Monday, November 24, 2014

     三维空间中的一个闭合的圈, 可能根本没打结, 但是仍然可以看上去很复杂, 比如把它揉成一团. 一个自然而根本的问题是, 如果不动手去解,单凭观察, 怎么能判断它到底有没有打结? 这个问题到现在还没有解决.这个问题在数学上就是不变量的问题. 我们想找一个量, 数量或者更广泛的量, 这个量在 "解结" 这个过程中是不变的. "解结" 是个怎么样的过程呢? 就是一种变形, 而在变形过程中保持某种"连续性", 简单来说, 就是不能剪断绳圈. 圈在空间的形态在拓扑上叫做从圆到三维空间的一个"嵌入"(imbedding). 如果一个形态可以通过连续变形成为另一个形态, 我们就说这两个"嵌入"是"同痕的"(isotopic). 这个连续变形就叫一个"同痕"(isotopy).直观上, 两个同痕的嵌入当然是同一个扭结, 因为跟打结有关的性质是不会在连续变形的过程中发生变化的.

    显然同痕是一个等价关系, 所有的嵌入在这个等价关系下可以分成等价类.每一个等价类对应一个扭结. 有了等价类, 自然就有不变量问题. 就是说,一个等价类里的不同元素有哪些共同的数字特征? 这些数字特征将有可能区分不同的等价类. 所以打没打结的问题就是: 找一个平凡扭结的完全不变量. 平凡扭结就是本质上没打结的圈, 完全不变量就是说, 所有没打结的圈的形态都有一个相同的数字特征, 而所有打结的圈的形态的这个数字特征将与没打结的那些不同. 熟悉线性代数的同学可能想到这个例子:线性变换. 一个线性变换可以有不同的矩阵表示, 这些矩阵都是相似的.所有矩阵在相似关系下分成等价类. 每一个等价类对应一个变换. 如果我们想知道一个矩阵是不是代表恒等变换, 我们可以看它所有的特征值以及所有循环子空间的维数. 如果都是1, 它就代表恒等变换, 如果有一个不是1, 它就不代表恒等变换. 所以数字集合 {特征值, 循环子空间维数} 是一个完全不变量. 这个例子其实不太恰当, 因为恒等变换的矩阵等价类里只有一个元素, 就是单位矩阵, 所以不变量可以取作单位矩阵自己. 而在扭结的情况, 平凡扭结的形态有无穷多.

    至今, 扭结不变量有很多, 但完全的不变量, 一个都没有. 也就是说, 至今还没有找到一个不变量可以区分平凡扭结和非平凡扭结.

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    80 年代以前的几十年, Alexander Polynomials 一直是唯一的数值扭结不变量. 它的构造基于空间挖去扭结以后的拓扑结构. 到了1984年, Jones在研究冯.诺依曼代数的时候偶然发现了一个新的扭结不变量, 现在称为Jones Polynomials. 这个不变量的最初构造非常精巧, 涉及很多高深的代数知识. 但是经过几个大牛牛的研究, 这个不变量有了很多种解释. 看待它的方式多了, 对它就了解得更清楚了.

     这个Jones Polynomial理论被证实与其他分支有着广泛而微妙的联系.Jones自己走的路子是通过算子代数; 后来他自己同L.Kauffman,V.Turaev 发现了从统计力学模型出发的构造方法. 这个方法应该是最初等的, 最容易被接受的. 基本想法就是把扭结在每个重叠点处"解开"成为一些不相交的平凡投影(平面圆圈). 每个重叠点有两种解法,如果扭结的一个投影有三个重叠点, 这个投影就有8种解法. 每个解法叫做一个"态", 每个态联系一个单项式, 我们把所有态的单项式加起来,就得到一个多项式, 再用一个其他的数字(自绕数)修正一下, 就得到这个扭结的Jones Polynomial. 这种构造方法在统计力学里称为"配分函数"或"状态和"; 同时V.Drinfeld在研究Hopf代数的时候发现了另一种构造方法, 跟Hopf代数的交换性质有关系, 叫做"R矩阵". 这种方法成为现在广泛使用的扭结不变量构造方法;

     这些方法有个共同的不足之处: 都依赖于扭结的二维投影. 算子代数和Hopf代数的构造都要先用一个"辫子"来表示扭结, 而统计力学的构造显然需要一个投影. 一些数学家不太满意这种情况, 因为早在一百多年前高斯就"内在"地构造了一个整数值的不变量, 用来研究两个扭结是怎么"链接"起来的. 这个整数实际上是其中一个扭结对另一个扭结的"环绕数". 但是高斯用一个二重三维曲线积分算出了这个整数. 他的想法可能来自于当时的电磁学, 把两个扭结看成空间的两个环形电流, 然后计算它们的相互作用. 高斯这个"内在"的三维构造巧夺天工, 成为后来的数学家极欲模仿的典范. 所以在1988年一个纪念Hermann Weyl的讲座上, M.Atiyah提出了这个问题: 寻求Jones Polynomial的一个三维的内在构造. E.Witten立即投入到这个问题中, 在1989年发表了至今在拓扑学领域引用次数最高的"Qantum Field Theory and the Jones Polynomial", 给了Jones的理论一个基于量子场论的解释. 这种用量子场论观点研究拓扑学的方式叫做"拓扑量子场论"(Topological Qantum Field Theory). 几何与物理又一次走到了一起.

