由分式噪声驱动的随机微分方程--《华中科技大学》2008年硕士 ...
求解两类带马尔科夫开关的随机延迟微分方程数值方法 - 淘豆网
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由 庞亮 著作 - 2008
为了方便研究,我们将在介绍主要结论的基础上,进一步介绍Kondratiev空间的具体构造,分式布朗运动的混沌分解,以及在Hida空间中的分式布朗运动的导数也即分式 ...相对论性拉格朗日函数的明显协变的处理方法为了作明显协变的描述，用四元位置矢量和U代替通常的变量x和U。我们可以记为，这一明显协变形式是导出运动方程dU/dτ=0的变分计算的起点。但是，要把约束方程加到运动方程上。为此可以采用拉格朗日乘子法，但我们采用一种不同的等效方法。作用量中的初积函数是四维空间的无穷小长度元。作用量积分是一个沿粒子世界线的积分，最小作用量原理表述为：实际路线是最长的路线，即短程线；对事件的类时间隔来说，短程线是最长原时
相对论性拉格朗日函数的明显协变的处理方法为了作明显协变的描述，用四元位置矢量和U代替通常的变量x和U。我们可以记为，这一明显协变形式是导出运动方程dU/dτ=0的变分计算的起点。
对论性带电粒子的拉格朗日函数我们可以把在外场E和B中一个带电荷e的粒子的运动方程写成协变形式，式中m为粒子的质量，τ为粒子的原时，U为粒子的四元速度。虽然运动方程是以描述一个带电粒子在外电磁场中的一般运动(忽略粒子的辐射场)，但是用拉格朗日和哈密顿力学的观点来考虑动力学的表述，往往是有益的。拉格朗日力学的论述是以最小作用原理或哈密顿原理为基础的。
在非相对论力学里，系统是用广义坐标和广义速度来描写的。拉格朗日函数L是广义坐标和广义速度的一个泛函，也许还显含时间t；作用量A定义为L沿该系统的一条可能路线的时间积分。最小作用原理表述于下：一个力学系统是这样运动的，当它从时间t1的组态变到时间t2的组态时，作用量A是一个极值。考虑广义坐标和广义速度偏离实际路线的微小变更，并要求δA=0，便得到欧拉-拉格朗日运动方程。
我们想要把上述形式推广到相对论性粒子运动，使得到的结果符合狭义相对论，并且对外场中的带电粒子导出其运动方程。可以有几种处理方法，这些方法的精巧程度是不相同的。精巧程度最差的、人们最熟悉的一种处理方法，是继续用普通的坐标、速度和时间，直接从非相对论范围进行推广。较精巧的一种方法，是按明显协变形式加以处理的。
相对论性带电粒子的拉格朗日函数我们可以把在外场E和B中一个带电荷e的粒子的运动方程写成协变形式，式中m为粒子的质量，τ为粒子的原时，U为粒子的四元速度。虽然运动方程是以描述一个带电粒子在外电磁场中的一般运动(忽略粒子的辐射场)，但是用拉格朗日和哈密顿力学的观点来考虑动力学的表述，往往是有益的。拉格朗日力学的论述是以最小作用原理或哈密顿原理为基础的。
在非相对论力学里，系统是用广义坐标和广义速度来描写的。拉格朗日函数L是广义坐标和广义速度的一个泛函，也许还显含时间t；作用量A定义为L沿该系统的一条可能路线的时间积分。最小作用原理表述于下：一个力学系统是这样运动的，当它从时间t1的组态变到时间t2的组态时，作用量A是一个极值。考虑广义坐标和广义速度偏离实际路线的微小变更，并要求δA=0，便得到欧拉-拉格朗日运动方程。
我们想要把上述形式推广到相对论性粒子运动，使得到的结果符合狭义相对论，并且对外场中的带电粒子导出其运动方程。可以有几种处理方法，这些方法的精巧程度是不相同的。精巧程度最差的、人们最熟悉的一种处理方法，是继续用普通的坐标、速度和时间，直接从非相对论范围进行推广。较精巧的一种方法，是按明显协变形式加以处理的。
相对论性粒子我们现在转入讨论动力学问题，讨论在外电磁场中带电粒子的运动的动力学。介绍用拉氏函数推导运动方程的方法，这主要是为了引进洛伦兹不变作用量的概念，由此可以导出协变式动力学方程。接着利用正则动量的定义，讨论向哈密顿函数的过渡。随后叙述力的洛伦兹变换性质以及所面临的困难，即若不作另外的假定，就无法从库仑定律导出Maxwell方程组。
在论述均匀静磁场中的运动以后，就探讨电场和磁场并存情况下的运动。而后讨论非均匀磁场引起粒子轨道的长期变化(漂移)和耦合磁通量的绝热式不变性。论述相互作用带电粒子系统的相对论性拉格朗日函数问题，同时证明：当准确到(v/c)平方级，就可能消除推迟效应，并用粒子的瞬时位置和瞬时速度写出拉格朗日函数(达尔文-拉格朗日函数)。
最后重点放在电磁场上。首先，由一个适当的拉格朗日函数导出Maxwell方程组。其次，介绍描述一个带质量的“光子”的修正拉格朗日函数，以及把它用于谐振电路、传输线和谐振腔所得的结果。然后讨论电磁场哈密顿函数的协变式推广，以及无源的电磁场和与带电粒子相互作用的电磁场的能量、动量、角动量守恒定律。
求相对论性拉格朗日函数的基本方法为了求得外场中一个粒子的相对论性拉格朗日函数，我们首先讨论拉格朗日函数的洛伦兹变换性质这一问题。根据狭义相对论第一条假设，作用量积分必定是一个洛伦兹不变量，因为运动方程是由极值条件δA=0确定的。如果我们通过dt=γdτ引进粒子的原时τ，则作用量积分变为A=∫γLdτ。因为原时是不变量，所以要得到A也是不变量这个条件，就要求γL是洛伦兹不变量。
自由粒子的拉格朗日函数可以是粒子速度和粒子质量的一个函数，但可以与粒子位置无关。唯一可以利用的以速度为变量的洛伦兹不变函数是U。于是，我们推断：自由粒子的拉格朗日函数与1/γ成正比，从而得到自由粒子的运动方程d(γmu)/dt=0。作用量与原时从初原时到终原时的路线积分成正比。这积分是洛伦兹不变量，但与所取的积分路线无关。
为了计算这积分，我们考虑粒子在初始时静止的那个参照系。由原时的定义显然可知，如果粒子在该参照系中静止不动，则原时积分要比粒子以非零速度沿路线运动时的大。因此我们看到，连接路线的起点和终点的一条直的世界线给出最大的原时积分，或因自由拉格朗日函数中的负号，给出最小的作用量积分。当然，这种恒定速度的运动就是自由粒子运动方程的解。
求相对论性拉格朗日函数的基本方法只要我们知道静止场中非相对论性运动的拉格朗日函数(或运动方程)，我们就可以从γL是洛伦兹不变量这一普遍要求，来确定一个相对论性带电粒子在外电磁场中的拉格朗日函数。一个缓慢运动的带电粒子主要受电场的影响，电场可从标势Φ导出。相互作用势能为V=eΦ。因为非相对论性拉格朗日函数是(T-V)，所以相对论性拉格朗日函数和相互作用部分，在非相对论极限下必须简化为=-eΦ。于是我们的问题就变为求γL相互的洛伦兹不变式。
它对于非相对论性速度来说，将简化为-eΦ。因为Φ是四元矢势A的时间分量，所以我们预期作用量要包含A与某四元矢量的标积。可资利用的其它四元矢量，仅仅是粒子的动量矢量和位置矢量。因为γ与拉格朗日函数的乘积必须是平移不变量和洛伦兹不变量，所以它不能显含坐标。因此，相互作用的拉格朗日函数必须是-eUA/γc或-eΦ+eu•A/c。
得到带电粒子的完整的相对论性拉格朗日函数，可以证明此拉氏函数确实能导出洛伦兹力方程。在证明时，必须用到对流导数[d/dt=(∂/∂t)+u•v]以及用势来表示的场的标准定义
求相对论性拉格朗日函数的基本方法得到和位置坐标x共轭的正则动量P，P=P+eA/c，式中P=γmu是普通的动量。哈密顿函数H是坐标x及其共轭动量P的函数，如果拉格朗日函数不是时间的显函数，哈密顿函数就是一个运动常数。用拉格朗日函数定义的哈密顿函数是H=P•u-L，速度u必须从式中消去，以使H是P和x的函数。读者还可以证明，将诸哈密顿运动方程合并，可以得到洛伦兹力方程。
哈密顿量是粒子总能量W的一个表达式。它和自由粒子能量的差别在于多了一项势能eΦ，并将P换成了[P-(e/c)A]。实际上，这两个修正项只是一个四元矢量的变化。将哈密顿量中的eΦ项移到左边，再两边取平方，就可以看出这一点。这正好是四元矢量的标积。我们看到，总能量W/c相当于正则共轭四元动量的时间分量，而共轭动量给出的是空间部分。
在下面的段落中讨论的一种明显协变的处理方法，很自然地导出了这个四元动量。顺便指出规范变换的问题。显然，运动方程在势的规范变换下是不变的。因为拉格朗日函数显含势，所以它不是不变量。尽管L在规范变换下不具有不变性，仍然可以证明拉格朗日函数的变化是这样一种形式的变化(时间全导数)，它不改变作用量积分或运动方程。
相对论性拉格朗日函数的明显协变的处理方法为了作明显协变的描述，用四元位置矢量和U代替通常的变量x和U。我们可以记为，这一明显协变形式是导出运动方程dU/dτ=0的变分计算的起点。但是，要把约束方程加到运动方程上。为此可以采用拉格朗日乘子法，但我们采用一种不同的等效方法。作用量中的初积函数是四维空间的无穷小长度元。作用量积分是一个沿粒子世界线的积分，最小作用量原理表述为：实际路线是最长的路线，即短程线；对事件的类时间隔来说，短程线是最长原时。
