white01 tw01 運動學方程 氣象參數 :溫度、氣壓、風向、風速、雨量等; 位溫、渦度、位渦、輻散度等; 運動學法的最大優勢是沒有任何物理假設，無因果關係即可求取

http://front.as.ntu.edu.tw/class/class1/92noteR.pdf

回想過去所學的眾多氣象參數中，大致可分為兩類：一類是可以利用直接觀

測﹙在位觀測或遙測﹚直接得到，如溫度、氣壓、風向、風速、雨量等，另一類

則是由觀測資料所導出而得到的，如位溫、渦度、位渦、輻散度等；而在一般的

風向風速觀測上，所指的為水平風向及風速，那麼垂直方向上的風速ω呢﹖難道

它不重要嗎﹖難道它不可直接觀測嗎﹖

無可諱言的，垂直運動是非常重要的，它在各種尺度環流與大氣能量有密切

的關連，在“天氣”的觀點上，垂直運動在“成雲致雨”上更是扮演相當重要的

角色，那麼垂直速度ω可以直接觀測嗎﹖答案是肯定的，我們可藉由都卜勒雷達

徑向風速得到垂直速度，但是此種方式是限於小區域範圍的，而且也不經濟，因

為我們無法在各地，甚至在海洋上都建置都卜勒雷達，所以垂直速度ω之求取就

成為氣象上重要的計算之一，但是由於牽涉到不同尺度系統之交互作用，垂直速

度又較水平風速小二至三個數量級，數值相對很小，對誤差敏感，故很難計算。

那麼垂直速度ω是如何計算呢﹖

在物理定律中︰

動量守恆定律 → u, v, w 三個方向之運動方程式

質量守恆定律 → 連續方程式

能量守恆定律 → 熱力學第一定律

以及氣體狀態方程式

上述幾個常用的方程式中，每個方程式均和垂直速度ω有相關性，一般想到

的作法是將方程式中有關ω項移到等號左邊，而非關ω的項移到等號右邊，再將

觀測資料代入右邊各項中以求得垂直速度ω，但是此法中所代入之觀測資料牽涉

到不同尺度系統之交互作用，垂直速度又較水平風速小二至三個數量級，數值相

對很小，對誤差敏感，所得到之垂直速度ω與真實速度相較有很大的誤差。在

1940 年代以後，則發展出利用運動方程中 u, v 水平風場導出渦度方程，藉由渦

度方程對於輻合輻散之關聯性，並配合連續方程及熱力方程來求取垂直速度ω，

以如此為原則之方法所得出之垂直速度ω與實際速度有較接近之結果。

運動學法︰

運動學法的最大優勢是沒有任何物理假設，無因果關係即可求取，它將連續

方程以氣壓座標系統表示成簡單形式︰

(1)

而輻散度 D 之差分形式可寫成

1

 

九十二年度高等天氣學 12 月13 日課程摘要

摘要者：楊川德, 張俊德

參考書目：天氣學原理 (陳泰然)

本週課程進入了第十一章，內容為利用各種方法對於垂直運動速度ω之求

取，並比較各種方法之優劣性。

回想過去所學的眾多氣象參數中，大致可分為兩類：一類是可以利用直接觀

測﹙在位觀測或遙測﹚直接得到，如溫度、氣壓、風向、風速、雨量等，另一類

則是由觀測資料所導出而得到的，如位溫、渦度、位渦、輻散度等；而在一般的

風向風速觀測上，所指的為水平風向及風速，那麼垂直方向上的風速ω呢﹖難道

它不重要嗎﹖難道它不可直接觀測嗎﹖

無可諱言的，垂直運動是非常重要的，它在各種尺度環流與大氣能量有密切

的關連，在“天氣”的觀點上，垂直運動在“成雲致雨”上更是扮演相當重要的

角色，那麼垂直速度ω可以直接觀測嗎﹖答案是肯定的，我們可藉由都卜勒雷達

徑向風速得到垂直速度，但是此種方式是限於小區域範圍的，而且也不經濟，因

為我們無法在各地，甚至在海洋上都建置都卜勒雷達，所以垂直速度ω之求取就

成為氣象上重要的計算之一，但是由於牽涉到不同尺度系統之交互作用，垂直速

度又較水平風速小二至三個數量級，數值相對很小，對誤差敏感，故很難計算。

那麼垂直速度ω是如何計算呢﹖

在物理定律中︰

動量守恆定律 → u, v, w 三個方向之運動方程式

質量守恆定律 → 連續方程式

能量守恆定律 → 熱力學第一定律

以及氣體狀態方程式

上述幾個常用的方程式中，每個方程式均和垂直速度ω有相關性，一般想到

的作法是將方程式中有關ω項移到等號左邊，而非關ω的項移到等號右邊，再將

觀測資料代入右邊各項中以求得垂直速度ω，但是此法中所代入之觀測資料牽涉

到不同尺度系統之交互作用，垂直速度又較水平風速小二至三個數量級，數值相

對很小，對誤差敏感，所得到之垂直速度ω與真實速度相較有很大的誤差。在

1940 年代以後，則發展出利用運動方程中 u, v 水平風場導出渦度方程，藉由渦

度方程對於輻合輻散之關聯性，並配合連續方程及熱力方程來求取垂直速度ω，

以如此為原則之方法所得出之垂直速度ω與實際速度有較接近之結果。

2

 

