相互作用量子场
从物理学发展之初起，对称性一直是一个强有力的工具。如今，对称性观念以及研究方法已经渗透到物理学的各个领域，变成了物理规律理论表述的支柱，也是迄今发展起来的各种相互作用场论的基础。
一切对称性的根源在于某些基本量的不可观测性，这些基本量称为“不可观测量”。“不可观测量”的存在会使某些“状态”等价。例如，我们通常有这样的经验，如果洗出来的照片上一个人的手表是戴在右手上的，我们会有理由说照片洗反了，因为通常人们总是把手表戴在左手上的。如果照片上的人没有戴手表，我们会去看他的衬衣钮扣或是口袋。总之，我们试图通过区分左和右来判断照片是否洗反了。如果找不到这种左和右的差别，我们就无法区分同一底片正反洗出的两张照片。这时，由于左右的“不可观测”，正反洗出的两张照片看上去一样，或者说是“等价”的。这个例子说明一个对称性原理的三个方面的相互关联性，即不可观测量的假设，相关的变换（这里表现为正着和反着冲洗照片）以及所蕴含的不变性（这里表现为洗出的照片无法区分正反）。
基础物理学中一个重要的对称性原理是洛仑兹不变性。这是作为麦克斯韦方程的数学性质而被发现的，而麦克斯韦方程则是在电磁学实验定律的基础上建立起来的。后来闵科夫斯基（Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ）倒转了这一过程，从洛仑兹不变性入手要求场方程不变。爱因斯坦对此大加赞赏。他的广义坐标不变的想法加上等价原理导致了广义相对论的产生。规范对称性是另一个极为重要的对称性原理。它的最初想法是由外尔提出的。受爱因斯坦将引力与电磁力统一起来的思想启发，自１９１８年起，外尔致力于将电磁学与引力统一的研究。既然坐标变换下的不变性导致了引力，外尔认为电磁学也应该可以从某种新的几何对称性得到。如果ｘμ和ｘμ＋ｄｘμ是相邻的两个时空点，ｆ是物理量，它在ｘμ为ｆ，外尔认为随时空变化的重新标度。ｆ到ｘμ＋ｄｘμ点时，它的“长度”被乘上了一个放大倍数，这个倍数与两时空点之间的距离成正比，记作１＋Ｓμｄｘμ。关于这个标度因子，外尔观察到两点。第一，Ｓμ有着与电磁势Ａμ同样数目的分量。第二，如果要求这个理论在标度的变化下保持不变，那末只有Ｓμ的旋度，而不是Ｓμ自身有物理意义，而这也正是电磁势的特点。由于以上的性质，外尔认为标度因子就是电磁势，至多相差一个常数因子。这样，电磁学就可以作为标度不变性而导出。可是这一想法没有成功，爱因斯坦证明了外尔的理论不可能描述电磁学。外尔于是放弃了他的想法。
一九二七年福克以及其后的伦敦从量子力学出发得到的新的结论是，Ｓμ不和Ａμ等同，而是等同于（－ｉｅ／ｈｃ）Ａμ（其中，ｅ是电荷，ｈ是普朗克常数除以２π，ｃ是光速）。这和外尔最初的想法所不同的仅仅是差了一个因子ｉ。可是这个因子ｉ影响深远，它使标度因子变成了１－（ｉｅ／ｈｃ）Ａμｄｘμ→ｅｘｐ［－（ｉｅ／ｈｃ）Ａμｄｘμ］这是位相的改变而不是标度的改变。因此，局部的位相不变是电磁现象的量子力学特点。外尔自己开头曾经将这一概念称为“ＭａｓｓｔａｂＩｎｖａｒｉａｎｚ”，后来又改称“Ｅｉｃｈ－Ｉｎｖｚｒｉａｎｚ”。２０年代初，这一名称翻译成英语，叫做“ＣａｕｇｅＩｎｖａｒｉａｎｃｅ”，以后中译为规范不变性。
常识告诉我们，一个自由粒子在空间运动的轨迹是一条直线，直线是联结两点的最短距离。实际上这里蕴藏了一个非常重要的原理，即最小作用量原理。作用量是一个依赖于运动轨道的量，它是系统拉格朗日量对运动轨道的积分，随轨道改变而取不同的值，粒子实际经过的经典运动轨道总是使得这个量最小值。通过对作用量在轨道的各种假想改变下的响应进行研究可以得到粒子运动轨道应该满足的方程，也就是运动方程。这种办法完全可以推广用来研究场论，从而得到场方程。这样做的一个最大的优点就是可以很容易地使理论满足相对论性原理以及其它对称性要求。电子场的作用量可以从系统的拉氏量计算出来。在拉氏量的适当选取下，从作用量最小原理得到的运动方程正是狄拉克方程。