的非惯性力，水面之所以变形，在马赫看着，这一定是出于一种引力相互作用。这个引力相互作用是由全宇宙的星体的引力产生的。
这是对物理的两种解释，实际上在数学上是等价的。但是，如何把马赫的思想数学化呢？这就需要微分几何了。因为全宇宙的星体对牛顿的水桶都产生引力作用，所以牛顿引力是瞬间发生的，非局域的相互作用。
但是，爱因斯坦在1905年得到了狭义相对论，他认为，宇宙中一切信号的传播速度不能大于光的速度。
什么是光的速度？
如何测量？
按照一般的思维，测量速度的时候，因为是2个点上测量距离，所以不可避免会涉及到同时测量的问题。这就需要你能够真正做到，2个地方的钟是可以对准的，这样你知道光走了多少时间。可惜在广义相对论中，这不是随便就可以实现的。
（2）
在相对论中，尤其在广义相对论中，光的速度不是距离除以传播时间。因为距离和传播时间都是坐标系依赖的，比如在史瓦西时空中，径向传播的光的速度，如果按照坐标距离除以坐标时间，你会发现光的速度不是一个常数。
这种除法定义的光的速度，是一种没有意义的坐标速度。
在相对论中，因为时间和空间是结合在一起的，所以，真正有意义的是四维速度---简称4速度——这个量才是不依赖于坐标系选择的张量。
光的四速度是一个类光矢量。这就是光速不变的意思。也就是说，在任何参考系中，光的四速度一定是类光的。
当然，这一套语言可以被搬到平坦时空上，在平坦的时空上，这物理会和生活经验比较符合。
爱因斯坦当时要做的事情，是把牛顿引力和自己的狭义相对论结合在一起。换句话说，他希望引力的传播具有有限的速度。这事情是非常令人懊恼的。
我们对后一种说法展开一些讨论：
物理学家为了探测微观粒子的质量，设计制作了质谱仪器。在质谱仪器中，有一种质量分析的手段叫做四极杆。这是四根带电的圆柱体作为电极产生的电场，带电离子在这个四极电场中运动的时候，它的运动方程将满足一定的振荡方式，数学上叫Mathieu方程。我们知道，在特定电场中，只有特定质量和电荷比率的离子才可以穿过这个电场而不撞上电极。
这种质量分析仪看的是电荷和惯性质量的比率。
爱因斯坦的等效原理也是同样道理，不过爱因斯坦看的是引力荷（引力质量）和惯性质量的比率，而奇特的地方在于，爱因斯坦认为，这个比率永远等于一。这是爱因斯坦版本的质谱仪。
相对论性黑洞
相对论性黑洞
张轩中
序
2009年，我决定写一本新的科普书，题目暂时定为《相对论性黑洞》。这个书不会代表中国相对论的学术水平，只不过是娱人娱己之作，也不是想给任何人以震撼教育，或者要唤醒任何麻木的人。内容是本人学习过程中渐渐积累出来的，可能会包括黑洞几何的很多性质。之所以不直接取名叫黑洞，是因为也有反映贪污的电视剧叫做黑洞。
第一章 前黄金时代
（1）
1900年之前，欧洲。
当时的肃杀的江湖上，其实是有几个高手的，这几个高手相互仰慕同时相互掐架，他们要得到一个关于原子的理论，还要得到一个关于引力的理论。
其中高手一个是波尔兹曼，波尔兹曼是做统计力学的。他相信原子的存在。但当时又看不到原子，于是波尔兹曼当时有一些问题，就是他的统计力学不知道可以研究什么东西。并且因为统计力学有一个很奇怪的数学基础也得不到落实，那就是一个在相空间上的函数，它长时间的行为非常复杂，以至于这个函数的空间平均等于时间平均。这是遍历理论，有很复杂的数学背景，当然波尔兹曼也不会做数学证明，反正他是相信这个事情的。
这个意思其实很好理解，比如对于一个股民来说，你可以一次下注100万，你也可以每次下注1万，连续下注100天，然后看最后的结果，大体上，如果遍历理论是有效的，你会发现这样2种下注方式最后能得到的结果是一样的。
一般来说，时间越长，空间越广，遍历理论就是对的。这个我们可以在下面讲伯克霍夫的时候再讲。波尔兹曼搞的问题，是原子的存在性，因为原子一旦存在，那么它的数目非常之多，多大要用一摩尔来衡量，所以遍历理论就很可能有效。当然这是有点数学化的说法了。
江湖上，于是有人读波尔兹曼的书，并且他的一些想法也渐渐被世人理解 。
（2）
但是，有另外一个高手，马赫，他也是教授，却是不同意波尔兹曼的观点。马赫老师的唯一哲学是马老师认为观测不到的东西都不符合科学精神。——--据这个他可以推论上原子并不存在。
那为什么原子不能被光学显微镜看到呢？
这个说来话就长了，因为可见光的波长大概是400nm到800nm，而原子的大小大概是0。1nm，所以，光波长很容易绕过原子，所以，原子根本就是不能被看到了。
所以，马赫和波尔兹曼掐了起来。这2个教授都是在维也纳的，所以简直到了仇人相见分外眼红的程度。
爱因斯坦当然是要读马赫的书，马赫其实是一个流体力学的专家，也许马赫脑子里最清楚的一个事情是，声音传播的速度是可以变化的。
声音速度和光的速度不一样，后者是一个恒定的量，而前者则是可以变化的。换句话说，声音的速度是在空间点上的函数,而流体的速度也是空间点上的函数所以，这2个函数的比率就定义为当时当地的马赫数.
也就是说，在一个空气流动的场中，当时当地的人测量到的声音的速率并不是一个普适的常数。比如说，在地球上，在上海的人在下午3点测量到的声音的速度，和在北京的人在下午4点测量到的声音的速度都是不一样的。
这已经很有点狭义相对论的感觉了。 爱因斯坦，也许正是在这样的时代广场上开始了他的创作的。
且慢。
还有一个人。
这个人就是庞加莱。
（3）
庞加莱是一个数学家，他说：“人生是漫漫长夜里的灵光一闪，其他的毫无意义。“所以他在很多个冷雨夜看到兰色街灯渐露，觉得需要寻找意义，因为当时他是在一线的数学家，所以考虑的问题自然是很重要的。
牛顿时代以来，留下了丰富的遗产，那就是微分方程和万有引力。
庞加莱喜欢研究微分方程，他渴望在最简单的平面上找到封闭曲线。
他就好象一个孩子一样，在纸张上随便一画，他希望自己能画出一个封闭的平面曲线来。如果这平面是一个相空间的话，那么很明显，这个封闭曲线就对应的是周期运动。
这个宇宙需要和谐，周期运动是和谐宇宙的主旋律啊。潮起潮落，斗转星移，月经来潮，树木在夜风中婆娑，哪一个不是周期运动？？
可喜的是，庞加莱发现了，在（相）平面上，这样的周期运动的存在条件是非常简单的。这就是庞加莱--bendixson定理，我们不再说细节，总之，如果是一个一维运动，那么它的相空间是2维的，所以，这个定理能帮助我们寻找到周期运动的解。
女朋友走了以后，还会不会回来？？
这种问题在数学上是典型的判断周期性的问题。
（4）
庞加莱当然也研究牛顿的万有引力，不过是考虑3个以上的星体之间的相互作用。这相空间就不是2维的了，情况就很复杂了，反正这是牛顿引力的最高境界了，这个问题非常复杂，但总可以看成是3个星体的位置和动量在一个空间里的流动。庞加莱也是无利不起早，正好有一个比赛是研究这个问题可以得到奖金，于是庞加莱在这个问题上做了一些基础性的研究。
庞加莱发现，在刚才那个空间里，可能存在一个不断回归到初始状态附近来的解，这个现象的发生被称为庞加莱重现定理。总之，你要问题写成动力系统的样子，然后找出这个映射下不变的测度，然后因为这个空间总的测度是有限的，所以随着时间的退役，你必须要回到初始状态的附近。这就是庞加莱重现定理。不过庞加莱还是不能完全解答三体问题，一直到了1912年，他已经快死了，他还留下了一个巨大的问题，被称为死人的最后一个猜想，----但我们现在不讲。
爱因斯坦是学物理的，他根本不想知道庞加莱们所说的测度到底是什么。庞加莱们是把牛顿引力升华到了一个相空间流形上来研究微分方程的流了，而爱因斯坦当时并不知道自己要把牛顿引力升华到另外一个境界。
张轩中
序
2009年，我决定写一本新的科普书，题目暂时定为《相对论性黑洞》。这个书不会代表中国相对论的学术水平，只不过是娱人娱己之作，也不是想给任何人以震撼教育，或者要唤醒任何麻木的人。内容是本人学习过程中渐渐积累出来的，可能会包括黑洞几何的很多性质。之所以不直接取名叫黑洞，是因为也有反映贪污的电视剧叫做黑洞。
第一章 前黄金时代
（1）
1900年之前，欧洲。
当时的肃杀的江湖上，其实是有几个高手的，这几个高手相互仰慕同时相互掐架，他们要得到一个关于原子的理论，还要得到一个关于引力的理论。
其中高手一个是波尔兹曼，波尔兹曼是做统计力学的。他相信原子的存在。但当时又看不到原子，于是波尔兹曼当时有一些问题，就是他的统计力学不知道可以研究什么东西。并且因为统计力学有一个很奇怪的数学基础也得不到落实，那就是一个在相空间上的函数，它长时间的行为非常复杂，以至于这个函数的空间平均等于时间平均。这是遍历理论，有很复杂的数学背景，当然波尔兹曼也不会做数学证明，反正他是相信这个事情的。
这个意思其实很好理解，比如对于一个股民来说，你可以一次下注100万，你也可以每次下注1万，连续下注100天，然后看最后的结果，大体上，如果遍历理论是有效的，你会发现这样2种下注方式最后能得到的结果是一样的。
一般来说，时间越长，空间越广，遍历理论就是对的。这个我们可以在下面讲伯克霍夫的时候再讲。波尔兹曼搞的问题，是原子的存在性，因为原子一旦存在，那么它的数目非常之多，多大要用一摩尔来衡量，所以遍历理论就很可能有效。当然这是有点数学化的说法了。
江湖上，于是有人读波尔兹曼的书，并且他的一些想法也渐渐被世人理解 。
（2）
但是，有另外一个高手，马赫，他也是教授，却是不同意波尔兹曼的观点。马赫老师的唯一哲学是马老师认为观测不到的东西都不符合科学精神。——--据这个他可以推论上原子并不存在。
那为什么原子不能被光学显微镜看到呢？
这个说来话就长了，因为可见光的波长大概是400nm到800nm，而原子的大小大概是0。1nm，所以，光波长很容易绕过原子，所以，原子根本就是不能被看到了。
所以，马赫和波尔兹曼掐了起来。这2个教授都是在维也纳的，所以简直到了仇人相见分外眼红的程度。
爱因斯坦当然是要读马赫的书，马赫其实是一个流体力学的专家，也许马赫脑子里最清楚的一个事情是，声音传播的速度是可以变化的。
声音速度和光的速度不一样，后者是一个恒定的量，而前者则是可以变化的。换句话说，声音的速度是在空间点上的函数,而流体的速度也是空间点上的函数所以，这2个函数的比率就定义为当时当地的马赫数.
也就是说，在一个空气流动的场中，当时当地的人测量到的声音的速率并不是一个普适的常数。比如说，在地球上，在上海的人在下午3点测量到的声音的速度，和在北京的人在下午4点测量到的声音的速度都是不一样的。
这已经很有点狭义相对论的感觉了。 爱因斯坦，也许正是在这样的时代广场上开始了他的创作的。
且慢。
还有一个人。
这个人就是庞加莱。
（3）
庞加莱是一个数学家，他说：“人生是漫漫长夜里的灵光一闪，其他的毫无意义。“所以他在很多个冷雨夜看到兰色街灯渐露，觉得需要寻找意义，因为当时他是在一线的数学家，所以考虑的问题自然是很重要的。
牛顿时代以来，留下了丰富的遗产，那就是微分方程和万有引力。
庞加莱喜欢研究微分方程，他渴望在最简单的平面上找到封闭曲线。
他就好象一个孩子一样，在纸张上随便一画，他希望自己能画出一个封闭的平面曲线来。如果这平面是一个相空间的话，那么很明显，这个封闭曲线就对应的是周期运动。
这个宇宙需要和谐，周期运动是和谐宇宙的主旋律啊。潮起潮落，斗转星移，月经来潮，树木在夜风中婆娑，哪一个不是周期运动？？
可喜的是，庞加莱发现了，在（相）平面上，这样的周期运动的存在条件是非常简单的。这就是庞加莱--bendixson定理，我们不再说细节，总之，如果是一个一维运动，那么它的相空间是2维的，所以，这个定理能帮助我们寻找到周期运动的解。
女朋友走了以后，还会不会回来？？
这种问题在数学上是典型的判断周期性的问题。
（4）
庞加莱当然也研究牛顿的万有引力，不过是考虑3个以上的星体之间的相互作用。这相空间就不是2维的了，情况就很复杂了，反正这是牛顿引力的最高境界了，这个问题非常复杂，但总可以看成是3个星体的位置和动量在一个空间里的流动。庞加莱也是无利不起早，正好有一个比赛是研究这个问题可以得到奖金，于是庞加莱在这个问题上做了一些基础性的研究。
庞加莱发现，在刚才那个空间里，可能存在一个不断回归到初始状态附近来的解，这个现象的发生被称为庞加莱重现定理。总之，你要问题写成动力系统的样子，然后找出这个映射下不变的测度，然后因为这个空间总的测度是有限的，所以随着时间的退役，你必须要回到初始状态的附近。这就是庞加莱重现定理。不过庞加莱还是不能完全解答三体问题，一直到了1912年，他已经快死了，他还留下了一个巨大的问题，被称为死人的最后一个猜想，----但我们现在不讲。
爱因斯坦是学物理的，他根本不想知道庞加莱们所说的测度到底是什么。庞加莱们是把牛顿引力升华到了一个相空间流形上来研究微分方程的流了，而爱因斯坦当时并不知道自己要把牛顿引力升华到另外一个境界。
楼主：张轩中 时间：2009-06-15 11:10:00
《相对论性黑洞》楔子
楔子（1）
乡下的月光
1666年，一个神情憔悴的年轻人在夕阳下站在河边，伍尔索普一带，宿草盈阡，这个年轻人看着流水平桥，天边又有一群乌鸦飞过。瘟疫似乎没有尽头，此地孤寂而冷清，这个年轻人就这样一直孤零零的站着。
附近的奶牛场里， 一个姑娘正蹲在地上抚摩着奶牛的丰硕的乳房。此姑娘身形曼妙，一笑一颦皆令人春心荡漾。
牛顿对这个姑娘，到是颇有好感。
“呜呼，大丈夫遗世绝立，当建功立业，封妻荫子，何以如此萎靡乎？悲哉！“这个年轻人用他那无望的眼神转向奶牛场出神，他是一个遗腹子，20年来人世飘零，现在终于从剑桥大学毕业，却又赶上了瘟疫，于是只好逃到乡下来避难。
人生黯淡，刹那芳华竟在无声无息间。牛顿此刻想到，开普勒的行星运动三定律，背后似乎暗藏悬机。开普勒是一个天文学家，他的行星运动三定理都是在平面几何的定理。
定理如此说：
1。行星运动是平面上的一个椭圆，太阳在椭圆的一个焦点。
2。行星矢径在单位时间内扫过的面积相等。
3。行星运动一周的时间的平方和半径的三次方的比率是一个常数。
这三个定律，真是有点奥妙的，牛顿心想，晚上之前，他决定不再想那个牛奶场里的姑娘，好好地把开普勒的东西捋一捋。
就在这天马行空的想念之中，落日溶金，天色也就渐渐地黑了。牛顿蹲在草地上，开始找了一根树枝，在地上画起来，他在前几天发明了一种叫微积分的数学工具，帮了他的大忙，他越写越觉得事情是如此这般的，也许开普勒背后确实有神秘的力量。
月亮开始升起来，奶牛场的姑娘已经回家了。
牛顿抬头望着月光，狡黠的月亮象是一个女人的大饼脸一样挂在夜幕之上，牛顿觉得万分奇异。再回头，看见远处有一个苹果树，牛顿这才觉得饥肠辘辘，大步流星地朝那苹果树扑去。
空气是那么迟滞，静穆的夜色，把乡下的这一切掩映得如在一层看不透的浓雾之中。 牛顿刚跑到苹果树下，还没有站稳，就被一个从树上凋落的苹果砸在鼻梁之上。
”哎哟“牛顿好象被鬼掐了，大叫一声，低头看苹果已经滚落在一傍的草丛中。
牛顿楞住了，过了半天，又一屁股坐在苹果树下，慢慢地检起方才那个落地的苹果，用手擦了一下，就送进了嘴巴里慢慢地啃了起来。
天空中依然是月光惨淡。牛顿吃完苹果，就已经知道，苹果和月亮一样，都受到万有引力的作用。
万有引力的大小是距离r的平方反比的，这是因为空间是3维的，只有这样，引力场的高斯封闭面积分才可以得到引力荷。如果空间是2维的，那么，同样的积分将给出引力场是距离r的反比。牛顿的万有引力定律出现后一百年，一个法国数学家拉普拉斯也要来吃一吃这个红苹果。
楔子（1）
乡下的月光
1666年，一个神情憔悴的年轻人在夕阳下站在河边，伍尔索普一带，宿草盈阡，这个年轻人看着流水平桥，天边又有一群乌鸦飞过。瘟疫似乎没有尽头，此地孤寂而冷清，这个年轻人就这样一直孤零零的站着。
附近的奶牛场里， 一个姑娘正蹲在地上抚摩着奶牛的丰硕的乳房。此姑娘身形曼妙，一笑一颦皆令人春心荡漾。
牛顿对这个姑娘，到是颇有好感。
“呜呼，大丈夫遗世绝立，当建功立业，封妻荫子，何以如此萎靡乎？悲哉！“这个年轻人用他那无望的眼神转向奶牛场出神，他是一个遗腹子，20年来人世飘零，现在终于从剑桥大学毕业，却又赶上了瘟疫，于是只好逃到乡下来避难。
人生黯淡，刹那芳华竟在无声无息间。牛顿此刻想到，开普勒的行星运动三定律，背后似乎暗藏悬机。开普勒是一个天文学家，他的行星运动三定理都是在平面几何的定理。
定理如此说：
1。行星运动是平面上的一个椭圆，太阳在椭圆的一个焦点。
2。行星矢径在单位时间内扫过的面积相等。
3。行星运动一周的时间的平方和半径的三次方的比率是一个常数。
这三个定律，真是有点奥妙的，牛顿心想，晚上之前，他决定不再想那个牛奶场里的姑娘，好好地把开普勒的东西捋一捋。
就在这天马行空的想念之中，落日溶金，天色也就渐渐地黑了。牛顿蹲在草地上，开始找了一根树枝，在地上画起来，他在前几天发明了一种叫微积分的数学工具，帮了他的大忙，他越写越觉得事情是如此这般的，也许开普勒背后确实有神秘的力量。
月亮开始升起来，奶牛场的姑娘已经回家了。
牛顿抬头望着月光，狡黠的月亮象是一个女人的大饼脸一样挂在夜幕之上，牛顿觉得万分奇异。再回头，看见远处有一个苹果树，牛顿这才觉得饥肠辘辘，大步流星地朝那苹果树扑去。
空气是那么迟滞，静穆的夜色，把乡下的这一切掩映得如在一层看不透的浓雾之中。 牛顿刚跑到苹果树下，还没有站稳，就被一个从树上凋落的苹果砸在鼻梁之上。
”哎哟“牛顿好象被鬼掐了，大叫一声，低头看苹果已经滚落在一傍的草丛中。
牛顿楞住了，过了半天，又一屁股坐在苹果树下，慢慢地检起方才那个落地的苹果，用手擦了一下，就送进了嘴巴里慢慢地啃了起来。
天空中依然是月光惨淡。牛顿吃完苹果，就已经知道，苹果和月亮一样，都受到万有引力的作用。
万有引力的大小是距离r的平方反比的，这是因为空间是3维的，只有这样，引力场的高斯封闭面积分才可以得到引力荷。如果空间是2维的，那么，同样的积分将给出引力场是距离r的反比。牛顿的万有引力定律出现后一百年，一个法国数学家拉普拉斯也要来吃一吃这个红苹果。
楼主：张轩中 时间：2009-06-15 15:32:00
楼主：张轩中 时间：2009-06-18 15:33:00
第二章 一个美丽的椭球面
（1）
牛顿是一个很要命的人，他的理论有好几个潜在的错误，比如，他的牛顿第二定律是一个对时间的二阶微分方程，这个方程依赖于惯性坐标，但到底什么是惯性坐标？牛顿说，满足我这牛顿第二定律的坐标就是惯性坐标。这样一下就把大家都绕进去了，因此，牛顿把这个世界打扮了一番，变得模糊不清。
牛顿还有更加要命的地方，那就是它的引力理论只能计算质点之间的相互吸引，质点是无限小的点，自然是不存在的，所以，如果要计算2块石头之间的万有引力，大家被迫要做一些很复杂的积分，这些积分自然会把很多人吓死，因此实在是复杂得可以。所以，如果再要求这2块石头旋转起来，再计算2者之间的相互万有引力是多少，这就成了刚体之间的万有引力作用。
也许，时代需要一批强人出来处理这些局面，实际上，在第一章已经讲到3个质点之间的三体问题，那么，在这一章我们就要谈谈2个刚体之间的万有引力问题。 这个问题要想处理好，首先要拜见一下盲剑客欧拉，因为他对刚体的问题，有一些研究。
（2）
一个刚体，比如一个太空中的陨石，如果它不受到任何外力的作用，那么它将如何运动呢？ 这是欧拉关心的问题，这被称为自由刚体的运动。（欧拉本质上是一个数学家，在数论上发现了著名的恒等式，就是把黎曼级数和素数的无限乘积联系起来了，当时还没有黎曼。但人家说的是这个事情。）
刚体的自由运动显然是有6个自由度的，在每一个瞬间，你可以给这个石头拍照，总可以得到它的质心的位置是3个坐标，然后它身上固定的一个标架有一个特定的方向，这样它又有3个转动的自由度。所以，一共是6个自由度。
但是，因为质心是做匀速直线运动，所以，这个自由运动需要研究的部分其实可以看成是绕质心的旋转运动。
