Wednesday, November 26, 2014

polar vortex 曲线，当弧长增加时，切矢量不断旋转，曲线也随之而弯曲，切矢量旋转得越快，曲线的弯曲程度也越大。所以，曲率的几何意义就是曲线的切矢量对于弧长的旋转速度。

penrose

曲线，当弧长增加时，切矢量不断旋转，曲线也随之而弯曲，切矢量旋转得越快，曲线的弯曲程度也越大。所以，曲率的几何意义就是曲线的切矢量对于弧长的旋转速度。

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《数理同源2》-广义相对论与黎曼几何-1 精选

已有 8735 次阅读 2014-7-10 08:54 |个人分类:系列科普|系统分类:科普集锦|关键词:相对论曲线几何曲率绕率

第二篇黎曼几何和广义相对论

1. 既古老又现代的几何学

几何是一门古老的学科。恐怕没有哪一门学科，像欧几里德几何学那样，在公元前就已经被创立成形，历经2000多年，至今还活跃在许多课堂上和数学竞赛试题中。尽管目前中国的中学教育已经不把平面几何当作必修课，一些学校删减了许多内容或者干脆取消了该门课程，但在上世纪的60-80年代，中国学生平面几何的水平肯定是算世界上比较高的。笔者还清楚地记得，解决平面几何难题，是本人中学时代的最爱。我们高中的数学老师兼班主任，是一个刚从师范毕业的年轻人，对数学教学充满热情。印象颇深的是他在黑板上画圆的绝活，他手握粉笔一挥一就，一笔下来，立刻在黑板上出现了一个规整的圆圈，用目测法很难看出这不是圆规画出来的。在他的影响下，我们班一半人都变成了数学迷，几何迷，大家在几何世界中遨游，从中体会到数学的奥妙，也感受到无限的乐趣。那两年，在教室的黑板上、课桌上，室外的石头边、树墩上，操场的篮球架上，随处可见同学们为思考几何题而画出来的三角形、直线、和圆圈。也许总体而言，中国式的教育方法忽略了发展学生改革创新的能力，但我深信，那个时代我们解决思考的无数道数学几何难题，对训练空间想象能力、逻辑推理能力，起了非常重要的作用。

纵观科学史，牛顿、爱因斯坦都是伟人，欧拉、高斯……伟大的数学家也可以列出不少，但恐怕很难找出像欧几里德这样的科学家，从2000多年前一直到现代，人们还经常提到以他命名的”欧几里德空间”、”欧几里德几何”等等名词，真可谓名垂千古而不朽了。阿基米德可能也能算一个，牛顿时代距离现在不过400来年，欧几里德和阿基米德却都是公元前古希腊时代的人物。

欧几里德的巨著—《几何原本》^【¹^】（在1607年，有徐光启的中译本^【²^】），不仅仅被人誉为有史以来最成功的教科书，而且在几何学发展的历史中具有重要意义。其中所阐述的欧式几何是建立在五个公理之上的一套自洽而完整的逻辑理论，简单而容易理解。这点令人惊叹，它标志着在2000多年前，几何学就已经成为了一个有严密理论系统和科学方法的学科！

继欧几里德之后，16世纪法国哲学家、数学家笛卡儿（1596～1650年），将坐标的概念引入几何，建立了解析几何。

就平面几何而言，引入坐标的概念就是使用x、y来表示点、线、园等等图形在平面上的相对位置，因而便可以方便地应用解析的方法来处理几何的问题。如此一来，几何问题便成为代数的问题。这种处理方法使几何问题变得简单容易多了。说起来可笑，这种简单容易的方法反而使原来痴迷于求解平面几何难题的中学生们在刚学了解析几何之后，颇有一种失落感。因为解析几何使几何问题有了规范的解法，好像几何不再具有原来的魅力，原来那样有趣的几何学，被“解析”之后，突然间变得黯然失色、索然无味。

当然，谁也无法否认解析几何的诞生象征着几何发展的一个重要里程碑。解析几何不但能处理欧氏几何中的平面问题，还能解决三维空间的问题，以至于推广到更高维空间的几何问题。比如就说在二维和三维空间中吧，解析几何可研究的图形范围大大扩大。对平面曲线来说，欧氏几何中一般只能处理直线和圆。而现在有了坐标及函数的概念之后，直线可以用一次函数表示；圆可以用二次函数表示，二次函数不仅能够表示圆，还能表示椭圆、抛物线、双曲线等其它情形。除此之外，解析几何中还可以用一个任意的方程式f(x,y)=0，来表示所有的平面曲线，这些都使欧氏几何学望尘莫及。如果论及三维空间的话，在解析化之后，还能用三维坐标（x,y,z）和它们的代数方程式，表示各种各样的空间曲线和奇形怪状曲面。进一步谈到更高维的空间，欧几里德几何就更无用武之地了。