转换成共轭动量和哈密顿函数的过程是相当简单的，但有一些问题要加以解释。共轭的四元动量矢量由P=mU+(e/c)A确定，上述哈密顿函数在形式上是满意的，可是它还存在几个问题。首先，根据定义，它是一个洛伦兹标量，不是一个类似能量的量。其次，可以证明哈密顿量恒等于零。显然，这样一种哈密顿函数表述跟熟知的非相对论性哈密顿函数有很大的差别
在非相对论力学里，系统是用广义坐标和广义速度来描写的。拉格朗日函数L是广义坐标和广义速度的一个泛函，也许还显含时间t
回答: 量子力学里面把波函数表示的态视作态矢量，注意是个矢量，它是希尔伯特空间里面的一个元素，既然是个矢量，按照微分几何里面的概念，这个 由 marketreflections 于 2010-06-01 09:58:32
http://www.oursci.org/bbs/read.php?tid=929&page=2&fpage=1
对论性带电粒子的拉格朗日函数我们可以把在外场E和B中一个带电荷e的粒子的运动方程写成协变形式，式中m为粒子的质量，τ为粒子的原时，U为粒子的四元速度。虽然运动方程是以描述一个带电粒子在外电磁场中的一般运动(忽略粒子的辐射场)，但是用拉格朗日和哈密顿力学的观点来考虑动力学的表述，往往是有益的。拉格朗日力学的论述是以最小作用原理或哈密顿原理为基础的。
在非相对论力学里，系统是用广义坐标和广义速度来描写的。拉格朗日函数L是广义坐标和广义速度的一个泛函，也许还显含时间t；作用量A定义为L沿该系统的一条可能路线的时间积分。最小作用原理表述于下：一个力学系统是这样运动的，当它从时间t1的组态变到时间t2的组态时，作用量A是一个极值。考虑广义坐标和广义速度偏离实际路线的微小变更，并要求δA=0，便得到欧拉-拉格朗日运动方程。
我们想要把上述形式推广到相对论性粒子运动，使得到的结果符合狭义相对论，并且对外场中的带电粒子导出其运动方程。可以有几种处理方法，这些方法的精巧程度是不相同的。精巧程度最差的、人们最熟悉的一种处理方法，是继续用普通的坐标、速度和时间，直接从非相对论范围进行推广。较精巧的一种方法，是按明显协变形式加以处理的。
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20楼 发表于: 2009-11-06 12:38
只看该作者 | 小 中 大 相对论性带电粒子的拉格朗日函数我们可以把在外场E和B中一个带电荷e的粒子的运动方程写成协变形式，式中m为粒子的质量，τ为粒子的原时，U为粒子的四元速度。虽然运动方程是以描述一个带电粒子在外电磁场中的一般运动(忽略粒子的辐射场)，但是用拉格朗日和哈密顿力学的观点来考虑动力学的表述，往往是有益的。拉格朗日力学的论述是以最小作用原理或哈密顿原理为基础的。
在非相对论力学里，系统是用广义坐标和广义速度来描写的。拉格朗日函数L是广义坐标和广义速度的一个泛函，也许还显含时间t；作用量A定义为L沿该系统的一条可能路线的时间积分。最小作用原理表述于下：一个力学系统是这样运动的，当它从时间t1的组态变到时间t2的组态时，作用量A是一个极值。考虑广义坐标和广义速度偏离实际路线的微小变更，并要求δA=0，便得到欧拉-拉格朗日运动方程。
我们想要把上述形式推广到相对论性粒子运动，使得到的结果符合狭义相对论，并且对外场中的带电粒子导出其运动方程。可以有几种处理方法，这些方法的精巧程度是不相同的。精巧程度最差的、人们最熟悉的一种处理方法，是继续用普通的坐标、速度和时间，直接从非相对论范围进行推广。较精巧的一种方法，是按明显协变形式加以处理的。
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21楼 发表于: 2009-12-09 13:32
只看该作者 | 小 中 大 相对论性粒子我们现在转入讨论动力学问题，讨论在外电磁场中带电粒子的运动的动力学。介绍用拉氏函数推导运动方程的方法，这主要是为了引进洛伦兹不变作用量的概念，由此可以导出协变式动力学方程。接着利用正则动量的定义，讨论向哈密顿函数的过渡。随后叙述力的洛伦兹变换性质以及所面临的困难，即若不作另外的假定，就无法从库仑定律导出Maxwell方程组。
在论述均匀静磁场中的运动以后，就探讨电场和磁场并存情况下的运动。而后讨论非均匀磁场引起粒子轨道的长期变化(漂移)和耦合磁通量的绝热式不变性。论述相互作用带电粒子系统的相对论性拉格朗日函数问题，同时证明：当准确到(v/c)平方级，就可能消除推迟效应，并用粒子的瞬时位置和瞬时速度写出拉格朗日函数(达尔文-拉格朗日函数)。
最后重点放在电磁场上。首先，由一个适当的拉格朗日函数导出Maxwell方程组。其次，介绍描述一个带质量的“光子”的修正拉格朗日函数，以及把它用于谐振电路、传输线和谐振腔所得的结果。然后讨论电磁场哈密顿函数的协变式推广，以及无源的电磁场和与带电粒子相互作用的电磁场的能量、动量、角动量守恒定律。
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22楼 发表于: 2010-01-09 10:36
只看该作者 | 小 中 大 求相对论性拉格朗日函数的基本方法为了求得外场中一个粒子的相对论性拉格朗日函数，我们首先讨论拉格朗日函数的洛伦兹变换性质这一问题。根据狭义相对论第一条假设，作用量积分必定是一个洛伦兹不变量，因为运动方程是由极值条件δA=0确定的。如果我们通过dt=γdτ引进粒子的原时τ，则作用量积分变为A=∫γLdτ。因为原时是不变量，所以要得到A也是不变量这个条件，就要求γL是洛伦兹不变量。
自由粒子的拉格朗日函数可以是粒子速度和粒子质量的一个函数，但可以与粒子位置无关。唯一可以利用的以速度为变量的洛伦兹不变函数是U。于是，我们推断：自由粒子的拉格朗日函数与1/γ成正比，从而得到自由粒子的运动方程d(γmu)/dt=0。作用量与原时从初原时到终原时的路线积分成正比。这积分是洛伦兹不变量，但与所取的积分路线无关。
为了计算这积分，我们考虑粒子在初始时静止的那个参照系。由原时的定义显然可知，如果粒子在该参照系中静止不动，则原时积分要比粒子以非零速度沿路线运动时的大。因此我们看到，连接路线的起点和终点的一条直的世界线给出最大的原时积分，或因自由拉格朗日函数中的负号，给出最小的作用量积分。当然，这种恒定速度的运动就是自由粒子运动方程的解。
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23楼 发表于: 2010-01-09 10:56
只看该作者 | 小 中 大 求相对论性拉格朗日函数的基本方法只要我们知道静止场中非相对论性运动的拉格朗日函数(或运动方程)，我们就可以从γL是洛伦兹不变量这一普遍要求，来确定一个相对论性带电粒子在外电磁场中的拉格朗日函数。一个缓慢运动的带电粒子主要受电场的影响，电场可从标势Φ导出。相互作用势能为V=eΦ。因为非相对论性拉格朗日函数是(T-V)，所以相对论性拉格朗日函数和相互作用部分，在非相对论极限下必须简化为=-eΦ。于是我们的问题就变为求γL相互的洛伦兹不变式。
它对于非相对论性速度来说，将简化为-eΦ。因为Φ是四元矢势A的时间分量，所以我们预期作用量要包含A与某四元矢量的标积。可资利用的其它四元矢量，仅仅是粒子的动量矢量和位置矢量。因为γ与拉格朗日函数的乘积必须是平移不变量和洛伦兹不变量，所以它不能显含坐标。因此，相互作用的拉格朗日函数必须是-eUA/γc或-eΦ+eu•A/c。
得到带电粒子的完整的相对论性拉格朗日函数，可以证明此拉氏函数确实能导出洛伦兹力方程。在证明时，必须用到对流导数[d/dt=(∂/∂t)+u•v]以及用势来表示的场的标准定义。
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24楼 发表于: 2010-01-09 11:18
只看该作者 | 小 中 大 求相对论性拉格朗日函数的基本方法得到和位置坐标x共轭的正则动量P，P=P+eA/c，式中P=γmu是普通的动量。哈密顿函数H是坐标x及其共轭动量P的函数，如果拉格朗日函数不是时间的显函数，哈密顿函数就是一个运动常数。用拉格朗日函数定义的哈密顿函数是H=P•u-L，速度u必须从式中消去，以使H是P和x的函数。读者还可以证明，将诸哈密顿运动方程合并，可以得到洛伦兹力方程。
哈密顿量是粒子总能量W的一个表达式。它和自由粒子能量的差别在于多了一项势能eΦ，并将P换成了[P-(e/c)A]。实际上，这两个修正项只是一个四元矢量的变化。将哈密顿量中的eΦ项移到左边，再两边取平方，就可以看出这一点。这正好是四元矢量的标积。我们看到，总能量W/c相当于正则共轭四元动量的时间分量，而共轭动量给出的是空间部分。