换句数学的语言，那就是，绕质心的旋转运动是一个3维空间的标架的绕一个固定点的转动，这个运动的位形空间是一个3维的流形，就是so（3）。so（3）上的每一点，都表示转动后的一个位置，也就可以用3个欧拉角来刻画。
以上还没有涉及到刚体的速度。
绕固定点的旋转的刚体运动至少有一个不动点，就是上面说的质心。刚体的位置和速度可以so（3）的切丛TS0（3）来确定。
这个TS0（3）6维流形上的每一个点，就对应绕固定点的旋转的刚体运动一个特定的位置和它的速度。这个时候，如果没有守恒量，那么运动就发生在整个6维空间里，变得很可怕。幸亏有3个角动量分量和总能量守恒，所以可以去掉4个自由度，运动实际上只发生在一个6-4=2维的子流形M2里。
在整个刚体运动的过程中，运动其实之发生在M2上，而二维的子流形性情非常温和，彼此之间几乎没有什么区别，一般都是带几个洞M2的环面，也就是只有亏格数的不同而已。如果要求M2上的矢量场没有奇点，那么，M2只可能是带一个洞的环面，那样子就是自行车的内胎。
绕固定点的旋转的刚体运动之发生在这个自行车内胎之上。
(3)
欧拉在某一个时刻得到了描述 绕固定点的旋转的刚体运动的运动方程，这个运动方程被称为“欧拉方程”。 因为很明显，刚体没有受到外力，所以它的角动量应该是守恒的。
角动量又是什么呢？
角动量和刚体的质量几何有关系，这个刻画质量几何的是一个 张量----转动惯量————-静止刚体对刚体上某一点的质量几何可以用一个椭球面来刻画。
角动量正是转动惯量和角速度矢量的积。
很明显，虽然角动量与时间无关，但转动惯量和角速度却可能与时间有关。人们可以从转动惯量中构造出四极矩来，如果这个四极矩随时间变化，那么在爱因斯坦引力中，它将成为引力波辐射的源。
（1）
牛顿是一个很要命的人，他的理论有好几个潜在的错误，比如，他的牛顿第二定律是一个对时间的二阶微分方程，这个方程依赖于惯性坐标，但到底什么是惯性坐标？牛顿说，满足我这牛顿第二定律的坐标就是惯性坐标。这样一下就把大家都绕进去了，因此，牛顿把这个世界打扮了一番，变得模糊不清。
牛顿还有更加要命的地方，那就是它的引力理论只能计算质点之间的相互吸引，质点是无限小的点，自然是不存在的，所以，如果要计算2块石头之间的万有引力，大家被迫要做一些很复杂的积分，这些积分自然会把很多人吓死，因此实在是复杂得可以。所以，如果再要求这2块石头旋转起来，再计算2者之间的相互万有引力是多少，这就成了刚体之间的万有引力作用。
也许，时代需要一批强人出来处理这些局面，实际上，在第一章已经讲到3个质点之间的三体问题，那么，在这一章我们就要谈谈2个刚体之间的万有引力问题。 这个问题要想处理好，首先要拜见一下盲剑客欧拉，因为他对刚体的问题，有一些研究。
（2）
一个刚体，比如一个太空中的陨石，如果它不受到任何外力的作用，那么它将如何运动呢？ 这是欧拉关心的问题，这被称为自由刚体的运动。（欧拉本质上是一个数学家，在数论上发现了著名的恒等式，就是把黎曼级数和素数的无限乘积联系起来了，当时还没有黎曼。但人家说的是这个事情。）
刚体的自由运动显然是有6个自由度的，在每一个瞬间，你可以给这个石头拍照，总可以得到它的质心的位置是3个坐标，然后它身上固定的一个标架有一个特定的方向，这样它又有3个转动的自由度。所以，一共是6个自由度。
但是，因为质心是做匀速直线运动，所以，这个自由运动需要研究的部分其实可以看成是绕质心的旋转运动。
换句数学的语言，那就是，绕质心的旋转运动是一个3维空间的标架的绕一个固定点的转动，这个运动的位形空间是一个3维的流形，就是so（3）。so（3）上的每一点，都表示转动后的一个位置，也就可以用3个欧拉角来刻画。
以上还没有涉及到刚体的速度。
绕固定点的旋转的刚体运动至少有一个不动点，就是上面说的质心。刚体的位置和速度可以so（3）的切丛TS0（3）来确定。
这个TS0（3）6维流形上的每一个点，就对应绕固定点的旋转的刚体运动一个特定的位置和它的速度。这个时候，如果没有守恒量，那么运动就发生在整个6维空间里，变得很可怕。幸亏有3个角动量分量和总能量守恒，所以可以去掉4个自由度，运动实际上只发生在一个6-4=2维的子流形M2里。
在整个刚体运动的过程中，运动其实之发生在M2上，而二维的子流形性情非常温和，彼此之间几乎没有什么区别，一般都是带几个洞M2的环面，也就是只有亏格数的不同而已。如果要求M2上的矢量场没有奇点，那么，M2只可能是带一个洞的环面，那样子就是自行车的内胎。
绕固定点的旋转的刚体运动之发生在这个自行车内胎之上。
(3)
欧拉在某一个时刻得到了描述 绕固定点的旋转的刚体运动的运动方程，这个运动方程被称为“欧拉方程”。 因为很明显，刚体没有受到外力，所以它的角动量应该是守恒的。
角动量又是什么呢？
角动量和刚体的质量几何有关系，这个刻画质量几何的是一个 张量----转动惯量————-静止刚体对刚体上某一点的质量几何可以用一个椭球面来刻画。
角动量正是转动惯量和角速度矢量的积。
很明显，虽然角动量与时间无关，但转动惯量和角速度却可能与时间有关。人们可以从转动惯量中构造出四极矩来，如果这个四极矩随时间变化，那么在爱因斯坦引力中，它将成为引力波辐射的源。
楼主：张轩中 时间：2009-06-19 08:42:00
第三章 流体力学杂谈
（1）
黑洞是广义相对论的结果，广义相对论是一门关于光线的几何学。因为光线实际上是时空中的矢量场的积分曲线，所以，广义相对论也是一门关于矢量分析的学问，只不过一般在大学里的矢量分析----就是那些经典场论的基础----一般都在三维平坦空间里进行，而广义相对论要处理的是四维的弯曲空间里的矢量分析。
那么，到底什么是矢量场呢？
比如空气的流动，它在空间中的每一点流动的速度都是不一样的，并且可能是随时间变化的，所以，空气的速度场就是一个矢量场。所以，这一章专门介绍一点流体力学，以起到一点伏笔的作用。
（2）
流体力学具有不同的境界，如果不考虑流体的粘性，也不考虑流体的可压缩性，那么，流体力学中最重要的方程是伯努利方程。这个方程说，在同一根流线上，速度的平方和2倍压强之和沿着流线是不变的。
这句话的意思是说， 速度的平方和2倍压强之和沿着流线求微分是不变的。
伯努利的这个守恒量非常重要，以后会发现，在广义相对论中，人们也很渴望类似的这种沿着矢量场不变的守恒量。因为在物理学中，如果你要列方程，必须是一个等式，只有守恒量才可以让你写出一个方程出来。
伯努利是一个数学家，他们有一个家族，都是搞数学的，所以，这个流体力学中的伯努利方程只不过是人家随便玩玩的结果，是非常简单的。1738年他出版了一生中最重要的著作《流体动力学》(Hydrodynamica)。所以他是研究流体力学的鼻祖了。
（3）
伯努利的方程对于可以压缩的流体是不对的，因为伯努利方程本质上是能量定理，流体在被压缩的过程中，我们必须把能量定理扩展成为热力学第一定理，内能必要要被考虑。
可压缩的流体也是一个矢量场，不过因为它的体积可能随着流动越来越小，这就非常有意思了。
在广义相对论中，如果一个矢量场，它本来占据的空间很大，后来越走越小，这是引力在起到会聚的作用，这个时候，如果引力足够强，就可能把这个矢量场走着走着，走进了一个黑暗的区域，那就是黑洞区域。
所以，在广义相对论中，矢量场是可以被压缩的。
回到流体力学，空气如果通过一个风洞，这个风洞的截面积是变化的，那么在流动的过程中，空气有可能实现超音速--马赫数大于1。这个是设计风洞的人都需要知道的，有一个所谓的面积--马赫关系。也就是说，在不同的截面积是如何对应当地的空气速度的。
在广义相对论中，你也可以看到这样的“风洞” ，就是一个矢量场在行进过程中，它的“截面积”的变化。这大致上就是一个印度相对论学家瑞查德符里的方程。
（4）
所以，从前面已经大致可以看出来，流体力学和广义相对论是非常相似的，甚至有人就希望在空气中也能找到黑洞，这就是所谓的声学黑洞了。
其实，这还没有完，因为流体不但可能是可压缩的，还可能是有粘性的，这个时候，描述流体运动的方程是纳维--斯托克斯方程。这个方程则是公认的难，几乎是不可解的。这个方程的故事很长很长，连海森堡都在这上面干过，苏联大数学家柯尔默哥尔夫也干过……
正因为流体有粘性，所以空气中会出现很复杂很复杂的旋涡，这种旋涡的出现，使得速度场显然是万分复杂。
简单地说，就是这样的速度场，作为一个矢量场，你无法找到它的势（potential）。
在广义相对论中，矢量场也可能很复杂，一般用一个张量来刻画它的复杂程度，叫做形变张量。在形变张量中，有一部分无迹反对称的，叫做扭转张量。这个张量对判定测地线汇是不是存在这样一个势（potential）非常重要。
在广义相对论中，一个矢量场的积分曲线如果是测地线，如果这个矢量场是正交于某一个超曲面的，那么这个矢量场对应的扭转张量是等于零的。
换句话说，这样的矢量场是可积的。-----正如在牛顿力学中，牛顿引力场是可积的，它存在一个势函数。
牛顿发现万有引力以后，人们已经习惯了把引力场和引力势函数相互对应了以来，但是，确实会存在这样的引力场，你写不出它的引力势函数。
正如有一个孩子，你找不到他的爸爸。
（1）
黑洞是广义相对论的结果，广义相对论是一门关于光线的几何学。因为光线实际上是时空中的矢量场的积分曲线，所以，广义相对论也是一门关于矢量分析的学问，只不过一般在大学里的矢量分析----就是那些经典场论的基础----一般都在三维平坦空间里进行，而广义相对论要处理的是四维的弯曲空间里的矢量分析。
那么，到底什么是矢量场呢？
比如空气的流动，它在空间中的每一点流动的速度都是不一样的，并且可能是随时间变化的，所以，空气的速度场就是一个矢量场。所以，这一章专门介绍一点流体力学，以起到一点伏笔的作用。
（2）
流体力学具有不同的境界，如果不考虑流体的粘性，也不考虑流体的可压缩性，那么，流体力学中最重要的方程是伯努利方程。这个方程说，在同一根流线上，速度的平方和2倍压强之和沿着流线是不变的。
这句话的意思是说， 速度的平方和2倍压强之和沿着流线求微分是不变的。
伯努利的这个守恒量非常重要，以后会发现，在广义相对论中，人们也很渴望类似的这种沿着矢量场不变的守恒量。因为在物理学中，如果你要列方程，必须是一个等式，只有守恒量才可以让你写出一个方程出来。
伯努利是一个数学家，他们有一个家族，都是搞数学的，所以，这个流体力学中的伯努利方程只不过是人家随便玩玩的结果，是非常简单的。1738年他出版了一生中最重要的著作《流体动力学》(Hydrodynamica)。所以他是研究流体力学的鼻祖了。
（3）
伯努利的方程对于可以压缩的流体是不对的，因为伯努利方程本质上是能量定理，流体在被压缩的过程中，我们必须把能量定理扩展成为热力学第一定理，内能必要要被考虑。
可压缩的流体也是一个矢量场，不过因为它的体积可能随着流动越来越小，这就非常有意思了。
在广义相对论中，如果一个矢量场，它本来占据的空间很大，后来越走越小，这是引力在起到会聚的作用，这个时候，如果引力足够强，就可能把这个矢量场走着走着，走进了一个黑暗的区域，那就是黑洞区域。
所以，在广义相对论中，矢量场是可以被压缩的。
回到流体力学，空气如果通过一个风洞，这个风洞的截面积是变化的，那么在流动的过程中，空气有可能实现超音速--马赫数大于1。这个是设计风洞的人都需要知道的，有一个所谓的面积--马赫关系。也就是说，在不同的截面积是如何对应当地的空气速度的。
在广义相对论中，你也可以看到这样的“风洞” ，就是一个矢量场在行进过程中，它的“截面积”的变化。这大致上就是一个印度相对论学家瑞查德符里的方程。
（4）
所以，从前面已经大致可以看出来，流体力学和广义相对论是非常相似的，甚至有人就希望在空气中也能找到黑洞，这就是所谓的声学黑洞了。
其实，这还没有完，因为流体不但可能是可压缩的，还可能是有粘性的，这个时候，描述流体运动的方程是纳维--斯托克斯方程。这个方程则是公认的难，几乎是不可解的。这个方程的故事很长很长，连海森堡都在这上面干过，苏联大数学家柯尔默哥尔夫也干过……
正因为流体有粘性，所以空气中会出现很复杂很复杂的旋涡，这种旋涡的出现，使得速度场显然是万分复杂。
简单地说，就是这样的速度场，作为一个矢量场，你无法找到它的势（potential）。
在广义相对论中，矢量场也可能很复杂，一般用一个张量来刻画它的复杂程度，叫做形变张量。在形变张量中，有一部分无迹反对称的，叫做扭转张量。这个张量对判定测地线汇是不是存在这样一个势（potential）非常重要。
在广义相对论中，一个矢量场的积分曲线如果是测地线，如果这个矢量场是正交于某一个超曲面的，那么这个矢量场对应的扭转张量是等于零的。
换句话说，这样的矢量场是可积的。-----正如在牛顿力学中，牛顿引力场是可积的，它存在一个势函数。
牛顿发现万有引力以后，人们已经习惯了把引力场和引力势函数相互对应了以来，但是，确实会存在这样的引力场，你写不出它的引力势函数。
正如有一个孩子，你找不到他的爸爸。
楼主：张轩中 时间：2009-06-24 19:27:00
第四章 平均值定理和拉普拉斯方程
（1）
什么是牛顿引力？
牛顿引力就是拉普拉斯方程。换句话说，在真空区域，牛顿引力势是一个标量函数，它满足拉普拉斯偏微分方程。拉普拉斯方程有一个非常好的性质，就是你随便画一个球面，那么引力势在球面上的平均值等于球心处的引力势。
这简直是一个奇迹。
据此可以推论，边界上才可能出现势函数的最大最小值。
什么是广义相对论？
广义相对论不是拉普拉斯方程，因为广义相对论中，很难找到一个类似于牛顿引力势的函数来做简单的刻画。 那么，什么是牛顿引力势在广义相对论中的对应呢？？
换句话说，在广义相对论中，拉普拉斯方程将被改写成什么样子？？
（2）
在霍金和爱里斯的《大尺度时空结构》中，他们也讨论了这个问题。霍金在1974年也就是他31岁的时候，写了这本天书，当时他写这本书的时候，也许是为了想在人间留下彩虹般的魅力，因为他得病了，医生说他快死了，所以，他把书写得非常之难。这哥们本来就不指望这书能赚钱，没有想到，最后物理学家们还是很喜欢买下这本书放在书架上，以表明自己对引力也有懵懂的追求。
为了节省篇幅，他们考虑一个简单的时空，就是这个时空中含有一个类时的凯林场。这样的时空被称为稳态时空，就好象是一个已经热平衡了的水杯，这样的时空几何是比较稳定的。
在这样的时空，牛顿引力拉普拉斯方程可以被改写成微分几何的形式，并且据此可以大致看出爱因斯坦方程的来历。细节我们暂时就不写了，有兴趣的读者可以先看看《大尺度时空结构》，因为这个推导过程在那里就已经有了。
（3）
总之，可以把拉普拉斯方程写在弯曲的空间中，然后如果你足够懂微分几何，你也能慢慢顿悟出爱因斯坦场方程的形式来。不过这种事情一般人是不会的，因为一般的人，不知道怎么把拉普拉斯算子写成弯曲空间的版本---这需要把度量写进微分里，有点复杂。
但是，在弯曲空间里，还有平均值定理吗？
你随便画一个球面，然后指望球面上的某个函数的平均值等于球心的函数数值？
（4）
拉普拉斯方程是最基础的数学内容。
它不但可以描述牛顿引力，还可以描述在一个弯曲面上的温度场，它也可以描述一个无旋流体的流体力学，它可以描述可以电子光学的透镜的电场……因为它实在太广泛了，所以当它被放在黑洞附近的时候，所有的这一切，都需要做一定程度的修改。比如，你想考察黑洞附近的静电场，你想看看这静电场有什么性质，这个静电场 会不会对电子产生聚焦的作用？？
如果有一个茶杯，它是铁的，均匀带电，现在问，这个茶杯周围的电势分布是什么样子的？一般来说，如果茶杯如果是有一个旋转的轴对称性，那么我们可以推断，空间电势作为一个函数也是与旋转角无关的。但怎么计算这个茶杯附近的电场分布呢？
电场分布是满足拉普拉斯的方程。
但你要加上无限远处的边界条件，才能求解。-----尤其是当你用电脑做模拟计算的时候，你被迫先加上边界条件然后得到一个封闭区域电脑才会做计算，这问题是加什么样的边界条件。 比如一个热辐射的边界条件，它的辐射功率可能与温度的四次方有关系，所以边界条件可能有很深的物理。
在本书中，读者们也许会发现，在黑洞附近的引力场和电场就好象是一个透镜一样，能对过往的电子流产生成象的性质，所以，在这个意义上，黑洞难道不是一个电子显微镜吗？黑洞又难道不是一个弯曲轨道的粒子加速器？？
所以，黑洞是什么？
黑洞在无限远处的边界条件是什么呢？————这就是塞司（sach）要回答的问题，吴忠超教授在湖南科技出版社的那一系列科普书上，把这个定理翻译为剥皮定理（peeling off ）。
（1）
什么是牛顿引力？
牛顿引力就是拉普拉斯方程。换句话说，在真空区域，牛顿引力势是一个标量函数，它满足拉普拉斯偏微分方程。拉普拉斯方程有一个非常好的性质，就是你随便画一个球面，那么引力势在球面上的平均值等于球心处的引力势。
这简直是一个奇迹。
据此可以推论，边界上才可能出现势函数的最大最小值。
什么是广义相对论？
广义相对论不是拉普拉斯方程，因为广义相对论中，很难找到一个类似于牛顿引力势的函数来做简单的刻画。 那么，什么是牛顿引力势在广义相对论中的对应呢？？
换句话说，在广义相对论中，拉普拉斯方程将被改写成什么样子？？
（2）
在霍金和爱里斯的《大尺度时空结构》中，他们也讨论了这个问题。霍金在1974年也就是他31岁的时候，写了这本天书，当时他写这本书的时候，也许是为了想在人间留下彩虹般的魅力，因为他得病了，医生说他快死了，所以，他把书写得非常之难。这哥们本来就不指望这书能赚钱，没有想到，最后物理学家们还是很喜欢买下这本书放在书架上，以表明自己对引力也有懵懂的追求。
为了节省篇幅，他们考虑一个简单的时空，就是这个时空中含有一个类时的凯林场。这样的时空被称为稳态时空，就好象是一个已经热平衡了的水杯，这样的时空几何是比较稳定的。
在这样的时空，牛顿引力拉普拉斯方程可以被改写成微分几何的形式，并且据此可以大致看出爱因斯坦方程的来历。细节我们暂时就不写了，有兴趣的读者可以先看看《大尺度时空结构》，因为这个推导过程在那里就已经有了。
（3）
总之，可以把拉普拉斯方程写在弯曲的空间中，然后如果你足够懂微分几何，你也能慢慢顿悟出爱因斯坦场方程的形式来。不过这种事情一般人是不会的，因为一般的人，不知道怎么把拉普拉斯算子写成弯曲空间的版本---这需要把度量写进微分里，有点复杂。
但是，在弯曲空间里，还有平均值定理吗？
你随便画一个球面，然后指望球面上的某个函数的平均值等于球心的函数数值？
（4）
拉普拉斯方程是最基础的数学内容。
它不但可以描述牛顿引力，还可以描述在一个弯曲面上的温度场，它也可以描述一个无旋流体的流体力学，它可以描述可以电子光学的透镜的电场……因为它实在太广泛了，所以当它被放在黑洞附近的时候，所有的这一切，都需要做一定程度的修改。比如，你想考察黑洞附近的静电场，你想看看这静电场有什么性质，这个静电场 会不会对电子产生聚焦的作用？？
如果有一个茶杯，它是铁的，均匀带电，现在问，这个茶杯周围的电势分布是什么样子的？一般来说，如果茶杯如果是有一个旋转的轴对称性，那么我们可以推断，空间电势作为一个函数也是与旋转角无关的。但怎么计算这个茶杯附近的电场分布呢？
电场分布是满足拉普拉斯的方程。
但你要加上无限远处的边界条件，才能求解。-----尤其是当你用电脑做模拟计算的时候，你被迫先加上边界条件然后得到一个封闭区域电脑才会做计算，这问题是加什么样的边界条件。 比如一个热辐射的边界条件，它的辐射功率可能与温度的四次方有关系，所以边界条件可能有很深的物理。
在本书中，读者们也许会发现，在黑洞附近的引力场和电场就好象是一个透镜一样，能对过往的电子流产生成象的性质，所以，在这个意义上，黑洞难道不是一个电子显微镜吗？黑洞又难道不是一个弯曲轨道的粒子加速器？？
所以，黑洞是什么？