再到后来，数学的各个方面都有了巨大发展，特别是如我们在第一篇中所叙述的，牛顿和莱布尼茨发明了微积分，这是科学上的一件大事，使得那个时代的整个数学和物理都改变了面貌。那么，它对几何学的发展又有何种影响呢？

数学家们自然地将微积分这个强有力的工具用来研究几何学。实际上，微积分和几何的联系还更紧密一些，微积分的诞生也是得益于几何研究的，两者相互影响和发展。因此，微积分诞生之后不久，便有了“微分几何”这门新学科的萌芽。

法国数学家亚历克西斯·克莱洛（Alexis Clairaut ，1713 - 1763)）是微分几何的先行者之一^【³^】。克莱洛是个名副其实的神童，他是母亲生下的20个子女中唯一一个长大成人的。在身为数学教授的父亲的严格管教和高标准要求下，克莱洛9岁开始读《几何原本》，13岁时就在法国科学院宣读他的数学论文。

之后几年，克莱洛迷上了空间曲线，他用曲线在两个垂直平面上的投影来研究空间曲线，第一次研究了空间曲线的曲率和挠率（当时被他称之为：双重曲率）。1729年，16岁的克莱洛将这个结果提交给法国科学院并以此申请法国科学院院士的资格，但当时未得到国王的立即认可。不过，只在两年之后，克莱洛发表了《关于双重曲率曲线的研究》一文，文中他公布了对空间曲线的研究成果，除了提出双重曲率之外，还认识到在一个垂直于曲线的切线的平面上可以有无数多条法线，同时给出了空间曲线的弧长公式，以及曲面的几个基本概念：长度、切线和双重曲率。这一年，18岁的克莱洛成为法国科学院有史以来最年轻的院士。

曲率和挠率是什么？我们先从平面曲线来认识曲率。

图2-1-1：克莱洛及双重曲率

我们首先需要引进曲线的切线，或称之为“切矢量”的概念，切矢量即为当曲线上两点无限接近时它们的连线的极限位置所决定的那个矢量。图2-1-1b中所标示的所有箭头，便是曲线的切矢量在曲线上各个点的直观图像。然后，再从图中切矢量沿着曲线的变化规律，又可以得到曲率的直观概念：曲率表征曲线的弯曲程度。比如说，图2-1-1b中最上面一条是直线，直线不会拐弯，其弯曲程度为0，即曲率等于0。这个0曲率与切矢量的变化是有关系的。看看直线上的箭头就容易明白了：上面所有箭头方向都是同样的。也就是说，曲率就是切矢量方向的变化率，或切矢量的旋转速率。直线上的切矢量方向不变，不旋转，对应于曲率为0。再看看图2-1-1b中下面两条曲线，当弧长增加时，切矢量不断旋转，曲线也随之而弯曲，切矢量旋转得越快，曲线的弯曲程度也越大。所以，曲率的几何意义就是曲线的切矢量对于弧长的旋转速度。

刚才在描述切矢量时，我们说它是“连线的极限位置所决定的那个矢量”，这儿我们很轻松地用上了“极限”的概念，诸位也毫不费力地就理解了它，因为大家学过了微积分。但是，在克莱洛的年代，曲率的计算可不是那么轻松容易的，这个十几岁的神童，天才地把微分的思想用于研究曲线，首次得到了这个结果。不仅如此，刚才我们讨论的只是平面曲线，克莱洛将微积分思想用于空间曲线。对一条平面曲线来说，如果每一点的曲率都确定了，这条曲线的形状便确定了。比如说，很容易直观地看出，一个圆上每个点的曲率都是一样的，等于它的半径的倒数。圆的半径越小，倒数则大，因而曲率便也越大；圆的半径越大，曲率则越小。因此，圆是等曲率的曲线，那么，现在我们考虑图2-1-2a中所示的平面螺旋线。因为平面螺旋线从内看到外，近似于一个一个从小到大的圆，所以，它的曲率是中心大边沿小。

