phymath999: 任何量子力学系统都存在涨落, 包括真空, 相对论版本 Dirac 方程, 方程的解总是成对存在

Tuesday, November 25, 2014

任何量子力学系统都存在涨落, 包括真空, 相对论版本 Dirac 方程, 方程的解总是成对存在

真空里面有什么? 这绝不是一个平凡的问题. 某种程度上说, 几乎整个二十世纪, (高能)物理学家们都在寻找这个问题的答案.

Dirac 的电子海

人们在现代物理的意义下最早意识到真空中可能并非是"什么都没有", 我想是起源于英国物理学家 P.Dirac. 在1928年, 他提出了众所周知的 Schrödinger 方程的相对论版本 Dirac 方程来描述电子的运动:
$(i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu-mc) \psi = 0$ .
他发现这个方程的解总是成对存在: 如果 $\psi$ 是这个方程能量为 $E = \sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}$ 的粒子的解, 那么也存在一个对应的能量为 $E = -\sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}$ 的粒子的解 $\psi'$ . 所谓真空, 是系统能量最低的状态. 现在问题来了, $\psi'$ 的能量是负的, 那么为了达到真空, 一个处于正能态电子将会放出能量(比如通过与电磁场耦合, 放出电磁辐射)达到负能态, 然后继续放出能量, 最终达到 $E=-\infty$ 的真空.

上面的论断显然是荒谬的. 在现实生活中, 我们从来没有见过一个电子辐射出无穷多的能量. Dirac 提出了一个天才的解释: 电子是1/2自旋粒子, 服从 Pauli 不相容原理. 如果所有负能态都已经被电子完全占据了, 那么 Pauli 不相容原理就可以阻止处于正能态的电子进入负能态的海洋. 因此在 Dirac 的理论中, 真空不是什么都没有, 而是充满了负能态的电子(以及其他自旋1/2粒子)!

这个理论最大的成功之处在于其对正电子的成功预言: 如果由于某些原因, 电子海中的一个能量为 $-\left|E\right|$ 电子离开了电子海, 在电子海中留下了一个空穴. 那么一个能量为 $\left|E\right|$ 的正能态电子将会填上这个空穴, 并发出能量 $2E$ , 使系统重新回到真空:
$e^-+\text{空穴}\to\text{真空}$ .
那么空穴等效地拥有一个正电荷 $+e$ 以及正能量. 这个空穴就是所谓正电子, 它是电子的反粒子. 在 Dirac 方程提出后的第二年, 1929年, 实验物理学家们就在云室里发现了正电子的踪迹. Dirac 的方程成功预言了所有自旋1/2粒子都存在反粒子.

(有意思的是, 尽管我说 Dirac 电子海的理论最大的成功之处在于其对正电子的成功预言. 在这个理论刚提出时, Dirac 一直以为电子海中空穴是质子, 而不是正电子. )

真空零点能

读到这里, 不知你对 Dirac 的电子海理论是否产生了若干疑问? 比如, 如果真空中充满了大量电子, 那我们为何从来没有感受到这些负电荷所带来的 Coulomb 力呢? 为了解决这个问题, 我们必须假设真空原本就是一个充满均匀的正电荷背景, 来抵消 Dirac 电子海的正电荷. 这个解释显然令人感到别扭. 此外, Dirac 电子海的真空能量并非为零, 而是负无穷大. 真空能量是负无穷大, 这也值得警惕.

物理学家们对 Dirac 的理论也确实不满意. 1930年以后, 物理学家们发展出了一套新的理论: 量子场论. 在这个新的理论框架下, Dirac 方程依然成立. 但此时它的物理意义不再是一个单粒子方程, 而是一个场方程. $\psi$ 不再是波函数, 而是像电磁场一样的场. 在这种新的解读下, 真空不再是电子海, 正电子也不再是"电子海中的空穴", 而确确实实是一个实物粒子. 恼人的负能量也随之消失. 量子场论中只有正能量! 哈哈~
(但我个人认为, 场论中的这种做法只是在玩数学游戏, 将 Dirac 电子海换了一种说法. 背后的物理和 Dirac 的电子海没有本质不同. )