在下面的段落中讨论的一种明显协变的处理方法，很自然地导出了这个四元动量。顺便指出规范变换的问题。显然，运动方程在势的规范变换下是不变的。因为拉格朗日函数显含势，所以它不是不变量。尽管L在规范变换下不具有不变性，仍然可以证明拉格朗日函数的变化是这样一种形式的变化(时间全导数)，它不改变作用量积分或运动方程。
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25楼 发表于: 2010-01-09 13:19
只看该作者 | 小 中 大 Klein-Gordon方程的非相对论性约化和解释存在着这样的物理情况，在这种情况下，用通常单粒子量子力学以及几率解释的语言对π介子作近似描述是很合乎需要的。例如，荷电π介子与物质中的原子电场和磁场、或者与外加场的相互作用，以及π-介子原子的性质，都可以从这种观点来研究。这与单粒子的Dirac电子理论获得成功的应用和成功的解释相类似。在这些情况下，我们希望展现一个向薛定谔方程以及向经典对应极限靠拢的非相对论性化简。
刚开始时，似乎是不可能建立一个准确的、具有几率解释的单粒子量子力学，于是我们放弃了二阶Klein-Gordon方程。我们这样做了而倾向于Dirac方程，因为它和非相对论性薛定谔理论一样，对时间的导数是一阶的。但是，现在我们已经清楚地看到，Dirac方程的单粒子图像仅仅适用于有限的情况，诸如弱的、缓变的场，在这种场中，正能谱和负能谱之间仍然留下了一个宽的能隙。在这种物理情况下，我们转来寻求Klein-Gordon方程的单粒子量子力学。
为了把Klein-Gordon方程化为仅含时间的一阶导数的薛定谔形式，我们的第一步是把方程重写成一对一阶方程。较为方便的是引进两个线性组合θ和χ，它们具有简单的非相对论性极限。对于一个静止的正能自由粒子，χ=0；对于负能态，或反粒子解，θ=0；因而，θ起着类似于Dirac旋量的大分量的作用，而χ起着类似于小分量的作用。
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26楼 发表于: 2010-01-13 09:51
只看该作者 | 小 中 大 达尔文-拉格朗日函数如果现在考虑两个或两个以上带电粒子的相互作用拉格朗日函数的一般表述问题。我们就会看到，只有在非相对论性速度下才能有这种表述。假定拉格朗日函数是所有粒子的瞬时速度和瞬时坐标的函数。当考虑到电磁场以有限速度传播时，这种假定就不可能成立了，因为其它粒子在某一粒子位置上所产生的势的值与那些粒子在“推迟”时间的运动状态有关。
只有当推迟效应可以忽略不计时，才可能用瞬时位置和瞬时速度表示的拉格朗日函数来描述粒子系统。因此，人们也许认为，只有在静态极限[即零级的(v/c)]下才可能用拉格朗日函数来表述。但是，我们现在要来证明：把最低级相对论性修正项考虑进去，可以给出相互作用粒子的近似的拉格朗日函数，它准确到(v/c)的平方级。我们只要考虑两个相互作用粒子就够了。
在静态极限下，相互作用的拉格朗日函数恰好是静电势能的负值。如果把注意力放在第一个粒子上，就可以把相互作用L看成是第二个粒子在第一个粒子位置上产生的势和第一个粒子电荷的乘积的负值。如果我们想把它推广到静态极限以外的情形，就必须确定标势和矢势的某一级近似值。一般说来，标势和矢势都要进行相对论性修正。但在库仑规范下，由瞬时库仑势给出标势，并准确到v/c的各次幂。
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27楼 发表于: 2010-01-13 11:27
只看该作者 | 小 中 大 相对论性拉格朗日函数的明显协变的处理方法为了作明显协变的描述，用四元位置矢量和U代替通常的变量x和U。我们可以记为，这一明显协变形式是导出运动方程dU/dτ=0的变分计算的起点。但是，要把约束方程加到运动方程上。为此可以采用拉格朗日乘子法，但我们采用一种不同的等效方法。作用量中的初积函数是四维空间的无穷小长度元。作用量积分是一个沿粒子世界线的积分，最小作用量原理表述为：实际路线是最长的路线，即短程线；对事件的类时间隔来说，短程线是最长原时。
转换成共轭动量和哈密顿函数的过程是相当简单的，但有一些问题要加以解释。共轭的四元动量矢量由P=mU+(e/c)A确定，上述哈密顿函数在形式上是满意的，可是它还存在几个问题。首先，根据定义，它是一个洛伦兹标量，不是一个类似能量的量。其次，可以证明哈密顿量恒等于零。显然，这样一种哈密顿函数表述跟熟知的非相对论性哈密顿函数有很大的差别。
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28楼 发表于: 2010-01-14 10:59
只看该作者 | 小 中 大 核力相互作用实验上已经确定，π介子的自旋是零，但其“内禀宇称”是奇的。对于荷电π介子，由反应：正π+ d↔ p+ p；应用细致平衡给出自旋为零，因为在两个方向上进行的这些过程的比值是由统计权重决定的。“内禀宇称”通过如下的观察来测定：负π从氘原子的K层被俘获，导致两个中子：负π+ d↔ n +n；按照不相容原理，能由两个中子构成的唯一的J=1的态的宇称是-1。如果宇称守恒可以用于这个强作用反应中，负π介子也必须具有奇宇称。
在这一宇称的指定中，我们遵照通常的约定，选择质子和中子具有相同的内禀宇称+1，也就是说，在空间反射下给它们的波函数指定相同的位相φ=0，使得对于x’=-x, ψ’(x’,t)=+γ×ψ(x,t)，因为负π是从一个球对称s轨道上被俘获的，指定给它的波函数的宇称-1被认为是它的“内禀宇称”。零自旋和负内禀宇称的性质为正π和负π介子所共同具有，它们互为反粒子。对于中性π介子，观察双光子衰变：中性π→ γ+ γ。
并结合观察“Dalitz偶”在极化平面内的关联，确定它的自旋为零，宇称为-1。有了这点知识，我们沿着电动力学的线索继续把核力讨论模型化，而从更仔细地讨论起因于交换单个中性π介子的质子-质子散射来开始。例如，考虑质子1在一个由质子2产生的“π介子场”中被散射，它类似于在电子-质子散射中讨论到的电磁势A(x)。
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29楼 发表于: 2010-01-14 12:47
只看该作者 | 小 中 大 核力相互作用为了描述质子-质子散射的过程，我们写出一个尝试性的Dirac方程，其中g是e的类似物而Γ是一个待定的Dirac矩阵。于是，我们推荐的介子场φ的方程，在一个待定符号η=±1的范围内。实际观察到在很高的准确度内宇称对于核力是守恒的，因此我们要求方程既是Lorentz协变的，又是宇称守恒的。于是，就需要选取Γ=iγ5，以使得右边像轴标量一样变换。
我们还可以验明，存在着一个保留方程不变的电荷共轭变换，因此，我们可以把空穴理论直接搬过来，并把负能解重新解释为反质子。反质子波函数满足相同的Dirac方程，只要中性π介子场与其电荷共轭场是全同的。相互作用的这个简单的形式多半是不正确的，或者充其量也是不完全的。与电磁相互作用的类似性加上简单性，是写出Dirac方程的唯一动机。
例如，我们已经任意地排除了包含场量导数的相互作用项的可能性，尽管在讨论荷电π介子的电磁耦合时我们已经遇到过这样的项。因此我们应该把Dirac和Klein-Gordon当作只不过是一个粗糙的简单的模型。因为无疑的，自然具有比这些方程所显示的更为丰富的想像力。这个模型的好处是：它容许讨论核相互作用的一般特征，这些特征在更一般的处理中保留下来。
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30楼 发表于: 2010-01-15 22:39
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31楼 发表于: 2010-01-19 16:19
只看该作者 | 小 中 大 核力相互作用中子-中子散射用类似的方式来描述。我们必须写出一个中子的波动方程，它含有有与中性π的相互作用项。此外，我们还要加上一个产生中性π的中子源项。这里，重要的实验根据是观察到的p-p力和n-n力(在由诸如质子之间的Coulomb力等电磁相互作用所引起的修正的范围内)的相等。这就暗示着：在一个符号ε=±1仍然待定的范围内，中子与中性π介子之间的耦合和质子与中性π介子之间的耦合是相同的。
中子与质子之间的微小质量差0.002MeV被解释为由于质子电荷的电磁效应所引起的，并且在这个近似下，连同所有其他电磁相互作用一起被忽略。当我们进而讨论p-n散射时，我们还必须考虑到与荷电的正π和负π介子的耦合。在散射振幅只包含一个介子交换的最低阶近似中，除了非电荷交换散射之外，这些耦合还导致电荷交换型的图。在写出正π的波动方程时，我们又是以观察到的n-p力和p-p力，在可用于p-p系统的态中，在电磁修正的范围内，二者相等。