人们注意到在电子场做如下相因子的改变ψ→ψ，→时，体系的拉氏量保持不变其中代表正电子的场。这种不变性在体系的物理规律的反映即为系统的电荷守恒。所以说，电荷守恒这一由实验总结出的定律在理论上则解释为电子场作用量的一种对称性。事实上，在作用量这个框架内，所有的守恒量都是作用量存在某种对称性的必然后果，这正是我们在第一篇提到的诺特定理。在上面关于场的位相变换中，变换是对场在同一时空点上进行的，称为内禀变换，以区别于那些因坐标系改变而导致的场变换。理论的相对论不变性要求作用量在时坐标改变时保持不变，相应地得到动量、能量和角动量等各种守恒量，这是我们所熟悉的。对于内禀对称性，除了上面已经提到的场的电荷位相变换不变性外，还有如本书基本粒子物理部分介绍的重子数和轻子数守恒等，它们是电荷概念的某种推广。由于这种内禀变换对于场在各个时空点的改变完全相同，所以称为整体变换。如果场在各个时空点的位相改变并不相同而是各自独立，就称为定域变换。显然，整体变换是定域变换的一种特殊情况。
对整体变换的讨论可知，作用量之所以在电荷位相变换下不变，是因为场和反粒子的场以特定的组合形式出现，它们的整体位相改变刚好抵消的缘故。由于定域对称变换中，场的位相的改变与所在的时空点有关，场关于时空的微商的位相变换与场的位相改变不再相等，于是原来具有内部整体对称性的作用量并不具有相应的定域对称性。研究结果表明，保证原来的作用量具有相应的内部定域对称性的途径就是引入一个新的矢量场Ａμ（ｘ），与前面关于外尔规范理论的讨论进行比较得出这个新的场量正是电磁势。这种定域位相变换下的不变性称为定域规范对称性，新引进的矢量场称为规范场。所以，要求理论有定域规范对称性就必然要引入相应的规范场，它起着将时空各点的位相变化联系起来的作用，具体到我们现在的例子，它实际上意味着电磁场传递带电粒子之间的相互作用。
３．１．３非阿贝尔规范相互作用
象电荷这样简单的复数位相变换在数学上构成所谓的阿贝尔群。具体讲，将场乘上一个复数相因子就是对场进行了一次位相变换，再乘上另一个复数相因子则相当于做了两次位相变换。两次所乘的相因子本身相乘等于一个新的复数相因子，所以，两次变换完全等价于用新的相因子做一次变换。这就是说，两个变换相“乘”得到的还是一个变换。把所有的变换集合起来，数学上称为一个群。所以，群就是一些对称变换的集合，这些变换互相“乘”起来还是这个集合中的一员。用数学的语言就是说，群的元素在“乘”法运算下是封闭的。很容易证明这个群的乘法是可交换的。这样的群称做阿贝尔群；反之，则称为非阿贝尔群。
人们认识较早的非阿贝尔内部对称群是本书基本粒子部分介绍的强相互作用的同位旋对称性。它是从实验上发现的核力的电荷无关性建立起来的一种对称性。它使得只要问题仅限于讨论强核力，我们就无须区分质子还是中子；换句话说，在描写强核力的作用量中，我们可以将质子场与中子场用一个两行两列的系数矩阵进行线性组合，用新的场表达的作用量在形式上应该与原来的作用量完全一样。
把质子和中子对调，根据同位旋对称性，动力学规律应该不受任何影响。所有这样的系数矩阵在矩阵的乘法下封闭构成一个群，而且由于矩阵Ａ乘矩阵Ｂ一般并不等于矩阵Ｂ乘矩阵Ａ，所以这个群是一个非阿贝尔群。出于物理上的考虑，我们只限于那些满足特定条件的系数矩阵，它们构成所谓的二阶幺模幺正群，记作ＳＵ（２）。根据群的一般理论，我们可以将系数矩阵写成一个复相因子的形式。只不过这时指数上不再是简单的纯虚数而是一个对角元素之和为零的反厄密矩阵，它在某种意义上是模为１的相因子的推广。所有这些２乘２的反厄密矩阵都可以写成３个独立的反厄密矩阵的线性组合，这３个独立的反厄密矩阵称为群的生成元。非阿贝尔群的特点反映在群元素乘法的不可交换性，这种不可交换的程度可以通过对群的生成元满足的对易关系，其中ε_ｉｊｋ不恒为零反映了这种不可交换性，它称为结构常数。不同的群结构常数不同。同一个群可以有不同的表示。