黑洞在无限远处的边界条件是什么呢？————这就是塞司（sach）要回答的问题，吴忠超教授在湖南科技出版社的那一系列科普书上，把这个定理翻译为剥皮定理（peeling off ）。
作者：cherryknight 时间：2009-06-24 20:19:00
作者：cherryknight 时间：2009-06-24 20:27:00
楼主：张轩中 时间：2009-06-26 19:41:00
第五章 迷途 ： 惯性导航
（1）
曾经，康托建立了集合论的基础，数学大厦的基础得到奠基。他和希尔伯特于是提出一个问题，他们猜测，无法构造出一个集合，使得这个集合的势在自然数集合的势和实数集合的势之间。 这个问题被称为连续统猜想，相当得难。
这个猜想是对的吗？
这个猜想是错的吗？
后来，过了好几个春秋，哥德尔和科恩才证明，这个问题无解。 也就是说，集合论的公里体系和这个连续统的猜想之间是相互独立的，我们无法从集合论的公理体系中推出连续统假设到底是错的，还是对的。
所以，以集合论为基础是数学是一个孤岛，而连续统猜想是另外一个孤岛。
在物理学上，也有这样的孤岛吗？在物理学上，也有一些问题非常之困难，其中一个问题就是：牛顿关于惯性系的说法是对的吗？
牛顿用他的第一定律定义了一个惯性系。牛顿说，一个不受到力的物体保持匀速直线运动，那么这个背景舞台就是一个惯性系。可是，牛顿怎么知道你这个物体到底有没有受力呢？？
牛顿时代以来，这个基本问题困扰着很多人，这好象是一个逻辑的死结，有的人因此问题而精神崩溃，有的人因此受到旁门左道的鼓惑，有的人则自己试图突破仁督二脉而修得正果。
但是，到底什么是惯性系？
惯性系就是这样一个孤岛。你不能证明牛顿关于惯性系的论述是对的，还是错的。我们暂时不要去追究牛顿的论述，不过物理学家可以构造出一个牛顿惯性系的。这个惯性系一旦存在，人们就可以知道自己在宇宙中的位置。
（2）
事情还得从欧拉说起。
欧拉虽然眼睛瞎了，但他心里跟明镜似得一尘不染。他活着的时候做了无数的事情，其中2件事情，是和物理学有关的。
1。写出了理想流体的运动方程。
2。写出了绕质心旋转刚体的动力学方程。
欧拉关于刚体的运动方程，是非常之重要。因为地球在自转的时候，地球没有受到外力矩的作用，所以，地球的运动就很好得满足欧拉的刚体运动方程。
也许欧拉很清楚一件事情，那就是地球好象一个陀螺一样在太空中旋转，但它极轴一直是永远指向北极星的----因为角动量守恒，并且因为极轴方向是地球作为一个刚体的转动惯量算子的一个本征方向。
所以，很明显，一个自由的陀螺能够在太空中指定一个特定的方向，这个方向是不会变的。
（3）
因此，利用3个自由陀螺，它们的自转轴方向指向远方的三个不共面的恒星，就能够建立起一个惯性坐标系来。
这是牛顿力学中很高级的层次了。
因此可以说，欧拉的自由刚体使得牛顿的惯性参考系可以被构造出来。
自由刚体绕着转动惯量算子的三个本征方向旋转的时候，角速度方向和角动量方向是重合的。这三个方向分别沿着惯量椭球的三个坐标轴方向，所以，在构造牛顿惯性系的时候，我们需要让自由的陀螺绕着这3个本征方向的其中一个做自转，这样的话，这个陀螺的绕着转的那个轴是随时间不变的。
在飞机中在潜水艇中在导弹上，一般也可以安装这样的自由陀螺，用它来指引一个特定的方向，这个方向在牛顿力学意义上是永远不变的。这就是惯性导航的大概意思。（当然，还有一种导航的方法是利用3个卫星来做GPS导航，如果导航要做到很精确的程度，那么人们必须考虑广义相对论效应。）
哈特尔写了一本书《引力》，里面就写到陀螺仪在广义相对论中的运动方程。在广义相对论中，因为空间不是平坦的，所以，自由陀螺的自转轴指向一个特定的方向并且这个方向沿着时间不变，具有很微妙的内涵。
（1）
曾经，康托建立了集合论的基础，数学大厦的基础得到奠基。他和希尔伯特于是提出一个问题，他们猜测，无法构造出一个集合，使得这个集合的势在自然数集合的势和实数集合的势之间。 这个问题被称为连续统猜想，相当得难。
这个猜想是对的吗？
这个猜想是错的吗？
后来，过了好几个春秋，哥德尔和科恩才证明，这个问题无解。 也就是说，集合论的公里体系和这个连续统的猜想之间是相互独立的，我们无法从集合论的公理体系中推出连续统假设到底是错的，还是对的。
所以，以集合论为基础是数学是一个孤岛，而连续统猜想是另外一个孤岛。
在物理学上，也有这样的孤岛吗？在物理学上，也有一些问题非常之困难，其中一个问题就是：牛顿关于惯性系的说法是对的吗？
牛顿用他的第一定律定义了一个惯性系。牛顿说，一个不受到力的物体保持匀速直线运动，那么这个背景舞台就是一个惯性系。可是，牛顿怎么知道你这个物体到底有没有受力呢？？
牛顿时代以来，这个基本问题困扰着很多人，这好象是一个逻辑的死结，有的人因此问题而精神崩溃，有的人因此受到旁门左道的鼓惑，有的人则自己试图突破仁督二脉而修得正果。
但是，到底什么是惯性系？
惯性系就是这样一个孤岛。你不能证明牛顿关于惯性系的论述是对的，还是错的。我们暂时不要去追究牛顿的论述，不过物理学家可以构造出一个牛顿惯性系的。这个惯性系一旦存在，人们就可以知道自己在宇宙中的位置。
（2）
事情还得从欧拉说起。
欧拉虽然眼睛瞎了，但他心里跟明镜似得一尘不染。他活着的时候做了无数的事情，其中2件事情，是和物理学有关的。
1。写出了理想流体的运动方程。
2。写出了绕质心旋转刚体的动力学方程。
欧拉关于刚体的运动方程，是非常之重要。因为地球在自转的时候，地球没有受到外力矩的作用，所以，地球的运动就很好得满足欧拉的刚体运动方程。
也许欧拉很清楚一件事情，那就是地球好象一个陀螺一样在太空中旋转，但它极轴一直是永远指向北极星的----因为角动量守恒，并且因为极轴方向是地球作为一个刚体的转动惯量算子的一个本征方向。
所以，很明显，一个自由的陀螺能够在太空中指定一个特定的方向，这个方向是不会变的。
（3）
因此，利用3个自由陀螺，它们的自转轴方向指向远方的三个不共面的恒星，就能够建立起一个惯性坐标系来。
这是牛顿力学中很高级的层次了。
因此可以说，欧拉的自由刚体使得牛顿的惯性参考系可以被构造出来。
自由刚体绕着转动惯量算子的三个本征方向旋转的时候，角速度方向和角动量方向是重合的。这三个方向分别沿着惯量椭球的三个坐标轴方向，所以，在构造牛顿惯性系的时候，我们需要让自由的陀螺绕着这3个本征方向的其中一个做自转，这样的话，这个陀螺的绕着转的那个轴是随时间不变的。
在飞机中在潜水艇中在导弹上，一般也可以安装这样的自由陀螺，用它来指引一个特定的方向，这个方向在牛顿力学意义上是永远不变的。这就是惯性导航的大概意思。（当然，还有一种导航的方法是利用3个卫星来做GPS导航，如果导航要做到很精确的程度，那么人们必须考虑广义相对论效应。）
哈特尔写了一本书《引力》，里面就写到陀螺仪在广义相对论中的运动方程。在广义相对论中，因为空间不是平坦的，所以，自由陀螺的自转轴指向一个特定的方向并且这个方向沿着时间不变，具有很微妙的内涵。
作者：cherryknight 时间：2009-06-28 18:22:00
楼主：张轩中 时间：2009-07-03 16:29:00
《相对论性黑洞》第六章
第六章 牛顿水桶和爱因斯坦转盘
（1）
世间事有千千万 ，红尘中也有无数人，但很多事情其实本质上是一样的。比如，有一个高僧，他曾经这样告戒自己的弟子：
不是风动，不是帘动，是你的心在动。
是的，虽然说万象皆是空妄的，但对于牛顿来说，到底什么在动，什么不动，是一个基本的问题。
1687年，牛顿45岁了，他的《自然哲学的数学原理》正式出版，在这书中，牛顿用旋转水桶实验论证绝对空间的存在。他认为，旋转水桶中水面形状由平变凹，是由于水相对于绝对空间作加速运动而受到惯性离心力作用的结果，水面变形正说明了绝对静止空间的存在。
牛顿的这种非常宏大的绝对静止空间，在相对论学家看来，是一个整体的惯性系。而实际上，这样整体的惯性系并不是真实的物理，但也不失为一种理解问题的方式。在广义相对论中，可以有局部的惯性系，也就是说，我们可以在时空上的一个点上谈论惯性系。
（2）
牛顿看到水面的弯曲，认为这是相对于绝对空间运动而引起的。但是，在200年后，马赫认为，牛顿的说法是不对的，马赫说，水桶旋转的时候，水面变得不平坦，这是因为水在运动的过程中受到了全宇宙的其他物质对它的引力相互作用的拖曳。
马赫有这样一个相互作用的观念，他认为，水面的变化，一定是受到什么力的作用了。
马赫和牛顿的观念，其实在数学上来说，是等价的。正如在高中物理中，我们可以在非惯性系中加上一个虚拟的惯性力，使得运动发生在惯性系里。 只不过，牛顿认为，惯性力是虚拟的，而马赫认为，惯性力是一种真实的力---就是引力。
这就是马赫的物理观念，我们在前面已经说过，马赫是一个很有物理追求的人，他第一强调的是观测，第二强调的是真实的力。所以，在这个意义上，马赫是反数学的，他没有数学倾向，他需要的物理，是真实存在的力和可以被观测到的现象。
所以，马赫是一个很不错的物理学家。
在马赫的思想里，我们隐约可以看到，惯性力是和引力等价的。
仔细体会马赫的意思，你会发现，任何有质量的物体都与全宇宙的星体存在是相互作用。包括你在内，你每动一个小脚步，全宇宙的星体的位置都会变化。因为，你们之间存在在瞬间的非局部的引力相互作用。
而惯性就是这样产生的，别的星体显然是对你的运动有一种天生的抵抗，因为你动起来以后，它们也要被你带动，所以惯性是一种拖曳的引力效应。
这是马赫的惯性观念。
（3）
在爱因斯坦提出狭义相对论以后，事情有了新的变化，因为根据狭义相对论，运动速度快的物体长度要收缩。所以，如果一个旋转的圆盘，它的角速度是一样的，但线速度随着半径不同会不一样，于是，在一个宏观的惯性系的观察者们看来，这个圆盘的外围是收缩的比内部要厉害一些。
这样的话，整个圆盘就要被扭曲了！！
这就是爱因斯坦转盘引起的一个深刻的问题。
牛顿的旋转水桶和爱因斯坦的转盘，在物理模型上来说是一样的。但细节上有所区别。
我们看到水桶的表面弯曲起来，在牛顿的语境中，这和狭义相对论是没有关系的，本质上，这样的水面是一个等势面，也就是引力势和离心势的和是常数的一个面。
我们说爱因斯坦的转盘也会扭曲，这是因为我们考虑了狭义相对论的尺缩效应，并且这个结果是一群静止惯性观察者们看到的。它们能测量转盘的周长和速度，会发现圆盘转起来以后有了扭曲。可是，跟着爱因斯坦转盘一起旋转的观察者看来，转盘是静止的，所以转盘根本不会扭曲。
所以，这里就存在这样一个问题，这个爱因斯坦转盘到底有没有扭曲呢？
要回答这个问题，我们必须搞清楚一件事情，那就是，那一群静止惯性观察者们和另外那一群随转盘一起旋转的观察者，它们之间到底是什么关系？
第六章 牛顿水桶和爱因斯坦转盘
（1）
世间事有千千万 ，红尘中也有无数人，但很多事情其实本质上是一样的。比如，有一个高僧，他曾经这样告戒自己的弟子：
不是风动，不是帘动，是你的心在动。
是的，虽然说万象皆是空妄的，但对于牛顿来说，到底什么在动，什么不动，是一个基本的问题。
1687年，牛顿45岁了，他的《自然哲学的数学原理》正式出版，在这书中，牛顿用旋转水桶实验论证绝对空间的存在。他认为，旋转水桶中水面形状由平变凹，是由于水相对于绝对空间作加速运动而受到惯性离心力作用的结果，水面变形正说明了绝对静止空间的存在。
牛顿的这种非常宏大的绝对静止空间，在相对论学家看来，是一个整体的惯性系。而实际上，这样整体的惯性系并不是真实的物理，但也不失为一种理解问题的方式。在广义相对论中，可以有局部的惯性系，也就是说，我们可以在时空上的一个点上谈论惯性系。
（2）
牛顿看到水面的弯曲，认为这是相对于绝对空间运动而引起的。但是，在200年后，马赫认为，牛顿的说法是不对的，马赫说，水桶旋转的时候，水面变得不平坦，这是因为水在运动的过程中受到了全宇宙的其他物质对它的引力相互作用的拖曳。
马赫有这样一个相互作用的观念，他认为，水面的变化，一定是受到什么力的作用了。
马赫和牛顿的观念，其实在数学上来说，是等价的。正如在高中物理中，我们可以在非惯性系中加上一个虚拟的惯性力，使得运动发生在惯性系里。 只不过，牛顿认为，惯性力是虚拟的，而马赫认为，惯性力是一种真实的力---就是引力。
这就是马赫的物理观念，我们在前面已经说过，马赫是一个很有物理追求的人，他第一强调的是观测，第二强调的是真实的力。所以，在这个意义上，马赫是反数学的，他没有数学倾向，他需要的物理，是真实存在的力和可以被观测到的现象。
所以，马赫是一个很不错的物理学家。
在马赫的思想里，我们隐约可以看到，惯性力是和引力等价的。
仔细体会马赫的意思，你会发现，任何有质量的物体都与全宇宙的星体存在是相互作用。包括你在内，你每动一个小脚步，全宇宙的星体的位置都会变化。因为，你们之间存在在瞬间的非局部的引力相互作用。
而惯性就是这样产生的，别的星体显然是对你的运动有一种天生的抵抗，因为你动起来以后，它们也要被你带动，所以惯性是一种拖曳的引力效应。
这是马赫的惯性观念。
（3）
在爱因斯坦提出狭义相对论以后，事情有了新的变化，因为根据狭义相对论，运动速度快的物体长度要收缩。所以，如果一个旋转的圆盘，它的角速度是一样的，但线速度随着半径不同会不一样，于是，在一个宏观的惯性系的观察者们看来，这个圆盘的外围是收缩的比内部要厉害一些。
这样的话，整个圆盘就要被扭曲了！！
这就是爱因斯坦转盘引起的一个深刻的问题。
牛顿的旋转水桶和爱因斯坦的转盘，在物理模型上来说是一样的。但细节上有所区别。
我们看到水桶的表面弯曲起来，在牛顿的语境中，这和狭义相对论是没有关系的，本质上，这样的水面是一个等势面，也就是引力势和离心势的和是常数的一个面。
我们说爱因斯坦的转盘也会扭曲，这是因为我们考虑了狭义相对论的尺缩效应，并且这个结果是一群静止惯性观察者们看到的。它们能测量转盘的周长和速度，会发现圆盘转起来以后有了扭曲。可是，跟着爱因斯坦转盘一起旋转的观察者看来，转盘是静止的，所以转盘根本不会扭曲。
所以，这里就存在这样一个问题，这个爱因斯坦转盘到底有没有扭曲呢？
要回答这个问题，我们必须搞清楚一件事情，那就是，那一群静止惯性观察者们和另外那一群随转盘一起旋转的观察者，它们之间到底是什么关系？
楼主：张轩中 时间：2009-07-08 16:18:00
第七章 等效原理和质谱仪
（1）
在上一章已经说到，牛顿水桶的问题，牛顿解释这个问题的时候，引进了非惯性力。但是，马赫有所不同，马赫认为不存在什么虚拟的非惯性力，水面之所以变形，在马赫看着，这一定是出于一种引力相互作用。这个引力相互作用是由全宇宙的星体的引力产生的。
这是对物理的两种解释，实际上在数学上是等价的。但是，如何把马赫的思想数学化呢？这就需要微分几何了。因为全宇宙的星体对牛顿的水桶都产生引力作用，所以牛顿引力是瞬间发生的，非局域的相互作用。
但是，爱因斯坦在1905年得到了狭义相对论，他认为，宇宙中一切信号的传播速度不能大于光的速度。
什么是光的速度？
如何测量？
按照一般的思维，测量速度的时候，因为是2个点上测量距离，所以不可避免会涉及到同时测量的问题。这就需要你能够真正做到，2个地方的钟是可以对准的，这样你知道光走了多少时间。可惜在广义相对论中，这不是随便就可以实现的。
（2）
在相对论中，尤其在广义相对论中，光的速度不是距离除以传播时间。因为距离和传播时间都是坐标系依赖的，比如在史瓦西时空中，径向传播的光的速度，如果按照坐标距离除以坐标时间，你会发现光的速度不是一个常数。
这种除法定义的光的速度，是一种没有意义的坐标速度。
在相对论中，因为时间和空间是结合在一起的，所以，真正有意义的是四维速度---简称4速度——这个量才是不依赖于坐标系选择的张量。
光的四速度是一个类光矢量。这就是光速不变的意思。也就是说，在任何参考系中，光的四速度一定是类光的。
当然，这一套语言可以被搬到平坦时空上，在平坦的时空上，这物理会和生活经验比较符合。
爱因斯坦当时要做的事情，是把牛顿引力和自己的狭义相对论结合在一起。换句话说，他希望引力的传播具有有限的速度。这事情是非常令人懊恼的。
1907年，爱因斯坦还是在专利局当职员，当时他也想着去什么大学当个副教授什么的。毕竟自己已经声名鹊起了。
这个一心想当副教授的哥们，还在专利局里发呆，他要构造的一个引力的结构，需要思考牛顿和马赫2个人的业绩。
（3）
牛顿： 惯性系和非惯性力，是一套组合拳这样打出来的。
马赫： 惯性系和引力，也是一套连环腿这样踢出来。
爱因斯坦也是懵懂的人，但他不象一般人是一个傻子，他发现，牛顿和马赫的武工，其实是一个套路。
怎么会这样？
爱因斯坦说，其实，我可以提出一个原理，当然不可以取名叫爱因斯坦原理，但完全可以取一个名字叫等效原理。
等效原理说： 牛顿的非惯性力和马赫的引力，其实是等效的，在局部是不可被测量手段区分的。
这样的话，牛顿和马赫本来是鸡同鸭讲，现在变成了同一个语言体系。
所以，爱因斯坦可以说： 牛顿==马赫。
这个原理表面上看起来是很简单，但真正的大物理学家就是这样在螺蛳壳里做道场，针尖上如天使一样跳起舞来。
（4）
等效原理是1907年爱因斯坦在专利局的时候遇见的最快乐的思想。这个原理有几种不同的表达方式，比如，自由下落的无限小的电梯里的人是感觉不到引力存在的。比如惯性质量和引力质量是相等的。
我们对后一种说法展开一些讨论：
物理学家为了探测微观粒子的质量，设计制作了质谱仪器。在质谱仪器中，有一种质量分析的手段叫做四极杆。这是四根带电的圆柱体作为电极产生的电场，带电离子在这个四极电场中运动的时候，它的运动方程将满足一定的振荡方式，数学上叫Mathieu方程。我们知道，在特定电场中，只有特定质量和电荷比率的离子才可以穿过这个电场而不撞上电极。
这种质量分析仪看的是电荷和惯性质量的比率。
爱因斯坦的等效原理也是同样道理，不过爱因斯坦看的是引力荷（引力质量）和惯性质量的比率，而奇特的地方在于，爱因斯坦认为，这个比率永远等于一。这是爱因斯坦版本的质谱仪。
（1）
在上一章已经说到，牛顿水桶的问题，牛顿解释这个问题的时候，引进了非惯性力。但是，马赫有所不同，马赫认为不存在什么虚拟的非惯性力，水面之所以变形，在马赫看着，这一定是出于一种引力相互作用。这个引力相互作用是由全宇宙的星体的引力产生的。
这是对物理的两种解释，实际上在数学上是等价的。但是，如何把马赫的思想数学化呢？这就需要微分几何了。因为全宇宙的星体对牛顿的水桶都产生引力作用，所以牛顿引力是瞬间发生的，非局域的相互作用。
但是，爱因斯坦在1905年得到了狭义相对论，他认为，宇宙中一切信号的传播速度不能大于光的速度。
什么是光的速度？
如何测量？
按照一般的思维，测量速度的时候，因为是2个点上测量距离，所以不可避免会涉及到同时测量的问题。这就需要你能够真正做到，2个地方的钟是可以对准的，这样你知道光走了多少时间。可惜在广义相对论中，这不是随便就可以实现的。
（2）
在相对论中，尤其在广义相对论中，光的速度不是距离除以传播时间。因为距离和传播时间都是坐标系依赖的，比如在史瓦西时空中，径向传播的光的速度，如果按照坐标距离除以坐标时间，你会发现光的速度不是一个常数。
这种除法定义的光的速度，是一种没有意义的坐标速度。
在相对论中，因为时间和空间是结合在一起的，所以，真正有意义的是四维速度---简称4速度——这个量才是不依赖于坐标系选择的张量。
光的四速度是一个类光矢量。这就是光速不变的意思。也就是说，在任何参考系中，光的四速度一定是类光的。
当然，这一套语言可以被搬到平坦时空上，在平坦的时空上，这物理会和生活经验比较符合。
爱因斯坦当时要做的事情，是把牛顿引力和自己的狭义相对论结合在一起。换句话说，他希望引力的传播具有有限的速度。这事情是非常令人懊恼的。
1907年，爱因斯坦还是在专利局当职员，当时他也想着去什么大学当个副教授什么的。毕竟自己已经声名鹊起了。
