Compton 波长是经典与量子效应的分水岭,因为这样的度规在几倍于 Compton 波长处就已经明显偏离平直了

从等效原理到 Einstein-Cartan 理论

- 卢昌海 -

本文汇集整理了我发表在繁星客栈上的几篇有关等效原理及 Einstein-Cartan 理论的短文

一. 等效原理

等效原理是局域的。 在一个有限大小的参照系 (比如有限大小的 Einstein 升降梯) 中， 我们可以通过观测测地偏离效应， 来区分引力场与加速场。 这种观测之所以有效， 是因为它所涉及的是联络系数的导数， 或者说曲率的分量， 这是不能通过等效原理消去的。 由于测地偏离效应不能在严格局域的参照系中被观测到， 因此对引力场与加速场的这种区分与等效原理不矛盾。
一般教材的讨论大都到此为止。 如果所有的物理效应都只与度规及联络有关， 那么在局域参照系中就不可能区分引力场与加速场， 等效原理的成立就是普遍的。 但是， 如果存在某种局域的物理效应与曲率有关， 我们就可以通过这种物理效应在局域参照系中对引力场与加速场做出区分。 这样的物理效应是否存在呢？ 答案是肯定的。 有自旋粒子的运动就是这样的效应。 虽然迄今似乎没有什么实验足以检验这类效应， 但一般认为有自旋粒子在引力场中的运动 (由所谓的 Mathisson-Papapetrou-Dixon 方程描述) 会与曲率耦合， 从而偏离测地线。 因此通过观测有自旋粒子的运动， 原则上可以在局域参照系中区分引力场与加速场^[注一]。 从某种意义上讲， 这意味着等效原理不再成立了。
但是， 这并不意味着广义相对论失效。 对于广义相对论来说， 等效原理的作用主要是确立时空的 pseudo-Riemannian 结构。 为此只要在每一点上存在局域参照系， 使度规为 Minkowski 度规， 同时使联络系数全部为零即可 (如果把这作为等效原理的定义， 则等效原理的成立将不会受上面提到的效应的影响)。 至于是否有物理现象与曲率耦合， 并不妨碍广义相对论的建立。 有自旋粒子的运动在广义相对论框架中是完全可以处理的^[注二]。

二. Einstein-Cartan 理论

在 上节 中我们提到， 自旋粒子在引力场中的运动会偏离测地线， 由此可以局域地区分引力场与加速场。 那篇短文只涉及了与引力有关的自旋粒子问题的一半， 即自旋粒子在外引力场中的运动。 在本文中， 我们来考虑问题的另一半， 即自旋粒子本身产生的引力场。 这是一个很不同的问题， 自旋粒子在外引力场中的运动不会对广义相对论的结构产生根本影响， 而自旋粒子本身产生的引力场， 则有可能把我们引向 - 虽然不是必然引向 - 不同于广义相对论的理论， 比如 Einstein-Cartan 理论。
我们知道， 对于所有具有能量动量起源 - 即 J^abc=x^aT^bc-x^bT^ac - 的角动量来说， 能量动量张量 T^ab 的守恒与对称 (即 ∂_aT^ab=0 与 T^ab=T^ba) 保证了角动量守恒 ∂_aJ^abc=0。 这种角动量被称为轨道角动量， 它包括所有的经典角动量 (包括经典自旋)。 另一方面， 并非所有的角动量都具有能量动量起源， 比如量子力学中的自旋就不具有能量动量起源。 如果我们把这种 “内禀” (即不具有能量动量起源的) 角动量表示为 S^abc， 则 J^abc=S^abc+x^aT^bc-x^bT^ac。 这时角动量守恒 ∂_aJ^abc=0 要求：

∂_aS^abc = T^cb - T^bc

这表明， 除非内禀角动量单独守恒， 否则能量动量张量将是非对称的。 由于内禀角动量显然不单独守恒， 因此上面定义所涉及的能量动量张量是非对称的。

如果能量动量张量非对称， 那么 Einstein 场方程 G^ab=8πT^ab 将要求 G^ab 非对称。 这表明时空几何将不会是单纯的 Riemannian 几何。 使 G^ab 非对称的一种最简单的方案， 就是引进时空的挠率 t^a_bc=Γ^a_bc-Γ^a_cb。 由此产生的最简单的理论被称为 Einstein-Cartan 理论， 是由 Élie Cartan 于 1922 年提出的。 与纯度规的广义相对论不同， Einstein-Cartan 理论是一种建立在仿射联络基础上的引力理论， 在这种理论中等效原理不成立 (因为挠率的存在使得联络系数全部为零的局域参照系无法存在)。 Einstein-Cartan 理论中的带挠率的几何被称为 Riemann-Cartan 几何。 Einstein-Cartan 理论的场方程为：