本章提出了數種求取垂直速度的方法︰

1. 運動學法

2. 熱力學法

3. 等 entropy 軌跡法

4. 渦度法

5. 準地轉﹙Q - G﹚ω方程法

6. 平衡ω方程法

7. 半地轉﹙S - G﹚ω方程法

重要的是如何在資料可用度與目的之考慮下選擇最適當的方法去求取垂直

速度，而方法優劣之判斷準則取決於以下幾個觀點︰

1. 結果是否合理。

2. 是否具方便性，是否簡單容易求取。

3. 取用診斷方程或預報方程。

4. 牽涉到物理假設的多寡。

在此以上述幾個觀點介紹幾個較好用的方法

運動學法︰

運動學法的最大優勢是沒有任何物理假設，無因果關係即可求取，它將連續

方程以氣壓座標系統表示成簡單形式︰

(1)

而輻散度 D 之差分形式可寫成

將(1)式積分得

或

上式需代入邊界條件，通常下邊界選取平坦地面或洋面，而上邊界選取平流

層，好處是邊界之垂直速度可令其為零，可以簡化計算過程，只需知道各層之輻

3

 

散度D 及氣壓差，則垂直速度ω即可求得。

但是運動學法求取垂直速度之主要困難在於輻散度誤差將透過垂直積分而

隨高度累積，由於高空中的水平風向風速在過去主要是藉傳統探空氣球在各時間

點之方位角及高度角之相關位置所求出的，除了器差外，尚有人為之觀測誤差存

在，在失之毫釐，差之千里之情況下，隨著高度越高，誤差也隨之增大，而目前

隨著GPS 定位之運用，誤差已有改善，下面列出各層高度及風速誤差之狀況︰

P(hpa) Z(m) V(m/s)

-----------------------------------------------------------

100 142 5

200 103 5

300 82 5

500 36 2

700 24 1.6

850 13 0.6

由於上述誤差之關係，所以必須對垂直運動作些許的調整，如下圖所示。

4

 

等entropy 軌跡法︰

此法最大的好處在於可以明白顯示三維空間運動軌跡，但其先決要件是必須

要在絕熱假定之下，且運動條件亦有限制，如此方能在等位溫面藉由總能量保守

求得空氣塊在等位[溫面上之軌跡，進而求得垂直速度ω。

等 entropy 面上總能量保守方程為

運動限制為

平均垂直速度為

另外，在等 entropy 面上所追蹤之氣塊，若遇到亂流混合之狀況時，氣塊會

逐漸的分解消失。而亂流混合發生的機制為絕對渦度小於零，處於慣性不穩定的

情況下，此種情況通常發生於西風噴流條之南側或反氣旋風切側。

半地轉﹙S - G﹚ω方程法︰

此種方法是將ω方程

右側第一項為溫度平流的 Laplacian 與第二項渦度平流的垂直差異合併成為

Q vector 輻散場之形式。

此種方法的好處在於只要知道該層之等溫線及等高線，即可求得該層之 Q

vector 輻散場之形式，若Q vector 呈現輻合，即知該處有上昇運動，若Q vector

呈現輻散，則該處有下沉運動，如圖11-5 所示。

5

6

 