这个一心想当副教授的哥们，还在专利局里发呆，他要构造的一个引力的结构，需要思考牛顿和马赫2个人的业绩。
（3）
牛顿： 惯性系和非惯性力，是一套组合拳这样打出来的。
马赫： 惯性系和引力，也是一套连环腿这样踢出来。
爱因斯坦也是懵懂的人，但他不象一般人是一个傻子，他发现，牛顿和马赫的武工，其实是一个套路。
怎么会这样？
爱因斯坦说，其实，我可以提出一个原理，当然不可以取名叫爱因斯坦原理，但完全可以取一个名字叫等效原理。
等效原理说： 牛顿的非惯性力和马赫的引力，其实是等效的，在局部是不可被测量手段区分的。
这样的话，牛顿和马赫本来是鸡同鸭讲，现在变成了同一个语言体系。
所以，爱因斯坦可以说： 牛顿==马赫。
这个原理表面上看起来是很简单，但真正的大物理学家就是这样在螺蛳壳里做道场，针尖上如天使一样跳起舞来。
（4）
等效原理是1907年爱因斯坦在专利局的时候遇见的最快乐的思想。这个原理有几种不同的表达方式，比如，自由下落的无限小的电梯里的人是感觉不到引力存在的。比如惯性质量和引力质量是相等的。
我们对后一种说法展开一些讨论：
物理学家为了探测微观粒子的质量，设计制作了质谱仪器。在质谱仪器中，有一种质量分析的手段叫做四极杆。这是四根带电的圆柱体作为电极产生的电场，带电离子在这个四极电场中运动的时候，它的运动方程将满足一定的振荡方式，数学上叫Mathieu方程。我们知道，在特定电场中，只有特定质量和电荷比率的离子才可以穿过这个电场而不撞上电极。
这种质量分析仪看的是电荷和惯性质量的比率。
爱因斯坦的等效原理也是同样道理，不过爱因斯坦看的是引力荷（引力质量）和惯性质量的比率，而奇特的地方在于，爱因斯坦认为，这个比率永远等于一。这是爱因斯坦版本的质谱仪。
楼主：张轩中 时间：2009-07-10 09:58:00
《相对论性黑洞》第八章
第八章 钟变慢的现象：狭义相对论和广义相对论的对偶
（1）
在上一章中，我们已经看到，牛顿的惯性力和马赫的引力被爱因斯坦认为是等效的。这是一个很深刻的原理，等效原理使得我们可以把弯曲时空中的物理通过数学的方式映射到一个平坦时空中来，可惜的是，这个映射只在每一个时空的点上才能成立。
物理学家喜欢把两个相互数学上等价的物理现象称为对偶的。在这个意义上，我们也许可以说，牛顿惯性力是对偶于马赫的引力。
那么，怎么来描述惯性力呢，或者说，怎么来描述引力呢？ 简单地说，这就是需要一个叫做克里氏多夫符号的数学量来刻画它们。因为这个数学量涉及到微分几何的内容，我们暂时不讲，而爱因斯坦当时也是不懂微分几何的，所以他当年走到这里，也是被卡住了。
爱因斯坦被卡住以后，想起了自己生命中的那个贵人。他觉得这个贵人一定可以帮助到他，这个人是他的大学同学。
所以，每当遇见困境，想想大学同学，也许能柳暗花明的。
我们先不看爱因斯坦是怎么建立广义相对论的。而转身来看看相对论中的另外一个对偶。这个对偶就是狭义相对论和广义相对论中关于钟变慢问题的一个对偶。当然正经的物理学家不会使用“对偶”这个词汇，但是著者认为，这是一个重要的对偶现象。
（2）
在狭义相对论中，我们知道，一个运动的钟比一个静止的钟要走得慢。 这是什么意思？
换句话说，如果你想活得比较长寿，其中一个办法就是老在高速公路上飙车。
这是狭义相对论中最深刻的一个事实，但是，为什么会这样呢？原因在于，在狭义相对论中，时空是平坦的，所以，在一个静止的惯性参考系看来，运动的钟是变慢了。
可是，我们知道，对那个运动的钟来说，自己并没有运动，所以，其实它的钟并没有变慢，反而，它会觉得是对方变慢了。
所以，这个现象可能引起人们的困惑，就是说，这个钟到底变慢了没有？实际上，读者们需要知道的是，在狭义相对论中，钟变慢是相对的，并不是一个绝对的效应。本质上，匀速运动的钟和静止的钟其实是没有什么区别的，大家的地位是平等的。
在钱钟书的小说《围城》中，方鸿渐乡下老家的那个老式自鸣钟（相对于上海洋楼的钟）总是不准确的，但这不妨碍老家人的日常生活。 因为，任何的钟表都只是指向一个表观的时间，狭义相对论中，也是如此，我们说运动的钟比静止的钟要慢，是站在上海洋楼的角度来看乡下老家。
这都是表观时间，可以是处处不一样的，我们每个人都有电脑，你会发现，你的电脑屏幕右下角上有一个时间指示，但这个时间也是每个电脑可以不一样的---办公室里有50台电脑，这50台电脑各自有自己的时间设置，和走时速率----这取决于电脑电路里的晶振。
总之，在狭义相对论中，钟变慢是相对的。 这也许就是狭义相对论之所以得名的原因。
（3）
但是，广义相对论却不是如此。
如果可以改一个名字，相对论这个学科应该是分成这样的：
狭义相对论+广义绝对论
在广义相对论中，引力的存在会引起钟变慢。也就是说，在地球表面的钟比无限远处的卫星上的钟要慢。换句话说，无限远卫星上的钟走得比地球表面上的钟要快。
这就是GPS全球定位的时候，需要做广义相对论（广义绝对论）修正的原因。
这个引力使得钟变慢的效果是绝对的。因为时空的弯曲是绝对的。
（4）
在上面的讲述中，我们已经把引力看成是绝对的时空弯曲了。这是爱因斯坦的另外一个思想，我们将在下面深入浅出地讲述，为了写得科普，正确的讲述方式应该是九浅一深的。在前面几章的讲解中，一开始显得有点深，太数学化为导致很多人失去兴趣。所以，最近3章是相对比较浅显的。大家已经看到2个对偶：
1。牛顿惯性力和马赫的引力对偶。（物理上不可区别）
2。狭义相对论的钟变慢和广义相对论中的钟变慢对偶。（一个是相对的，一个是绝对的）
读者们读到这里，一定会有疑问，为什么说时空的弯曲是绝对的呢？
这就是几何学的魅力，我们知道，时空做为一个整体是一个几何对象，几何对象是绝对的，比如，任何一个三角形的3条中线必然是相交于一点的，这就是几何上绝对的。如果更深刻一点，还有拓扑上绝对的东西，比如任何三角形的内角和一定是180度，和三角形的外形无关，这就是拓扑上绝对的。
第八章 钟变慢的现象：狭义相对论和广义相对论的对偶
（1）
在上一章中，我们已经看到，牛顿的惯性力和马赫的引力被爱因斯坦认为是等效的。这是一个很深刻的原理，等效原理使得我们可以把弯曲时空中的物理通过数学的方式映射到一个平坦时空中来，可惜的是，这个映射只在每一个时空的点上才能成立。
物理学家喜欢把两个相互数学上等价的物理现象称为对偶的。在这个意义上，我们也许可以说，牛顿惯性力是对偶于马赫的引力。
那么，怎么来描述惯性力呢，或者说，怎么来描述引力呢？ 简单地说，这就是需要一个叫做克里氏多夫符号的数学量来刻画它们。因为这个数学量涉及到微分几何的内容，我们暂时不讲，而爱因斯坦当时也是不懂微分几何的，所以他当年走到这里，也是被卡住了。
爱因斯坦被卡住以后，想起了自己生命中的那个贵人。他觉得这个贵人一定可以帮助到他，这个人是他的大学同学。
所以，每当遇见困境，想想大学同学，也许能柳暗花明的。
我们先不看爱因斯坦是怎么建立广义相对论的。而转身来看看相对论中的另外一个对偶。这个对偶就是狭义相对论和广义相对论中关于钟变慢问题的一个对偶。当然正经的物理学家不会使用“对偶”这个词汇，但是著者认为，这是一个重要的对偶现象。
（2）
在狭义相对论中，我们知道，一个运动的钟比一个静止的钟要走得慢。 这是什么意思？
换句话说，如果你想活得比较长寿，其中一个办法就是老在高速公路上飙车。
这是狭义相对论中最深刻的一个事实，但是，为什么会这样呢？原因在于，在狭义相对论中，时空是平坦的，所以，在一个静止的惯性参考系看来，运动的钟是变慢了。
可是，我们知道，对那个运动的钟来说，自己并没有运动，所以，其实它的钟并没有变慢，反而，它会觉得是对方变慢了。
所以，这个现象可能引起人们的困惑，就是说，这个钟到底变慢了没有？实际上，读者们需要知道的是，在狭义相对论中，钟变慢是相对的，并不是一个绝对的效应。本质上，匀速运动的钟和静止的钟其实是没有什么区别的，大家的地位是平等的。
在钱钟书的小说《围城》中，方鸿渐乡下老家的那个老式自鸣钟（相对于上海洋楼的钟）总是不准确的，但这不妨碍老家人的日常生活。 因为，任何的钟表都只是指向一个表观的时间，狭义相对论中，也是如此，我们说运动的钟比静止的钟要慢，是站在上海洋楼的角度来看乡下老家。
这都是表观时间，可以是处处不一样的，我们每个人都有电脑，你会发现，你的电脑屏幕右下角上有一个时间指示，但这个时间也是每个电脑可以不一样的---办公室里有50台电脑，这50台电脑各自有自己的时间设置，和走时速率----这取决于电脑电路里的晶振。
总之，在狭义相对论中，钟变慢是相对的。 这也许就是狭义相对论之所以得名的原因。
（3）
但是，广义相对论却不是如此。
如果可以改一个名字，相对论这个学科应该是分成这样的：
狭义相对论+广义绝对论
在广义相对论中，引力的存在会引起钟变慢。也就是说，在地球表面的钟比无限远处的卫星上的钟要慢。换句话说，无限远卫星上的钟走得比地球表面上的钟要快。
这就是GPS全球定位的时候，需要做广义相对论（广义绝对论）修正的原因。
这个引力使得钟变慢的效果是绝对的。因为时空的弯曲是绝对的。
（4）
在上面的讲述中，我们已经把引力看成是绝对的时空弯曲了。这是爱因斯坦的另外一个思想，我们将在下面深入浅出地讲述，为了写得科普，正确的讲述方式应该是九浅一深的。在前面几章的讲解中，一开始显得有点深，太数学化为导致很多人失去兴趣。所以，最近3章是相对比较浅显的。大家已经看到2个对偶：
1。牛顿惯性力和马赫的引力对偶。（物理上不可区别）
2。狭义相对论的钟变慢和广义相对论中的钟变慢对偶。（一个是相对的，一个是绝对的）
读者们读到这里，一定会有疑问，为什么说时空的弯曲是绝对的呢？
这就是几何学的魅力，我们知道，时空做为一个整体是一个几何对象，几何对象是绝对的，比如，任何一个三角形的3条中线必然是相交于一点的，这就是几何上绝对的。如果更深刻一点，还有拓扑上绝对的东西，比如任何三角形的内角和一定是180度，和三角形的外形无关，这就是拓扑上绝对的。
楼主：张轩中 时间：2009-07-10 10:04:00
上一章发错了，应该是这样的：
《相对论性黑洞》第八章
第八章 钟变慢的现象：狭义相对论和广义相对论的对偶
（1）
在上一章中，我们已经看到，牛顿的惯性力和马赫的引力被爱因斯坦认为是等效的。这是一个很深刻的原理，等效原理使得我们可以把弯曲时空中的物理通过数学的方式映射到一个平坦时空中来，可惜的是，这个映射只在每一个时空的点上才能成立。
物理学家喜欢把两个相互数学上等价的物理现象称为对偶的。在这个意义上，我们也许可以说，牛顿惯性力是对偶于马赫的引力。
那么，怎么来描述惯性力呢，或者说，怎么来描述引力呢？ 简单地说，这就是需要一个叫做克里氏多夫符号的数学量来刻画它们。因为这个数学量涉及到微分几何的内容，我们暂时不讲，而爱因斯坦当时也是不懂微分几何的，所以他当年走到这里，也是被卡住了。
爱因斯坦被卡住以后，想起了自己生命中的那个贵人。他觉得这个贵人一定可以帮助到他，这个人是他的大学同学。
所以，每当遇见困境，想想大学同学，也许能柳暗花明的。
我们先不看爱因斯坦是怎么建立广义相对论的。而转身来看看相对论中的另外一个对偶。这个对偶就是狭义相对论和广义相对论中关于钟变慢问题的一个对偶。当然正经的物理学家不会使用“对偶”这个词汇，但是著者认为，这是一个重要的对偶现象。
（2）
在狭义相对论中，我们知道，一个运动的钟比一个静止的钟要走得慢。 这是什么意思？
有的人认为，如果你想活得比较长寿，其中一个办法就是老在高速公路上飙车，这是错误的，因为飙车如果是均匀速度的直线运动，则本质上还是平坦时空上的测地线，你无法改变自己的固有时间。正确的做法应该是什么呢？答案是你应该生活在引力场更强的木星上，或者生活在黑洞附近，你会更加长寿。
这是狭义相对论中最深刻的一个事实，但是，为什么会这样呢？原因在于，在狭义相对论中，时空是平坦的，所以，在一个静止的惯性参考系看来，运动的钟是变慢了。
可是，我们知道，对那个运动的钟来说，自己并没有运动，所以，其实它的钟并没有变慢，反而，它会觉得是对方变慢了。
所以，这个现象可能引起人们的困惑，就是说，这个钟到底变慢了没有？实际上，读者们需要知道的是，在狭义相对论中，钟变慢是相对的，并不是一个绝对的效应。本质上，匀速运动的钟和静止的钟其实是没有什么区别的，大家的地位是平等的。
在钱钟书的小说《围城》中，方鸿渐乡下老家的那个老式自鸣钟（相对于上海洋楼的钟）总是不准确的，但这不妨碍老家人的日常生活。 因为，任何的钟表都只是指向一个表观的时间，狭义相对论中，也是如此，我们说运动的钟比静止的钟要慢，是站在上海洋楼的角度来看乡下老家。
这都是表观时间，可以是处处不一样的，我们每个人都有电脑，你会发现，你的电脑屏幕右下角上有一个时间指示，但这个时间也是每个电脑可以不一样的---办公室里有50台电脑，这50台电脑各自有自己的时间设置，和走时速率----这取决于电脑电路里的晶振。
总之，在狭义相对论中，钟变慢是相对的。 这也许就是狭义相对论之所以得名的原因。
（3）
但是，广义相对论却不是如此。
如果可以改一个名字，相对论这个学科应该是分成这样的：
狭义相对论+广义绝对论
在广义相对论中，引力的存在会引起钟变慢。也就是说，在地球表面的钟比无限远处的卫星上的钟要慢。换句话说，无限远卫星上的钟走得比地球表面上的钟要快。
这就是GPS全球定位的时候，需要做广义相对论（广义绝对论）修正的原因。
这个引力使得钟变慢的效果是绝对的。因为时空的弯曲是绝对的。
（4）
在上面的讲述中，我们已经把引力看成是绝对的时空弯曲了。这是爱因斯坦的另外一个思想，我们将在下面深入浅出地讲述，为了写得科普，正确的讲述方式应该是九浅一深的。在前面几章的讲解中，一开始显得有点深，太数学化为导致很多人失去兴趣。所以，最近3章是相对比较浅显的。大家已经看到2个对偶：
1。牛顿惯性力和马赫的引力对偶。（物理上不可区别）
2。狭义相对论的钟变慢和广义相对论中的钟变慢对偶。（一个是相对的，一个是绝对的）
读者们读到这里，一定会有疑问，为什么说时空的弯曲是绝对的呢？
这就是几何学的魅力，我们知道，时空做为一个整体是一个几何对象，几何对象是绝对的，比如，任何一个三角形的3条中线必然是相交于一点的，这就是几何上绝对的。如果更深刻一点，还有拓扑上绝对的东西，比如任何三角形的内角和一定是180度，和三角形的外形无关，这就是拓扑上绝对的。
《相对论性黑洞》第八章
第八章 钟变慢的现象：狭义相对论和广义相对论的对偶
（1）
在上一章中，我们已经看到，牛顿的惯性力和马赫的引力被爱因斯坦认为是等效的。这是一个很深刻的原理，等效原理使得我们可以把弯曲时空中的物理通过数学的方式映射到一个平坦时空中来，可惜的是，这个映射只在每一个时空的点上才能成立。
物理学家喜欢把两个相互数学上等价的物理现象称为对偶的。在这个意义上，我们也许可以说，牛顿惯性力是对偶于马赫的引力。
那么，怎么来描述惯性力呢，或者说，怎么来描述引力呢？ 简单地说，这就是需要一个叫做克里氏多夫符号的数学量来刻画它们。因为这个数学量涉及到微分几何的内容，我们暂时不讲，而爱因斯坦当时也是不懂微分几何的，所以他当年走到这里，也是被卡住了。
爱因斯坦被卡住以后，想起了自己生命中的那个贵人。他觉得这个贵人一定可以帮助到他，这个人是他的大学同学。
所以，每当遇见困境，想想大学同学，也许能柳暗花明的。
我们先不看爱因斯坦是怎么建立广义相对论的。而转身来看看相对论中的另外一个对偶。这个对偶就是狭义相对论和广义相对论中关于钟变慢问题的一个对偶。当然正经的物理学家不会使用“对偶”这个词汇，但是著者认为，这是一个重要的对偶现象。
（2）
在狭义相对论中，我们知道，一个运动的钟比一个静止的钟要走得慢。 这是什么意思？
有的人认为，如果你想活得比较长寿，其中一个办法就是老在高速公路上飙车，这是错误的，因为飙车如果是均匀速度的直线运动，则本质上还是平坦时空上的测地线，你无法改变自己的固有时间。正确的做法应该是什么呢？答案是你应该生活在引力场更强的木星上，或者生活在黑洞附近，你会更加长寿。
这是狭义相对论中最深刻的一个事实，但是，为什么会这样呢？原因在于，在狭义相对论中，时空是平坦的，所以，在一个静止的惯性参考系看来，运动的钟是变慢了。
可是，我们知道，对那个运动的钟来说，自己并没有运动，所以，其实它的钟并没有变慢，反而，它会觉得是对方变慢了。
所以，这个现象可能引起人们的困惑，就是说，这个钟到底变慢了没有？实际上，读者们需要知道的是，在狭义相对论中，钟变慢是相对的，并不是一个绝对的效应。本质上，匀速运动的钟和静止的钟其实是没有什么区别的，大家的地位是平等的。
在钱钟书的小说《围城》中，方鸿渐乡下老家的那个老式自鸣钟（相对于上海洋楼的钟）总是不准确的，但这不妨碍老家人的日常生活。 因为，任何的钟表都只是指向一个表观的时间，狭义相对论中，也是如此，我们说运动的钟比静止的钟要慢，是站在上海洋楼的角度来看乡下老家。
这都是表观时间，可以是处处不一样的，我们每个人都有电脑，你会发现，你的电脑屏幕右下角上有一个时间指示，但这个时间也是每个电脑可以不一样的---办公室里有50台电脑，这50台电脑各自有自己的时间设置，和走时速率----这取决于电脑电路里的晶振。
总之，在狭义相对论中，钟变慢是相对的。 这也许就是狭义相对论之所以得名的原因。
（3）
但是，广义相对论却不是如此。
如果可以改一个名字，相对论这个学科应该是分成这样的：
狭义相对论+广义绝对论
在广义相对论中，引力的存在会引起钟变慢。也就是说，在地球表面的钟比无限远处的卫星上的钟要慢。换句话说，无限远卫星上的钟走得比地球表面上的钟要快。
这就是GPS全球定位的时候，需要做广义相对论（广义绝对论）修正的原因。
这个引力使得钟变慢的效果是绝对的。因为时空的弯曲是绝对的。
（4）
在上面的讲述中，我们已经把引力看成是绝对的时空弯曲了。这是爱因斯坦的另外一个思想，我们将在下面深入浅出地讲述，为了写得科普，正确的讲述方式应该是九浅一深的。在前面几章的讲解中，一开始显得有点深，太数学化为导致很多人失去兴趣。所以，最近3章是相对比较浅显的。大家已经看到2个对偶：
1。牛顿惯性力和马赫的引力对偶。（物理上不可区别）
2。狭义相对论的钟变慢和广义相对论中的钟变慢对偶。（一个是相对的，一个是绝对的）
读者们读到这里，一定会有疑问，为什么说时空的弯曲是绝对的呢？
这就是几何学的魅力，我们知道，时空做为一个整体是一个几何对象，几何对象是绝对的，比如，任何一个三角形的3条中线必然是相交于一点的，这就是几何上绝对的。如果更深刻一点，还有拓扑上绝对的东西，比如任何三角形的内角和一定是180度，和三角形的外形无关，这就是拓扑上绝对的。
作者：暮春者春服既成 时间：2009-07-10 10:40:00
作者：暮春者春服既成 时间：2009-07-10 10:58:00
作者：暮春者春服既成 时间：2009-07-10 11:12:00
作者：暮春者春服既成 时间：2009-07-12 16:23:00
作者：暮春者春服既成 时间：2009-07-12 16:28:00
作者：暮春者春服既成 时间：2009-07-12 16:30:00
作者：暮春者春服既成 时间：2009-07-12 16:37:00
“1687年，牛顿45岁了，他的《自然哲学的数学原理》正式出版，在这书中，牛顿用旋转水桶实验论证绝对空间的存在。他认为，旋转水桶中水面形状由平变凹，是由于水相对于绝对空间作加速运动而受到惯性离心力作用的结果，水面变形正说明了绝对静止空间的存在。
牛顿的这种非常宏大的绝对静止空间，在相对论学家看来，是一个整体的惯性系。而实际上，这样整体的惯性系并不是真实的物理，但也不失为一种理解问题的方式。在广义相对论中，可以有局部的惯性系，也就是说，我们可以在时空上的一个点上谈论惯性系。 ”
