点云模型上近似测地线的计算
奶牛点云模型
或移动最小工乘曲
面，
该方法需要局部曲面重建;
Ruggeri 等人[ 9 ) 将点云首先用面片( Surfel) 或移动最小工乘曲
面(Moving Least-Squares , MLS) 表示，建立带权重的SIG
(Sphere-of-Influence Graph) ，采用Dijkstra 算法求出SIG 上的
任意两点间的最短路径作为初始测地线，然后通过使能量函
数最小化计算最终的测地线。
始测地
第31 卷第4 期
2011 年4 月
计算机应用Vo l. 31 No.4
Apr.2011 Joumal of Computer Applications
文章编号; 1 ∞ 1 -9081 (2011)04 一1050 -03 doi;IO. 3724/SP. J. 1087.2011.01050
点云模型上近似测地线的计算
杨主武1 ，范妓旋2 ，王继东
( 1. 1除州学院计算机科学与技术系，安徽狲州239ω0; 2.1除州学院数学系，安徽称州239ω0)
(ybcup@ 126. com)
摘要:为了有效计算点云模型上任意两点间的近似测地线，将点云模型沿着直角坐标系中三坐标轴方向进行
空间栅格划分后，建立表示点云模型的带权因，采用Dijkstra 算法计算带权图上任意给定两点闸的最短路径作为初始
测地线然后通过使能量函数最小化，用共串厄梯度方法对初始坝J 地线迭代优化，计算得到点云模型上任意给定两点间的近似溃J 地线。该算法元需对点云模型进行网格化，无需对点云模型进行局部或全局的曲面重建，适合大规模点云
模型上现J 地线的计算。
关键词:点云;测地线 Dijkstra 算法;能量函数最小化
中图分类号:T凹9 1. 41 文献标志码A
Computation of approximate geodesics on point c10ud
YANG Bin1 , FAN Yuan-yuan2 , WANG Ji-dong 1
( 1. Department of Co 叩uter Science αnd Techrwlogy, Ch旧hou Unwersity, Cωh出hωθuAn呐
2. De，ψP αM叫m阳ent ofM，α田th衍emαωt町附$， Chuzhou Univemty, Chuzhou Anhui 239000, China)
Abstract: In order to compute approximate geodesic efficiently between two points on point cloud, a weighted graph was
constructed by splitting point cloud along the Cartesian coordinate axes , thus initial approximate geodesic between any two
given points could be computed out using Dijkstr的algorithm. Then the conjugate gradient method was adopted to minimize
the energy function defined; finally , approximate geodesic could be obtained after some iterative steps. This proposed
algorithm avoids meshing or reconstructing the point cloud to be local or global surface, .and it is suitable for computing
geodesic on large scale point cloud.
Key words: point cloud; geodesic; Dijkstra's algorithm; energy function minimization
0 引言
近年来以点云模型为研究对象的数字几何处理己成为计算机图形学中一个新兴的研究热点r 1 -3 J 。主要原因为，传统的多边形网格模型除存储模型的几何信息之外，还需维护庞大的拓扑连接信息，而以离散点为表面表达方式的点云模型，
具有数据获取方便，数据结构简单且无需维护其全局一致的
拓扑结构等优点。三维点云模型在医学辅助诊断、数字娱乐、
工业设计、航天模拟、文物保护和修复等行业中具有广泛的应用前景。
计算点云模型上任意两点的测地线是点云模型几何处理
中的基础性的问题。测地线算法主要分为两类一类是以多
