更一般地研究拓扑不变量的理论是所谓的同伦论和同调论。彭加勒提出基本群的想法，认为每个拓扑空间对应以一个群，使得同胚的空间具有同构的群。如果这些群不同，那末空间就是不同的。

更一般地研究拓扑不变量的理论是所谓的同伦论和同调论。彭加勒提出基本群的想法，认为每个拓扑空间对应以一个群，使得同胚的空间具有同构的群。如果这些群不同，那末空间就是不同的。

弦模型和量子引力的精确解问题的研究可以追溯到７０年代中关于量子色动力学的研究。特?霍夫特指出，将理论的对称群从ＳＵ（３）推广到ＳＵ（Ｎ），１／Ｎ就可以做为一个有用的展开参数。强相互作用的许多突出特点在这种展开的领头项中就已经表现出来。Ｎ趋向无穷大时领头项的贡献称为平面近似。进一步发展平面近似，导致对一些简单模型的研究。在这些模型中，类似于量子色动力学的ＳＵ（Ｎ）推广，时空的每一点有一个Ｎ×Ｎ的矩阵。７０年代末，人们对于只含一个时空点的简单情况在平面极限下成功地解出了一类矩阵模型。这些解提供了费曼图分类的方便办法。当然它们的意义不止于此。８０年代中期，人们进一步指出了可以用这些能够精确求解的矩阵模型来研究弦理论和２维量子引力的可能性。
１９８８年这一猜测得到证实。普林斯顿大学的理论物理学家们得到了球形时空下２－维量子引力的精确解，这个解与１９８５年用矩阵模型得到的结果是一致的。
二维时空中引力的量子力学描述表现为对二维时空面的求和。同经典点粒子动力学的最小作用量原理一样，爱因斯坦的场方程对于给定边界条件的解决定了时空的形状或者说拓扑，这样得到的只是引力的经典描述。一般而言，关于引力的量子理论涉及对各种可能“路径”求和。所以有关二维引力和弦理论的基本数学问题是枚举不同形状大小的曲面以及将它们对适当定义的费曼路径积分的贡献求和。
两端自由且没有自身相交的一条曲线可以平滑地变成一条直线，或者说它们拓扑等价。一般地，可以用一条曲线与自身相交的次数来作为拓扑结构的标志。同样，没有边界的曲面拓扑等价于一个带有若干手柄的球面。前面提过，手柄数又称亏格数。最新的精确解将各种亏格曲面的贡献同时加起来。在这种求和过程中，光滑的曲面首先近似地用多面体代替，这叫做剖分。当多面体面数增多边长缩短时就可以无限地逼近原来的曲面。将给定亏格的曲面做不同的剖分对应于曲面的不同构形。所以为求解量子引力或弦理论模型而对各曲面进行的求和需要了解曲面的剖分情况。
前面提到的简单矩阵模型在这里派上了用场。这些矩阵模型的费曼图的对偶正好相应于曲面的剖分。一个图的对偶是这样定义的：将图中的每个面用一个点来代替再把这些点用线连起来，在这个过程中每条线只能与原图中的一条边相交。例如，将一个四边形剖分为二个四边形有两种方式，它们的对偶分别为两个费曼图（图３．１６）。一般地，将ｎ边形剖分则对偶为有ｎ条外线的费曼图；将ｎ边形剖分为ｍ边形对偶为含ｍ个顶角的费曼图。这种对应对于立体图形也是成立的。这种剖分问题早在十八世纪中叶就引起大数学家欧拉（Ｅｕｌｅｒ）的注意，到了本世纪６０年代数学家们利用图论的方法对其中许多问题给出了解答。现在，通过对于简单的矩阵模型的研究使得我们可以用新的、相当普遍而优美的方法得到任何曲面的剖分。
如果矩阵模型中存在ｐ点相互作用——相互作用拉氏量中含矩阵场的ｐ次单项式，这个理论的费曼图的对偶就是将曲面剖分为ｐ面体。而且，正如特·霍夫特１９７４年证明的那样，模型的１／Ｎ展开就是按曲面的亏格展开。对于展开的某个给定阶而言，其贡献来自于在亏格与阶数相同的曲面上笔尖不离开曲面能画出的所有费曼图。展开的领头项来自球面上费曼图的贡献，而球面拓扑等价于一个平面，这就是为什么特?霍夫特将１／Ｎ展开的领头项近似称为平面近似的原因。一个矩阵模型的１／Ｎ展开的（１／Ｎ２）阶中如果含有ｐ次相互作用的话，将会得到把一个亏格为ｒ的面剖分成ｐ面体的各种可能剖分。