牛顿为什么要特别用实验来证明绝对时空？他是否已经意识到时空的弯曲问题。我觉得有些端倪。不然的话，何必特别地用实验来说明呢？
当然老牛的这个实验不能说明什么问题吧，因为他自己就处于这个“局部的系统之内”，而他误以为这个“局部”就是“整体”。正如站在地球上的人，误以为大地是不动的一样。
牛顿的这种非常宏大的绝对静止空间，在相对论学家看来，是一个整体的惯性系。而实际上，这样整体的惯性系并不是真实的物理，但也不失为一种理解问题的方式。在广义相对论中，可以有局部的惯性系，也就是说，我们可以在时空上的一个点上谈论惯性系。 ”
牛顿为什么要特别用实验来证明绝对时空？他是否已经意识到时空的弯曲问题。我觉得有些端倪。不然的话，何必特别地用实验来说明呢？
当然老牛的这个实验不能说明什么问题吧，因为他自己就处于这个“局部的系统之内”，而他误以为这个“局部”就是“整体”。正如站在地球上的人，误以为大地是不动的一样。
楼主：张轩中 时间：2009-07-13 16:37:00
作者：暮春者春服既成 时间：2009-07-13 17:56:00
楼主：张轩中 时间：2009-07-14 09:04:00
楼主：张轩中 时间：2009-07-20 12:04:00
《相对论性黑洞》第九章
第九章 三年半的沉默
（1）
在subtle is the lord这本关于爱因斯坦的传记中，有一小节小标题就是“三年半的沉默”。从1907年的12月到1911年6月（爱因斯坦定居到布拉格后几个月），爱因斯坦在引力问题上一直保持着沉默。
爱因斯坦在这个沉默期究竟在想什么呢？
我们都知道，但凡伟大的作品出世，一定需要有一定的时间来冷静和沉淀作者的思绪，所谓“文王拘而演周易，仲尼厄而作春秋；屈原放逐,乃赋离骚;左丘失明,厥有国语;孙子膑脚,兵法修列;不韦迁蜀,世传吕览．”
爱因斯坦这段时间遇见了什么糟糕的事情了呢？
这段时间，他已经从专利局的技术职员混成了副教授，现在他来到布拉格大学，他要成为正教授了。这人生也是渐入佳境，为什么爱因斯坦还能做出不朽的业绩呢？
这说明爱因斯坦是一个严格要求自己的人，这个时候他有了第二个儿子，有精神分裂症的先兆。
（2）
爱因斯坦这个时候也做物理，但内心深处一直在思考一个问题。
我们在前几章已经说了等效原理。
爱因斯坦说，牛顿的惯性力和马赫的引力是局部上不可区别的。这个时候，接下来的问题就是，如何用数学来描述引力。如果事情仅仅是牛顿引力，那牛顿的数学就是足够的。
但是，问题在于，牛顿的引力与狭义相对论是不相容的。
所以，必须把牛顿引力修改一下，使得它与自己的狭义相对论相互协调，这是爱因斯坦的初衷。
大师一出手，必然是有大师的痕迹，所以，在没有一定的把握之前，爱因斯坦选择了沉默。他还偷偷的补习了一段时间的微分几何。
因为朦胧的感觉是这样的，格罗斯曼告诉他，微分几何也许对他有益。格罗斯曼的这句话其实起到了决定性的作用， 就好象是打仗，爱因斯坦是一个军事的统帅，而格罗斯曼就一个很好的军师。有的时候，棋差一招是满盘皆输，很幸运的是爱因斯坦遇见了格罗斯曼。
学微分几何没有几天，爱因斯坦就有一些朦胧的思想，这个思想就是：引力其实是几何学？
（3）
回顾一下历史。
牛顿说：惯性力！
马赫说：引力！
爱因斯坦说：惯性力等于引力。
爱因斯坦接着说： 引力不存在，引力是几何学。
这最后一句话，爱因斯坦讲要大声地讲出来，这完全好象是指出了皇帝的新装的秘密，新装并不存在，而引力也不存在。
为什么会这样？ 为什么要这样？
有的人说，真理是朴素的，也有的人说，数学真理就象是美妙乐章，不是人为雕琢出来的，而是不得不如此的作品，你改一个音符都不行。
爱因斯坦的引力理论，也是不得不如此吗？ 如果真的非如此不可，那么显然爱因斯坦是假借了上帝之手在人间写方程了。
（4）
历史是一步一步发展的，并且一定是具有雷同性和自相似的结构。 爱因斯坦为什么要用微分几何，这背后必然有天才的成分在里面，而微分几何刚出现的时候，也是经过天才之手。
微分几何一开始，是高斯的杰作，高斯已经不满足研究一些曲线的弧长，他要研究曲面的曲率。高斯19岁的时候，他也和现在一般的高中生差不多，搞一些直尺和圆规来作图。他苦思冥想，就是要作一个正17边形。
因为尺规作图的本质是在坐标平面上寻找具有特定形式的坐标，所以高斯从此对数论有很高深的造诣。 如果现在的高中学生也想有如此的成就，不妨找一找椭圆曲线上的有理点。不过一般人才情总是难比高斯。高老师这番作完平面几何，就开始做球面，椭球面的面积，作完面积，他就做曲率。
高斯对微分几何研究是有一些玩票的性质，他也是随便玩玩就可以了，得到了一个高斯绝妙定理和一个高斯-波涅定理以后就金盘洗手。
接下来的事情由他的一个徒弟黎曼来出手解决。黎曼看着高斯绝妙定理出神，知道了一件大事情： 几何对象的存在可以不依赖外部空间。
换句通俗的话，高斯是用长焦镜头远距离来偷窥一个美女的身材曲率。而黎曼用的是x射线断层扫描技术来研究美女的身材曲率。
高斯站在外面，黎曼在里面。
（5）
黎曼的几何学抛弃了坐标，黎曼看着高斯绝妙定理就已经晓得：几何应该是与外部空间无关，甚至与坐标无关。
而爱因斯坦知道的一件事情是这样的： 物理应该与坐标无关。
人心深处是相似的。
爱因斯坦在他的沉默期里开始与一些微分几何纠缠起来，他的蜜月期似乎又要来了。
第九章 三年半的沉默
（1）
在subtle is the lord这本关于爱因斯坦的传记中，有一小节小标题就是“三年半的沉默”。从1907年的12月到1911年6月（爱因斯坦定居到布拉格后几个月），爱因斯坦在引力问题上一直保持着沉默。
爱因斯坦在这个沉默期究竟在想什么呢？
我们都知道，但凡伟大的作品出世，一定需要有一定的时间来冷静和沉淀作者的思绪，所谓“文王拘而演周易，仲尼厄而作春秋；屈原放逐,乃赋离骚;左丘失明,厥有国语;孙子膑脚,兵法修列;不韦迁蜀,世传吕览．”
爱因斯坦这段时间遇见了什么糟糕的事情了呢？
这段时间，他已经从专利局的技术职员混成了副教授，现在他来到布拉格大学，他要成为正教授了。这人生也是渐入佳境，为什么爱因斯坦还能做出不朽的业绩呢？
这说明爱因斯坦是一个严格要求自己的人，这个时候他有了第二个儿子，有精神分裂症的先兆。
（2）
爱因斯坦这个时候也做物理，但内心深处一直在思考一个问题。
我们在前几章已经说了等效原理。
爱因斯坦说，牛顿的惯性力和马赫的引力是局部上不可区别的。这个时候，接下来的问题就是，如何用数学来描述引力。如果事情仅仅是牛顿引力，那牛顿的数学就是足够的。
但是，问题在于，牛顿的引力与狭义相对论是不相容的。
所以，必须把牛顿引力修改一下，使得它与自己的狭义相对论相互协调，这是爱因斯坦的初衷。
大师一出手，必然是有大师的痕迹，所以，在没有一定的把握之前，爱因斯坦选择了沉默。他还偷偷的补习了一段时间的微分几何。
因为朦胧的感觉是这样的，格罗斯曼告诉他，微分几何也许对他有益。格罗斯曼的这句话其实起到了决定性的作用， 就好象是打仗，爱因斯坦是一个军事的统帅，而格罗斯曼就一个很好的军师。有的时候，棋差一招是满盘皆输，很幸运的是爱因斯坦遇见了格罗斯曼。
学微分几何没有几天，爱因斯坦就有一些朦胧的思想，这个思想就是：引力其实是几何学？
（3）
回顾一下历史。
牛顿说：惯性力！
马赫说：引力！
爱因斯坦说：惯性力等于引力。
爱因斯坦接着说： 引力不存在，引力是几何学。
这最后一句话，爱因斯坦讲要大声地讲出来，这完全好象是指出了皇帝的新装的秘密，新装并不存在，而引力也不存在。
为什么会这样？ 为什么要这样？
有的人说，真理是朴素的，也有的人说，数学真理就象是美妙乐章，不是人为雕琢出来的，而是不得不如此的作品，你改一个音符都不行。
爱因斯坦的引力理论，也是不得不如此吗？ 如果真的非如此不可，那么显然爱因斯坦是假借了上帝之手在人间写方程了。
（4）
历史是一步一步发展的，并且一定是具有雷同性和自相似的结构。 爱因斯坦为什么要用微分几何，这背后必然有天才的成分在里面，而微分几何刚出现的时候，也是经过天才之手。
微分几何一开始，是高斯的杰作，高斯已经不满足研究一些曲线的弧长，他要研究曲面的曲率。高斯19岁的时候，他也和现在一般的高中生差不多，搞一些直尺和圆规来作图。他苦思冥想，就是要作一个正17边形。
因为尺规作图的本质是在坐标平面上寻找具有特定形式的坐标，所以高斯从此对数论有很高深的造诣。 如果现在的高中学生也想有如此的成就，不妨找一找椭圆曲线上的有理点。不过一般人才情总是难比高斯。高老师这番作完平面几何，就开始做球面，椭球面的面积，作完面积，他就做曲率。
高斯对微分几何研究是有一些玩票的性质，他也是随便玩玩就可以了，得到了一个高斯绝妙定理和一个高斯-波涅定理以后就金盘洗手。
接下来的事情由他的一个徒弟黎曼来出手解决。黎曼看着高斯绝妙定理出神，知道了一件大事情： 几何对象的存在可以不依赖外部空间。
换句通俗的话，高斯是用长焦镜头远距离来偷窥一个美女的身材曲率。而黎曼用的是x射线断层扫描技术来研究美女的身材曲率。
高斯站在外面，黎曼在里面。
（5）
黎曼的几何学抛弃了坐标，黎曼看着高斯绝妙定理就已经晓得：几何应该是与外部空间无关，甚至与坐标无关。
而爱因斯坦知道的一件事情是这样的： 物理应该与坐标无关。
人心深处是相似的。
爱因斯坦在他的沉默期里开始与一些微分几何纠缠起来，他的蜜月期似乎又要来了。
楼主：张轩中 时间：2009-07-21 16:02:00
第十章 测地线：克里斯多夫符号
（1）
引力为什么不存在？引力为什么是几何学？
这问题是有点复杂的，实际上，引力场很象是股票市场，如果你要了解股票市场，你会去看K线，一般来说，k线如果是分明的清晰的，也就是说，日k线压着周k线，周k线压着月k线，那么，这个股票一般被认为是处于上升通道。反正，如果k线相互绞着，看上去很紊乱不知所踪，那就是这个股票没有一个很明显的趋向，连主力都有点摸不着北。这是技术分析。
对引力场，也是需要有技术分析的。因为引力场肉眼看不到，所以我们要看在引力场中运动的粒子，粒子的轨道就好象是K线。
所以，引力为什么是几何学？ 我们就需要看质点在引力场中的轨道，这个轨道会告诉我们一些信息。
（2）
质点在引力场中运动，会在空间上画出一个曲线。这个曲线一般是不封闭的，因为空间曲线不是几何不变量，我们对时空的3+1分解是任意的（正如爱因斯坦转盘上的观察者们他们的空间感就和地面静止惯性观察者们的空间感不一样），所以，这个空间曲线实际上是世界线在空间的投影。而在时空中的世界线才是几何不变量。我们说的质点在引力场中的轨道，就是在说世界线。
如果一个质点仅仅只受到引力的作用，那么，它在时空中的轨道就是测地线。
如果有很多这样的质点，你会发现在时空中会有很多这样的测地线。爱因斯坦在布拉格广场的时候，也开始有这样的朦胧想法。但他不晓得如何来描述测地线。
（3）
玻璃窗太灰暗，在时空的困惑中。
爱因斯坦手上唯一有的是一个等效原理。
他想，如果一个观察者趴在质点上随着质点在引力场中下落，那么，很显然，这个观察者感受不到引力的作用，所以，这个观察者在每一个瞬间都会认为质点是在走很短的一个直线。
也就是说，质点的加速度是零。
那么，牛顿第二定律可以写成这样的形式：
m d x^2/d^2 t =0
这里，x坐标是自由下落观察者赋予的。 这个x坐标系是什么呢？x和t分别表示空间坐标和时间坐标，但这个方程只在局部是成立的。
这个时候，爱因斯坦看到了另外一个微分几何里的方程，那就是测地线方程。
d x^2/d^2 s + T d x/d s d x/d s=0
爱因斯坦心里似乎有点谱了。因为这2个方程形式上蛮象的。 在第2个方程中，T是克里斯多夫符号。
（4）
第一个方程中，是没有引力时候的运动方程（可以认为这个时候有惯性力）。
第二个方程，是微分几何里的测地线方程。
如果看s线长看成是固有时，那么，这两个方程大致上差了一个克里斯多夫符号，而克里斯多夫符号恰恰可以被看成是惯性力。
爱因斯坦有点懂了，原来牛顿第2定律和测地线方程，似乎是同一个事情，只要把克里斯多夫符号看成是惯性力……
1912年，爱因斯坦大致走到了这样的一个地方。里奇的微分几何，他是读了一遍又一遍。
按照现代的说法，克里斯多夫符号正是引力场的体现。在无限小的一点，在高斯--黎曼法坐标系里中，克里斯多夫符号是等于0的。这就是等效原理---克里斯多夫符号为0----测地线在这个坐标系中是一个直线方程。
（1）
引力为什么不存在？引力为什么是几何学？
这问题是有点复杂的，实际上，引力场很象是股票市场，如果你要了解股票市场，你会去看K线，一般来说，k线如果是分明的清晰的，也就是说，日k线压着周k线，周k线压着月k线，那么，这个股票一般被认为是处于上升通道。反正，如果k线相互绞着，看上去很紊乱不知所踪，那就是这个股票没有一个很明显的趋向，连主力都有点摸不着北。这是技术分析。
对引力场，也是需要有技术分析的。因为引力场肉眼看不到，所以我们要看在引力场中运动的粒子，粒子的轨道就好象是K线。
所以，引力为什么是几何学？ 我们就需要看质点在引力场中的轨道，这个轨道会告诉我们一些信息。
（2）
质点在引力场中运动，会在空间上画出一个曲线。这个曲线一般是不封闭的，因为空间曲线不是几何不变量，我们对时空的3+1分解是任意的（正如爱因斯坦转盘上的观察者们他们的空间感就和地面静止惯性观察者们的空间感不一样），所以，这个空间曲线实际上是世界线在空间的投影。而在时空中的世界线才是几何不变量。我们说的质点在引力场中的轨道，就是在说世界线。
如果一个质点仅仅只受到引力的作用，那么，它在时空中的轨道就是测地线。
如果有很多这样的质点，你会发现在时空中会有很多这样的测地线。爱因斯坦在布拉格广场的时候，也开始有这样的朦胧想法。但他不晓得如何来描述测地线。
（3）
玻璃窗太灰暗，在时空的困惑中。
爱因斯坦手上唯一有的是一个等效原理。
他想，如果一个观察者趴在质点上随着质点在引力场中下落，那么，很显然，这个观察者感受不到引力的作用，所以，这个观察者在每一个瞬间都会认为质点是在走很短的一个直线。
也就是说，质点的加速度是零。
那么，牛顿第二定律可以写成这样的形式：
m d x^2/d^2 t =0
这里，x坐标是自由下落观察者赋予的。 这个x坐标系是什么呢？x和t分别表示空间坐标和时间坐标，但这个方程只在局部是成立的。
这个时候，爱因斯坦看到了另外一个微分几何里的方程，那就是测地线方程。
d x^2/d^2 s + T d x/d s d x/d s=0
爱因斯坦心里似乎有点谱了。因为这2个方程形式上蛮象的。 在第2个方程中，T是克里斯多夫符号。
（4）
第一个方程中，是没有引力时候的运动方程（可以认为这个时候有惯性力）。
第二个方程，是微分几何里的测地线方程。
如果看s线长看成是固有时，那么，这两个方程大致上差了一个克里斯多夫符号，而克里斯多夫符号恰恰可以被看成是惯性力。
爱因斯坦有点懂了，原来牛顿第2定律和测地线方程，似乎是同一个事情，只要把克里斯多夫符号看成是惯性力……
1912年，爱因斯坦大致走到了这样的一个地方。里奇的微分几何，他是读了一遍又一遍。
按照现代的说法，克里斯多夫符号正是引力场的体现。在无限小的一点，在高斯--黎曼法坐标系里中，克里斯多夫符号是等于0的。这就是等效原理---克里斯多夫符号为0----测地线在这个坐标系中是一个直线方程。
楼主：张轩中 时间：2009-07-27 17:04:00
第十一章 广义相对性原理
（1）
一个光滑的水平面上，有一个质量为M的一个斜面，斜面上有一个质量为m的一个小木块，问m静止释放以后，多少时间以后，m可以滑到地面上。
这个题目是有点难的，因为斜面具有水平加速度，所以斜面不是一个惯性系，但是，你可以引进一个惯性力，把这个问题放在惯性系里来求解。所以，正如在上一章已经写到，通过附加一定的惯性力，牛顿第二定律总可以写成如下形式
dx^2/dt^2 +F/m =0
这里F是惯性力。
而这与测地线方程是类似的。所以，我们有一个对应关系：
惯性力=====克氏符
因为爱因斯坦有另外一个等效原理：
惯性力==引力
所以，大致上，我们可以猜想，引力的场强可以用克氏符来刻画。
克氏符=引力的场强
（2）
这种偷梁换柱的方法可以给出引力场的结构，我们先不讲引力场方程到底应该是什么样子的。但对应的模仿总是思维过程中最值得注意的细节。爱因斯坦也是这样干的，因为克氏符是度量的微分，而引力场强是引力势函数的微分。所以，很明显有另外一个对应关系：
度量===引力势函数
这种微分对应微分的方式，也是天然的结构，并且很容易猜想，因为度量是一个矩阵，每个矩阵元是一个函数，一共有10个函数，所以，引力的势函数也是有10个函数，而不是以前在牛顿引力中的1个。
这样，爱因斯坦正在漫漫剥开引力场的秘密。
广义相对论是一个有结构的庭院，我们就好象游客，现在已经站到了这个古旧庭院里面的天井里了。环顾四周的红墙绿瓦和过道廊柱，游客是否还记得自己从何处来？
真可谓：庭院深深深几许？
（3）
人们看到伟大的作品总有怅然若失之感，因为伟大的作品的生命力都随着时间渐次褪色。但爱因斯坦的伟大作品有所不同，他的作品描述的是时间本身，而且，他的作品具有很朴素的道理——那就是——物理与人无关。
爱因斯坦在1905年有一个狭义相对论性原理： 在平坦的时空上，时空坐标在一个常数矩阵变换下，物理规律保持不变。
换句话说，这个常数矩阵让时空上的点做点点都一样的整体旋转，在这个旋转下，物理规律是不变的。物理上，这就是说，惯性参考系和惯性参考系之间差一个常数矩阵，在各个惯性参考系中，描述的物理规律是一样的。
1905年以后，爱因斯坦也在反思，因为他相信，惯性参考系是很特殊的，所以，他要抛弃惯性参考系。
于是，他在10年以后，有了这样的思想，也就是广义相对论性原理：
在任何参考系中，物理规律是一样的。
因为参考系其实就是一群观察者，也大致相当于鲁迅笔下的那一群看客和闲人。
所以，不同的参考系中，物理规律是一样的，这就说明，——物理其实是与人无关的。
这其实是最朴素的道理。
（4）
引力场正好可以与广义相对论性原理融合起来。时空上不同的参考系可以被认为是不同的坐标系，这些坐标系之间可以存在非常复杂的坐标变换，也就是说，时空坐标的变换可以是点点不一样的，但物理规律还是一样的。
因此，从时空的角度来看，狭义相对论是平坦时空上的一种整体的变换（lorentz变换）下出现的对称结构。而广义相对论是弯曲的时空在局部的变换下（广义坐标变换）出现的对称结构。
以下三种说法是等价的：
1。广义相对性原理
2。广义协变性原理
3。微分同胚不变性
现代的微分几何语境下，广义的坐标变换被看成是由各种不同的矢量场生成的。这些矢量场组成的李代数被称为
微分同胚群的李代数。
物理规律在广义坐标变换下不变，就是说物理规律具有微分同胚不变性。
引力场就具有这样的微分同胚不变性。
（1）
一个光滑的水平面上，有一个质量为M的一个斜面，斜面上有一个质量为m的一个小木块，问m静止释放以后，多少时间以后，m可以滑到地面上。
这个题目是有点难的，因为斜面具有水平加速度，所以斜面不是一个惯性系，但是，你可以引进一个惯性力，把这个问题放在惯性系里来求解。所以，正如在上一章已经写到，通过附加一定的惯性力，牛顿第二定律总可以写成如下形式
dx^2/dt^2 +F/m =0
这里F是惯性力。
而这与测地线方程是类似的。所以，我们有一个对应关系：
惯性力=====克氏符
因为爱因斯坦有另外一个等效原理：
惯性力==引力
所以，大致上，我们可以猜想，引力的场强可以用克氏符来刻画。
克氏符=引力的场强
（2）
这种偷梁换柱的方法可以给出引力场的结构，我们先不讲引力场方程到底应该是什么样子的。但对应的模仿总是思维过程中最值得注意的细节。爱因斯坦也是这样干的，因为克氏符是度量的微分，而引力场强是引力势函数的微分。所以，很明显有另外一个对应关系：