边形网格表示曲面的测地线计算算法。如Kimmel 等人[4 ) 基
于水平集方法提出了一种三角网格上测地线的计算算法;
S 町azhsky 等人[5J 提出了一种用替代法计算测地线，即把三角
形网格映射到二维平面上计算测地线童晶等人[ 6 ) 提出了基
于邻域扩展的三角形网格表面近似测地线的计算方法。另一
类是点云模型上的测地线计算算法。女II Klein 等人[ 7 ) 将点云
用Delaunay 三角网格表示后计算测地线杜培林等人[8J 将点
云数据单元盒剖分后，采用Dijkstra 算法求出两点间的最短
路径作为初始测地线，然后通过带弧长最短约束的平方距离最小化方法对初始测地线进行迭代优化，计算得到点云模型
收稿日期;2010 -09 -16; 修回日期;2010 -11 -220
上给定两点间的一条测地线，该方法需要局部曲面重建;
Ruggeri 等人[ 9 ) 将点云首先用面片( Surfel) 或移动最小工乘曲
面(Moving Least-Squares , MLS) 表示，建立带权重的SIG
(Sphere-of-Influence Graph) ，采用Dijkstra 算法求出SIG 上的
任意两点间的最短路径作为初始测地线，然后通过使能量函
数最小化计算最终的测地线。
本文是在文献[9] 方法的基础上计算测地线，与文献[9]
不同之处主要有两点:本文在点云模型上直接计算测地线，不
需要点云模型预先用面片或MLS 表示，提高了测地线的计算
速度;本文建立带权图的方法与文献[9] 也不同。为了使能
量函数最小化，用共辄梯度方法对初始测地线迭代优化，最终的测地线的精确程度与初始测地线的选择关系很大，初始测地线与目标测地线比较接近时最终求取的测地线才能达到满意的结果。因此，本文首先采用Dijkstra 最短路径算法求取
初始测地线，然后用共辄梯度法使目标能量函数最小化，计算
得到点云模型上任意两点间的测地线。
1 点云模型上测地线的近似计算
定义数据点的集合Q = lp. , i = 1 ， 2 ，"'， N I 为点云模型，
点云模型上任意两点P. 和Pj 间的最短路径表示为 =
P.V.V2 " 飞
基金项目:国家自然科学基金资助项目(ω 873175) ;安徽省教育厅自然科学基金资助项目( KJ20108423; KJ2011 Z284) 。
作者简介:杨斌( 1981 斗，男，安徽定远人，讲师，硕士，主要研究方向:计算机辅助几何设计、虚拟现实 范嫌援(1981 - )，女，安徽风阳人，
讲师，硕士， 主要研究方向:计算机辅助几何设计、计算机图形学; 王继东1 980 - ) ，男，安徽阜商人，讲师，硕士，主要研究方向:计算机图形学。
第4 期杨斌等:点云模型上近似坝J 地线的计算1051
点云模型Q 上，连接D 上所有相邻控制点形成的曲线就是p，
和Pj 间的近似测地线。为了求取D 上控制点叫，屿，…，叭，最
小化能量函数方程Es(P) :
Es(P) = L(P) + α •Ds(P) + β . Us(P)
其中P = V， V2 "'V. 表示D 上控制点的序列。
L(P) 项表示最短路径D 上所有相邻控制点间距离的平
方和，方程为
L(P) = 骂11 V.. 1 - V , 11
2
其中: Vo = p" 凡+1 = Pj' 该项约束了pι 和鸟间的距离最短。
Ds(P) 项约束P 接近点云模型Q ， 方程为
Ds(P) = L 叫n( d2 ( 叭，鸟 )
其中: n 表示控制点叭的个数;mJIn(dzh ‘ ， Pj) ) 表示点云模型
Q 上点Pj 与控制点V ， 距离的平方，点Pj 是控制点飞的最近点。
Us(P) 项约束最短路径D 上任意线段V， V ， +I 在点云模型
Q 所隐含的理想曲面上，方程为
ι _ d 2 (v"p)
U(P)=Y dz(tjzJ, )-r?
J 妇，.. J ' 11 V ,+l - V , 11 '
- (V.. , + 们1 一
其中:矶」7-L 表示最短路径D 上相邻两控制点的中
点。距离的平方d 2
(V, ，Pj) 约束线段V ， V ， +I 在点云模型。所隐含的理想曲面上， d2
(V , ，p) 和相邻两控制点距离的平方
11 V ,+I - V , 11 2 的比率表示在点云模型。曲率大的地方，线段
V ， V.+ 1 权重就大。Us(P) 项重新调整最短路径D 上控制点的分
布，图 给出了二维情况下两点间的测地线，光滑曲线表示理
想曲线，折线表示近似的测地线，图a) 没有Us(P) 这项约束，理想曲线曲率大的地方测地线上线段曾几+，误差很大，图( b) 有Us(P) 这项约束，线段V 凡
(a) 没有U，(P)约束(b) 有U，(P) 约束