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     Witten的理论是一个量子规范场论. 我正式学习规范场论是在这边的微分几何课上. 老师是日本人, 年纪轻轻, 在他的领域已经举足轻重.曾经问过他每天花多少时间来思考数学, 回答是每时每刻. 总觉得很多日本人有一股劲儿, 好像小平邦彦. 现在中国数学落后日本这么多,也无话可说, 人家就是勤奋. 当时在微分几何课程的广告上写的授课内容是: Gauge Theory; Hodge Theory; Morse Theory. 很酷. 在我们这样的学校, 有这么一门课真的是很不容易.

   所以把这三个理论放在一门课里讲, 因为Hodge理论的对象--Laplace方程,如果未知函数是二次形式, 就是规范群为U(1)的杨振宁-米尔斯方程. 即,Maxwell方程组. 而Witten的论文"Supersymmetry and Morse Theory"将微分拓扑中的Morse理论解释为一个超对称模型: 黎曼流形上的偶数次形式是玻色态, 奇数次形式是费米态, Q1=d+d* 和 Q2=i(d-d*) 是两个超对称算子, 它们把费米态映到玻色态, 把玻色态映到费米态, 而且反交换.系统的哈密顿量 H=Q1Q1+Q2Q2=dd*+d*d 就是流形上的Laplace算子(动能).所以寻找超对称的真空态的问题, 即求解 Q1|0>=0, Q2|0>=0, 等价于求解黎曼流形上的Laplace方程. 如果引进相互作用(流形上的一个Morse函数),那么这个超对称的量子力学模型在经典近似下给出Morse不等式.

    在经典的层面上, 规范理论是很"整齐"的理论. 比如经典电磁学就是U(1)主丛上的规范理论; 磁单极子是二维球面上一个非平凡U(1)丛的一个联络,杨振宁-米尔斯瞬子是四维球面上一个SO(3)主丛的一个联络; 等等非常漂亮的结论. 但是任何理论都要量子化, 规范理论也不例外. 与扭结相关的规范理论采用路径积分量子化. 路径积分最初由Dirac想到, 在他的"量子力学原理"中提到过, 并注明说"不关心高等动力学的同志可以略去这一节", 可见是很费解的东西. 主要想法是在量子力学中重建最小作用量原理. 量子力学的最初形式都是哈密顿模式: 矩阵力学模仿正则方程, 波动力学模仿Hamilton-Jacobi方程, Dirac的变换理论又是模仿正则变换. 而用变分法从最小作用量原理导出Lagrange方程也是经典力学里很漂亮的办法, 而且将时间空间同等看待, 最容易与相对论结合. 后来Feynmann得到了一个理想的表达, 称为路径积分, 实际上是构造Schr?dinger方程的格林函数的方法. 经过搞数学的Kac严格化, 成为对一类抛物型微分方程构造格林函数的一般方法, 是概率论与随机过程应用在数学物理上的典范. 对热传导方程来说, 粒子的动能是通过混乱的布朗运动传递的, 传递的路线是不可预知的, 于是可以赋予每条可能的路线一个概率, 格林函数(传播子)就是这些路线效果的期望值. 但是Schr?dinger方程是一个很奇怪的方程, 形式上是抛物型, 所以可以用同样的办法构造传播子, 然而赋予每条路线的那个权重没有概率的解释, 因为在时间导数的前头有个虚数单位i, 这个i使得本该是概率的那个权重变成了一个模一的复数.而传播过程不再是超距的, 而是有限速度的. 换言之, 它实质上描述波动.所以这个传播子是很难从数学上理解的东西, 无穷维空间测度论的解释只适合热传导的情况. 不知道有没有同学清楚这个传播子的数学解释, 希望可以讨论一下. 量子力学的情况已经这么复杂, 推广到场论上去的路径积分简直就是一个灾难.