矩阵模型的平面极限只是在一个时空点的情形下进行求解的，最近的一些推广也是这样的。用弦理论的语言来说，这意味着弦张成的面所嵌入的时空只包含一个点。对于早期的解已有了许多的推广。最新的结果已将时空推广到１维。象数学物理的许多发展一样，新的解是通过求解微分方程得到的。微分方程来自于将曲面剖分求和的过程取连续的极限。在弦模型的方程中，自变量就是弦的耦合常数，所以方程所表达的是弦的关联函数或真空能量如何依赖耦合常数的关系。幸运的是，所有遇到的方程都属于称做ＫｄＶ方程的一类可以积分的方程。普林斯顿大学的威藤（Ｗｉｔｔｅｎ）认为这些可以精确求解的模型可能与拓扑场论有关。格罗斯则提醒人们注意那些新的解，它们或许与包括十维超弦理论在内的所谓临界弦理论有关。
在过去的几年中，这些不同的方面交互发展。在临界弦（描写２６维时空的玻色弦或１０维时空中的超弦）理论中，二维的世界面度规场退耦和；而另一方面，如果试图建立一个非临界弦（在物理时空中运动的）理论，就不得不面对二维量子引力问题。前面的讨论表明，矩阵模型对于处理高亏格曲面的贡献的确非常有效，特别要指出的是，矩阵模型事实上提供了二维量子引力的一种非微扰定义。除此之外，处理２维量子引力还可以采用量子刘维（Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ）方法。为此要用到二维连续时空中共形场论的技术。刘维理论以及它与黎曼面统一描述的关系问题已经有百余年的历史。尽管如此，充分利用刘维理论以便研究临界点之外的弦理论仍是非常有意义的。这些研究向超对称情况的推广也肯定是值得关注的方向。当然这些想法是否有助于理解相对论性非阿贝尔规范场理论在大Ｎ极限下的性质也还是悬而未决的问题。
量子场论的路径积分形式与统计物理中关于有限温度系统的配分函数有相同的形式。所以，场论的许多方法和概念已经渗透到凝聚态理论的研究中去了。例如，重整化群方法处理临界现象等。同时，统计模型的研究也促进了场论的发展。
精确可解的统计模型由来已久，如著名的伊辛（Ｉｓｉｎｇ）模型。８０年代初，对于二维平面格点系统顶角模型的量子反散射方法的研究导致了量子群概念的产生。一个典型的例子是６顶角模型（图３．１７）。平面上水平直线和与之正交的纵向直线交点组成格点系统，满足周期边界条件。每个格点的状态由与其相邻的四个有方向的键决定。量子反散射方法（或称代数Ｂｅｔｈｅ－Ａｎｓａｔｚ）的研究表明，这类模型精确可解的充分条件是要满足称为杨—巴克斯特方程的代数关系。这个方程最早在１９６７年由杨振宁教授研究有排斥δ作用势的一维薛定锷多体系统的精确解而得到。一般地，不带谱参数的杨—巴克斯特方程写成Ｒ１２Ｒ１３Ｒ２３＝Ｒ２３Ｒ１３Ｒ１２其中Ｒ是Ｎ２×Ｎ２的矩阵，Ｎ可以是任何给定的自然数。当Ｎ＝２时得到的最简单常见的解为