但此法必須注意 X 及Y 為新的地轉座標，且有效靜力穩定度已非僅為高度

之函數，而是由位渦來表示。

上述多種垂直速度之求取其實都有一共同的缺點，那就是 smooth 大部份次

綜觀尺度的變化，而且也忽略了地形效應，而都卜勒雷達直接觀測之垂直速度正

可去除垂直速度間接求取之缺點。而VHF 及UHF 雷達﹙ST 雷達或剖風儀﹚可

連續觀測之優勢可快速提供大氣垂直剖面之資料。

而氣象雷達依波段可分為︰

C band 波長為5 公分

S band 波長為10 公分

X band 波長為3 公分

由於用途性質以及偵測範圍不同之關係，目前氣象局採用S 波段之雷達，而

民航局採用C 波段之雷達。

最後老師勉勵大家除了要有常識及知識外，更要有智識、見識與膽識。

从等效原理到 Einstein-Cartan 理论

- 卢昌海 -

本文汇集整理了我发表在繁星客栈上的几篇有关等效原理及 Einstein-Cartan 理论的短文

一. 等效原理

等效原理是局域的。 在一个有限大小的参照系 (比如有限大小的 Einstein 升降梯) 中， 我们可以通过观测测地偏离效应， 来区分引力场与加速场。 这种观测之所以有效， 是因为它所涉及的是联络系数的导数， 或者说曲率的分量， 这是不能通过等效原理消去的。 由于测地偏离效应不能在严格局域的参照系中被观测到， 因此对引力场与加速场的这种区分与等效原理不矛盾。
一般教材的讨论大都到此为止。 如果所有的物理效应都只与度规及联络有关， 那么在局域参照系中就不可能区分引力场与加速场， 等效原理的成立就是普遍的。 但是， 如果存在某种局域的物理效应与曲率有关， 我们就可以通过这种物理效应在局域参照系中对引力场与加速场做出区分。 这样的物理效应是否存在呢？ 答案是肯定的。 有自旋粒子的运动就是这样的效应。 虽然迄今似乎没有什么实验足以检验这类效应， 但一般认为有自旋粒子在引力场中的运动 (由所谓的 Mathisson-Papapetrou-Dixon 方程描述) 会与曲率耦合， 从而偏离测地线。 因此通过观测有自旋粒子的运动， 原则上可以在局域参照系中区分引力场与加速场^[注一]。 从某种意义上讲， 这意味着等效原理不再成立了。
但是， 这并不意味着广义相对论失效。 对于广义相对论来说， 等效原理的作用主要是确立时空的 pseudo-Riemannian 结构。 为此只要在每一点上存在局域参照系， 使度规为 Minkowski 度规， 同时使联络系数全部为零即可 (如果把这作为等效原理的定义， 则等效原理的成立将不会受上面提到的效应的影响)。 至于是否有物理现象与曲率耦合， 并不妨碍广义相对论的建立。 有自旋粒子的运动在广义相对论框架中是完全可以处理的^[注二]。

二. Einstein-Cartan 理论

在 上节 中我们提到， 自旋粒子在引力场中的运动会偏离测地线， 由此可以局域地区分引力场与加速场。 那篇短文只涉及了与引力有关的自旋粒子问题的一半， 即自旋粒子在外引力场中的运动。 在本文中， 我们来考虑问题的另一半， 即自旋粒子本身产生的引力场。 这是一个很不同的问题， 自旋粒子在外引力场中的运动不会对广义相对论的结构产生根本影响， 而自旋粒子本身产生的引力场， 则有可能把我们引向 - 虽然不是必然引向 - 不同于广义相对论的理论， 比如 Einstein-Cartan 理论。
我们知道， 对于所有具有能量动量起源 - 即 J^abc=x^aT^bc-x^bT^ac - 的角动量来说， 能量动量张量 T^ab 的守恒与对称 (即 ∂_aT^ab=0 与 T^ab=T^ba) 保证了角动量守恒 ∂_aJ^abc=0。 这种角动量被称为轨道角动量， 它包括所有的经典角动量 (包括经典自旋)。 另一方面， 并非所有的角动量都具有能量动量起源， 比如量子力学中的自旋就不具有能量动量起源。 如果我们把这种 “内禀” (即不具有能量动量起源的) 角动量表示为 S^abc， 则 J^abc=S^abc+x^aT^bc-x^bT^ac。 这时角动量守恒 ∂_aJ^abc=0 要求：

∂_aS^abc = T^cb - T^bc

这表明， 除非内禀角动量单独守恒， 否则能量动量张量将是非对称的。 由于内禀角动量显然不单独守恒， 因此上面定义所涉及的能量动量张量是非对称的。

如果能量动量张量非对称， 那么 Einstein 场方程 G^ab=8πT^ab 将要求 G^ab 非对称。 这表明时空几何将不会是单纯的 Riemannian 几何。 使 G^ab 非对称的一种最简单的方案， 就是引进时空的挠率 t^a_bc=Γ^a_bc-Γ^a_cb。 由此产生的最简单的理论被称为 Einstein-Cartan 理论， 是由 Élie Cartan 于 1922 年提出的。 与纯度规的广义相对论不同， Einstein-Cartan 理论是一种建立在仿射联络基础上的引力理论， 在这种理论中等效原理不成立 (因为挠率的存在使得联络系数全部为零的局域参照系无法存在)。 Einstein-Cartan 理论中的带挠率的几何被称为 Riemann-Cartan 几何。 Einstein-Cartan 理论的场方程为：

