数学物理01 路径积分场论的观点, 把"运动"看作一维时间上的一个"场"

来源: marketreflections 于 2011-05-18 21:28:09 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读： 19 次 (3873 bytes)

回答: 梁灿彬教授的意见，若讨论的背景是闵氏时空，那就应该归于狭义相对论,若讨论的问题涉及引力场那就是GR的问题由 marketreflections 于 2011-05-10 09:36:17

所以把这三个理论放在一门课里讲, 因为Hodge理论的对象--Laplace方程,
如果未知函数是二次形式, 就是规范群为U(1)的杨振宁-米尔斯方程. 即,
Maxwell方程组. 而Witten的论文"Supersymmetry and Morse Theory"
将微分拓扑中的Morse理论解释为一个超对称模型: 黎曼流形上的偶数次形式
是玻色态, 奇数次形式是费米态, Q1=d+d* 和 Q2=i(d-d*) 是两个超对称
算子, 它们把费米态映到玻色态, 把玻色态映到费米态, 而且反交换.
系统的哈密顿量 H=Q1Q1+Q2Q2=dd*+d*d 就是流形上的Laplace算子(动能).
所以寻找超对称的真空态的问题, 即求解 Q1|0>=0, Q2|0>=0, 等价于求解
黎曼流形上的Laplace方程. 如果引进相互作用(流形上的一个Morse函数),
那么这个超对称的量子力学模型在经典近似下给出Morse不等式.
在经典的层面上, 规范理论是很"整齐"的理论. 比如经典电磁学就是U(1)
主丛上的规范理论; 磁单极子是二维球面上一个非平凡U(1)丛的一个联络,
杨振宁-米尔斯瞬子是四维球面上一个SO(3)主丛的一个联络; 等等非常漂亮的
结论. 但是任何理论都要量子化, 规范理论也不例外. 与扭结相关的规范
理论采用路径积分量子化. 路径积分最初由Dirac想到, 在他的"量子力学原理"
中提到过, 并注明说"不关心高等动力学的同志可以略去这一节", 可见是
很费解的东西. 主要想法是在量子力学中重建最小作用量原理. 量子力学的
最初形式都是哈密顿模式: 矩阵力学模仿正则方程, 波动力学模仿Hamilton-
Jacobi方程, Dirac的变换理论又是模仿正则变换. 而用变分法从最小作用量
原理导出Lagrange方程也是经典力学里很漂亮的办法, 而且将时间空间同等
看待, 最容易与相对论结合. 后来Feynmann得到了一个理想的表达, 称为
路径积分, 实际上是构造Schr?dinger方程的格林函数的方法. 经过搞数学的
Kac严格化, 成为对一类抛物型微分方程构造格林函数的一般方法, 是概率论
与随机过程应用在数学物理上的典范. 对热传导方程来说, 粒子的动能是通过
混乱的布朗运动传递的, 传递的路线是不可预知的, 于是可以赋予每条可能的
路线一个概率, 格林函数(传播子)就是这些路线效果的期望值. 但是Schr?dinger
方程是一个很奇怪的方程, 形式上是抛物型, 所以可以用同样的办法构造
传播子, 然而赋予每条路线的那个权重没有概率的解释, 因为在时间导数的
前头有个虚数单位i, 这个i使得本该是概率的那个权重变成了一个模一的复数.
而传播过程不再是超距的, 而是有限速度的. 换言之, 它实质上描述波动.
所以这个传播子是很难从数学上理解的东西, 无穷维空间测度论的解释只适合
热传导的情况. 不知道有没有同学清楚这个传播子的数学解释, 希望可以讨论
一下. 量子力学的情况已经这么复杂, 推广到场论上去的路径积分简直就是
一个灾难.
经典力学里粒子的基本力学变量是坐标和与之共轭的动量, 其他力学
变量是它们的函数. 而粒子的"运动"是相空间的一条曲线. 所谓作用量
是所有"运动"的空间上的泛函. 这里我用"函数"来代表复合关系, 只跟
变量的取值有关; 泛函代表映射关系, 跟变量的形式(整个运动过程)有关.
比如能量就是动量的一个函数, 每个时刻都有一个值, 这个值只与那个
时刻的坐标,动量的值有关; 而作用量是Lagrange函数对时间的积分,
只对时间段有意义, 与坐标, 动量随时间的变换有关, 与某时刻的值无关,
是"运动"的泛函. 现在运用场论的观点, 把"运动"看作一维时间上的一个
"场", 就是说, 三个坐标和三个动量的值在时间上的分布. 那么能量就是
场的函数, 而作用量是场的泛函. 记场为 C: t--> R^6,
定义泛函x_t, p_t 为 x_t(C)=x(C(t)), p_t(C)=p(C(t)). 如果有经典力学
变量f(x,p), 那么量子化以后, 这个力学变量在t时刻的期望将是:
E[f(x_t,p_t)], 这里的测度空间是{所有可能的场C}, 概率密度是:
pdf(C)= exp{iS(C)}, S(C)=int L(x_t(C),p_t(C))dt 是作用量.
写开那个期望就是int f(x_t(C),p_t(C))exp{iS(C)}dC.
相对论的情形基本上是上面的推广, 有一点点区别. 基本力学变量是在时空
分布的场, 作用量是场的泛函, 其他力学变量, 与单粒子的情况不同, 一般
是场的泛函而不是场的函数, 这是因为在一个时空点的场的值不能提供关于
能量等我们关心的力学变量的信息, 而是要计及整个场的分布. 如果用A:
R^4 --> V 来表示时空中取值在V中的场, 那么量子化后一个力学变量f(A)
的期望是 int f(A)exp{iS(A)}dA, 积分的空间是{所有可能的场A}.