G^ab = 8πT^ab
t^a_bc = 8πS^a_bc + 4πδ^a_bS^d_cd + 4πδ^a_cS^d_db

不过， 上面的推理并不是唯一的。 这不仅是因为使能量动量张量非对称的方法并不唯一 (从而 Einstein-Cartan 理论不是唯一的推广)， 而且也是因为内禀角动量的出现并非必然导致能量动量张量的非对称性。 事实上， 通过对能量动量张量附加一个对运动方程没有影响的散度项， 我们总可以将它改写为对称形式。 这种对称的能量动量张量被称为 Belinfante 张量。 有一种 (比较常见的) 观点认为， Einstein 场方程中的能量动量张量是 Belinfante 张量^[注三]。 显然， 这可以使 Einstein 场方程的成立不受内禀角动量的影响。 从这个意义上讲， 目前并没有充分的理由 (哪怕是理论上的理由) 使人们必须在经典范围内拓展广义相对论的框架。
但是， 将 Belinfante 张量引进 Einstein 场方程的做法并不是完全令人满意的。 比如它使得角动量与能量动量张量之间的关系 J^abc=x^aT^bc-x^bT^ac 具有了完全的普遍性。 但对于自旋来说， 没有任何迹象表明它与能量动量有任何关系， 比如一个有自旋的粒子完全可以是无质量的。 因此， 角动量与能量动量张量之间的这种关系似乎不应该具有那么大的普遍性。 而如果我们认为自旋与能量动量无关， 那么它对时空的影响就没有理由被包含在能量动量对时空的影响 (即 Einstein 场方程) 之中。 另一方面， 我们也不能简单地把自旋对时空的影响从理论中丢弃掉， 因为虽然没有自旋对时空影响的任何观测证据， 但由于轨道角动量对时空的影响是确凿存在的， 在理论上单单丢弃掉自旋对时空的影响将是非常不自然的。 这些都表明 Einstein-Cartan 理论对自旋的处理 (即既承认自旋对时空结构有影响， 又不把这种影响归结于能量动量张量) 有一定的合理性。 提出 Einstein-Cartan 的其它动机， 比如试图将时空流形切空间中的结构群从广义相对论中的 Lorentz 群推广到 Poincaré 群 (这是 Cartan 提出这一理论的原始动机之一 - 那时量子力学中的自旋还没有被发现)， 可以参看本文所附的参考文献。
Einstein-Cartan 理论虽然看上去有一定的合理性， 但始终没有得到太多的关注， 原因有很多。 其中有一个原因我觉得是因为它与广义相对论的差别涉及到象自旋这样的量子效应， 从而几乎没有任何得到观测支持的可能 (引力在这种尺度上太过微弱)。 不仅如此， 对于象自旋粒子产生的引力场那样的问题， 由于场源的量子特征无法忽略， 经典处理也许根本就不适用^[注四] - 尤其是对于象电子场 Ψ 那样的场， 将之在经典层次上作为引力源 (无论是作为广义相对论还是 Einstein-Cartan 理论的源) 更是缺乏恰当的物理意义。 如果经典处理不再适用， 那么 Einstein-Cartan 理论与广义相对论的差别可能会被量子效应与经典效应的差别所掩盖， 这将使得仅仅对这两个经典理论进行比较在一定程度上失去重要性。

注释

1. 注意， 这里必须用到点粒子及自旋的概念， 因此从某种意义上说， 这是在通过量子效应来局域地区分引力场与加速场。 如果我们讨论的不是带自旋的点粒子， 而是有限大小的旋转物体， 则与等效原理的成立与否无关 (因为它不是局域的)。
2. 自旋是纯量子现象， 但是带自旋粒子的运动却可以在广义相对论框架内描述， 这种处理方式有点类似旧量子论。 经典力学与量子观念并不相容， 但在经典力学中加上几个量子条件也能得到一些有用的结果。
3. 从引力场的作用量原理导出的场方程自动具有这样的能量动量张量。
4. 比方说， 将 Kerr 解运用于带自旋的基本粒子， 把自旋视为角动量， 则度规会在 J/mc 处出现裸奇环。 我们且不去理会那个 “裸” 字， 在 J/mc - 即 Compton 波长 - 处出现奇环显然是不可接受的， 也是与粒子物理实验完全矛盾的。 虽然对于基本粒子来说， 我们原本就不应该对经典描述有太多期待， 但 Compton 波长是经典与量子效应的分水岭， 经典度规在 “分水岭” 上就出现如此巨大的问题， 仍然是非常奇怪的 (因为这样的度规在几倍于 Compton 波长处就已经明显偏离平直了)， 同时也与我们常说的引力在微观世界中的微弱性很不一致。