度量===引力势函数
这种微分对应微分的方式，也是天然的结构，并且很容易猜想，因为度量是一个矩阵，每个矩阵元是一个函数，一共有10个函数，所以，引力的势函数也是有10个函数，而不是以前在牛顿引力中的1个。
这样，爱因斯坦正在漫漫剥开引力场的秘密。
广义相对论是一个有结构的庭院，我们就好象游客，现在已经站到了这个古旧庭院里面的天井里了。环顾四周的红墙绿瓦和过道廊柱，游客是否还记得自己从何处来？
真可谓：庭院深深深几许？
（3）
人们看到伟大的作品总有怅然若失之感，因为伟大的作品的生命力都随着时间渐次褪色。但爱因斯坦的伟大作品有所不同，他的作品描述的是时间本身，而且，他的作品具有很朴素的道理——那就是——物理与人无关。
爱因斯坦在1905年有一个狭义相对论性原理： 在平坦的时空上，时空坐标在一个常数矩阵变换下，物理规律保持不变。
换句话说，这个常数矩阵让时空上的点做点点都一样的整体旋转，在这个旋转下，物理规律是不变的。物理上，这就是说，惯性参考系和惯性参考系之间差一个常数矩阵，在各个惯性参考系中，描述的物理规律是一样的。
1905年以后，爱因斯坦也在反思，因为他相信，惯性参考系是很特殊的，所以，他要抛弃惯性参考系。
于是，他在10年以后，有了这样的思想，也就是广义相对论性原理：
在任何参考系中，物理规律是一样的。
因为参考系其实就是一群观察者，也大致相当于鲁迅笔下的那一群看客和闲人。
所以，不同的参考系中，物理规律是一样的，这就说明，——物理其实是与人无关的。
这其实是最朴素的道理。
（4）
引力场正好可以与广义相对论性原理融合起来。时空上不同的参考系可以被认为是不同的坐标系，这些坐标系之间可以存在非常复杂的坐标变换，也就是说，时空坐标的变换可以是点点不一样的，但物理规律还是一样的。
因此，从时空的角度来看，狭义相对论是平坦时空上的一种整体的变换（lorentz变换）下出现的对称结构。而广义相对论是弯曲的时空在局部的变换下（广义坐标变换）出现的对称结构。
以下三种说法是等价的：
1。广义相对性原理
2。广义协变性原理
3。微分同胚不变性
现代的微分几何语境下，广义的坐标变换被看成是由各种不同的矢量场生成的。这些矢量场组成的李代数被称为
微分同胚群的李代数。
物理规律在广义坐标变换下不变，就是说物理规律具有微分同胚不变性。
引力场就具有这样的微分同胚不变性。
楼主：张轩中 时间：2009-07-29 09:37:00
第十二章 背景无关性
（1）
首先，我们要解释一下标题，背景无关性不是说一个太子党的发迹史。背景无关性的意思是说，广义相对论是唯一一个与背景无关的物理理论。
这点是很深刻的。
正如早年的大物理学家惠勒那句话说的那样： 物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动。在《相对论通俗演义》中我们已经介绍过了，这有点象股票市场里的上证指数： 上证指数告诉投资者如何操作，投资者的操作影响上证指数。
所以说，广义相对论的这样的结构使得它不需要一个固定的时空舞台，相反，时空舞台是不断受到物质运动的影响而改变的。
最近流行的说法是说，超弦理论能够给出自旋为2的无质量粒子来充当引力子，这些引力子在平坦的时空上运动，所以，超弦论理论依赖于一个固定不变的平坦的时空背景。也就是说，超弦理论不是背景无关的理论。
（2）
背景无关性使得广义相对论成为研究时空舞台本身的一门学问。爱因斯坦当年一开始并没有这样清晰的思想，他的狭义相对论给出了一个平坦的时空背景舞台，但引力场却不能被加在这个背景上。所以，爱因斯坦被逼急了，就有了我们前几章讲的一些微分几何的思考。他最后的结论是，如果坐标系的变换可以是非线性的，或者说，如果惯性系和非惯性系里的物理规律是一样的，那么引力也许可以被表达成为狭义相对论的一种延伸。
仔细一点说来，狭义相对论就是具有最大对称性的平坦时空上的线性理论。而引力，其实是最大对称性存在的障碍。引力越复杂，时空对称性就会越少（凯林场会越少）。
所以，在这个意义上，具有最大对称性的德西特的时空也可以被认为是没有引力的，而仅仅是一种“德西特式”的狭义相对论。
（3）
爱因斯坦在1914年还是在苦闷中徘徊，当时普朗克他们邀请他去柏林当院士。
爱因斯坦是一个精明的人，他答应了。
据爱因斯坦自己说，当年他选择离开苏黎士ETH去柏林，其实是因为他已经在沉闷中恋上了别人---他的表姐在柏林。
爱因斯坦回到了德国，他脑子里关于引力的图象越发的清晰了。他要把背景无关性这样的思想写成他的爱因斯坦引力方程，唯一的困难在于，他实在不太会做一些张量计算，连毕安基的恒等式他也不太写得出来。
希尔伯特因此说： 爱因斯坦为什么能得到广义相对论，因为近代的大部分数学，他都没有学过。
（1）
首先，我们要解释一下标题，背景无关性不是说一个太子党的发迹史。背景无关性的意思是说，广义相对论是唯一一个与背景无关的物理理论。
这点是很深刻的。
正如早年的大物理学家惠勒那句话说的那样： 物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动。在《相对论通俗演义》中我们已经介绍过了，这有点象股票市场里的上证指数： 上证指数告诉投资者如何操作，投资者的操作影响上证指数。
所以说，广义相对论的这样的结构使得它不需要一个固定的时空舞台，相反，时空舞台是不断受到物质运动的影响而改变的。
最近流行的说法是说，超弦理论能够给出自旋为2的无质量粒子来充当引力子，这些引力子在平坦的时空上运动，所以，超弦论理论依赖于一个固定不变的平坦的时空背景。也就是说，超弦理论不是背景无关的理论。
（2）
背景无关性使得广义相对论成为研究时空舞台本身的一门学问。爱因斯坦当年一开始并没有这样清晰的思想，他的狭义相对论给出了一个平坦的时空背景舞台，但引力场却不能被加在这个背景上。所以，爱因斯坦被逼急了，就有了我们前几章讲的一些微分几何的思考。他最后的结论是，如果坐标系的变换可以是非线性的，或者说，如果惯性系和非惯性系里的物理规律是一样的，那么引力也许可以被表达成为狭义相对论的一种延伸。
仔细一点说来，狭义相对论就是具有最大对称性的平坦时空上的线性理论。而引力，其实是最大对称性存在的障碍。引力越复杂，时空对称性就会越少（凯林场会越少）。
所以，在这个意义上，具有最大对称性的德西特的时空也可以被认为是没有引力的，而仅仅是一种“德西特式”的狭义相对论。
（3）
爱因斯坦在1914年还是在苦闷中徘徊，当时普朗克他们邀请他去柏林当院士。
爱因斯坦是一个精明的人，他答应了。
据爱因斯坦自己说，当年他选择离开苏黎士ETH去柏林，其实是因为他已经在沉闷中恋上了别人---他的表姐在柏林。
爱因斯坦回到了德国，他脑子里关于引力的图象越发的清晰了。他要把背景无关性这样的思想写成他的爱因斯坦引力方程，唯一的困难在于，他实在不太会做一些张量计算，连毕安基的恒等式他也不太写得出来。
希尔伯特因此说： 爱因斯坦为什么能得到广义相对论，因为近代的大部分数学，他都没有学过。
楼主：张轩中 时间：2009-07-30 16:43:00
第十三章 爱因斯坦转盘观察者们不是超曲面正交的
（1）
我们暂时不讲爱因斯坦引力方程到底是怎么样的，而是再来找一点相对论的感觉。
爱因斯坦的狭义相对论出来以后，广义相对论也不是没有苗头的。因为爱伦非斯特马上提出了一个转盘的悖论，在前面关于爱因斯坦转盘的那一章里，我们已经阐释过了。
这一章，其实用了一个很长的题目，主要是为了吸引读者们的眼球。正如台湾娱乐天王吴宗宪有一首歌，名字很长，叫《是不是这样的夜晚你才会这样的想起我》。
读完这一章，读者们也是不是会在这样的夜晚想起爱因斯坦呢？大家就能体会到爱因斯坦理论的精髓了。
爱因斯坦转盘上的观察者，是趴在转盘上的一群看客，数学上来说，他们就是平坦的闵氏空间上的一个类时矢量场。 这个矢量场的一个显著的特点是----它不是超曲面正交的。
（2）
在广义相对论中，一个矢量场就是在时空上的每一个点指定一个方向，就好象我们在纸面上画的电场线是一样的。但有的时候，相对论学家把矢量场和它对应的一形式场是看成同一个事物。
一形式场（one form）是非常重要的，因为在数学上，有一个很重要的微分几何引理，被称为庞加来引理，这个庞加来我们在第一章是提到过的，是一个数学奇才。但这个引理可能是张冠李戴放在他的名头下面，实际发现者另有他人。
庞加莱引理是 很广泛的，基本上包含了矢量分析的全部内容。应用到一形式场，如果一个一形式场 p满足 dp=0 ，那么，我们可以知道，局部地有p=df。这里f是一个函数，也就是说，p这个一形式场可以看成是一个函数f的微分。
这个时候，我们说，p是可积的。
换句话说，判断p是不是可积，我们要看dp是不是等于0。
（3）
已经说了，一形式场p对应的就是矢量场V，如果p是可积的，那就是等价于说，与p对应那个矢量场V就是可积的。
这个时候，直观一些地想象，就是，你可以找到一个超曲面，使得这个超曲面的法方向就是V。
但这样的情况是很少发生的，读者们需要注意的就是，可积的矢量场是非常稀少的。
并且，我们还需要知道，对于类时的矢量场来说，可积性这个条件是比超曲面正交的判断条件要强一些。换句话说，可积的，那一定是超曲面正交的，但反过来不一定对。
（4）
超曲面正交也有自己的判断公式，这被称为FROBENIUS定理。简单地说，如果一个一形式场p是超曲面的正交的，那么，我们可以知道必然有p和dp的外积是等于0的。
在数学上来说，这个时候相当于说p=gdf，其中g和f都是函数。
或换句直观的话说，这个时候相当于说p是和dp是“平行的”。
超曲面正交的意思是说，与矢量场v垂直的矢量们是可积的。对于爱因斯坦转盘观察者们来说，与这些类时的矢量场垂直的矢量场们如果可积，那正好是一个空间部分。但不幸的是，爱因斯坦转盘观察者们作为一个类时矢量场不是超曲面正交的，所以对他们来说，连空间的定义也有点问题了。
那到底什么是空间呢？
科普读者们只需要知道，空间是依赖于观察者的，不同的观察者有不同的空间。
相对论作为一个时空的理论，其基本的意思就是说，时间和空间是依赖于观察者的----但时空是绝对的，在爱因斯坦转盘这个模型里，时空还是平坦的闵氏时空。
（1）
我们暂时不讲爱因斯坦引力方程到底是怎么样的，而是再来找一点相对论的感觉。
爱因斯坦的狭义相对论出来以后，广义相对论也不是没有苗头的。因为爱伦非斯特马上提出了一个转盘的悖论，在前面关于爱因斯坦转盘的那一章里，我们已经阐释过了。
这一章，其实用了一个很长的题目，主要是为了吸引读者们的眼球。正如台湾娱乐天王吴宗宪有一首歌，名字很长，叫《是不是这样的夜晚你才会这样的想起我》。
读完这一章，读者们也是不是会在这样的夜晚想起爱因斯坦呢？大家就能体会到爱因斯坦理论的精髓了。
爱因斯坦转盘上的观察者，是趴在转盘上的一群看客，数学上来说，他们就是平坦的闵氏空间上的一个类时矢量场。 这个矢量场的一个显著的特点是----它不是超曲面正交的。
（2）
在广义相对论中，一个矢量场就是在时空上的每一个点指定一个方向，就好象我们在纸面上画的电场线是一样的。但有的时候，相对论学家把矢量场和它对应的一形式场是看成同一个事物。
一形式场（one form）是非常重要的，因为在数学上，有一个很重要的微分几何引理，被称为庞加来引理，这个庞加来我们在第一章是提到过的，是一个数学奇才。但这个引理可能是张冠李戴放在他的名头下面，实际发现者另有他人。
庞加莱引理是 很广泛的，基本上包含了矢量分析的全部内容。应用到一形式场，如果一个一形式场 p满足 dp=0 ，那么，我们可以知道，局部地有p=df。这里f是一个函数，也就是说，p这个一形式场可以看成是一个函数f的微分。
这个时候，我们说，p是可积的。
换句话说，判断p是不是可积，我们要看dp是不是等于0。
（3）
已经说了，一形式场p对应的就是矢量场V，如果p是可积的，那就是等价于说，与p对应那个矢量场V就是可积的。
这个时候，直观一些地想象，就是，你可以找到一个超曲面，使得这个超曲面的法方向就是V。
但这样的情况是很少发生的，读者们需要注意的就是，可积的矢量场是非常稀少的。
并且，我们还需要知道，对于类时的矢量场来说，可积性这个条件是比超曲面正交的判断条件要强一些。换句话说，可积的，那一定是超曲面正交的，但反过来不一定对。
（4）
超曲面正交也有自己的判断公式，这被称为FROBENIUS定理。简单地说，如果一个一形式场p是超曲面的正交的，那么，我们可以知道必然有p和dp的外积是等于0的。
在数学上来说，这个时候相当于说p=gdf，其中g和f都是函数。
或换句直观的话说，这个时候相当于说p是和dp是“平行的”。
超曲面正交的意思是说，与矢量场v垂直的矢量们是可积的。对于爱因斯坦转盘观察者们来说，与这些类时的矢量场垂直的矢量场们如果可积，那正好是一个空间部分。但不幸的是，爱因斯坦转盘观察者们作为一个类时矢量场不是超曲面正交的，所以对他们来说，连空间的定义也有点问题了。
那到底什么是空间呢？
科普读者们只需要知道，空间是依赖于观察者的，不同的观察者有不同的空间。
相对论作为一个时空的理论，其基本的意思就是说，时间和空间是依赖于观察者的----但时空是绝对的，在爱因斯坦转盘这个模型里，时空还是平坦的闵氏时空。
楼主：张轩中 时间：2009-07-30 16:44:00
第十三章 爱因斯坦转盘观察者们不是超曲面正交的
（1）
我们暂时不讲爱因斯坦引力方程到底是怎么样的，而是再来找一点相对论的感觉。
爱因斯坦的狭义相对论出来以后，广义相对论也不是没有苗头的。因为爱伦非斯特马上提出了一个转盘的悖论，在前面关于爱因斯坦转盘的那一章里，我们已经阐释过了。
这一章，其实用了一个很长的题目，主要是为了吸引读者们的眼球。正如台湾娱乐天王吴宗宪有一首歌，名字很长，叫《是不是这样的夜晚你才会这样的想起我》。
读完这一章，读者们也是不是会在这样的夜晚想起爱因斯坦呢？大家就能体会到爱因斯坦理论的精髓了。
爱因斯坦转盘上的观察者，是趴在转盘上的一群看客，数学上来说，他们就是平坦的闵氏空间上的一个类时矢量场。 这个矢量场的一个显著的特点是----它不是超曲面正交的。
（2）
在广义相对论中，一个矢量场就是在时空上的每一个点指定一个方向，就好象我们在纸面上画的电场线是一样的。但有的时候，相对论学家把矢量场和它对应的一形式场是看成同一个事物。
一形式场（one form）是非常重要的，因为在数学上，有一个很重要的微分几何引理，被称为庞加来引理，这个庞加来我们在第一章是提到过的，是一个数学奇才。但这个引理可能是张冠李戴放在他的名头下面，实际发现者另有他人。
庞加莱引理是 很广泛的，基本上包含了矢量分析的全部内容。应用到一形式场，如果一个一形式场 p满足 dp=0 ，那么，我们可以知道，局部地有p=df。这里f是一个函数，也就是说，p这个一形式场可以看成是一个函数f的微分。
这个时候，我们说，p是可积的。
换句话说，判断p是不是可积，我们要看dp是不是等于0。
（3）
已经说了，一形式场p对应的就是矢量场V，如果p是可积的，那就是等价于说，与p对应那个矢量场V就是可积的。
这个时候，直观一些地想象，就是，你可以找到一个超曲面，使得这个超曲面的法方向就是V。
但这样的情况是很少发生的，读者们需要注意的就是，可积的矢量场是非常稀少的。
并且，我们还需要知道，对于类时的矢量场来说，可积性这个条件是比超曲面正交的判断条件要强一些。换句话说，可积的，那一定是超曲面正交的，但反过来不一定对。
（4）
超曲面正交也有自己的判断公式，这被称为FROBENIUS定理。简单地说，如果一个一形式场p是超曲面的正交的，那么，我们可以知道必然有p和dp的外积是等于0的。
在数学上来说，这个时候相当于说p=gdf，其中g和f都是函数。
或换句直观的话说，这个时候相当于说p是和dp是“平行的”。
超曲面正交的意思是说，与矢量场v垂直的矢量们是可积的。对于爱因斯坦转盘观察者们来说，与这些类时的矢量场垂直的矢量场们如果可积，那正好是一个空间部分。但不幸的是，爱因斯坦转盘观察者们作为一个类时矢量场不是超曲面正交的，所以对他们来说，连空间的定义也有点问题了。
那到底什么是空间呢？
科普读者们只需要知道，空间是依赖于观察者的，不同的观察者有不同的空间。
相对论作为一个时空的理论，其基本的意思就是说，时间和空间是依赖于观察者的----但时空是绝对的，在爱因斯坦转盘这个模型里，时空还是平坦的闵氏时空。
（1）
我们暂时不讲爱因斯坦引力方程到底是怎么样的，而是再来找一点相对论的感觉。
爱因斯坦的狭义相对论出来以后，广义相对论也不是没有苗头的。因为爱伦非斯特马上提出了一个转盘的悖论，在前面关于爱因斯坦转盘的那一章里，我们已经阐释过了。
这一章，其实用了一个很长的题目，主要是为了吸引读者们的眼球。正如台湾娱乐天王吴宗宪有一首歌，名字很长，叫《是不是这样的夜晚你才会这样的想起我》。
读完这一章，读者们也是不是会在这样的夜晚想起爱因斯坦呢？大家就能体会到爱因斯坦理论的精髓了。
爱因斯坦转盘上的观察者，是趴在转盘上的一群看客，数学上来说，他们就是平坦的闵氏空间上的一个类时矢量场。 这个矢量场的一个显著的特点是----它不是超曲面正交的。
（2）
在广义相对论中，一个矢量场就是在时空上的每一个点指定一个方向，就好象我们在纸面上画的电场线是一样的。但有的时候，相对论学家把矢量场和它对应的一形式场是看成同一个事物。
一形式场（one form）是非常重要的，因为在数学上，有一个很重要的微分几何引理，被称为庞加来引理，这个庞加来我们在第一章是提到过的，是一个数学奇才。但这个引理可能是张冠李戴放在他的名头下面，实际发现者另有他人。
庞加莱引理是 很广泛的，基本上包含了矢量分析的全部内容。应用到一形式场，如果一个一形式场 p满足 dp=0 ，那么，我们可以知道，局部地有p=df。这里f是一个函数，也就是说，p这个一形式场可以看成是一个函数f的微分。
这个时候，我们说，p是可积的。
换句话说，判断p是不是可积，我们要看dp是不是等于0。
（3）
已经说了，一形式场p对应的就是矢量场V，如果p是可积的，那就是等价于说，与p对应那个矢量场V就是可积的。
这个时候，直观一些地想象，就是，你可以找到一个超曲面，使得这个超曲面的法方向就是V。
但这样的情况是很少发生的，读者们需要注意的就是，可积的矢量场是非常稀少的。
并且，我们还需要知道，对于类时的矢量场来说，可积性这个条件是比超曲面正交的判断条件要强一些。换句话说，可积的，那一定是超曲面正交的，但反过来不一定对。
（4）
超曲面正交也有自己的判断公式，这被称为FROBENIUS定理。简单地说，如果一个一形式场p是超曲面的正交的，那么，我们可以知道必然有p和dp的外积是等于0的。
在数学上来说，这个时候相当于说p=gdf，其中g和f都是函数。
或换句直观的话说，这个时候相当于说p是和dp是“平行的”。
超曲面正交的意思是说，与矢量场v垂直的矢量们是可积的。对于爱因斯坦转盘观察者们来说，与这些类时的矢量场垂直的矢量场们如果可积，那正好是一个空间部分。但不幸的是，爱因斯坦转盘观察者们作为一个类时矢量场不是超曲面正交的，所以对他们来说，连空间的定义也有点问题了。
那到底什么是空间呢？
科普读者们只需要知道，空间是依赖于观察者的，不同的观察者有不同的空间。
相对论作为一个时空的理论，其基本的意思就是说，时间和空间是依赖于观察者的----但时空是绝对的，在爱因斯坦转盘这个模型里，时空还是平坦的闵氏时空。
楼主：张轩中 时间：2009-07-31 16:55:00
楼主：张轩中 时间：2009-07-31 16:55:00
《相对论性黑洞》第十四章
第十四章 矢量场和测地线
（1）