一个正π就在一个质子嬗变成中子时从这个顶点发射出来。然后，正π可以沿时间正向或逆向传播。如果是逆向传播，则它被解释为具有正能量的负π介子，沿时间正向前进并在顶点上被吸收。为了限制留在波动方程中的常数，我们考虑n-p散射并写出与两个最低阶Feynman图相联系的振幅。
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32楼 发表于: 2010-01-21 09:59
只看该作者 | 小 中 大 同位旋形式按照在相应的态中，n-n、n-p和p-p散射振幅应相等的要求，把规则总结在一起，我们可以利用一个实的未知耦合常数把波动方程写出来。质子与中子的方程在形式上的类似启发我们引起一个核子波函数来描述它们。核子波函数用一个八-分量旋量来代表，上面四个分量代表质子旋量，下面四个分量代表中子旋量。自由Dirac方程是对角的，在p分量与n分量之间没有耦合；而在“电荷无关”近似中，加上质子和中子质量近似相同，自由Dirac方程很简单。
对于在方程中的相互作用项，我们必须引进把n和p波函数混合的非对角矩阵。作为这种混合的一个记号，引进三个Pauli矩阵是方便的，其中每一个元素理解为作用于中子或质子波函数的所有四个分量，我们以τ标记这里的矩阵，是为了把它们与Pauli矩阵σ相区别，后者作用于中子和质子的自旋分量。阶跃算符分别是电荷“增加”和“降低”算符。
我们把方程进一步简化为非常紧凑的形式，如果我们引进一个“矢量”φ，具有三个分量。对于π介子和核子的这种紧凑的“同位旋”标记法代表着纯粹的形式改变，并没有伴随着什么新的物理变化。用一个虚构的“同位旋空间”的语言，我们可以设想Ψ像一个旋量一样变换，而φ像一个矢量一样变换。于是，波动方程在同位旋空间转动下两者都是协变的。这个协变性是限制耦合项形式的一个后果，由于这个限制，质子与中子，荷电的与中性的π介子，分担着完全相同的相互作用，并在不出现电磁效应时是等价的。相反地，我们可以把整个程序反过来证明：对于在同位旋空间转动下是不变的任何这种波动方程的集合，n-n、n-p、p-p力在相应的态中是相等的。
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33楼 发表于: 2010-01-27 09:50
只看该作者 | 小 中 大 光锥变量在很多高能的反应中，人们能够确定被观测到的粒子是来自于哪个碰撞粒子。例如，在如下的反应中，b+a→c+X，人们有时能够确认被观测到的粒子c是从入射粒子b碎裂出来，或是从靶粒子a碎裂出来。当c被认为是从入射粒子b碎裂出来的时候，这个反应叫做入射粒子碎裂反应(或射弹碎裂反应)。若在某个动量区域内被观测到的粒子c主要是由这种反应产生，则此区域叫做入射粒子碎裂区(或射弹碎裂区)，它在入射轴的前方。
在反应中，沿入射粒子的方向称为纵轴方向，我们把纵轴取为z轴，产生粒子在此方向上的运动学性质与垂直于入射轴横向上的运动学性质有很大的不同。任何粒子在两个不同惯性参照系内的向前光锥动量，由于洛伦兹变换，彼此之间只相差一个固定的乘积因子。因而，对于粒子b和由其碎裂产生的粒子c，它们向前光锥动量之比是洛伦兹不变的。定义产生粒子c相对于其母体粒子的向前光锥变量，则向前光锥变量x+总是正的。又因为c的向前光锥动量不会大于b的向前光锥动量，所以向前光锥变量x+的上限是1；它是一个与参照系无关的洛伦兹不变量。
虽然我们引入光锥变量的目的是为了描述产生粒子c和其母体粒子b的向前光锥动量之间的关系，但是由于其具有洛伦兹不变性，x+有时也用来描述一个粒子c和另一个参考粒子b之间动量的关系，而不论它们是否有母子关系。这时，参考粒子c的向前光锥动量为粒子c动量的测量提供了标尺。
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34楼 发表于: 2010-02-10 11:44
只看该作者 | 小 中 大 原子核中相对论对称性然而，在实际的原子核中，赝自旋对称性必然破缺，否则不能形成束缚和稳定的原子核。同时，基于目前的理论框架，主导赝自旋对称性破缺的赝自旋-轨道势存在数学上的奇点，能否运用微扰论进行处理成为一个疑问。另外，目前赝自旋对称性的相对论理论解释仅适用于只包含局域势或等效势的原子核系统，而更一般的介子交换理论却包含着非局域的势场。
再有，目前的一些探索已经预示着原子核的赝自旋对称性与量子色动力学存在着密切的关系。因此，对赝自旋对称与破缺的解释尚需要对以下几个问题进行回答：(1)如何克服数学上的奇点，自洽地运用微扰论解释赝自旋对称性的破缺；(2)如果把目前的赝自旋对称性的相对论理论解释推广到包含非局域势的原子核系统；(3)如果将原子核的赝自旋对称性与量子色动力学理论结合。[7]Ginocchio J N.Phys. Rev Lett,1997,78:436.
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35楼 发表于: 2010-02-10 12:51
只看该作者 | 小 中 大 相对论平均场理论过去几十年中，平均场理论因其对许多核物理现象的成功描述引起了人们广泛的关注，其中包括基于Skyrme或Gogny有效相互作用的非相对论平均场理论以及基于有效介子交换的相对论平均场理论等。在相对论平均场理论的框架下，核子间的相互作用由介子和光子场交换提供，核子运动的平均场源自标量介子提供的标量势和矢量介子和光子提供的矢量势。
利用有限的几个自由参数，如介子质量、介子-核子耦合常数等，相对论平均场理论在定量描述核物质、β稳定线附近的原子核以及远离β稳定线的丰中子或丰质子奇特核等核多体系统方面已经取得了很大的成功。同时，相对论平均场理论还自然地给出了自旋-轨道耦合势，并基于相对论对称性解释了赝自旋对称性的起源以及提出了反核子谱中可能存在的自旋对称性等。为了解释偶偶核与奇A核之间的结合能差以及形变偶偶核的转动惯量系统地小于其邻近的奇A核转动惯量等实验结果，自20世纪50年代以来，原子核中的超流现象，或者说对关联效应，一直是核结构以及核物质研究中的重要课题。
1991年，Kucharek和Ring首次在相对论框架下研究了无限核物质中的超流性。通过量子化介子场，他们导出了相对论的Hartree-Boboliubov方程。但是，如果在粒子-粒子道(pp道)采用单玻色子交换势，则所得到的对称核物质中的对能隙比使用Gogny有效相互作用或者更为实际的Bonn势得到的结果要大3倍左右。因此，在包括对关联的相对论理论计算中，一般都采用非相对论框架下pp道的有效相互作用。在恰当地考虑对关联和连续谱效应后，相对论的Hartree-Boboliubov方程在对远离β稳定线的奇特核性质描述方面取得了成功。
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36楼 发表于: 2010-02-13 14:27
只看该作者 | 小 中 大 规范不变性我们知道，经典电动力学中场势的选择是非单值的。四维电磁势的分量可以进行任何规范变换，对平面波而言，如果仅考虑不改变势的形状与因子的变换，非单值性可以归结为可以给波的振幅加任一与四维动量成正比的四维矢量。势的非单值性在量子理论中继续存在，当然这时它与场算符或光子波函数相关。为了避免预先决定势的选择方式，如果规范变换不改变函数对坐标和时间的依赖关系，就必须用算符四维势的相应展开式取代规范势。
极化的横向性意味着，总可以选择四维矢量e的形式为e•k=0的规范，这种规范我们称之为三维横向规范。写成四维协变形式，这个条件就变成四维横向条件ek=0。我们注意到，由于：四维动量平方=0，这个条件不因规范变换而破坏。另一方面，粒子的四维动量的平方等于零意味着它的质量等于零。这就揭示了规范不变性与光子质量等于零之间的关系。
对参与某过程的光子的波函数进行规范变换时，任何可观测的物理量都不应该改变。这个规范不变性要求在量子电动力学中所起的作用甚至比在经典理论中还要大。我们将在许多例子中看到，规范不变性与相对论不变性一样，是一种强有力的启发性原则。此外，理论的规范不变性又与电荷守恒定律紧密联系着。规范不变性要求四维电磁势矢量只能以反对称张量的形式出现在四维流矢量中。由此可见，四维流矢量应该是电磁场强张量的双线性组合。但是，这样的四维矢量一般不可能组成，这是由于满足所述条件的任何表达式都因横向条件而等于零，更何况它实际上已经不再是正定的了，因为它包含四维动量的奇次幂。
光子的坐标波函数不能解释成它在空间各处出现的几率振幅。从数学方面来讲，这是由于用这种波函数不能构成哪怕是形式上具有几率密度性质的量。这样的量本质上必须由电磁势波函数及其复共轭的正定双线性组合表示。此外，它应该满足一定的相对论协变性要求，即它应该是四维矢量的时间分量；这是因为，表示粒子数守恒的连续性方程的四维形式是四维流矢量的散度为零；在这里，四维流矢量的时间分量就是粒子在空间各处出现的几率密度。