例如本书基本粒子部分曾提到，π介子的三种状态构成同位旋３维表示，相应的生成元表示成为３乘３的矩阵。它们也满足与上式同样的对易关系。１９５４年杨振宁和米尔斯类比电磁相互作用的规范原理，将同位旋对称性定域化希望得到强作用的理论。他们发现，要构造一个作用量在定域的同位旋变换下不变就必须对应于同位旋的三个生成元引进三个规范场。这三个矢量粒子和光子类似，也称为规范(WWW)粒子，它们起着传递强力的作用。当进一步构造规范场自身的作用量时发现，要得到具有这种定域ＳＵ（２）对称性的作用量除了要有规范场的二次项外，还要有三次项和四次项。它意味着规范粒子带有一种“荷”（在这里是同位旋荷），使规范粒子之间存在自相互作用。非阿贝尔规范场的这一特点对于量子场论有深远的意义，现在人们已认识到它是强作用存在渐近自由行为的根源，但在当时它所带来的计算上的巨大复杂性却使得理论的发展足足推迟了十多年之久。杨振宁后来回忆这段发展时说：“我们完全陷入困境（指得到自恰的计算法则），规范场的非线性自作用项如此复杂以致我们看不出摆脱这种局面的途径。无论如何，由于对这个课题本身的足够兴趣，我们还是发表了一篇文章。”事实上，尽管后来的研究表明强作用的规范群不是同位旋ＳＵ（２）而是色ＳＵ（３），但这篇发表于１９５４年的经典之作却揭开了人们认识自然界基本相互作用的一个历史新篇章。
３．１．４路径积分量子化
量子化是微观客体的特性，如何正确地构造量子理论始终是一个重要问题。一般而言，从经典理论得到相应的量子理论可以按照正则量子化的标准方法进行。但正则对易关系只对独立的共轭正则变量才成立。
如果系统存在约束，那末首先应从约束方程中解得独立的变量，然后再进行量子化。规范场理论的量子化就属于这种情况。
电磁场的作用量在规范变换下保持不变，它表明并非电磁势的四个分量都是独立的场变量。物理的场满足一定的规范条件，它对电磁势的独立分量加了很强的限制。这时如果简单地将四个分量同时做为独立变量进行正则量子化，将会因无视它所满足的规范条件而得到矛盾的结果。从规范条件中解出独立的变量然后再进行量子化可以避免上述困难。但是，直接这样做并不方便，而且会牺牲整个理论的明显洛伦兹协变性，特别是对于非阿贝尔规范场的情形，规范场方程的非线性将导致实际求解的巨大困难。
对非阿贝尔规范场的量子化最先是１９６７年由前苏联学者法捷耶夫（Ｌ．Ｆａｄｄｅｅｖ）和波波夫（Ｖ．Ｐｏｐｏｖ）用路径积分的办法实现的。路径积分量子化的最初想法来自狄拉克。他在寻找一种能够平等对待时间和空间的量子力学表述方式时发现，在经典理论的两种表达方式中，哈密顿形式的时间具有特别的地位，而拉格朗日最小作用量原理的时间和空间地位是平等的。他相信拉格朗日作用量也一定会在量子理论的表述中发挥作用。费曼接受并发展了这种想法，得到了路径积分量子化方法。
作为量子力学的基本原理之一的测不准原理表明，由于位置和速度这对相互共轭的量不能同时测准，所以经典的轨道概念在微观领域没有意义。但费曼认为，在量子力学中可以保留轨道概念，只不过一个微观粒子从初始时刻的位置到终了时刻的位置之间的所有轨道都是可能的，粒子沿哪条轨道走并不确定，每一轨道都有一定的几率幅。量子力学的特征正反映在轨道的不确定性上。这与经典力学的情况相反。在经典力学中粒子是按确定的轨道运动的，这个轨道称为经典轨道，它是使作用量Ｓ为最小的那条轨道。在量子力学中，费曼假定每个轨道对总几率幅贡献的大小相等，相角不同，即等于ｅ^ｉＳ（ａ，ｂ）／ｈ，其中Ｓ（ａ，ｂ）是该路径的作用量值。总的几率幅为这种路径积分量子化的特点是，它的表达式中所用到的量都是经典的而不是算符，但是由它所表达的却是量子力学的几率幅。
既然所有的路径都有同样大小的贡献，只是相角有所变化，那末在经典极限下某个特定的路径是怎样变成最重要的路径的呢？经典近似相应于尺寸、质量、时间等都很大，以致Ｓ与ｈ相比是巨大的，所贡献的相角Ｓ／ｈ是个很大的值。对一般的情况，路径的微小改变会造成相角的巨大改变，它们的贡献由于振荡而相互抵消。但对于Ｓ为极值的特殊路径，它的微小变化不会使Ｓ发生变化。所以，这个区域内各路径的贡献几乎都是同相的，不会相互抵消。于是当所讨论的尺度远大于ｈ时，这种表达形式自动地挑出了满足最小作用量原理的经典轨道。