G^ab = 8πT^ab
t^a_bc = 8πS^a_bc + 4πδ^a_bS^d_cd + 4πδ^a_cS^d_db

不过， 上面的推理并不是唯一的。 这不仅是因为使能量动量张量非对称的方法并不唯一 (从而 Einstein-Cartan 理论不是唯一的推广)， 而且也是因为内禀角动量的出现并非必然导致能量动量张量的非对称性。 事实上， 通过对能量动量张量附加一个对运动方程没有影响的散度项， 我们总可以将它改写为对称形式。 这种对称的能量动量张量被称为 Belinfante 张量。 有一种 (比较常见的) 观点认为， Einstein 场方程中的能量动量张量是 Belinfante 张量^[注三]。 显然， 这可以使 Einstein 场方程的成立不受内禀角动量的影响。 从这个意义上讲， 目前并没有充分的理由 (哪怕是理论上的理由) 使人们必须在经典范围内拓展广义相对论的框架。
但是， 将 Belinfante 张量引进 Einstein 场方程的做法并不是完全令人满意的。 比如它使得角动量与能量动量张量之间的关系 J^abc=x^aT^bc-x^bT^ac 具有了完全的普遍性。 但对于自旋来说， 没有任何迹象表明它与能量动量有任何关系， 比如一个有自旋的粒子完全可以是无质量的。 因此， 角动量与能量动量张量之间的这种关系似乎不应该具有那么大的普遍性。 而如果我们认为自旋与能量动量无关， 那么它对时空的影响就没有理由被包含在能量动量对时空的影响 (即 Einstein 场方程) 之中。 另一方面， 我们也不能简单地把自旋对时空的影响从理论中丢弃掉， 因为虽然没有自旋对时空影响的任何观测证据， 但由于轨道角动量对时空的影响是确凿存在的， 在理论上单单丢弃掉自旋对时空的影响将是非常不自然的。 这些都表明 Einstein-Cartan 理论对自旋的处理 (即既承认自旋对时空结构有影响， 又不把这种影响归结于能量动量张量) 有一定的合理性。 提出 Einstein-Cartan 的其它动机， 比如试图将时空流形切空间中的结构群从广义相对论中的 Lorentz 群推广到 Poincaré 群 (这是 Cartan 提出这一理论的原始动机之一 - 那时量子力学中的自旋还没有被发现)， 可以参看本文所附的参考文献。
Einstein-Cartan 理论虽然看上去有一定的合理性， 但始终没有得到太多的关注， 原因有很多。 其中有一个原因我觉得是因为它与广义相对论的差别涉及到象自旋这样的量子效应， 从而几乎没有任何得到观测支持的可能 (引力在这种尺度上太过微弱)。 不仅如此， 对于象自旋粒子产生的引力场那样的问题， 由于场源的量子特征无法忽略， 经典处理也许根本就不适用^[注四] - 尤其是对于象电子场 Ψ 那样的场， 将之在经典层次上作为引力源 (无论是作为广义相对论还是 Einstein-Cartan 理论的源) 更是缺乏恰当的物理意义。 如果经典处理不再适用， 那么 Einstein-Cartan 理论与广义相对论的差别可能会被量子效应与经典效应的差别所掩盖， 这将使得仅仅对这两个经典理论进行比较在一定程度上失去重要性。

注释

1. 注意， 这里必须用到点粒子及自旋的概念， 因此从某种意义上说， 这是在通过量子效应来局域地区分引力场与加速场。 如果我们讨论的不是带自旋的点粒子， 而是有限大小的旋转物体， 则与等效原理的成立与否无关 (因为它不是局域的)。
2. 自旋是纯量子现象， 但是带自旋粒子的运动却可以在广义相对论框架内描述， 这种处理方式有点类似旧量子论。 经典力学与量子观念并不相容， 但在经典力学中加上几个量子条件也能得到一些有用的结果。
3. 从引力场的作用量原理导出的场方程自动具有这样的能量动量张量。
4. 比方说， 将 Kerr 解运用于带自旋的基本粒子， 把自旋视为角动量， 则度规会在 J/mc 处出现裸奇环。 我们且不去理会那个 “裸” 字， 在 J/mc - 即 Compton 波长 - 处出现奇环显然是不可接受的， 也是与粒子物理实验完全矛盾的。 虽然对于基本粒子来说， 我们原本就不应该对经典描述有太多期待， 但 Compton 波长是经典与量子效应的分水岭， 经典度规在 “分水岭” 上就出现如此巨大的问题， 仍然是非常奇怪的 (因为这样的度规在几倍于 Compton 波长处就已经明显偏离平直了)， 同时也与我们常说的引力在微观世界中的微弱性很不一致。