由杨—巴克斯特方程的解可以构造相应的能够精确求解的顶角模型。杨—巴克斯特方程所代表的代数关系是李群的结构常数所满足的雅可比等式的推广，它的解所决定的代数是李代数的非平凡的推广，在数学上叫做Ｈｏｐｆ代数，物理上称为量子群。它的特点是做为矩阵群的话，矩阵的元素不再是普通的数，而是属于某个代数的“算符”，它们之间的乘法通常是不可对易的。例如，对于上面的解，可以得到量子群ＳＵｑ（２）的２乘２矩阵满足的代数关系。这种不可对易性由ｑ来标志，ｑ称为形变参数。当形变参数等于１就回到普通的乘法：ａｂ＝ｂａ。群是对称性的语言，所以量子群也应该代表了某种对称性，看来统计模型具有量子群所描述的对称性与模型可以精确求解之间存在着必然的联系。这方面的研究仍在进行。现在，量子群的结构在许多地方出现，与数学物理的很多分支存在着密切的联系。它同辫子群的关系使得人们可以通过统计模型的解找到用来区分环和结的拓扑结构的多项式。这种办法得到的多项式比数学家们原来的表达式简并度要低。数学上研究的辫子是用Ｎ条线去联接两根平行的直线上的Ｎ个点构成的，这Ｎ条线在三维空间内彼此不相交，任一辫子是由若干对线的交叉构成。每个交叉称为基本辫子。它的解与杨—巴克斯特方程的解只相差一个置换。而上式是辫子的拓扑性质的反映，它表示图３．１８的两个辫子拓扑上是等价的。
在不扯断线的情况下可以移动线的位置把左边的辫子拓扑地变换成右边的辫子。将辫子两端对接就得到环和结，如图３．１９。反过来，任何环或结都是某个辫子的对接，这称为亚历山大定理。然而这种对应关系并非唯一，所以如何辨别哪些辫子给出拓扑等价的环或结是十分重要的。
杨—巴克斯特方程的解在共形场论和拓扑场论中也有应用。量子群的代数满足不可对易的乘法，这使得人们对于它可能会在微观领域物理的描述方面有所作为而寄予了很大期望。事实上，海森堡的测不准原理已经向人们揭示出，不可交换是微观世界的基本属性。目前的场论所存在的基本困难有可能是与连续统一的概念联系在一起的。在普朗克尺度，如果有一个自然的“截断”，那末发散的问题也许就不再是问题了。这种自然的截断可以表现为时空的量子化，换句话说，在普朗克尺度下，时空的坐标不再是普通的数，而是满足一定代数关系的“算符”了。在非对易的时空上推广了微积分的运算，讨论非对易的微分几何以及由此建立起来的量子场论是目前量子场论发展中的一个方面，人们期待它能为解决量子场论现在面临的一些基本困难投进一线曙光。
３．３．２格点规范理论
夸克模型取得了巨大的成功。然而实验上迄今为止尚未找到自由存在的夸克。对此人们的解释是存在着所谓的禁闭效应。那末关于夸克之间强相互作用的量子色动力学能否从理论上给出夸克禁闭的结果呢？目前关于这个问题的最好解答来自格点规范理论。格点规范理论于１９７４年由威尔逊首先提出。所谓格点规范理论就是将连续的时空简化为分离的格子，在其上建立规范场理论。格点化是一种数学上的技巧，它提供了一种自然的截断从而使得连续时空中一般的量子场论所固有的紫外发散不出现。象所有其他的规范化方法一样，在重整化之后必须将人为的截断去除，也就是说，只有在格子变得无穷细密的连续极限下才能得到原来的物理，因为我们真实的物理时空是连续的（至少在人类目前的认识水平上是如此）。
事实上，格点化这种规制化方案从量子场论的费曼路径积分角度看是更为自然的，因为积分本身就是无穷分割求和的极限过程。当然，格点理论因此会失去明显的相对论协变性，不仅如此，格点化使得人们难以利用费曼图展开的办法进行微扰计算。也正因为这样，格点理论为人们提供了一种新的近似计算方法—非微扰展开的办法。由于这个近似办法不是按耦合常数做展开，所以特别适合于讨论强相互作用，尤其是夸克禁闭这样一些本质上属于非微扰的现象（因为根据重整化群理论关于耦合常数跑动行为的讨论，当夸克间距离增大时，有效耦合常数也随之增大从而使得微扰展开不再适用）。