我们可以将这个平面螺旋线想象成一个被压到一个平面上的的锥形弹簧，如果压力撤销之后，锥形弹簧恢复它的三维形状如图2-1-2b所示，这便得到了一条三维曲线。

图2-1-2：空间曲线的挠率

首先让我们研究一下将平面螺旋线放在三维空间中的情形。如图2-1-2c所示，这时可以在曲线的每一个点定义一个由3个矢量组成的三维标架。令曲线的切线方向为T，在曲线所在的平面上有一个与T垂直的方向N。如果对于圆周来说，N的方向沿着半径指向圆心。N被称之为曲线在该点的主法线。为什么在法线的前面要加上一个“主”字呢，因为与切线T垂直的矢量不止一个，它们有无穷多个，都可以称为曲线在该点的法线，这些法线构成一个平面，叫做通过该点的法平面。刚才说过，这个事实是首先被小天才克莱洛认识到的。这所有的法线中，有一个是比较特别的，对平面曲线来说就是在此平面上的那一条法线，被称为主法线。有了切线T和主法线N，使用右手定则可以定义出三维空间中的另一个矢量B，B也是法线之一，称之为次法线。从图c很容易看出，螺旋线上每个点的切矢量T和主法线N的方向都逐点变化，唯有次法线B的方向不变。对一般的平面曲线也是如此，次法线的方向永远是垂直于曲线所在平面的，因此，一条平面曲线上每个点的次法线都指向同一个方向，即指向与该平面垂直的方向。

对一般的空间曲线，情况有所不同。想象一下让平面螺旋线中的每一圈逐渐从原来所在的平面慢慢被拉开，这时候，每一点次法线的方向便会从原来的垂直线逐渐发生偏离。也可以说，次法线的方向代表了与曲线“密切相贴”的那个平面，在一般三维曲线的情形下，这个密切相贴的平面逐点不一样，被称为曲线在这个点的“密切平面”。如图2-1-2d所示，对一般的三维曲线而言，在曲线上不同的点，三个标架T、N、B的方向都有所不同了。每一点的次法线B的方向也会变化，不过它仍然与该点的密切平面垂直。

克莱洛注意到空间曲线与平面曲线的不同，认为需要用另外一个曲率，后人称之为“挠率”的几何量来表征这种差别。换言之，挠率可以表示曲线偏离平面曲线的程度，被定义为次法线B随弧长变化的速率。

参考资料：

【1】Heath,Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile.Original publication: Cambridge University Press, 1925] ed.). New York: DoverPublications.

【2】1607Chinese translations reprinted as part of Siku Quanshu, or "CompleteLibrary of the Four Treasuries."

【3】O'Connorand, J. J.; E. F. Robertson (October 1998). "Alexis Clairaut".MacTutor History of Mathematics Archive. School of Mathematics and Statistics,University of St Andrews, Scotland. Retrieved 2009-03-12.

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[35]胡刚 2014-8-28 23:40: 低级硬盘只有简单的信息拷贝复制功能；单类型数据处理功能的CPU = 单片机

[34]胡刚 2014-8-28 23:37: 西方近代科技是有很多产出，但很多东西应该是跟这些产出“打包销售”的“伪科学”，中国科学家思维程序应该长点，别让自己脑子像块低级硬盘，或者“单类型数据处理能力的CPU”。

[33]胡刚 2014-8-28 23:12: 总是跟着西方人把神化人物比圣经故事还多的古希腊当作科学起源，古希腊是否是西方近代为自己打造的，证明自己出身高贵的“宗教图腾”？中国科学家从来也不敢质疑，证明中国科学家脑子有问题。

[32]rocwings 2014-8-7 14:40: 请教博主一个问题：高维空间曲线的密切超平面是否为曲线上相邻n个点所决定的超平面的极限？用词可能不够专业，我只是数学爱好者，不专业。

[31]rocwings 2014-8-6 17:39: 非常好，学习了。
【就平面几何而言，引入坐标的概念就是使用x、y来表示点、线、园等等图形在平面上的相对位置，】其中“园”应为“圆”。

[30]李维纲 2014-8-6 11:17: 从科学史角度讲科学，既简明又易懂。赞！

[29]guanluzhu 2014-7-23 15:31: 平面几何不可取消，人们的认识总是从特殊到一般，如果从初中就讲微积分，恐怕没有不晕的。

[28]anewpie 2014-7-15 14:21: 张老师，您好，
请教一个问题？文中的密切平面是如何确定的？曲线上无限接近的三点确定的？
谢谢！; 博主回复(2014-7-15 19:42)：是的，空间曲线的密切平面定义为曲线上相邻3个点所决定的平面的极限。文中没有说清楚，应该加进去，谢谢提醒。