路径积分量子化方法在概念上是简单的。但是对这样的求和给出更精确的数学上的定义是相当复杂的。这种求和的极限自然地应该表达成积分，由于这时的积分变量—路径—本身是时空的函数，所以它是推广了的黎曼积分，即所谓的泛函积分。关于泛函积分的存在性在数学上仍是尚未完全解决的问题，好在对于一类特殊的称为高斯型的泛函积分其存在性是得到严格证明的。而常见的几种场，如标量场、旋量场和规范场，它们的自由场拉氏作用量的路径积分都是属于高斯型的。
当考虑了场的相互作用后，拉氏量中往往包含场的三次或更高次幂的单项式。它们不属于高斯型积分，在具体计算中不得不借助于微扰展开。由此发展起来的理论与正则量子化的微扰论异曲同工。路径积分量子化方法有许多优越的地方。例如，由它可以发展一些形式场论的方法，对作用量的具体表达式尚不清楚的情况尤为有用；路径积分形式有利于做半经典近似；它的表达式与统计物理中配分函数的相似导致了有限温度场理论的产生和发展等。特别是由于规范对称性使规范场的自由度多于真实的物理自由度，即规范场是一个约束系统，而量子化是对于真实的物理自由度进行的，这在操作上给正则量子化带来困难，但在路径积分量子化方案中比较容易处理。
规范对称性意味着作用量在规范变换下不变，由规范变换所联系起来的场称为规范等价，它们的集合称为一个规范等价类（或规范轨道）。不加区分地对所有的场位形（路径在场论中的推广）进行积分将会导致对于规范等价的场位形重复积分。由于场是无穷多维的系统，所以这种的重复积分的结果是无穷大。费曼路径积分应该只对于那些不在一个规范等价类的真正物理自由度进行积分。路径积分形式通过适当地修改积分的测度定义使积分只沿与规范轨道相交且仅交一次的路径进行，从而做到这一点。
这种办法是由法捷耶夫和波波夫首先得到的，他们对测度的修改通过引进辅助的场量完成的。这些辅助场在时空变换下表现得象个标量但却满足反对易的交换关系，由于这种奇特的性质，它被称为鬼场。它们只出现在费曼图的内线，从而保证了Ｓ矩阵的幺正性。使积分路径只与规范轨道相交一次且仅相交一次是通过选取规范条件来实现的，如洛伦兹规范条件在场的位形空间就是给出这样的积分路径所满足的方程。格瑞伯夫（Ｇｒｉｂｏｖ）发现，由于位形空间的拓扑性质，并不是总可以找到上述的积分路径，这种情况称为存在格瑞伯夫不定性。一般说来，非阿贝尔规范场的库仑规范条件就存在格瑞伯夫不定性，所以库仑规范不是一个好的规范条件。现在人们通过研究相信，格瑞伯夫不定性可能是非阿贝尔规范场的普遍性质，与其拓扑性质密切相关。格瑞伯夫不定性表现在规范条件确定的积分路径与规范轨道相交不只一次。不过这种重复相交一般发生在场量较大的位形，它并不影响微扰论计算。
路径积分量子化方案对于旋量场存在一定的困难。前面说过，路径积分的表达式中所用的量都是些经典的量，由普通的复数表示。但是，满足反对易关系的旋量场并没有经典的对应，换句话说，没有满足反对易乘法的数。所以要处理旋量场的量子化就必须推广关于数的定义。满足反对易乘法的“数”称为格拉斯曼数（Ｇｒａｓｓｍａｎ数）。Ｂｒｅｚｉｎ讨论了对于格拉斯曼数的函数进行微分和积分的问题。最近关于量子群在场论中的应用，特别是非对易几何的研究再次引起人们对于这些形式讨论的兴趣。
量子场论的路径积分形式由于前面提到的一些特点使得它成为现代量子场论的主要理论构架。量子场论的很多丰富内涵都通过路径积分测度的定义得到反映，鬼粒子就是一个著名例子。８０年代初，利用路径积分形式对于量子场论中的反常现象的研究表明反常与场在大范围的拓扑性质密切相关。
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