另外，格点理论同时还揭示了量子场论与统计力学之间的密切关系。事实上，从路径积分表达式可以看到，强耦合相应于高温展开，在统计力学中是容易处理的。在欧氏空间中，路径积分和一个相应格点系统的统计配分函数完全相同，耦合常数的平方相应于系统的温度。于是可以利用统计力学的方法进行研究。尽管格点规范理论的目的是为了研究量子色动力学的禁闭现象以及强子谱的问题，但是关于格点理论本身也存在许多有趣的现象。其中许多模型表现出的非平凡相结构在连续极限下的相应场论中并不存在。
分离时空格点上规范场论的构造最早由威尔逊提出。其关键性的一点在于注意到规范场是一个与路径相关的相因子。于是，基本的变量是定义在连接两个最近邻格点的键上的群元素。与任意路径对应的群元素是那些构成路径的键所对应的群元的乘积。考虑一个一般的规范群Ｇ，相应于连接两个最近邻格点（ｉ，ｊ）的键，存在群元素Ｕｉｊ∈Ｇ。这里规范场定义为Ｕｉｊ＝ｅｉｇ。Ａμａ其中ａ是格子的基本尺度。为了决定格点系统场变量的动力学行为，威尔孙给出了格点理论的作用量，并证明了其拉氏量在ａ→Ｏ的连续极限下回到我们已经熟习的纯非阿贝尔规范场理论的作用量。
为了得到量子理论，将作用量做为权重因子对所有可能的规范变量进行积分，由于Ｕ是紧致群的元素，所以很自然地利用群上的不变测度作为积分的测度，在它的路径积分表达式中并未包括规范固定项，而在通常连续时空的理论中这样的规范固定项将用来消除由于对所有的规范变量积分而导致的发散。然而在格点规范理论中，变量是紧致群的元素，规范轨道也是紧致的。对于规范不变的量进行积分不会带来发散，因而无须引入规范固定项以便得到为进行微扰展开用的有效作用量。从运动学的角度看，格点理论将非阿贝尔规范场理论作为它的适当的连续经典极限。然而，即便是在取连续极限之前，模型也保留了一个规范理论的许多性质，尽管如此，在格点规范理论中适当地引进费米场仍然存在某些尚待解决的问题。
对于不包含费米场的纯规范理论，威尔逊的格点规范理论与统计力学中磁理论的模型有着许多极为类似之处。Ｕｉｊ就象是晶格键上的自旋，在威尔孙的作用量中通过４－自旋耦和发生相互作用。于是可能会提出这样的问题，即格点规范理论能否产生自发磁化现象。在铁磁体中，自旋在特定的方向产生不为零的期望值。可以证明，在威尔孙的理论中不会出现这种情况。其原因在于这样将会破坏定域规范对称性。自旋模型中磁化提供了一个非常有用的序参量，所以人们期望在格点规范理论中也存在类似的序参量。既然问题与规范对称性相关，那末可以预期这个序参量应该是规范不变的。的确，由于路径积分走遍所有的规范，所以任何算子的非规范不变部分将会从期望值中抹去。在纯规范理论中，最简单的不变量是沿一个长方形的边得到的群元素的迹。它的期望值代表了相应热力学体系的内能Ｐ，可以由配分函数的微商得到，人们发现它可以作为所需的序参量。Ｐ作为序参量存在一个缺点，即它不是一个定域的量。尽管如此，它在数值计算中起着重要的作用并且是最容易估算的量。
对于纯规范理论，威尔逊给出了另一个非定域的序参量。可以证明沿一个闭合圈上的群元素乘积的迹是规范不变量，它的期望值称为威尔逊圈，其中Ｃ代表闭合圈。最简单的威尔逊圈正是前面提到的小四方面。为了考察ＱＣＤ是否存在禁闭现象，可以计算由一对正反夸克组成的体系的能量Ｅ（Ｒ），Ｒ是两个夸克之间的距离。如果不存在禁闭，那末可以预期当Ｒ→∞，Ｅ（Ｒ）→２ｍ，其中ｍ是夸克的质量。这表明当正反夸克相距足够远时它们成为两个独立的自由粒子，体系的能量就是正反夸克质量之和。相反，如果存在禁闭则夸克间的势能将是无界的，即Ｅ（Ｒ）→∞，当Ｒ→∞