[27]贠可力 2014-7-14 09:34: 数学物理学家都是旷世奇才，一百年也出不了几个，这等大作都是需要我毕生拜读的！

[26]zgrwdx 2014-7-11 10:19: 中国的数学家将数学和物理结合起来研究是不多的。中国的物理学太强调物理学是一门实验科学，让中国的数学家不敢参与研究物理学。中国的数学家是非常有优势的，应该研究物理问题。当前一个重大的问题值得数学家们研究：无形的γ射线和有形的粒子之间是怎么样完成互相转化的？如果能够解决这个问题，将是中国对于基础科学的重要贡献。我为这个问题思考过很长时间，有一些想法，可以给数学家们参考。但是我没有专门下功夫研究这个问题，只是认为这个问题非常重要。建议中国数学家研究试一试。

[25]刘全慧 2014-7-11 08:09: 图2-1-1：克莱洛及双重曲率，图c有误！这里不是曲线的挠率，是一个弹性体的扭曲(twist)。
正确的是图2-1-2：空间曲线的挠率：图d。; 博主回复(2014-7-11 09:06)：你说的对。选这张图的时候糊涂了，谢谢指正。

[24]fuzaode 2014-7-10 23:08: 数学之美~

[23]杨新铁 2014-7-10 22:31: 一个黎曼空间表示的桡曲空间的张量方程，其结果和平直空间里面的系数非线性的方程非常近似，数学家有没有什么好办法把近似程度求出来？比如有个美国博士的文章发现相对论+不可压流体和亚音速的可压流体是等效的，这样硬把黎曼空间和闵科夫斯基空间那一套塞到流体力学里面来了。他认为黎曼几何学流型的空间度规不变性这一套把戏，可以当一个变换用，变换后的曲线坐标刚好就是给定的亚音速流动，这样就把拉普拉斯算子映射成一个另外一个非线性方程了。他们具有相同映射的边界条件。详见：
http://blog.sciencenet.cn/blog-1354893-806311.html

[22]dark1220 2014-7-10 20:52: 不错。

[21]黄永义 2014-7-10 20:02: 回顾几何发展史。

[20]李铭 2014-7-10 19:22: 这个领域不可能科普的

[19]张凯军 2014-7-10 19:01: "尽管目前中国的中学教育已经不把平面几何当作必修课"说明中国基础教育数学课改的无知表现。丢失平面几何的训练至少减少中学生数学能力的一半培养功效。太花梢的中学数学课改是在乱弹数学教育之琴。

[18]Highbear 2014-7-10 18:31: 好文，受益匪浅，谢谢张老师的科普，期待后续文章

有一点小笔误：“螺旋线上每个点的切矢量T和主法线B的方向都逐点变化"中的B应为N。; 博主回复(2014-7-12 09:12)：谢谢，改正了。

[17]fangfeng1979 2014-7-10 18:29: 这是要完成鸿篇巨制专业教程的节奏？为啥不说明所参考的相关故事出处及引用？唉~

[16]罗会仟 2014-7-10 17:41: 前段时间刚听说梁灿彬先生身体又不好了。国内推动微分几何形式的广义相对论不知后继何人？

[15]shmily505 2014-7-10 16:52: 赞~

[14]danhuangqin 2014-7-10 16:29: 楼主佳作，令人钦佩，期待下文

[13]李帅军 2014-7-10 15:51: 引古论今，行文如行云流水，而把知识讲解的出神入化，赞！非常期待您的科普集锦系列文章！

[12]Greenflower 2014-7-10 15:01: 谢谢好文。

[11]文克玲 2014-7-10 13:51: “绕率”，还是“挠率”？; 博主回复(2014-7-10 18:34)：应该是“挠率”，读音不对，选错了，谢谢。

[10]Veteran11 2014-7-10 13:01: http://blog.sciencenet.cn/blog-39416-810564.html
科研：努力成为先驱而非先烈    彭思龙
已有 594 次阅读 2014-7-10 10:54 |个人分类:科研随想|系统分类:科研笔记|关键词:先驱先烈
【[4]Veteran11  2014-7-10 12:07 】

http://blog.sciencenet.cn/blog-560280-788887.html
驳斥两种对自动推理的错误看法彭翕成
已有 345 次阅读 2014-4-26 20:48 |系统分类:科普集锦|关键词:自动推理王小川吕森林张景中
【[4]Veteran11  2014-4-30 13:38 】等。

http://blog.sciencenet.cn/blog-1358875-795865.html
简评李尚志的一首数学诗兼谈数学诗的特点王方汉
已有 188 次阅读 2014-5-19 18:20 |系统分类:诗词雅集|关键词:数学诗
【[2]Veteran11  2014-5-21 12:39 】等。