但量子场论没能解决真空能量为负无穷的问题. 因为这实际上是量子场所固有的性质, 或者说, 是由场的波动性所导致的必然结果. 学过量子力学课程的人一定会记得非相对论量子力学中谐振子的能级为 $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega$ , 其中 $E_0=\frac{1}{2}\hbar\omega$ 是所谓真空零点能. 下面我们将会看到, 这是 Heisenberg 不确定性原理导致的结果:
谐振子的能量 $\hat{H} = \frac{1}{2} k \left(\hat{x} - x_0\right)^2 + \frac{1}{2m} \hat{p}^2$ .
Heisenberg 不确定性原理为: $\sqrt{\left\langle \left(\hat{x} - x_0\right)^2 \right\rangle} \sqrt{\left\langle \hat{p}^2 \right\rangle} \geq \frac{\hbar}{2}$ . 代入上式:
$\left\langle \frac{1}{2} k \left(\hat{x} - x_0\right)^2 \right\rangle \left\langle \frac{1}{2m} \hat{p}^2 \right\rangle \geq \left(\frac{\hbar}{4}\right)^2 \frac{k}{m}$ .
根据均值不等式, 有 $\left\langle \hat{H} \right\rangle \geq \frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{\hbar \omega}{2}$ .
其物理解释为, Heisenberg 不确定性原理导致了任何量子力学系统都存在涨落, 包括真空. 在真空中, 这一涨落体现为零点能.

由于一个量子场的自由度是无穷大的, 相当于空间中每一点都有这样一个谐振子. 这无穷多个谐振子的零点能相加导致了量子场的零点能发散.
(其实零点能发散并不是一个那么严重的问题. 因为我们并不能直接测量零点能, 而测量的是任何能量与零点能的差值. )

从自然数之和是多少？到 Casimir 效应

早在大约一年前, 我回答过这样一个问题: 自然数之和是多少？并在那里提到了1+2+3+4+...这个求和与所谓 Casimir 效应有紧密联系. 现在我终于有机会稍微解释一下什么是 Casimir 效应.

之前说到真空中存在量子涨落, 还有无穷大的零点能. 我们能否在实验上验证这一点? 毕竟一个物理学理论正确与否, 关键就在于它能否经得起实验的考验. 答案是肯定的.

我们在真空中放三块板, 它们之间的距离如下图所示.

真空的能量为谐振子的零点能. 这里的谐振子为板之间的振动模式: $\psi_n(x)=\sin\left(\frac{n\pi x}{d}\right)$ , 对应的频率为 $\omega_n=\frac{n\pi}{d}$ . 这是由真空中的场在板的边界处振幅为零的边界条件所得到的.
因此系统的零点能
$E=f(d)+f(L-d)$ . 其中 $f(d)=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\hbar\omega_n=\frac{\pi\hbar}{2d}\sum_{n=1}^\infty n$ .
上面就出现了对所有自然数的求和. 它显然是发散的. 发散的原因是我们对所有的振动模式求和的缘故. 但由于板在物理上不可能以任意高的频率振动, 因此为了得到物理的结果, 我们必须对求和做截断. 在自然数之和是多少？ - andrew shen 的回答中, 我引入了一个 $e^{-an/d}$ 的"权重因子". 当 $n\to\infty$ 时, "权重因子"趋于零. "权重因子"确实可以起到截断高频振动的效果.

引入权重因子之后的计算结果为: $f(d)=\frac{\pi d}{2a^2}-\frac{\pi}{24d}+\frac{\pi a^2}{480d^3}+\ldots$
当 $a\to0$ 时, $f(d)$ 发散. 这是因为 $a\to0$ 就相当于没有权重因子. 中间的板所感受到的力应当为: $F=-\frac{\partial E}{\partial d}=-(f'(d)-f'(L-d))$ .
取 $a\to0$ 的极限, 消除权重因子的作用, 我们发现板感受到的力为有限值: $F=-\frac{\pi}{24}\left(\frac{1}{d^2}-\frac{1}{(L-d)^2}\right)$ . 当 $L\gg d$ 时, 力简化为 $F=-\frac{\pi}{24}\frac{1}{d^2}$ .
这是一个吸引力. 实验物理学家们的测量表明真空中的两个板之间确实存在这样的吸引力. 我们并没有假设板之间存在任何直接的相互作用. 这个吸引力完全是由板之间的真空导致的.