威尔逊证明对于宽Ｒ长Ｔ的类时回路有Ｗ（Ｒ，Ｔ）～ｅ－Ｅ（Ｒ）Ｔ，当Ｔ→∞其中Ｅ（Ｒ）正是与相距为Ｒ的正反夸克体系相联系的规范势能。而在另一方面，可以证明在强耦和的情况下对于足够大的长方形回路，威尔逊圈满足所谓的面积定律，即Ｗ（Ｒ，Ｔ）～ｅ－ＫＲＴ其中Ｋ是比例常数，ＲＴ是长方形回路的面积。比较上面两式就可以得出结论：
正反夸克间的势能为线性的，这与雷吉轨迹的结果是符和的。面积定律中的比例常数为格点规范理论提供了又一个序参量。在非禁闭相，这个常数为零；而当夸克间存在禁闭时则不为零。由于它的直观意义，这个常数成为物理上重要的参数。特别要指出的是，即使在纯规范理论的连续极限下它也不为零。
禁闭现象的这种面积定律判据在引入夸克作为动力学变量后就失去了作用，分得足够开的源将通过真空涨落产生新的夸克对而使体系的能量降低。换句话说，这时一个大的威尔逊圈所衡量的是两个介子之间的势能而非两个裸夸克之间的势能。当然，如果我们知道如何计算整个理论的话，那末就无需关于禁闭的判据，我们所需要做的就是计算理论的质量谱并和实验结果进行比较。这方面的研究仍在进行中。目前关于质量谱和一些低能过程的性质方面虽然已经得到了许多好的结果。但在格点理论中如何正确处理费米子仍是一个引人注目的难题。关于弱作用规范理论中的序参量是另一个非常有趣的问题。在这种情况下，希格斯机制将给规范粒子带来质量。在这方面的研究中，格点规范理论几乎没有发挥什么作用。原因主要在于这时微扰展开的办法更为适用。尽管如此，如何通过序参量来区分希格斯相与禁闭相是一个有趣的问题。的确，在这两种相变下都可以得到能隙。富雷肯（Ｆｒａｄｋｉｎ）和辛克（Ｈｅｎｃｋｅｒ）于１９７９年已经证明这两种相并没有明显的区别，它们可以相互解析地转变。
格点理论将规范场论的费曼路径积分表达式简化为普通的多重积分。于是至少在有限的尺度下，人们可以预期对理论的配分函数及其它的观测量进行数值计算。然而稍加分析就会发现，即便是对于１０４大小的格点系统，积分的重数已经大得惊人。这样的体系有４０００００个键，以最简单的规范群如Ｚ２为例，配分函数简化为普通的求和，但是这个求和仍有２４０００００＝１．５８×１０１２０４１项。处理这样大的数目只好用统计方法。目前人们采用蒙特卡罗方法来对格点规范理论进行计算。这种方法的精髓就是通过随机地提供较少数目的典型构型来模拟整个求和。
蒙特卡罗模拟技术在统计物理中有相当长的历史。这一方法提供了在虚拟的“晶格”上进行实验的可能性。人们可以通过编制程序来选择相互作用的哈密顿量的形式。所以原则上这将能够把各种动力学特征孤立起来研究，将有助于弄清它们各自在诸如相变这样一些过程中的作用。这一技术在高温和低温区域下有很好的收敛性，尤其在中间区域吻合得很好，这一点对于粒子物理来说特别重要，因为人们急于弄清楚威尔逊理论在强耦和条件下关于禁闭的证明与弱耦和极限下的连续时空量子场论的关系。紫外截断的办法是各式各样的，即使在格点理论的框架内其变化仍是难以计数的。尽管对于格点理论这种非微扰方法而言，是否存在四维的连续极限理论尚不能严格地知道，但蒙特卡罗模拟技术的确提供了非微扰情况下对截断依赖关系进行研究的可能。
３．３．３拓扑场论
相对论量子场论的最终目标是要建立一个包罗万象的统一理论，所以这样的理论难以严格求解就不足为奇了。为此，人们必须发展近似又足够准确的计算方法。长期以来，量子场论中这样的方法就是所谓的戴逊－费曼－施温格微扰展开法。然而量子场论的很多特性无法在这个近似展开中得到反映，所以人们不得不尝试其它的近似方法。半经典展开就是这种尝试的成果，它被成功地用来揭示量子场论的许多新特性。