以上供张天蓉博主参考。

[9]Veteran11 2014-7-10 12:48: http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=731678&do=blog&id=810241
陈安体：在路上，一个人最好别冒充一支队伍徐晓
已有 1261 次阅读 2014-7-9 09:02 |个人分类:乱七八糟|系统分类:观点评述
[11]Veteran11  2014-7-9 14:41
http://blog.sciencenet.cn/blog-71079-809862.html
张维迎：创造思想不一定需要政府资助（登录阅）刘立
已有 249 次阅读 2014-7-8 00:32 |个人分类:杂感|系统分类:人文社科
[7]Veteran11  2014-7-8 09:38
http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=420554&do=blog&id=808395
【数学都知道】2014年7月2日蒋迅
已有 1291 次阅读 2014-7-2 11:32 |个人分类:数学传播|系统分类:博客资讯|关键词:数学数学都知道消息新闻
[2]Veteran11  2014-7-2 11:49
http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=53483&do=blog&id=808218
学术，需要在严苛的批评下持续存在而不是依凭感动和赞叹陈安
已有 725 次阅读 2014-7-1 18:56 |个人分类:物论|系统分类:人文社科
[16]Veteran11  2014-7-2 11:28
【学术，需要在严苛的批评下持续存在而不是依凭感动和赞叹】

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=217073&do=blog&id=799974
伽罗瓦的遗书——批判或膜拜，随君取用李轻舟
已有 1007 次阅读 2014-6-3 11:12 |个人分类:旧时文章|系统分类:人物纪事|关键词:伽罗瓦遗书高次方程根式解
                  《伽罗瓦的遗书——批判或膜拜，随君取用
按：笔者在科网潜水时观摩了各路高人“五次方程根式解存在性”之战，记忆深刻（“高代”从来就是我的弱项，所以也只好保持沉默）。而今硝烟渐散，奉上压箱底的存货——伽罗瓦遗书一封，至于批判还是膜拜，It's up to you!
另：提供的遗书是数学所李文林老师据法文1962版的全文汉译版（法文原版我没找到，找到了也看不懂）。》
【11]应行仁  2014-7-1 11:56
伽罗华理论的最重要结论是一般五次方程不存在公式解。很容易知道某一类五次方程，例如 x^5-a=0，有公式解。从伽罗华理论不难判别那些五次方程有公式解。
对于声称能解一般五次方程的方法，要检验其实很简单，不需要涉及高深的理论，给出一个五次方程，用它的根代入解法的公式，对错有中学数学知识的人都能判别。一年多以前公开检验做的就是这样科普的事。可悲的是失败者耿耿于怀，不敢在数学上争论，化名Veteran11用大字报的方式来论证他是对的。】

陈安博主。
学术，只要一说讨论的对手是在写大字报就可以持续存在。

蒋迅博主。
【可悲的是失败者耿耿于怀，不敢在数学上争论，化名Veteran11用大字报的方式来论证他是对的。】
博主回复(2014-7-2 12:06)：我记录了一些相关文章，但没有参加讨论。

刘立博主。
有政府的资助（帮助或者支持）一定会更好。

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【数学都知道】2014年7月2日蒋迅
已有 1341 次阅读 2014-7-2 11:32 |个人分类:数学传播|系统分类:博客资讯|关键词:数学数学都知道消息新闻
【[19]刘立  2014-7-8 09:41
不懂，但也推荐一下。】

徐晓博主。
【[7]Veteran11  2014-7-8 09:38】
【[19]刘立  2014-7-8 09:41 】

徐晓博主。
【博主回复(2014-7-9 09:10)：垫不垫底另说，但是这场面真是滑稽：难道中国的学术界不是这样吗？】

徐晓博主。
这是一个很重要的数学内容。

彭思龙博主。
【严肃认真的精神是先驱的标志】！

张天蓉博主。
【因为解析几何使几何问题有了规范的解法，好像几何不再具有原来的魅力，原来那样有趣的几何学，被“解析”之后，突然间变得黯然失色、索然无味。】？？？