在上一章，已经写到，观察者其实是归一化的类时矢量场。并且我们也可以看到，随着爱因斯坦转盘一起转动的观察者们，他们作为一个矢量场不是超曲面正交的。 这就好象在高中物理里，对于一个电场，我们往往可以找到一个电场的等势面----电场线和等势面是正交的，但在相对论中，这样的情景很少发生。比如以后会看到在著名的克尔黑洞中，我们也应该知道，那里有稳态观察者们也不是超曲面正交的，所以，如果在波叶--林奎斯特坐标系中，你可以看到，kerr时空的度量也包含有时间和空间的交叉项。
更深刻的说法就是，在广义相对论中，时空的3+1分解是任意的。
在本书的写作过程中，可能有的读者会觉得此书比较数学化，显得没有物理直观。其实本书是刻意地模仿31岁的霍金写的那本《大尺度时空结构》的那种数学味道。读者们读在这里也基本可以看出，本书的一个写作的主题就是通过研究时空中的矢量场来研究时空的性质。
显然，如果你要问自己，什么是黑洞？答案就是，黑洞是类时矢量场的归宿。
矢量场走到黑洞那里，中断了。
（2）
在微分几何中，有一个很重要的结论，就是给定时空上的一个点，再给定在这一点的一个矢量，我们可以得到唯一的一条测地线。广义相对论中，这样的情况就是说，测地线是可积的。
类时的测地线是时空中最长的线，也就是说，如果一个人在时空中不受到力的作用，那么，这个人将在时空中走出一条类时的测地线。这个测地线的长度就代表这个人的固有的寿命。换句话说，这是最长寿的一个情景。所以，一个在太空中人，比在地球上磕磕碰碰的人要长寿一些，因为在太空中，这个人的世界线是测地线，而在地球上，因为各种碰撞，使得一个人的世界线不是测地线。
如果单纯从广义相对论的角度来看问题，测地线是最简单的结构，因为它是可积的。我们也已经知道等效原理，知道一个走测地线的人他本身是一个局部的惯性系。
（3）
但是，在时空中，可以有很多条测地线，因为时空是4维的，而测地线是1维的，所以，测地线之间可以相互交叉，相互缠绕。
有的测地线会有相同的起点和终点，就好象地球仪上的经线那样，起源与南极，都终结在北极。这就是说，在时空中，测地线相互之间是永远不会平行的。这被称为“测地偏离方程”。
“测地偏离方程”告诉我们，爱因斯坦电梯如果不是无限小的一个电梯，那么，你在电梯里放2个苹果，会发现苹果之间的距离会发生变化。这个时候，你就会知道，其实，爱因斯坦电梯不是一个惯性系，而是在引力场中。
“测地偏离方程”起源就在于，时空的黎曼张量不是零，也就是说，时空具有非平坦的度量。
一般科普书上讲的，时空是弯曲的意思，就是说，时空具有非零的黎曼张量。
（4）
在动力系统中，相空间的矢量场有时候会走到一个不动点。在高维的情况下，矢量场会走进一个极限环或者走向一个奇怪吸引子，在混沌的系统中，有时候可以看到落伦次的蝴蝶。
在广义相对论中，矢量场也可能会有这样的结构。我们知道，光线是可以被看成是类光矢量的积分曲线的，所以，如果你看到一束光线穿过一个凸透镜，你会发现光线在空间上会被汇聚到一个焦点之上。引力场也有同样的效果。
在这个意义上，类光测地线在时空的几何分析中会有极端重要的作用。
凸透镜成象在任何照相机镜头中都有应用，很好的镜头是需要做象差分析的。相对论中也是如此
第十四章 矢量场和测地线
（1）
在上一章，已经写到，观察者其实是归一化的类时矢量场。并且我们也可以看到，随着爱因斯坦转盘一起转动的观察者们，他们作为一个矢量场不是超曲面正交的。 这就好象在高中物理里，对于一个电场，我们往往可以找到一个电场的等势面----电场线和等势面是正交的，但在相对论中，这样的情景很少发生。比如以后会看到在著名的克尔黑洞中，我们也应该知道，那里有稳态观察者们也不是超曲面正交的，所以，如果在波叶--林奎斯特坐标系中，你可以看到，kerr时空的度量也包含有时间和空间的交叉项。
更深刻的说法就是，在广义相对论中，时空的3+1分解是任意的。
在本书的写作过程中，可能有的读者会觉得此书比较数学化，显得没有物理直观。其实本书是刻意地模仿31岁的霍金写的那本《大尺度时空结构》的那种数学味道。读者们读在这里也基本可以看出，本书的一个写作的主题就是通过研究时空中的矢量场来研究时空的性质。
显然，如果你要问自己，什么是黑洞？答案就是，黑洞是类时矢量场的归宿。
矢量场走到黑洞那里，中断了。
（2）
在微分几何中，有一个很重要的结论，就是给定时空上的一个点，再给定在这一点的一个矢量，我们可以得到唯一的一条测地线。广义相对论中，这样的情况就是说，测地线是可积的。
类时的测地线是时空中最长的线，也就是说，如果一个人在时空中不受到力的作用，那么，这个人将在时空中走出一条类时的测地线。这个测地线的长度就代表这个人的固有的寿命。换句话说，这是最长寿的一个情景。所以，一个在太空中人，比在地球上磕磕碰碰的人要长寿一些，因为在太空中，这个人的世界线是测地线，而在地球上，因为各种碰撞，使得一个人的世界线不是测地线。
如果单纯从广义相对论的角度来看问题，测地线是最简单的结构，因为它是可积的。我们也已经知道等效原理，知道一个走测地线的人他本身是一个局部的惯性系。
（3）
但是，在时空中，可以有很多条测地线，因为时空是4维的，而测地线是1维的，所以，测地线之间可以相互交叉，相互缠绕。
有的测地线会有相同的起点和终点，就好象地球仪上的经线那样，起源与南极，都终结在北极。这就是说，在时空中，测地线相互之间是永远不会平行的。这被称为“测地偏离方程”。
“测地偏离方程”告诉我们，爱因斯坦电梯如果不是无限小的一个电梯，那么，你在电梯里放2个苹果，会发现苹果之间的距离会发生变化。这个时候，你就会知道，其实，爱因斯坦电梯不是一个惯性系，而是在引力场中。
“测地偏离方程”起源就在于，时空的黎曼张量不是零，也就是说，时空具有非平坦的度量。
一般科普书上讲的，时空是弯曲的意思，就是说，时空具有非零的黎曼张量。
（4）
在动力系统中，相空间的矢量场有时候会走到一个不动点。在高维的情况下，矢量场会走进一个极限环或者走向一个奇怪吸引子，在混沌的系统中，有时候可以看到落伦次的蝴蝶。
在广义相对论中，矢量场也可能会有这样的结构。我们知道，光线是可以被看成是类光矢量的积分曲线的，所以，如果你看到一束光线穿过一个凸透镜，你会发现光线在空间上会被汇聚到一个焦点之上。引力场也有同样的效果。
在这个意义上，类光测地线在时空的几何分析中会有极端重要的作用。
凸透镜成象在任何照相机镜头中都有应用，很好的镜头是需要做象差分析的。相对论中也是如此
楼主：张轩中 时间：2009-08-03 09:30:00
第十五章 协变导数
（1）
在上一节已经看到，类时测地线是两点之间最长的线，这是有物理意义的---这也是相对论中关于时间和寿命讨论的基础。
2008年在科普出版的历史上，又发生了一件大事，那就是湖南科技出版社在出版了彭罗斯的《通向实在之道路》。这本书是学习相对论的一本极好的佳作。彭罗斯在书中也谈到了在微分流形上求导数的方法。
为什么要求导数呢？
这可能是一个很简单的问题，因为有变化的东西就要有导数，因此这实在是天然的事情。对于测地线来说，只有通过求协变导数，我们才可以定义出测地线来。
求导数在经济学上也有万分重要的作用，一般的数理经济学讲究边际效应，其实也是一个偏导数。因此，在以下的章节，作者默认读者是懂得什么是偏导数的。
而且，很重要的一点是，2个偏导数的求导秩序是可以交换的，这是很深刻的数学。
（2）
在任何坐标系中，我们有天然的对坐标的偏导数，这个导数是不需要流形上的其他结构的。只要有坐标系，就有坐标偏导数。
但是，大家已经看到，流形上的坐标系是可以任意变换的（微分同胚变换，或者说广义坐标变换），这样的任意变换会导致坐标偏导数也是变的。
同时，大家也已经知道，物理是与人无关的（广义协变性原理，或者说广义相对性原理），所以，在一个坐标系中写出的物理规律，要在坐标变换下“保持不变”。在这里，“保持不变”的意思是说，方程的两边做同样的变换，比如方程两边同样乘上了一个数8，那么，两边约掉8以后，方程还是不变的。
这种在坐标变换下“保持不变”的方程就是我们说的“物理与人无关”。
（3）
因此，在一个坐标系下，你随便写一个方程。然后你可以问自己，这个方程所描述的物理是与人无关的吗？
这就有点困难了。因为很多外行人是不太会写出与人无关的方程的。所以，那些与人有关的方程都是极端丑陋的。
但是，如果你采用了彭罗斯的抽象指标记号，你就可以很快的写出一些与人无关的方程。这些方程就是一些很自然的张量等式，这些等式的左右两边具有同样的张量类型。彭罗斯的抽象指标记号使得你可以完全不需要坐标系就可以写出一些物理规律。
这个时候，相对论学家很少使用那个与坐标有关的坐标偏导数，而是使用一个叫做“协变导数”的求导方式，这个求导数的方式使得你不用担心在坐标系变换了以后方程会发生事故。用了协变导数，你就会发现，测地线其实就是它的四加速度正比于四速度的那种曲线。而四加速度就是四速度沿着自己的协变导数。---这话有点绕，但是非常直观的。---我们知道，如果加速度沿着速度方向，速度才不会改变方向----测地线正是这个意思。
协变导数是微分流形上附加的一种结构。这种结构是牛顿-莱布尼兹微分的升华，有了它，物理规律可以写成在任何坐标系下都成立的样子。
如果在要特定坐标系下来说什么是协变导数，一般来说，对一个坐标方向求另外一个坐标方向的协变导数，你就得到了克氏符。
（1）
在上一节已经看到，类时测地线是两点之间最长的线，这是有物理意义的---这也是相对论中关于时间和寿命讨论的基础。
2008年在科普出版的历史上，又发生了一件大事，那就是湖南科技出版社在出版了彭罗斯的《通向实在之道路》。这本书是学习相对论的一本极好的佳作。彭罗斯在书中也谈到了在微分流形上求导数的方法。
为什么要求导数呢？
这可能是一个很简单的问题，因为有变化的东西就要有导数，因此这实在是天然的事情。对于测地线来说，只有通过求协变导数，我们才可以定义出测地线来。
求导数在经济学上也有万分重要的作用，一般的数理经济学讲究边际效应，其实也是一个偏导数。因此，在以下的章节，作者默认读者是懂得什么是偏导数的。
而且，很重要的一点是，2个偏导数的求导秩序是可以交换的，这是很深刻的数学。
（2）
在任何坐标系中，我们有天然的对坐标的偏导数，这个导数是不需要流形上的其他结构的。只要有坐标系，就有坐标偏导数。
但是，大家已经看到，流形上的坐标系是可以任意变换的（微分同胚变换，或者说广义坐标变换），这样的任意变换会导致坐标偏导数也是变的。
同时，大家也已经知道，物理是与人无关的（广义协变性原理，或者说广义相对性原理），所以，在一个坐标系中写出的物理规律，要在坐标变换下“保持不变”。在这里，“保持不变”的意思是说，方程的两边做同样的变换，比如方程两边同样乘上了一个数8，那么，两边约掉8以后，方程还是不变的。
这种在坐标变换下“保持不变”的方程就是我们说的“物理与人无关”。
（3）
因此，在一个坐标系下，你随便写一个方程。然后你可以问自己，这个方程所描述的物理是与人无关的吗？
这就有点困难了。因为很多外行人是不太会写出与人无关的方程的。所以，那些与人有关的方程都是极端丑陋的。
但是，如果你采用了彭罗斯的抽象指标记号，你就可以很快的写出一些与人无关的方程。这些方程就是一些很自然的张量等式，这些等式的左右两边具有同样的张量类型。彭罗斯的抽象指标记号使得你可以完全不需要坐标系就可以写出一些物理规律。
这个时候，相对论学家很少使用那个与坐标有关的坐标偏导数，而是使用一个叫做“协变导数”的求导方式，这个求导数的方式使得你不用担心在坐标系变换了以后方程会发生事故。用了协变导数，你就会发现，测地线其实就是它的四加速度正比于四速度的那种曲线。而四加速度就是四速度沿着自己的协变导数。---这话有点绕，但是非常直观的。---我们知道，如果加速度沿着速度方向，速度才不会改变方向----测地线正是这个意思。
协变导数是微分流形上附加的一种结构。这种结构是牛顿-莱布尼兹微分的升华，有了它，物理规律可以写成在任何坐标系下都成立的样子。
如果在要特定坐标系下来说什么是协变导数，一般来说，对一个坐标方向求另外一个坐标方向的协变导数，你就得到了克氏符。
楼主：张轩中 时间：2009-08-04 10:02:00
第十六章 类光测地线汇
（1）
君不见，黄河之水天上来，奔流到海不复回。
浪奔，浪流，万里涛涛江水永不休淘尽了世间事混作滔滔一片潮流。
时间究竟是什么？
在我很小的时候，也许是在1997年附近，在新华书店买到一本书，叫《时间的观念》，此书的作者是吴国盛。此书里面有一大堆哲学家的名字，看得当时的我极端头晕。说实话，我没有看懂，也许是那时候我还是一个高中一年级的学生，看一个大硕士的书，有点囫囵吞枣。从赫拉克利特，奥古斯丁，到柏格森，怀特海，麦克塔加，胡塞尔，海德格尔，这些咋呼的名字让人记忆犹新。
现在，当我们读了相对论以后，才对时间有了更清晰的认识。时间其实并不存在。我们通常意义上的时间，其实就是一组观察者们自己的世界线。观察者们一般按照自己的世界线来给时空做3+1分解，所以当这些观察者作为一个类时矢量场不是超曲面正交的时候，时间和空间一般会有交叉项。
每一个观察者都有自己的时间，这叫固有时间，这是真实的时间。这个固有时间就是观察者总觉得自己是静止的，然后测量出来的时间。所以，只有固有时间才具有几何意义，它就是世界线的长度。
我们在前面已经说了，类时测地线是时空中两点之间最长的线。这意思就是说，在这2点之间，走测地线的人老得最快。 越偏离测地线，人就越年轻。这个结论在引力场中也可以应用起来，比如在一个中心引力场中，半径越远的地方引力越小，所以无限远处可以认为是平坦的，因此，如果以无限远处的人作一个参考，那么，半径越小地方的人他的钟就越慢。根据这个原理，你可以知道，在上海东方明珠塔顶的人老的比地面上的人要快。
（2）
以上可以看到，类时测地线汇在广义相对论中是有很明确的物理意义。但是，人们也可以考虑以光速运动的粒子们在时空中走出的类光测地线汇————在经典广义相对论中，这才是真正的主流。（记得李淼老师的博客取名字叫惯性参考系，当年我帮一个相对论小组申请了一个博客，取名就叫“类光测地线汇”）
类光测地线汇也是矢量场，只不过现在每一点的矢量都是类光的。
好了，这个时候我们可以把最精彩的内容提前到这里再讲了。
1955年到1958年，来自新西兰的 kerr是 剑桥大学的研究生。 他的导师是一个粒子物理学家，对相对论毫无兴趣，所以，kerr对相对论的兴趣在暗处萌生，宛如一个黑暗中独自发芽的种子，亦有一个偷情的快感。
在研究生的最后一年，kerr去伦敦参加一个相对论的讨论班。
伦敦国王学院，当时至少有3个相对论专家在那里翩翩起舞，可以说了歌舞当年第一流，赢得姓名满青楼。他们的名字是，邦迪，trautman，ray sachs 。如果可以，我们可以称之为国王学院3剑客。这些人就是专门做经典广义相对论做到要吐的那种，能做的基本都做了，剩下的基本就是没有想法的。kerr到了国王学院，看到他们都在讨论一个事情，这个事情说起来很重要，那是一个苏联人petrov的工作，就是外尔张量的代数分类，这分为四种的。
正所谓外行看热闹，内行看门道，kerr也算是自学成材的一个高手，马上也搞petrov。言必称 type N ， type D， 这 就是1954年petrov启动的新一轮相对论小牛市。行情在绝望中产生，大家要么研究外尔张量的渐远性质，要么研究引力辐射。 就是不搞黑洞，当时，黑洞还没有出名呢，历史的层峦叠嶂，kerr 在1958年 也不晓得自己将何去何从。后来 goldberg也加入了他们。于是到了1962年，出了一件大的成果，这个导致后来kerr也出了大成绩。那就是 1962年的 goldberg -sachs 定理：
一个真空度量是代数特殊的，假如它有一组无剪切的 类光测地线汇
这个玩意就是把时空的外尔曲率的代数性质和 光线的几何性质联系在一起，当然是优美的。 因为我们在前面已经把相对论比做凸透镜了，相对论本来就是几何光学。细节我们以后再慢慢再讲，这是一个前奏。
（1）
君不见，黄河之水天上来，奔流到海不复回。
浪奔，浪流，万里涛涛江水永不休淘尽了世间事混作滔滔一片潮流。
时间究竟是什么？
在我很小的时候，也许是在1997年附近，在新华书店买到一本书，叫《时间的观念》，此书的作者是吴国盛。此书里面有一大堆哲学家的名字，看得当时的我极端头晕。说实话，我没有看懂，也许是那时候我还是一个高中一年级的学生，看一个大硕士的书，有点囫囵吞枣。从赫拉克利特，奥古斯丁，到柏格森，怀特海，麦克塔加，胡塞尔，海德格尔，这些咋呼的名字让人记忆犹新。
现在，当我们读了相对论以后，才对时间有了更清晰的认识。时间其实并不存在。我们通常意义上的时间，其实就是一组观察者们自己的世界线。观察者们一般按照自己的世界线来给时空做3+1分解，所以当这些观察者作为一个类时矢量场不是超曲面正交的时候，时间和空间一般会有交叉项。
每一个观察者都有自己的时间，这叫固有时间，这是真实的时间。这个固有时间就是观察者总觉得自己是静止的，然后测量出来的时间。所以，只有固有时间才具有几何意义，它就是世界线的长度。
我们在前面已经说了，类时测地线是时空中两点之间最长的线。这意思就是说，在这2点之间，走测地线的人老得最快。 越偏离测地线，人就越年轻。这个结论在引力场中也可以应用起来，比如在一个中心引力场中，半径越远的地方引力越小，所以无限远处可以认为是平坦的，因此，如果以无限远处的人作一个参考，那么，半径越小地方的人他的钟就越慢。根据这个原理，你可以知道，在上海东方明珠塔顶的人老的比地面上的人要快。
（2）
以上可以看到，类时测地线汇在广义相对论中是有很明确的物理意义。但是，人们也可以考虑以光速运动的粒子们在时空中走出的类光测地线汇————在经典广义相对论中，这才是真正的主流。（记得李淼老师的博客取名字叫惯性参考系，当年我帮一个相对论小组申请了一个博客，取名就叫“类光测地线汇”）
类光测地线汇也是矢量场，只不过现在每一点的矢量都是类光的。
好了，这个时候我们可以把最精彩的内容提前到这里再讲了。
1955年到1958年，来自新西兰的 kerr是 剑桥大学的研究生。 他的导师是一个粒子物理学家，对相对论毫无兴趣，所以，kerr对相对论的兴趣在暗处萌生，宛如一个黑暗中独自发芽的种子，亦有一个偷情的快感。
在研究生的最后一年，kerr去伦敦参加一个相对论的讨论班。
伦敦国王学院，当时至少有3个相对论专家在那里翩翩起舞，可以说了歌舞当年第一流，赢得姓名满青楼。他们的名字是，邦迪，trautman，ray sachs 。如果可以，我们可以称之为国王学院3剑客。这些人就是专门做经典广义相对论做到要吐的那种，能做的基本都做了，剩下的基本就是没有想法的。kerr到了国王学院，看到他们都在讨论一个事情，这个事情说起来很重要，那是一个苏联人petrov的工作，就是外尔张量的代数分类，这分为四种的。
正所谓外行看热闹，内行看门道，kerr也算是自学成材的一个高手，马上也搞petrov。言必称 type N ， type D， 这 就是1954年petrov启动的新一轮相对论小牛市。行情在绝望中产生，大家要么研究外尔张量的渐远性质，要么研究引力辐射。 就是不搞黑洞，当时，黑洞还没有出名呢，历史的层峦叠嶂，kerr 在1958年 也不晓得自己将何去何从。后来 goldberg也加入了他们。于是到了1962年，出了一件大的成果，这个导致后来kerr也出了大成绩。那就是 1962年的 goldberg -sachs 定理：
一个真空度量是代数特殊的，假如它有一组无剪切的 类光测地线汇
这个玩意就是把时空的外尔曲率的代数性质和 光线的几何性质联系在一起，当然是优美的。 因为我们在前面已经把相对论比做凸透镜了，相对论本来就是几何光学。细节我们以后再慢慢再讲，这是一个前奏。