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    经典力学里粒子的基本力学变量是坐标和与之共轭的动量, 其他力学变量是它们的函数. 而粒子的"运动"是相空间的一条曲线. 所谓作用量是所有"运动"的空间上的泛函. 这里我用"函数"来代表复合关系, 只跟变量的取值有关; 泛函代表映射关系, 跟变量的形式(整个运动过程)有关.比如能量就是动量的一个函数, 每个时刻都有一个值, 这个值只与那个时刻的坐标,动量的值有关; 而作用量是Lagrange函数对时间的积分,只对时间段有意义, 与坐标, 动量随时间的变换有关, 与某时刻的值无关,是"运动"的泛函. 现在运用场论的观点, 把"运动"看作一维时间上的一个"场", 就是说, 三个坐标和三个动量的值在时间上的分布. 那么能量就是场的函数, 而作用量是场的泛函. 记场为 C: t--> R^6,定义泛函x_t, p_t 为 x_t©=x(C(t)), p_t©=p(C(t)). 如果有经典力学变量f(x,p), 那么量子化以后, 这个力学变量在t时刻的期望将是:E[f(x_t,p_t)], 这里的测度空间是{所有可能的场C}, 概率密度是:pdf©= exp{iS©}, S©=\int L(x_t©,p_t©)dt 是作用量.写开那个期望就是\int f(x_t©,p_t©)exp{iS©}dC.

23楼
2010-08-31 09:58

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   相对论的情形基本上是上面的推广, 有一点点区别. 基本力学变量是在时空分布的场, 作用量是场的泛函, 其他力学变量, 与单粒子的情况不同, 一般是场的泛函而不是场的函数, 这是因为在一个时空点的场的值不能提供关于能量等我们关心的力学变量的信息, 而是要计及整个场的分布. 如果用A:R^4 --> V 来表示时空中取值在V中的场, 那么量子化后一个力学变量f(A)的期望是 \int f(A)exp{iS(A)}dA, 积分的空间是{所有可能的场A}.

   回到扭结问题. 现在来看三维流形上的规范场, 就是三维流形上某个主丛的联络. {丛上所有联络} 就是我们量子化的时候要在上面积分的空间. (这个空间上到底有没有一个测度使得积分有意义还是一个根本的未解决问题, 所以在这里我们已经失去了数学上的严格) 我们需要某个力学变量的期望值, 这个力学变量就是扭结与联络的一个"配对", 计为<K,A>, 从数学上来说就是联络A沿扭结K的"和乐"(holonomy)的迹(trace), 取数量值. 所以这个由固定的扭结决定的力学变量是{丛上所有联络}这个空间上的泛函. 这个泛函(力学变量)的期望值就是扭结K的一个拓扑不变量: Z(K)=\int <K,A> exp{i*CS(A)}dA.这里的作用量是一个特殊的作用量: Chern-Simons invariant (Chern-Simonsnumber) CS(A). 这是一个共形不变量, 也是一个局部规范不变量, 这个不变量也是90年代低维几何拓扑的中心议题之一.

   这个不变量的定义完全是形式的, 其中含有很可能没有意义的路径积分. 从这个形式的定义中解读不变量的信息有两个办法: 一个是Witten的办法, 观察和玩弄这个形式的表达式, 把流形分割成几个与黎曼曲面同伦的部分,再结合一些正则量子化方法和moduli space的理论, 证明这个不变量的一些性质. 这篇论文是拓扑量子场论的经典之作, 体现了Witten这个牛牛深不见底的学识和海阔天空的想象力. 估计够我学十好几年的. 另一路也是几个牛牛在搞, 顺便说一句, 这些牛牛多半都是犹太的. Dror Bar-Natan的博士论文就是关于这个不变量的, 名叫"Perturbative Aspects of the Chern-Simons TopologicalQuantum Field Theory", 用微扰展开, Feynmann图等技巧避开了形式定义不严格的问题, 证明了很多结果, 并通过Feynmann图与另一族重要的扭结不变量----Vassiliev不变量联系了起来. 这一联系可不得了, 几个牛牛过来一插手, 把这个理论整得有如天书一般, 完全看不懂了. 其中包括Kontsevich, W.Thurston的儿子D.Thurston, 还有什么Rozansky, 以及Witten自己. 这些人里,Witten和Kontsevich是泰山北斗, 个人认为比牛顿牛多了; Dror Bar-Natan的一篇关于Vassiliev不变量的论文引用次数排名居高不下, 可与Witten的那个相媲美, 博士论文又那么牛逼; D.Thurston本科的论文我就看不懂, 博士论文更是具有独创性, 概念符号都是自己发明的, 开创了一个新的课题. 虽然我还没来得及参详, 我一个同学已经跟我吹了好多次了, 搞得我现在也对这个Thurston崇拜得不得了. 他现在也是Fields奖热门人选.

24楼
2010-08-31 09:58