半经典近似方法以量子场算符满足的海森堡运动方程为出发点，在经典极限下忽略所有的量子效应把场方程看成纯粹的经典非线性偏微分方程。当然这样的方程仍是非常难解的。物理学家借助各种各样的数学工具进行分析。这些工具是数学家按照他们自己的想法发展起来的，双方从这种结合中相互受益，这样的情况在科学的发展史中多次出现。利用数学上的拓扑分析，人们可以超出半经典近似从而得到一些量子场论的精确解。这些结果主要有三个方面。第一个方面是认识到可能存在一些标志量子场论特性的参数，这样的参数并不都出现在理论的拉氏作用量中；第二，对于自洽的量子场论而言，拉氏量中的参数如耦合常数、质量等，不可以随意选取；第三，规范场与物质场（指费米子场）的耦合形式受到很强的约束。除非恰当地安排费米子，那些看上去规范不变的自洽理论很可能在量子化之后变得不自洽，如出现反常。人们希望对于拓扑场论的进一步研究为量子场论的精确解提供更多的线索。
我们通过简单的例子来看看拓扑性质在这里的重要作用。空间的拓扑性质是指空间在做连续变换下不变的那些性质。这里空间的定义也是十分广泛的。为形象起见。不妨将空间看成是橡皮做成的曲面，只要不发生撕破或粘合的情况，任意地改变曲面的形状就对应为我们所说的连续变换。通过连续变换得到的那些曲面相互之间称为拓扑等价的，而那些保持不变的性质就称为拓扑性质。
求证两个空间拓扑等价是一个几何问题，将涉及怎样造出两个空间之间具体的同胚变换，所用的技巧则随问题的不同而互异。求证两个空间不同胚。则是性质完全不同的另一个问题。因为不可能枚举所有的变换来检验是否同胚，所以这时多采用拓扑不变量。如果两个空间的拓扑不变量不同，那末它们一定不可能拓扑同胚。连通性是拓扑不变量。利用这个拓扑不变性可以证明一维直线和一个二维平面不同胚。从直线上挖去一点（如原点），则空间分成了两块（相应于正实轴和负实轴），这就是一个不连通的空间。假如有一个同胚映射把直线变成平面，那末，挖掉一点的直线就相应地变成挖掉一点的平面。但是，挖掉一个点的平面仍是个连通空间（即还是一整块）。所以一维直线和二维平面拓扑不等价。
更一般地研究拓扑不变量的理论是所谓的同伦论和同调论。彭加勒提出基本群的想法，认为每个拓扑空间对应以一个群，使得同胚的空间具有同构的群。如果这些群不同，那末空间就是不同的。比如图３．２０的两个空间它们显然是不同胚的。因为两圆盘一个有孔一个没有。这个孔洞的影响可由图３．２１内的环道α很好地反映出来。正是由于有这个洞，使得环道α不能连续地缩成一点。彭加勒就是用象α这样的环道来产生一个群，称基本群。环道β和α一样也能使我们识别洞的存在，因为β可以作不经过洞区的连续形变而变成α。它们给出基本群的同一个非平凡元素。有孔圆盘的基本群为整数所构成的自由循环群，对应为环道绕孔洞的圈数（也称绕数）。图３．２２就是这个群的几个元素。无孔圆盘的基本群是平凡群，因为任何环道可连续地缩成一点。如果得到的是相同的群，就得寻求更为精细的不变量来区别这两个空间。比如对于实心球和空心球，它们的基本群都是平庸的，但它们显然是拓扑不等价的。为了区别实心球和空心球，把基本群的环道相应地推广到二维球面。这样得到的群称为（二阶）同伦群，那些类似环道α和β一样可以连续转变的环道称为同伦的。空心球面的二阶同伦群是非平凡的，而实心球的则是非阿贝尔规范场具有非平庸的拓扑结构，这表现在它具有非平凡的同伦群。以ＳＵ（２）纯规范场为例。在规范场路径积分量子化过程中，首先要挑出真正独立的动力学变量，这是通过选择规范来实现的。比如库仑规范：?