楼主：张轩中 时间：2009-08-05 12:07:00
第十七章 凯林--曲率方程
（1）
前面已经讲到，引力场是时空对称性存在的障碍。这其实是蛮现代的观点，本书也是为了走向最现代的相对论---kerr时空，所以在叙述方式上倾向于几何化。所以这样写很可能会引起读者们的恐惧感，但是，什么是小资？有一种观点是，小资的包里至少有3样东西：《文化苦旅》，《时间简史》，避孕套。
读懂本书的人，很可能就可以读明白《时间简史》，从而成为一个小资。
转到正题，时空的对称性的基本意思就是说，时空存在 凯林矢量场。引力场越简单，相互独立的凯林矢量场就会越多，时空的对称性就会越高。比如在完全没有引力的平坦时空上，就有10个凯林矢量场，而在弯曲的kerr时空上，只有2个凯林矢量场。
（2）
首先，什么是凯林矢量场？这个数学定义是非常清晰的，在物理上的意思是说，如果你的世界线是沿着凯林矢量场的方向，那么你会发现时空是稳态的。 正如在一个电荷产生的电场中，如果你沿着和电荷保持相对静止的世界线，你不会看到磁场，而如果你和这个电荷有相对速度或者加速度，那么你不可能只看到静电场，你也会感受到磁场。稳态观察者的意思也是差不多的，大致上要求你要和引力源之间保持静止不变的距离。 稳态情景在物理学以外的模型中也是经常出现的，比如在一个飞机场中，进去和出来的人在一个时间内往往是保持基本相等，从而在飞机场内部的人的数目基本上是稳态的。
凯林矢量场在相对论是非常重要的，因为它是对称性的体现。用它才可以构造出一些粒子运动的世界线上的守恒量来。一般来说，一个测地线的切矢量和凯林矢量场的内乘积是一个沿着测地线不变的守恒量，这有时候被称为“凯林荷”，不过，也许更准确的名字应该是“测地-凯林荷”。细节我们暂时不讲。
（3）
接下来就是要谈谈是什么曲率？
在前面我们已经写到，关于曲率的研究，“高斯在外面，黎曼在里面”---结果有的人跟贴说“所以高斯是黎曼的父亲”。
黎曼的曲率观念是非常深邃的，他是做到了真正的“识得庐山真面目，只缘身在此山中”的第一人。
我们在前面已经讲过微积分数学里的一个巨大内涵——两个坐标的偏导数是可以相互交换的。但是，两个协变导数是不能相互交换的，如果相互交换，交换前后会相差一个东西——黎曼的曲率张量。
正如在量子力学中，我们都知道，动量算子和坐标算子的相互交换会差一个常数ih。在广义相对论中，曲率张量也是不对易的产物。细节我们暂时不讲，有兴趣的读者可以参考任何一本关于微分几何的书。读者们只需要知道，爱因斯坦当时也是不明白什么是黎曼的曲率张量，但他愿意化2年的时间来搞懂这个玩意，他的相对论中有一个所谓的爱因斯坦张量，就是从黎曼那里发展出来的。
（4）
凯林--曲率方程是把 凯林矢量场和黎曼曲率联系起来的方程。
DD Y= R Y
其中D是我们在上一章讲到过的协变导数，而R则是黎曼曲率张量，Y就是凯林矢量场。这个方程的来历有2个方面，一个是描述Y的凯林方程，另外一个来历就是黎曼曲率张量R的定义以及它所满足的毕安基恒等式。如果在坐标系中来看，这是4个方程组成的一个很复杂的偏微分方程组。
（1）
前面已经讲到，引力场是时空对称性存在的障碍。这其实是蛮现代的观点，本书也是为了走向最现代的相对论---kerr时空，所以在叙述方式上倾向于几何化。所以这样写很可能会引起读者们的恐惧感，但是，什么是小资？有一种观点是，小资的包里至少有3样东西：《文化苦旅》，《时间简史》，避孕套。
读懂本书的人，很可能就可以读明白《时间简史》，从而成为一个小资。
转到正题，时空的对称性的基本意思就是说，时空存在 凯林矢量场。引力场越简单，相互独立的凯林矢量场就会越多，时空的对称性就会越高。比如在完全没有引力的平坦时空上，就有10个凯林矢量场，而在弯曲的kerr时空上，只有2个凯林矢量场。
（2）
首先，什么是凯林矢量场？这个数学定义是非常清晰的，在物理上的意思是说，如果你的世界线是沿着凯林矢量场的方向，那么你会发现时空是稳态的。 正如在一个电荷产生的电场中，如果你沿着和电荷保持相对静止的世界线，你不会看到磁场，而如果你和这个电荷有相对速度或者加速度，那么你不可能只看到静电场，你也会感受到磁场。稳态观察者的意思也是差不多的，大致上要求你要和引力源之间保持静止不变的距离。 稳态情景在物理学以外的模型中也是经常出现的，比如在一个飞机场中，进去和出来的人在一个时间内往往是保持基本相等，从而在飞机场内部的人的数目基本上是稳态的。
凯林矢量场在相对论是非常重要的，因为它是对称性的体现。用它才可以构造出一些粒子运动的世界线上的守恒量来。一般来说，一个测地线的切矢量和凯林矢量场的内乘积是一个沿着测地线不变的守恒量，这有时候被称为“凯林荷”，不过，也许更准确的名字应该是“测地-凯林荷”。细节我们暂时不讲。
（3）
接下来就是要谈谈是什么曲率？
在前面我们已经写到，关于曲率的研究，“高斯在外面，黎曼在里面”---结果有的人跟贴说“所以高斯是黎曼的父亲”。
黎曼的曲率观念是非常深邃的，他是做到了真正的“识得庐山真面目，只缘身在此山中”的第一人。
我们在前面已经讲过微积分数学里的一个巨大内涵——两个坐标的偏导数是可以相互交换的。但是，两个协变导数是不能相互交换的，如果相互交换，交换前后会相差一个东西——黎曼的曲率张量。
正如在量子力学中，我们都知道，动量算子和坐标算子的相互交换会差一个常数ih。在广义相对论中，曲率张量也是不对易的产物。细节我们暂时不讲，有兴趣的读者可以参考任何一本关于微分几何的书。读者们只需要知道，爱因斯坦当时也是不明白什么是黎曼的曲率张量，但他愿意化2年的时间来搞懂这个玩意，他的相对论中有一个所谓的爱因斯坦张量，就是从黎曼那里发展出来的。
（4）
凯林--曲率方程是把 凯林矢量场和黎曼曲率联系起来的方程。
DD Y= R Y
其中D是我们在上一章讲到过的协变导数，而R则是黎曼曲率张量，Y就是凯林矢量场。这个方程的来历有2个方面，一个是描述Y的凯林方程，另外一个来历就是黎曼曲率张量R的定义以及它所满足的毕安基恒等式。如果在坐标系中来看，这是4个方程组成的一个很复杂的偏微分方程组。
作者：aspirin001 时间：2009-08-06 00:15:00
楼主：张轩中 时间：2009-08-06 10:33:00
楼主：张轩中 时间：2009-08-10 09:20:00
《相对论性黑洞》第十八章
第十八章 稳态黑洞的膜
（1）
在上一章，我们已经写到凯林-曲率方程，这个方程是2阶的，所以要在一点确定一个凯林矢量场的积分曲线，需要知道在改点的矢量以及在这一点的协变导数。这个方程在黑洞几何学里是非常重要的，尤其是在著名的芝加哥大学物理系的沃德写的《弯曲时空中的量子场论和黑洞热力学》中就有提到。沃德在1984年出版的一本《广义相对论》，被认为是一本名著，按照中国出版业目前的发展猛烈态势，估计也许此书不久也能在中国大陆看到了。
在黑洞几何学的研究中，有2种矢量场是很重要而且必须要掌握的，一种就是测地线对应的矢量场，另外一个就是凯林场。在这一章，我们来讲一下如何从凯林场构造出稳态黑洞的膜来。
先来谈谈膜。
在黑洞物理中，有一层膜，是单向性的，也叫“单向膜”。在经典广义相对论中，这样的“单向膜”是这样的——物质只能通过膜进入到黑洞内部，而不能从黑洞内部出来（也就是说，光锥倒向黑洞北部）。几乎所有的黑洞都有这样一层膜，但这不是一个简单的问题，伟大的相对论学家彭罗斯也不能证明为什么几乎所有黑洞都要有这样一层膜，于是他提出了这样的一个猜想，被称为彭罗斯猜想或者宇宙监督猜测：所有黑洞都有一层膜。这在数学上是很困难的，一般老百姓不懂数学，而且是误读了彭罗斯猜想，有的人甚至把这个想象成每个女人都有一层处女膜。这个问题同样是很难证明。
（2）
黑洞到底是什么呢？ 黑洞的维度是多少？
这其实需要一个比较清晰的定义，首先，经典黑洞是时空中的一个4维区域，这个区域有一个特点，那就是从这个区域发出的光线不能到达类光无限远。这是一个整体的定义，不需要什么微积分。现在就可以看到，黑洞的膜就是这个时空区域的边界，是一个3维的超曲面。
为了避免格外复杂的情景，我们在这一章只讨论稳态的黑洞。
稳态黑洞的意思是说，在黑洞的外部区域，至少存在一个类时的凯林矢量场。在前面已经说过，凯林矢量场是时空对称性的体现————所以，稳态的黑洞是具有对称性的——这其实也是物理学家的救命稻草，物理学家只会处理有对称性的东西，杂乱无章的东西，物理学家处理不了。
这个凯林矢量场按照行话来讲，就是一个局部对称性，换句话说，这个玩意和微积分有关系。于是，通过这个凯林矢量场，人们可以定义一个局部定义的所谓“凯林视界”。
（3）
稳态黑洞的这个凯林矢量场是超曲面正交的吗？
这个问题是天然的，而且是与坐标系无关的。一般的相对论学家都喜欢问这样的问题，因为这样的问题有很明确的几何意义。
但这个问题是有点难的，我们在前面讲过，需要用佛罗般尼斯定理去判断。这其实是和时空的度量有关系，至少我们已经知道，在克尔时空，这个类时凯林矢量场不是超曲面正交的。————类似于爱因斯坦转盘观察者不是超曲面正交的。
现在，我们再换一种比较物理的语言来说明白这个事情。
稳态黑洞的这个类时的凯林矢量场其实就是黑洞外部那群稳态观察者（如果不做归一化），他们的世界线与这个凯林矢量场的积分曲线是重合的。
这群观察者不是自由落体的---不是测地线，所以，他们有四加速度。这个四加速度就是为了引力产生的。所以，离黑洞越近，这个四加速度的大小会增加，最后会变成无穷大。
很直观就可以相信，在单向膜的地方，四加速度会变成无穷大-------稳态观察者在这个时候无论大地如何坚硬他的腿骨如何健壮，都要骨折的。换句话说，这个时候稳态观察者不能保持自己是类时的，而必须以光速运动，成为一个类光的矢量场。
（4）
凯林矢量场在某个地方变成是类光的凯林矢量场，这个时候有很好的性质，它是超曲面正交的，这个超曲面就是我们说的凯林视界。 你可以想象，这就是观察者头朝下以光速一头扎进凯林视界，样子好象是伏明霞在跳水。
这个由凯林矢量场的超曲面正交性定义的地方是凯林视界”。1973年，霍金有一个所谓的黑洞刚性定理，来刻画黑洞处女膜的刚性，他说： 稳态黑洞的“凯林视界”与整体定义的“单向膜”是重合的。
第十八章 稳态黑洞的膜
（1）
在上一章，我们已经写到凯林-曲率方程，这个方程是2阶的，所以要在一点确定一个凯林矢量场的积分曲线，需要知道在改点的矢量以及在这一点的协变导数。这个方程在黑洞几何学里是非常重要的，尤其是在著名的芝加哥大学物理系的沃德写的《弯曲时空中的量子场论和黑洞热力学》中就有提到。沃德在1984年出版的一本《广义相对论》，被认为是一本名著，按照中国出版业目前的发展猛烈态势，估计也许此书不久也能在中国大陆看到了。
在黑洞几何学的研究中，有2种矢量场是很重要而且必须要掌握的，一种就是测地线对应的矢量场，另外一个就是凯林场。在这一章，我们来讲一下如何从凯林场构造出稳态黑洞的膜来。
先来谈谈膜。
在黑洞物理中，有一层膜，是单向性的，也叫“单向膜”。在经典广义相对论中，这样的“单向膜”是这样的——物质只能通过膜进入到黑洞内部，而不能从黑洞内部出来（也就是说，光锥倒向黑洞北部）。几乎所有的黑洞都有这样一层膜，但这不是一个简单的问题，伟大的相对论学家彭罗斯也不能证明为什么几乎所有黑洞都要有这样一层膜，于是他提出了这样的一个猜想，被称为彭罗斯猜想或者宇宙监督猜测：所有黑洞都有一层膜。这在数学上是很困难的，一般老百姓不懂数学，而且是误读了彭罗斯猜想，有的人甚至把这个想象成每个女人都有一层处女膜。这个问题同样是很难证明。
（2）
黑洞到底是什么呢？ 黑洞的维度是多少？
这其实需要一个比较清晰的定义，首先，经典黑洞是时空中的一个4维区域，这个区域有一个特点，那就是从这个区域发出的光线不能到达类光无限远。这是一个整体的定义，不需要什么微积分。现在就可以看到，黑洞的膜就是这个时空区域的边界，是一个3维的超曲面。
为了避免格外复杂的情景，我们在这一章只讨论稳态的黑洞。
稳态黑洞的意思是说，在黑洞的外部区域，至少存在一个类时的凯林矢量场。在前面已经说过，凯林矢量场是时空对称性的体现————所以，稳态的黑洞是具有对称性的——这其实也是物理学家的救命稻草，物理学家只会处理有对称性的东西，杂乱无章的东西，物理学家处理不了。
这个凯林矢量场按照行话来讲，就是一个局部对称性，换句话说，这个玩意和微积分有关系。于是，通过这个凯林矢量场，人们可以定义一个局部定义的所谓“凯林视界”。
（3）
稳态黑洞的这个凯林矢量场是超曲面正交的吗？
这个问题是天然的，而且是与坐标系无关的。一般的相对论学家都喜欢问这样的问题，因为这样的问题有很明确的几何意义。
但这个问题是有点难的，我们在前面讲过，需要用佛罗般尼斯定理去判断。这其实是和时空的度量有关系，至少我们已经知道，在克尔时空，这个类时凯林矢量场不是超曲面正交的。————类似于爱因斯坦转盘观察者不是超曲面正交的。
现在，我们再换一种比较物理的语言来说明白这个事情。
稳态黑洞的这个类时的凯林矢量场其实就是黑洞外部那群稳态观察者（如果不做归一化），他们的世界线与这个凯林矢量场的积分曲线是重合的。
这群观察者不是自由落体的---不是测地线，所以，他们有四加速度。这个四加速度就是为了引力产生的。所以，离黑洞越近，这个四加速度的大小会增加，最后会变成无穷大。
很直观就可以相信，在单向膜的地方，四加速度会变成无穷大-------稳态观察者在这个时候无论大地如何坚硬他的腿骨如何健壮，都要骨折的。换句话说，这个时候稳态观察者不能保持自己是类时的，而必须以光速运动，成为一个类光的矢量场。
（4）
凯林矢量场在某个地方变成是类光的凯林矢量场，这个时候有很好的性质，它是超曲面正交的，这个超曲面就是我们说的凯林视界。 你可以想象，这就是观察者头朝下以光速一头扎进凯林视界，样子好象是伏明霞在跳水。
这个由凯林矢量场的超曲面正交性定义的地方是凯林视界”。1973年，霍金有一个所谓的黑洞刚性定理，来刻画黑洞处女膜的刚性，他说： 稳态黑洞的“凯林视界”与整体定义的“单向膜”是重合的。
楼主：张轩中 时间：2009-08-20 10:04:00
第十九章 爱因斯坦引力场方程
（1）
在前面，我们讨论凯林视界的时候，我们还不太需要爱因斯坦的引力场方程。爱因斯坦的引力方程的来历不明，一般大家都认为这是神来之笔，当然爱因斯坦曾经的笔记本被发现，大家才发现原来这个笔记上也是一片潦草，苦闷和彷徨。 但爱因斯坦相信自己有能力做好这个问题，并且化了足够多的时间来得到引力场方程。从1905年的狭义相对论E=mc2，26岁，到1916年的广义相对论引力场方程G—ab=T—ab，37岁，爱因斯坦也算是看到了时间的玫瑰。
爱因斯坦的引力场方程，一开始写出来的时候，是不对的，爱因斯坦写成了如下样子：
R—ab=T—ab
其中R—ab是里奇张量，T-ab是物质场的能量动量张量。 这里要注意的是，T-ab是非引力场的物质场的能量动量张量，引力场的能量动量也怎么样描述，从开始到现在，都是让人困惑而痛苦的。后来，终于在眼泪中明白，邦迪和塞司有一些关于引力波携带的能量的工作，值得参考。
（2）
爱因斯坦一开始写出的方程与正确的方程是有点神似的，但物理上却是过不去的，因为方程的右边，物质场的能量动量张量的协变导数必须是零---能量动量对任何参考系都应该是守恒的。但是，如果要把协变导数作用到方程的左边，却一般不是零，除非你对曲率提出额外的要求——要求标量曲率是一个常数。换句话说，左边的曲率，其上面天然的限制条件是毕安基恒等式，但这个数学条件与能量动量对任何参考系都应该是守恒的物理规律在爱因斯坦最初的方程中是冲突的。
所以，爱因斯坦知道，需要对方程做一些微调。（微调这个词语，最近很热，因为中央银行说要微调货币政策，引起股票市场狂跌。因此产生了一些引申意义，统称为“被微调了”：））
方程的左边是可以改的。
爱因斯坦把它改成了这样的形式：
R—ab-1/2 R g-ab=T—ab
多加了一项，可以在数学上检查，这下方程的左边求协变导数也等于零了。
这就是著名的爱因斯坦引力场方程。
（3）
爱因斯坦引力场方程出来了，这方程显示，几何等于非引力物质场。这是很奇怪的一个方程，那么，引力还是一个物质场吗？如果没有非引力物质，那么，T—ab=0。 这个时候，还是叫做真空引力场。
在彭罗斯的科普写法中：
黎曼==里奇+外尔
真空的引力场是非常有趣的，因为真空中，黎曼曲率只有外尔张量，所以，后来有人开始研究真空引力场的代数分类，或者说研究外尔张量的代数性质，就好象研究矩阵的特征值一样，这个故事是相当有趣的。至少我们已经在前面谈到过，外尔张量和类光测地线有很亲密无间的关系。
（1）
在前面，我们讨论凯林视界的时候，我们还不太需要爱因斯坦的引力场方程。爱因斯坦的引力方程的来历不明，一般大家都认为这是神来之笔，当然爱因斯坦曾经的笔记本被发现，大家才发现原来这个笔记上也是一片潦草，苦闷和彷徨。 但爱因斯坦相信自己有能力做好这个问题，并且化了足够多的时间来得到引力场方程。从1905年的狭义相对论E=mc2，26岁，到1916年的广义相对论引力场方程G—ab=T—ab，37岁，爱因斯坦也算是看到了时间的玫瑰。
爱因斯坦的引力场方程，一开始写出来的时候，是不对的，爱因斯坦写成了如下样子：
R—ab=T—ab
其中R—ab是里奇张量，T-ab是物质场的能量动量张量。 这里要注意的是，T-ab是非引力场的物质场的能量动量张量，引力场的能量动量也怎么样描述，从开始到现在，都是让人困惑而痛苦的。后来，终于在眼泪中明白，邦迪和塞司有一些关于引力波携带的能量的工作，值得参考。
（2）
爱因斯坦一开始写出的方程与正确的方程是有点神似的，但物理上却是过不去的，因为方程的右边，物质场的能量动量张量的协变导数必须是零---能量动量对任何参考系都应该是守恒的。但是，如果要把协变导数作用到方程的左边，却一般不是零，除非你对曲率提出额外的要求——要求标量曲率是一个常数。换句话说，左边的曲率，其上面天然的限制条件是毕安基恒等式，但这个数学条件与能量动量对任何参考系都应该是守恒的物理规律在爱因斯坦最初的方程中是冲突的。
所以，爱因斯坦知道，需要对方程做一些微调。（微调这个词语，最近很热，因为中央银行说要微调货币政策，引起股票市场狂跌。因此产生了一些引申意义，统称为“被微调了”：））
方程的左边是可以改的。
爱因斯坦把它改成了这样的形式：
R—ab-1/2 R g-ab=T—ab
多加了一项，可以在数学上检查，这下方程的左边求协变导数也等于零了。
这就是著名的爱因斯坦引力场方程。
（3）
爱因斯坦引力场方程出来了，这方程显示，几何等于非引力物质场。这是很奇怪的一个方程，那么，引力还是一个物质场吗？如果没有非引力物质，那么，T—ab=0。 这个时候，还是叫做真空引力场。
在彭罗斯的科普写法中：
黎曼==里奇+外尔
真空的引力场是非常有趣的，因为真空中，黎曼曲率只有外尔张量，所以，后来有人开始研究真空引力场的代数分类，或者说研究外尔张量的代数性质，就好象研究矩阵的特征值一样，这个故事是相当有趣的。至少我们已经在前面谈到过，外尔张量和类光测地线有很亲密无间的关系。
作者：Dominator_zsf 时间：2009-10-31 18:54:00
作者：外星野人 时间：2009-12-23 09:41:00
作者：windknife1980 时间：2010-11-09 16:28:00
作者：windknife1980 时间：2010-11-09 16:31:00
作者：姑且无奈 时间：2012-05-05 13:36:00
追过来了，天啊，被吸引了才知道自己是多么的无知！！！
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