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37楼 发表于: 2010-02-13 14:53
只看该作者 | 小 中 大 光子的产生与湮灭算符场的能量公式引起下面的困难：场的最低能级对应所有振子的量子占位符等于零的状态，称为电磁场真空态。但是甚至在这个状态中，每个振子还具有非零的“零点能量”。对无限多个振子求和，将得到无限大的结果。这样，我们就碰到了一种“发散”困难，它是由于现有理论缺乏完整的逻辑严密性而产生的。如果所谈论的仅是场能量的本征值，只要删去零点振动能量，就能消除这个困难，即只要把算符看成“正规积”，就可以在形式上消除发散困难。
公式使我们能够引入一个贯穿量子电动力学始终的基本概念，辐射量子或光子。也就是说，我们可以把自由电磁场看成粒子的集合，这种粒子每个具有能量ħω和动量k(=nħω/c)。光子的能量和动量之间的关系与相对论力学中静质量为零、以光速运动的粒子的相同。占有数现在表示具有给定动量k和极化e(α)的光子数。光子的极化类似于其他粒子的自旋。
这正是光子系统的二次量子化方法。在这个方法中，独立变量是状态的占有数，而算符作用在占有数的函数上。这时起主要作用的是粒子的“湮灭”和“产生”算符，它们分别使占有数减少或增加1；湮灭算符消灭一个状态为k、α的光子，而产生算符产生一个这种状态的光子。由于任一状态中可容许的光子数不受限制，因此，光子是玻色子。
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38楼 发表于: 2010-02-13 15:26
只看该作者 | 小 中 大 自由电磁场的量子化为了把电磁场作为量子客体处理，一开始就用无限多个分立变量描述场比较方便。用这种经典描述方法，能使我们直接采用量子力学惯用的形式表述。用每个空间点上的势来表述场，实质上是用一组连续变量描述场。设A(r,t)是自由电磁场的矢量势，满足横向条件divA=0。这时标量势Φ=0，Maxwell方程组可以化为A的波动方程。
在经典电动力学中，用一组分立变量描述场的方法，是通过研究一个很大而有限的体积V中的场引入的；按照横向条件，复矢量与相应的波矢量正交。各复矢量给定后，该区域内的场就完全确定。于是这些量就可以作为一组分立的经典“场变量”。但是，为了阐明向量子理论过渡的方法，还需要对这些变量进行某种变换，使得场方程在形式上类似于经典力学中的正则方程(哈密顿方程)。每个正则矢量都垂直于波矢量k，因而都有两个独立的分量。
这些矢量的方向决定了相应的波的极化(偏振)方向。由此可见，哈密顿函数可以写成一系列独立项之和，其中的每一项只包含正则变量，对应着一个具有确定波矢量和极化的行波，其形式与一维谐振子的哈密顿函数相同。现在来讨论自由电磁场的量子化。上面所谈的场的经典描述过渡到量子理论的方法是显而易见的。先把正则变量，广义坐标和广义动量看成遵守对易规则的算符，具有不同k、α的算符都可以相互对易。电磁势A和场强E、H也都变成了算符。最后，确定场的哈密顿量要求计算积分Ĥ。哈密顿算符Ĥ的最后表达式恰好与经典哈密顿函数的形式完全相同，这自然是我们所期待的。
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39楼 发表于: 2010-02-13 15:42
只看该作者 | 小 中 大 自由电磁场的哈密顿算符确定这个哈密顿算符Ĥ的本征值并不要求特别的计算，因为它等同于线性振子的能级问题，所以我们能够直接写出场的能级。符号e(α)是振子极化方向的单位矢量，与波矢量k垂直；对每个k来说，都有两个独立的极化方向。类似地，我们可以写出Ê和Ĥ。如果它们的差别只在于极化，由于两个独立的极化方向互相正交。类似的关系对矢量E(k,α)、H(k,α)也是正确的，它们的正交性可以方便地写出。在经典理论中，场的动量定义为E×H的积分。
过渡到量子理论时，用算符代替E和H，不难求出动量算符，与大家熟知的平面波的能量和动量的经典关系是一致的。这个算符的本征值，根据矩阵元建立的算符表象是“占有数表象”，通过给出占有数来描写场的状态。在这个表象中，系统的波函数依靠占有数表达，场算符就作用在这个函数上。场算符不是时间的显函数，这与非相对论量子力学中惯用的算符的薛定谔表象是一致的。这时系统的状态却是依赖于时间的，其依赖关系决定于薛定谔方程。
场的这种描写既然以相对论不变的Maxwell方程为基础，自然也是相对论不变的。但是这个不变性并未明显地表现出来，主要是由于空间坐标和时间以极不对称的形式出现在场的描写中。在相对论性理论中，使场的描写具有更明显的不变性更为合适。为此目的，必须采用所谓的海森堡表象，在海森堡表象中，算符本身随时间变化。这样一来，时间和坐标将平等地出现在场算符的表达式中，而系数的状态Φ只是占有数的函数。
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对论性带电粒子的拉格朗日函数我们可以把在外场E和B中一个带电荷e的粒子的运动方程写成协变形式，式中m为粒子的质量，τ为粒子的原时，U为粒子的四元速度。虽然运动方程是以描述一个带电粒子在外电磁场中的一般运动(忽略粒子的辐射场)，但是用拉格朗日和哈密顿力学的观点来考虑动力学的表述，往往是有益的。拉格朗日力学的论述是以最小作用原理或哈密顿原理为基础的。
在非相对论力学里，系统是用广义坐标和广义速度来描写的。拉格朗日函数L是广义坐标和广义速度的一个泛函，也许还显含时间t；作用量A定义为L沿该系统的一条可能路线的时间积分。最小作用原理表述于下：一个力学系统是这样运动的，当它从时间t1的组态变到时间t2的组态时，作用量A是一个极值。考虑广义坐标和广义速度偏离实际路线的微小变更，并要求δA=0，便得到欧拉-拉格朗日运动方程。
我们想要把上述形式推广到相对论性粒子运动，使得到的结果符合狭义相对论，并且对外场中的带电粒子导出其运动方程。可以有几种处理方法，这些方法的精巧程度是不相同的。精巧程度最差的、人们最熟悉的一种处理方法，是继续用普通的坐标、速度和时间，直接从非相对论范围进行推广。较精巧的一种方法，是按明显协变形式加以处理的。
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20楼 发表于: 2009-11-06 12:38
只看该作者 | 小 中 大 相对论性带电粒子的拉格朗日函数我们可以把在外场E和B中一个带电荷e的粒子的运动方程写成协变形式，式中m为粒子的质量，τ为粒子的原时，U为粒子的四元速度。虽然运动方程是以描述一个带电粒子在外电磁场中的一般运动(忽略粒子的辐射场)，但是用拉格朗日和哈密顿力学的观点来考虑动力学的表述，往往是有益的。拉格朗日力学的论述是以最小作用原理或哈密顿原理为基础的。
在非相对论力学里，系统是用广义坐标和广义速度来描写的。拉格朗日函数L是广义坐标和广义速度的一个泛函，也许还显含时间t；作用量A定义为L沿该系统的一条可能路线的时间积分。最小作用原理表述于下：一个力学系统是这样运动的，当它从时间t1的组态变到时间t2的组态时，作用量A是一个极值。考虑广义坐标和广义速度偏离实际路线的微小变更，并要求δA=0，便得到欧拉-拉格朗日运动方程。
我们想要把上述形式推广到相对论性粒子运动，使得到的结果符合狭义相对论，并且对外场中的带电粒子导出其运动方程。可以有几种处理方法，这些方法的精巧程度是不相同的。精巧程度最差的、人们最熟悉的一种处理方法，是继续用普通的坐标、速度和时间，直接从非相对论范围进行推广。较精巧的一种方法，是按明显协变形式加以处理的。
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21楼 发表于: 2009-12-09 13:32
只看该作者 | 小 中 大 相对论性粒子我们现在转入讨论动力学问题，讨论在外电磁场中带电粒子的运动的动力学。介绍用拉氏函数推导运动方程的方法，这主要是为了引进洛伦兹不变作用量的概念，由此可以导出协变式动力学方程。接着利用正则动量的定义，讨论向哈密顿函数的过渡。随后叙述力的洛伦兹变换性质以及所面临的困难，即若不作另外的假定，就无法从库仑定律导出Maxwell方程组。
在论述均匀静磁场中的运动以后，就探讨电场和磁场并存情况下的运动。而后讨论非均匀磁场引起粒子轨道的长期变化(漂移)和耦合磁通量的绝热式不变性。论述相互作用带电粒子系统的相对论性拉格朗日函数问题，同时证明：当准确到(v/c)平方级，就可能消除推迟效应，并用粒子的瞬时位置和瞬时速度写出拉格朗日函数(达尔文-拉格朗日函数)。
最后重点放在电磁场上。首先，由一个适当的拉格朗日函数导出Maxwell方程组。其次，介绍描述一个带质量的“光子”的修正拉格朗日函数，以及把它用于谐振电路、传输线和谐振腔所得的结果。然后讨论电磁场哈密顿函数的协变式推广，以及无源的电磁场和与带电粒子相互作用的电磁场的能量、动量、角动量守恒定律。