众所周知，规落条件不能完全将场确定下来，一般还会存在剩余的规范自由度。对于纯规范，仍可以相差一个只依赖空间坐标的规范变换。
如果库仑规范是一个好的规范条件的话，应能在上面的规范变换Ｕ（ｒ）下得以保持。也就是说，上面的方程与库仑规范合在一起只应有平庸解Ａｉ＝０。事实上，由于规范场的非平庸拓扑性质，上面的方程不仅有平庸解还有非平庸解。
就规范群元素Ｕ（ｒ）而言，它是将三维空间映射到群上的函数。三维空间在把无穷远作为一点的情况下拓扑同胚于四维欧氏空间里的三维球面。另一方面，ＳＵ（２）群有三个生成元，它的参数空间也是一个三维球面。这样，规范变换Ｕ（ｒ）就是从一个三维球面到另一个三维球面的连续映射。这种映射对应于三维球面的三阶同伦群。Ａｉ＝０相当于绕数为零的同伦环道。因为球面中有洞的事实，所以同伦群是非平庸的。因此还存在绕数ｎ不为零的同伦映射。
规范场真空的这种非平庸拓扑结构与量子力学中的周期位势类似，实际的真空为一个确定的θ所标志，称为θ真空。将不同的真空联系起来的是瞬子解。相当于隧道效应。这些问题的研究对于规范理论，特别是理论的量子化，是非常重要的。
场的这种非平庸拓扑结构在很多方面将会给理论的构造带来一定的约束。非线性σ模型在加上一个依赖于紫外截断的外斯—组米诺项之后就构成量子色动力学在低能下的有效理论。它能够正确地描写诸如手征对称破缺。低能定理和介子衰变等。更令人惊奇的是，考虑到场的拓扑性质后，外斯—组米诺项前的因子—耦合常数——一定是整数，并且就是夸克颜色的数目。这类似于狄拉克磁单极子的量子化条件。事实上，非线性σ模型具有拓扑稳定的孤立子解的根源在于其规范群的非平庸拓扑结构。这些拓扑稳定的孤立子可以用来解释量子色动力学中的重子。
量子陈—塞蒙斯（Ｓｉｍｏｎｓ）场论在过去的几年中一直是拓扑场论研究的主题。在量子陈—塞蒙斯模型中，拓扑研究的手段不再局限于半经典近似的范围。事实上，无须再作任何近似，量子陈—塞蒙斯场论是一个“真正”的拓扑场理论，在这个理论中得到的任何观测量和观测结果都有其拓扑上的根源与含义。做为一个完全的量子理论，陈—塞蒙斯模型不仅在Ｒ３和Ｓ３中可严格求解，而且在任何一个闭的、三维连通定向流形上都是严格可解的。
象对所有的量子场论一样，人们感兴趣算符乘积的真空期望值。在拓扑场论中，特别典型的是考虑与一些１维环路相联系的、称为威尔逊圈算子的期望值，它定义在一个定向的环结（ｌｉｎｋ）上，是一组有用的规范不变的观测量。如果一般地考虑一个有ｍ个分量｛Ｃ１，…，Ｃｍ｝的环结（ｌｉｎｋ）Ｌ，则得到相应的环结（ｌｉｎｋ）多项式。从纯数学的角度来研究环结（ｌｉｎｋ）和纽结（ｋｎｏｔ）问题是一个古老的话题。只是当琼斯（Ｊｏｎｅｓ）发现关于环结（ｌｉｎｋ）和纽结（ｋｎｏｔ）的新的不变多项式后，才重新引起人们对这个问题的兴趣，特别是对它们与物理问题的联系。人们认识到这些多项式在很多方面与２维系统的物理有着极为密切的联系。然而，更具挑战性的工作是找出这些多项式在３维空间的定义。威腾解决了这个难题。事实上正如前面已经看到的，这些多项式在陈—塞蒙斯理论中自然地出现；它们就是陈—塞蒙斯理论中威尔逊圈的真空期望值，它们的拓扑不变性由理论满足广义协变性而得到保证。