原子的自发辐射现象

除了 Casimir 效应, 真空中量子场的涨落还会带来很多其他可观测的效应.

比如我们知道原子在电磁场中有: 受激辐射, 受激吸收, 自发辐射这三个现象. 其中自发辐射说的是, 在没有任何外界作用下, 激发态原子的电子自发地从高能级向低能级跃迁, 同时发射出一个能量为 $\hbar\omega=E_2-E_1$ 的光子.

这粗看起来与量子力学的基本原理相违背. 量子力学告诉我们, 当电子处于原子的某一能级时, 是能量本征态. 在没有外界作用时, 电子将永远处于这个能量本征态. 量子力学基本原理应该是不会出错的, 那究竟是什么使电子自发向低能级跃迁呢?

是真空. 是真空中的量子涨落与电子发生了相互作用, 这个涨落带来的扰动使原子向低能级跃迁. (用场论的语言说, 是真空中的涨落产生了虚光子. 尽管我尽量避免使用虚粒子的语言. 因为它容易给初学者带来困惑. )

A loose end

这个回答已经写得很长了, 是时候结束了. 总结一下: 真空里面有什么? 真空中有丰富的物理. 真空中存在量子场的涨落, 这导致真空的零点能. 这个零点能会带来可观测的物理效应: Casimir 效应, 即真空中的两块板之间存在吸引力; 自发辐射, 即原子在真空的涨落下的受激辐射...

到这里你也许会问: 咦? 以太复活了? 我想在某种程度上, 是的. 引用豆瓣物理组组长 E 大的一段话:

把真空看成物质是早已存在的观念，而且以前还有个名字，那就是“以太”，现在我们叫它“量子场”。量子场论的出现，实际上意味着以太的复活，但是somehow在物理学共同内部，大家都保守着这个秘密。因为我们要对抗民科，民科是不会去touch量子场论的，这样以太就安全了。

几点注记:

如果你对固体物理有所了解, 就会发现 Dirac 的电子海图像在固体物理中有完美对应. 在半导体中, 价带被电子完全填满, 相当于 Dirac 的电子海, 而导带全空. 如果有电子从价带被激发至导带, 那么将会在价带中产生一个带正电荷的空穴.
实际上真空在物理学中也不是一个 well-defined 的概念. 在不同的能标下可能有不同的真空. 这里答主说的真空实际上很狭义地指 QED 真空. QCD 的真空有更丰富的物理, 但这已经超出了答主的能力范围.
有关 Casimir 效应答主参考了 A.Zee 的《Quantum Field Theory in a Nutshell》的 I.9 节.
答主并不是高能物理方向的. 上面所说难免有不准确之处.

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编辑于 2014-11-04 138 条评论感谢分享收藏 • 没有帮助 • 举报

知乎用户，理论物理博士

收起

墨拦、李墨白、wood 等人赞同

关于「零点能」，我再补充一点。
现在「暗能量」这个词已经家喻户晓了，「暗能量」是1999年发现的，在「暗能量」发现后的头几年，「暗能量」有另外一个叫法，叫做「真空能」，这个叫法有一定的历史原因。分割线内是这个叫法的历史，不影响对题主所提问题的理解。
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当年，爱因斯坦在提出广义相对论的引力场方程时发现，由于引力是「吸引力」，这样的宇宙一定是

phymath999

Tuesday, November 25, 2014

任何量子力学系统都存在涨落, 包括真空, 相对论版本 Dirac 方程, 方程的解总是成对存在

知乎用户，理论物理博士

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