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22楼 发表于: 2010-01-09 10:36
只看该作者 | 小 中 大 求相对论性拉格朗日函数的基本方法为了求得外场中一个粒子的相对论性拉格朗日函数，我们首先讨论拉格朗日函数的洛伦兹变换性质这一问题。根据狭义相对论第一条假设，作用量积分必定是一个洛伦兹不变量，因为运动方程是由极值条件δA=0确定的。如果我们通过dt=γdτ引进粒子的原时τ，则作用量积分变为A=∫γLdτ。因为原时是不变量，所以要得到A也是不变量这个条件，就要求γL是洛伦兹不变量。
自由粒子的拉格朗日函数可以是粒子速度和粒子质量的一个函数，但可以与粒子位置无关。唯一可以利用的以速度为变量的洛伦兹不变函数是U。于是，我们推断：自由粒子的拉格朗日函数与1/γ成正比，从而得到自由粒子的运动方程d(γmu)/dt=0。作用量与原时从初原时到终原时的路线积分成正比。这积分是洛伦兹不变量，但与所取的积分路线无关。
为了计算这积分，我们考虑粒子在初始时静止的那个参照系。由原时的定义显然可知，如果粒子在该参照系中静止不动，则原时积分要比粒子以非零速度沿路线运动时的大。因此我们看到，连接路线的起点和终点的一条直的世界线给出最大的原时积分，或因自由拉格朗日函数中的负号，给出最小的作用量积分。当然，这种恒定速度的运动就是自由粒子运动方程的解。
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23楼 发表于: 2010-01-09 10:56
只看该作者 | 小 中 大 求相对论性拉格朗日函数的基本方法只要我们知道静止场中非相对论性运动的拉格朗日函数(或运动方程)，我们就可以从γL是洛伦兹不变量这一普遍要求，来确定一个相对论性带电粒子在外电磁场中的拉格朗日函数。一个缓慢运动的带电粒子主要受电场的影响，电场可从标势Φ导出。相互作用势能为V=eΦ。因为非相对论性拉格朗日函数是(T-V)，所以相对论性拉格朗日函数和相互作用部分，在非相对论极限下必须简化为=-eΦ。于是我们的问题就变为求γL相互的洛伦兹不变式。
它对于非相对论性速度来说，将简化为-eΦ。因为Φ是四元矢势A的时间分量，所以我们预期作用量要包含A与某四元矢量的标积。可资利用的其它四元矢量，仅仅是粒子的动量矢量和位置矢量。因为γ与拉格朗日函数的乘积必须是平移不变量和洛伦兹不变量，所以它不能显含坐标。因此，相互作用的拉格朗日函数必须是-eUA/γc或-eΦ+eu•A/c。
得到带电粒子的完整的相对论性拉格朗日函数，可以证明此拉氏函数确实能导出洛伦兹力方程。在证明时，必须用到对流导数[d/dt=(∂/∂t)+u•v]以及用势来表示的场的标准定义。
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24楼 发表于: 2010-01-09 11:18
只看该作者 | 小 中 大 求相对论性拉格朗日函数的基本方法得到和位置坐标x共轭的正则动量P，P=P+eA/c，式中P=γmu是普通的动量。哈密顿函数H是坐标x及其共轭动量P的函数，如果拉格朗日函数不是时间的显函数，哈密顿函数就是一个运动常数。用拉格朗日函数定义的哈密顿函数是H=P•u-L，速度u必须从式中消去，以使H是P和x的函数。读者还可以证明，将诸哈密顿运动方程合并，可以得到洛伦兹力方程。
哈密顿量是粒子总能量W的一个表达式。它和自由粒子能量的差别在于多了一项势能eΦ，并将P换成了[P-(e/c)A]。实际上，这两个修正项只是一个四元矢量的变化。将哈密顿量中的eΦ项移到左边，再两边取平方，就可以看出这一点。这正好是四元矢量的标积。我们看到，总能量W/c相当于正则共轭四元动量的时间分量，而共轭动量给出的是空间部分。
在下面的段落中讨论的一种明显协变的处理方法，很自然地导出了这个四元动量。顺便指出规范变换的问题。显然，运动方程在势的规范变换下是不变的。因为拉格朗日函数显含势，所以它不是不变量。尽管L在规范变换下不具有不变性，仍然可以证明拉格朗日函数的变化是这样一种形式的变化(时间全导数)，它不改变作用量积分或运动方程。
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25楼 发表于: 2010-01-09 13:19
只看该作者 | 小 中 大 Klein-Gordon方程的非相对论性约化和解释存在着这样的物理情况，在这种情况下，用通常单粒子量子力学以及几率解释的语言对π介子作近似描述是很合乎需要的。例如，荷电π介子与物质中的原子电场和磁场、或者与外加场的相互作用，以及π-介子原子的性质，都可以从这种观点来研究。这与单粒子的Dirac电子理论获得成功的应用和成功的解释相类似。在这些情况下，我们希望展现一个向薛定谔方程以及向经典对应极限靠拢的非相对论性化简。
刚开始时，似乎是不可能建立一个准确的、具有几率解释的单粒子量子力学，于是我们放弃了二阶Klein-Gordon方程。我们这样做了而倾向于Dirac方程，因为它和非相对论性薛定谔理论一样，对时间的导数是一阶的。但是，现在我们已经清楚地看到，Dirac方程的单粒子图像仅仅适用于有限的情况，诸如弱的、缓变的场，在这种场中，正能谱和负能谱之间仍然留下了一个宽的能隙。在这种物理情况下，我们转来寻求Klein-Gordon方程的单粒子量子力学。
为了把Klein-Gordon方程化为仅含时间的一阶导数的薛定谔形式，我们的第一步是把方程重写成一对一阶方程。较为方便的是引进两个线性组合θ和χ，它们具有简单的非相对论性极限。对于一个静止的正能自由粒子，χ=0；对于负能态，或反粒子解，θ=0；因而，θ起着类似于Dirac旋量的大分量的作用，而χ起着类似于小分量的作用。
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26楼 发表于: 2010-01-13 09:51
只看该作者 | 小 中 大 达尔文-拉格朗日函数如果现在考虑两个或两个以上带电粒子的相互作用拉格朗日函数的一般表述问题。我们就会看到，只有在非相对论性速度下才能有这种表述。假定拉格朗日函数是所有粒子的瞬时速度和瞬时坐标的函数。当考虑到电磁场以有限速度传播时，这种假定就不可能成立了，因为其它粒子在某一粒子位置上所产生的势的值与那些粒子在“推迟”时间的运动状态有关。
只有当推迟效应可以忽略不计时，才可能用瞬时位置和瞬时速度表示的拉格朗日函数来描述粒子系统。因此，人们也许认为，只有在静态极限[即零级的(v/c)]下才可能用拉格朗日函数来表述。但是，我们现在要来证明：把最低级相对论性修正项考虑进去，可以给出相互作用粒子的近似的拉格朗日函数，它准确到(v/c)的平方级。我们只要考虑两个相互作用粒子就够了。
在静态极限下，相互作用的拉格朗日函数恰好是静电势能的负值。如果把注意力放在第一个粒子上，就可以把相互作用L看成是第二个粒子在第一个粒子位置上产生的势和第一个粒子电荷的乘积的负值。如果我们想把它推广到静态极限以外的情形，就必须确定标势和矢势的某一级近似值。一般说来，标势和矢势都要进行相对论性修正。但在库仑规范下，由瞬时库仑势给出标势，并准确到v/c的各次幂。
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27楼 发表于: 2010-01-13 11:27
只看该作者 | 小 中 大 相对论性拉格朗日函数的明显协变的处理方法为了作明显协变的描述，用四元位置矢量和U代替通常的变量x和U。我们可以记为，这一明显协变形式是导出运动方程dU/dτ=0的变分计算的起点。但是，要把约束方程加到运动方程上。为此可以采用拉格朗日乘子法，但我们采用一种不同的等效方法。作用量中的初积函数是四维空间的无穷小长度元。作用量积分是一个沿粒子世界线的积分，最小作用量原理表述为：实际路线是最长的路线，即短程线；对事件的类时间隔来说，短程线是最长原时。
转换成共轭动量和哈密顿函数的过程是相当简单的，但有一些问题要加以解释。共轭的四元动量矢量由P=mU+(e/c)A确定，上述哈密顿函数在形式上是满意的，可是它还存在几个问题。首先，根据定义，它是一个洛伦兹标量，不是一个类似能量的量。其次，可以证明哈密顿量恒等于零。显然，这样一种哈密顿函数表述跟熟知的非相对论性哈密顿函数有很大的差别。
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28楼 发表于: 2010-01-14 10:59