一旦求得环结多项式，接下来的主要问题就是如何识别它们。前面已经提到，从陈—塞蒙斯理论得到的环结不变量是与准三角型准Ｈｏｐｆ代数的辩子群表示相联系的。另一方面，这种联系同时有利于揭示陈—塞蒙斯作用量所描写的模型的奇特物理行为。考虑３维空间的一个（２＋１）维分解，等时面可能与给定环结相交数次。这情形就好比点粒子的世界线与等时面相交，随着时间的演化，这些粒子将在空间运动，而且它们当中的每两个一对还有可能一起湮灭或产生（图３．２３）。于是期望值＜Ｗ（Ｌ）＞可以做为由环结Ｌ代表的全部过程的量子力学振幅。对于ｋ取一般的值，每个粒子与等时面的交点由规范群不等价不可约表示提供的量子数来标志；而当ｋ为整数时，不同种类的粒子的数目是有限的。例如，对于ＳＵ（２）规范群，ｋ＞２的情况，只有｜ｋ│－２种不同的粒子。当｜ｋ｜＝２时，态空间是１维的，任何态矢量都正比于真空态。当｜ｋ｜＝１时，态空间是２维的，即除真空态外只有一个非平庸的粒子态。
此外，用威尔逊圈有可能描写引力理论。这时，遵循狄拉克处理约束系统量子化的一般程序，那些湮灭态空间的约束可以表达为环结和纽结不变量。而从上面的图可以看到，环结不变量为微分同胚约束所湮灭是极为自然的。人们发现３维陈—塞蒙斯理论与４维量子引力有很强的联系。当然量子引力本身不可能是一个拓扑场论，因为在引力理论中存在着定域的激发。尽管如此，广义相对论在圈方程的表示中与拓扑量子场论的联系是极富启发性的。用圈表示，在陈—塞蒙斯理论中出现的环结不变量同时也是量子引力中的一个态。有关这一结论的可靠性正在进一步研究中。在威腾最初从陈—塞蒙斯理论中得到琼斯的环结多项式时，２维共形场论起了关键作用。关于共形场论与３维拓扑量子场论的关系得到人们的极大重视。然而从路径积分的角度如何在数学严格意义下建立两者的联系仍然是没有解决的问题。
拓扑量子场论是一个比较新的方向，这方面的发展也非常快，已经取得了许多重要的结果。８０年代中期以来利用微分几何的方法对于量子场论中反常问题的研究表明反常是与场在大范围拓扑性质密切相关的。由此而建立了一些拓扑场论模型，如外斯—祖米诺—威腾模型，陈—塞蒙斯规范理论。由于４维时空中量子场论的巨大困难，这些模型通常是建立在较低维空间，特别是在两维空间和一维时间，因为１＋１维时空中的纯规范场是平庸的。２＋１维非阿贝尔规范场是超可重整的理论，为研究禁闭现象以及３＋１维规范场的高温性质提供了合适的模型。尽管对于反常的研究已经取得了很大的进展，但是仍然存在着一些很基本的问题有待回答。例如，反常即使对于那些拓扑平庸的阿贝尔规范场也存在，另外，拓扑研究自然地涉及到一些积分的量，而反常却在