只看该作者 | 小 中 大 核力相互作用实验上已经确定，π介子的自旋是零，但其“内禀宇称”是奇的。对于荷电π介子，由反应：正π+ d↔ p+ p；应用细致平衡给出自旋为零，因为在两个方向上进行的这些过程的比值是由统计权重决定的。“内禀宇称”通过如下的观察来测定：负π从氘原子的K层被俘获，导致两个中子：负π+ d↔ n +n；按照不相容原理，能由两个中子构成的唯一的J=1的态的宇称是-1。如果宇称守恒可以用于这个强作用反应中，负π介子也必须具有奇宇称。
在这一宇称的指定中，我们遵照通常的约定，选择质子和中子具有相同的内禀宇称+1，也就是说，在空间反射下给它们的波函数指定相同的位相φ=0，使得对于x’=-x, ψ’(x’,t)=+γ×ψ(x,t)，因为负π是从一个球对称s轨道上被俘获的，指定给它的波函数的宇称-1被认为是它的“内禀宇称”。零自旋和负内禀宇称的性质为正π和负π介子所共同具有，它们互为反粒子。对于中性π介子，观察双光子衰变：中性π→ γ+ γ。
并结合观察“Dalitz偶”在极化平面内的关联，确定它的自旋为零，宇称为-1。有了这点知识，我们沿着电动力学的线索继续把核力讨论模型化，而从更仔细地讨论起因于交换单个中性π介子的质子-质子散射来开始。例如，考虑质子1在一个由质子2产生的“π介子场”中被散射，它类似于在电子-质子散射中讨论到的电磁势A(x)。
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29楼 发表于: 2010-01-14 12:47
只看该作者 | 小 中 大 核力相互作用为了描述质子-质子散射的过程，我们写出一个尝试性的Dirac方程，其中g是e的类似物而Γ是一个待定的Dirac矩阵。于是，我们推荐的介子场φ的方程，在一个待定符号η=±1的范围内。实际观察到在很高的准确度内宇称对于核力是守恒的，因此我们要求方程既是Lorentz协变的，又是宇称守恒的。于是，就需要选取Γ=iγ5，以使得右边像轴标量一样变换。
我们还可以验明，存在着一个保留方程不变的电荷共轭变换，因此，我们可以把空穴理论直接搬过来，并把负能解重新解释为反质子。反质子波函数满足相同的Dirac方程，只要中性π介子场与其电荷共轭场是全同的。相互作用的这个简单的形式多半是不正确的，或者充其量也是不完全的。与电磁相互作用的类似性加上简单性，是写出Dirac方程的唯一动机。
例如，我们已经任意地排除了包含场量导数的相互作用项的可能性，尽管在讨论荷电π介子的电磁耦合时我们已经遇到过这样的项。因此我们应该把Dirac和Klein-Gordon当作只不过是一个粗糙的简单的模型。因为无疑的，自然具有比这些方程所显示的更为丰富的想像力。这个模型的好处是：它容许讨论核相互作用的一般特征，这些特征在更一般的处理中保留下来。
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30楼 发表于: 2010-01-15 22:39
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31楼 发表于: 2010-01-19 16:19
只看该作者 | 小 中 大 核力相互作用中子-中子散射用类似的方式来描述。我们必须写出一个中子的波动方程，它含有有与中性π的相互作用项。此外，我们还要加上一个产生中性π的中子源项。这里，重要的实验根据是观察到的p-p力和n-n力(在由诸如质子之间的Coulomb力等电磁相互作用所引起的修正的范围内)的相等。这就暗示着：在一个符号ε=±1仍然待定的范围内，中子与中性π介子之间的耦合和质子与中性π介子之间的耦合是相同的。
中子与质子之间的微小质量差0.002MeV被解释为由于质子电荷的电磁效应所引起的，并且在这个近似下，连同所有其他电磁相互作用一起被忽略。当我们进而讨论p-n散射时，我们还必须考虑到与荷电的正π和负π介子的耦合。在散射振幅只包含一个介子交换的最低阶近似中，除了非电荷交换散射之外，这些耦合还导致电荷交换型的图。在写出正π的波动方程时，我们又是以观察到的n-p力和p-p力，在可用于p-p系统的态中，在电磁修正的范围内，二者相等。
一个正π就在一个质子嬗变成中子时从这个顶点发射出来。然后，正π可以沿时间正向或逆向传播。如果是逆向传播，则它被解释为具有正能量的负π介子，沿时间正向前进并在顶点上被吸收。为了限制留在波动方程中的常数，我们考虑n-p散射并写出与两个最低阶Feynman图相联系的振幅。
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32楼 发表于: 2010-01-21 09:59
只看该作者 | 小 中 大 同位旋形式按照在相应的态中，n-n、n-p和p-p散射振幅应相等的要求，把规则总结在一起，我们可以利用一个实的未知耦合常数把波动方程写出来。质子与中子的方程在形式上的类似启发我们引起一个核子波函数来描述它们。核子波函数用一个八-分量旋量来代表，上面四个分量代表质子旋量，下面四个分量代表中子旋量。自由Dirac方程是对角的，在p分量与n分量之间没有耦合；而在“电荷无关”近似中，加上质子和中子质量近似相同，自由Dirac方程很简单。
对于在方程中的相互作用项，我们必须引进把n和p波函数混合的非对角矩阵。作为这种混合的一个记号，引进三个Pauli矩阵是方便的，其中每一个元素理解为作用于中子或质子波函数的所有四个分量，我们以τ标记这里的矩阵，是为了把它们与Pauli矩阵σ相区别，后者作用于中子和质子的自旋分量。阶跃算符分别是电荷“增加”和“降低”算符。
我们把方程进一步简化为非常紧凑的形式，如果我们引进一个“矢量”φ，具有三个分量。对于π介子和核子的这种紧凑的“同位旋”标记法代表着纯粹的形式改变，并没有伴随着什么新的物理变化。用一个虚构的“同位旋空间”的语言，我们可以设想Ψ像一个旋量一样变换，而φ像一个矢量一样变换。于是，波动方程在同位旋空间转动下两者都是协变的。这个协变性是限制耦合项形式的一个后果，由于这个限制，质子与中子，荷电的与中性的π介子，分担着完全相同的相互作用，并在不出现电磁效应时是等价的。相反地，我们可以把整个程序反过来证明：对于在同位旋空间转动下是不变的任何这种波动方程的集合，n-n、n-p、p-p力在相应的态中是相等的。
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33楼 发表于: 2010-01-27 09:50
只看该作者 | 小 中 大 光锥变量在很多高能的反应中，人们能够确定被观测到的粒子是来自于哪个碰撞粒子。例如，在如下的反应中，b+a→c+X，人们有时能够确认被观测到的粒子c是从入射粒子b碎裂出来，或是从靶粒子a碎裂出来。当c被认为是从入射粒子b碎裂出来的时候，这个反应叫做入射粒子碎裂反应(或射弹碎裂反应)。若在某个动量区域内被观测到的粒子c主要是由这种反应产生，则此区域叫做入射粒子碎裂区(或射弹碎裂区)，它在入射轴的前方。
在反应中，沿入射粒子的方向称为纵轴方向，我们把纵轴取为z轴，产生粒子在此方向上的运动学性质与垂直于入射轴横向上的运动学性质有很大的不同。任何粒子在两个不同惯性参照系内的向前光锥动量，由于洛伦兹变换，彼此之间只相差一个固定的乘积因子。因而，对于粒子b和由其碎裂产生的粒子c，它们向前光锥动量之比是洛伦兹不变的。定义产生粒子c相对于其母体粒子的向前光锥变量，则向前光锥变量x+总是正的。又因为c的向前光锥动量不会大于b的向前光锥动量，所以向前光锥变量x+的上限是1；它是一个与参照系无关的洛伦兹不变量。
虽然我们引入光锥变量的目的是为了描述产生粒子c和其母体粒子b的向前光锥动量之间的关系，但是由于其具有洛伦兹不变性，x+有时也用来描述一个粒子c和另一个参考粒子b之间动量的关系，而不论它们是否有母子关系。这时，参考粒子c的向前光锥动量为粒子c动量的测量提供了标尺。
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34楼 发表于: 2010-02-10 11:44
只看该作者 | 小 中 大 原子核中相对论对称性然而，在实际的原子核中，赝自旋对称性必然破缺，否则不能形成束缚和稳定的原子核。同时，基于目前的理论框架，主导赝自旋对称性破缺的赝自旋-轨道势存在数学上的奇点，能否运用微扰论进行处理成为一个疑问。另外，目前赝自旋对称性的相对论理论解释仅适用于只包含局域势或等效势的原子核系统，而更一般的介子交换理论却包含着非局域的势场。
再有，目前的一些探索已经预示着原子核的赝自旋对称性与量子色动力学存在着密切的关系。因此，对赝自旋对称与破缺的解释尚需要对以下几个问题进行回答：(1)如何克服数学上的奇点，自洽地运用微扰论解释赝自旋对称性的破缺；(2)如果把目前的赝自旋对称性的相对论理论解释推广到包含非局域势的原子核系统；(3)如果将原子核的赝自旋对称性与量子色动力学理论结合。[7]Ginocchio J N.Phys. Rev Lett,1997,78:436.
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35楼 发表于: 2010-02-10 12:51
只看该作者 | 小 中 大 相对论平均场理论过去几十年中，平均场理论因其对许多核物理现象的成功描述引起了人们广泛的关注，其中包括基于Skyrme或Gogny有效相互作用的非相对论平均场理论以及基于有效介子交换的相对论平均场理论等。在相对论平均场理论的框架下，核子间的相互作用由介子和光子场交换提供，核子运动的平均场源自标量介子提供的标量势和矢量介子和光子提供的矢量势。
利用有限的几个自由参数，如介子质量、介子-核子耦合常数等，相对论平均场理论在定量描述核物质、β稳定线附近的原子核以及远离β稳定线的丰中子或丰质子奇特核等核多体系统方面已经取得了很大的成功。同时，相对论平均场理论还自然地给出了自旋-轨道耦合势，并基于相对论对称性解释了赝自旋对称性的起源以及提出了反核子谱中可能存在的自旋对称性等。为了解释偶偶核与奇A核之间的结合能差以及形变偶偶核的转动惯量系统地小于其邻近的奇A核转动惯量等实验结果，自20世纪50年代以来，原子核中的超流现象，或者说对关联效应，一直是核结构以及核物质研究中的重要课题。
1991年，Kucharek和Ring首次在相对论框架下研究了无限核物质中的超流性。通过量子化介子场，他们导出了相对论的Hartree-Boboliubov方程。但是，如果在粒子-粒子道(pp道)采用单玻色子交换势，则所得到的对称核物质中的对能隙比使用Gogny有效相互作用或者更为实际的Bonn势得到的结果要大3倍左右。因此，在包括对关联的相对论理论计算中，一般都采用非相对论框架下pp道的有效相互作用。在恰当地考虑对关联和连续谱效应后，相对论的Hartree-Boboliubov方程在对远离β稳定线的奇特核性质描述方面取得了成功。
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36楼 发表于: 2010-02-13 14:27
只看该作者 | 小 中 大 规范不变性我们知道，经典电动力学中场势的选择是非单值的。四维电磁势的分量可以进行任何规范变换，对平面波而言，如果仅考虑不改变势的形状与因子的变换，非单值性可以归结为可以给波的振幅加任一与四维动量成正比的四维矢量。势的非单值性在量子理论中继续存在，当然这时它与场算符或光子波函数相关。为了避免预先决定势的选择方式，如果规范变换不改变函数对坐标和时间的依赖关系，就必须用算符四维势的相应展开式取代规范势。
极化的横向性意味着，总可以选择四维矢量e的形式为e•k=0的规范，这种规范我们称之为三维横向规范。写成四维协变形式，这个条件就变成四维横向条件ek=0。我们注意到，由于：四维动量平方=0，这个条件不因规范变换而破坏。另一方面，粒子的四维动量的平方等于零意味着它的质量等于零。这就揭示了规范不变性与光子质量等于零之间的关系。
对参与某过程的光子的波函数进行规范变换时，任何可观测的物理量都不应该改变。这个规范不变性要求在量子电动力学中所起的作用甚至比在经典理论中还要大。我们将在许多例子中看到，规范不变性与相对论不变性一样，是一种强有力的启发性原则。此外，理论的规范不变性又与电荷守恒定律紧密联系着。规范不变性要求四维电磁势矢量只能以反对称张量的形式出现在四维流矢量中。由此可见，四维流矢量应该是电磁场强张量的双线性组合。但是，这样的四维矢量一般不可能组成，这是由于满足所述条件的任何表达式都因横向条件而等于零，更何况它实际上已经不再是正定的了，因为它包含四维动量的奇次幂。
光子的坐标波函数不能解释成它在空间各处出现的几率振幅。从数学方面来讲，这是由于用这种波函数不能构成哪怕是形式上具有几率密度性质的量。这样的量本质上必须由电磁势波函数及其复共轭的正定双线性组合表示。此外，它应该满足一定的相对论协变性要求，即它应该是四维矢量的时间分量；这是因为，表示粒子数守恒的连续性方程的四维形式是四维流矢量的散度为零；在这里，四维流矢量的时间分量就是粒子在空间各处出现的几率密度。
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37楼 发表于: 2010-02-13 14:53
只看该作者 | 小 中 大 光子的产生与湮灭算符场的能量公式引起下面的困难：场的最低能级对应所有振子的量子占位符等于零的状态，称为电磁场真空态。但是甚至在这个状态中，每个振子还具有非零的“零点能量”。对无限多个振子求和，将得到无限大的结果。这样，我们就碰到了一种“发散”困难，它是由于现有理论缺乏完整的逻辑严密性而产生的。如果所谈论的仅是场能量的本征值，只要删去零点振动能量，就能消除这个困难，即只要把算符看成“正规积”，就可以在形式上消除发散困难。
公式使我们能够引入一个贯穿量子电动力学始终的基本概念，辐射量子或光子。也就是说，我们可以把自由电磁场看成粒子的集合，这种粒子每个具有能量ħω和动量k(=nħω/c)。光子的能量和动量之间的关系与相对论力学中静质量为零、以光速运动的粒子的相同。占有数现在表示具有给定动量k和极化e(α)的光子数。光子的极化类似于其他粒子的自旋。
这正是光子系统的二次量子化方法。在这个方法中，独立变量是状态的占有数，而算符作用在占有数的函数上。这时起主要作用的是粒子的“湮灭”和“产生”算符，它们分别使占有数减少或增加1；湮灭算符消灭一个状态为k、α的光子，而产生算符产生一个这种状态的光子。由于任一状态中可容许的光子数不受限制，因此，光子是玻色子。
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38楼 发表于: 2010-02-13 15:26
只看该作者 | 小 中 大 自由电磁场的量子化为了把电磁场作为量子客体处理，一开始就用无限多个分立变量描述场比较方便。用这种经典描述方法，能使我们直接采用量子力学惯用的形式表述。用每个空间点上的势来表述场，实质上是用一组连续变量描述场。设A(r,t)是自由电磁场的矢量势，满足横向条件divA=0。这时标量势Φ=0，Maxwell方程组可以化为A的波动方程。
在经典电动力学中，用一组分立变量描述场的方法，是通过研究一个很大而有限的体积V中的场引入的；按照横向条件，复矢量与相应的波矢量正交。各复矢量给定后，该区域内的场就完全确定。于是这些量就可以作为一组分立的经典“场变量”。但是，为了阐明向量子理论过渡的方法，还需要对这些变量进行某种变换，使得场方程在形式上类似于经典力学中的正则方程(哈密顿方程)。每个正则矢量都垂直于波矢量k，因而都有两个独立的分量。
这些矢量的方向决定了相应的波的极化(偏振)方向。由此可见，哈密顿函数可以写成一系列独立项之和，其中的每一项只包含正则变量，对应着一个具有确定波矢量和极化的行波，其形式与一维谐振子的哈密顿函数相同。现在来讨论自由电磁场的量子化。上面所谈的场的经典描述过渡到量子理论的方法是显而易见的。先把正则变量，广义坐标和广义动量看成遵守对易规则的算符，具有不同k、α的算符都可以相互对易。电磁势A和场强E、H也都变成了算符。最后，确定场的哈密顿量要求计算积分Ĥ。哈密顿算符Ĥ的最后表达式恰好与经典哈密顿函数的形式完全相同，这自然是我们所期待的。
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39楼 发表于: 2010-02-13 15:42
只看该作者 | 小 中 大 自由电磁场的哈密顿算符确定这个哈密顿算符Ĥ的本征值并不要求特别的计算，因为它等同于线性振子的能级问题，所以我们能够直接写出场的能级。符号e(α)是振子极化方向的单位矢量，与波矢量k垂直；对每个k来说，都有两个独立的极化方向。类似地，我们可以写出Ê和Ĥ。如果它们的差别只在于极化，由于两个独立的极化方向互相正交。类似的关系对矢量E(k,α)、H(k,α)也是正确的，它们的正交性可以方便地写出。在经典理论中，场的动量定义为E×H的积分。
过渡到量子理论时，用算符代替E和H，不难求出动量算符，与大家熟知的平面波的能量和动量的经典关系是一致的。这个算符的本征值，根据矩阵元建立的算符表象是“占有数表象”，通过给出占有数来描写场的状态。在这个表象中，系统的波函数依靠占有数表达，场算符就作用在这个函数上。场算符不是时间的显函数，这与非相对论量子力学中惯用的算符的薛定谔表象是一致的。这时系统的状态却是依赖于时间的，其依赖关系决定于薛定谔方程。
场的这种描写既然以相对论不变的Maxwell方程为基础，自然也是相对论不变的。但是这个不变性并未明显地表现出来，主要是由于空间坐标和时间以极不对称的形式出现在场的描写中。在相对论性理论中，使场的描写具有更明显的不变性更为合适。为此目的，必须采用所谓的海森堡表象，在海森堡表象中，算符本身随时间变化。这样一来，时间和坐标将平等地出现在场算符的表达式中，而系数的状态Φ只是占有数的函数。
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