图 二维情况下两点间的近似测地线参数α 和β 控制用共辄梯度方法最小化能量函数民(P)
的收敛速度，同时也影响着求解测地线的精度。
用共辄梯度方法最小化，初始迭代点序列P 越接近于精
确解，解的误差就越小，且收敛速度就越快，所以本文首先用
Dijkstra 算法求出初始的测地线序列P ， 把P 作为最小化能量
函数时的初始迭代点序列。
1. 1 Dijkstra 算法求初始测地线点云模型上用Dijkstra 算法求取任意给定两点间的初始
测地线，步骤如下。
步骤 点云模型的空间栅格划分，并把包含点云模型
数据的栅格定义为有效的盒子，给每个有效盒子一个序号。
步骤 将所有有效盒子作为图的顶点，连接所有相邻的有效盒子的中心点，建立一个无向图结构，定义边的权为相
邻两个有效盒子中心点的欧氏距离。盒子间分为面相邻、边相邻和顶点相邻三种情况。
步骤3 设给定初始测地线起始点所在盒子的序号为indexo ， 终点所在盒子序号为ndexn ， 采用Dijkstra 算法在图上求出index。到index. 的最短路径D ， 路径上每点对应一个
有效盒子，连接路径上所有相邻的控制点形成的曲线作为初
始测地线。
图 给出了奶牛点云模型的空间栅格划分，首先计算点
云模型数据点在三坐标轴 ， y ， z 方向上坐标的最小和最大
值，分别为 Xmm λ阳， YmIR ， Ym町， Ztnln ， Zm阻，从而可以构造一
个与三坐标轴平行的包含所有数据点的长方体包围盒，将长方体包围盒划分成m x n x 1 个边长为 的立方体栅格，则包
含点云数据的立方体栅格边长 为
L = J坠I Xmax - X mm I I 几回- Ymm I I Zm皿- Zmm I
川v n
式中: h 是调节立方体栅格L 边长的比例因子， k 为邻近点的
个数， π 为点云模型中数据点的总数。通过改变 和k 的值可以调节立方体栅格边长的大小，以便给立方体栅格边长一
个较合理的取值。文献[ 10 ]通过大量实验给出了一个h 的
经验值。而本文对不同的点云模型h 和k 的取值可以不同。
立方体边长 确定后，子立方体在三个坐标轴方向的个
数为
( m = 「( Xm -」4训叩叩X几ων川mωJ川)1川/儿L
n = I (Ym皿- Ymm )IL 丁
1 = I (Zm皿- Zmm)IL 丁
其中「卜. 1 表示向上取整。
根据下列映射计算出点云模型上的任意点p 所在立方体
栅格L 的索引号(川， k) ， 点p 坐标值为x ， y ， z) ，
r i =L(x -Xmm) I LJ
{j = L (y - Ymm)ILJ
lk = LCz - Z阳JILJ
其中L • J 表示向下取整。
(a) 栅格划分后所有盒子(b) 栅格划分后有效盒子
图2 奶牛点云模型的空间栅格划分
将点云模型进行空间栅格划分，图( a) 给出奶牛点云模
型划分后的所有盒子，把不包含点云模型数据点的立方体栅格删除后，剩下如图(b) 给出奶牛点云模型的有效盒子，有
效盒子包含了点云模型上所有的数据点。将包含点云模型数
据点的相邻有效盒子中心点连接起来建立了一个无向带权图，权值为相邻的两个有效盒子中心点的欧氏距离。本文将
点云模型进行空间栅格划分的原因为 一方面是为了建立带权图，采用Dijkstra 算法求初始测地线的需要;另一方面是因
为最小化能量函数Es(P) 中的Ds(P) 和Us(P) 项需要搜索
控制点飞和点V ， 在点云模型上的最近点，空间栅格划分后，就
不需要在点云模型包含的所有数据点中穷举搜索最近点，只
要在包含点矶和点矶的盒子和它们各自相邻6 个盒子所包
1052 计算机应用第31 卷
含的数据点中搜索最近点，因此加速了最近点的搜索速度。
1. 2 能量函数的最小化
由于共扼梯度法是介于最速F降法与牛顿法之间的→种方法，它仅需利用一阶导数信息，却克服了最速下降法收敛慢
的缺点，而且还避免了牛顿法需要存储和计算Hessian 矩阵并求逆的缺点，共辄梯度法不仅是解决大型线性方程组最常
用的方法之→，也是解大型非线性最优化问题最有效的算法
之一，因此本文用PRP( Polak-Ribi岳阳Polyak) 共辄梯度法最
小化能量函数Es(P) :R3n → R 。
PRP 共辄梯度法依赖于两个重要的部分:第一部分计算
能量函数Es(P) 的梯度Y' Es(P) eR3n ，最短路径控制点序
列P = V ， V2 … Vn 上任意一点V， 有三个分量(X"l ,X ,,2 ,X ,.3 ) , \l
由偏导数ðð l.l ， ð帆.2 ,ð/ ðx1,3 ,… .ð/ðxn.1 ,ð/ðxn.2 ,ð/ðxn.3
组成;另一部分汁算步长。，由非精确线性Wolfe 搜索得到。
除以上两个部分影响RP 共辄梯度法最小化能量函数
Es(P) 的收敛速度外，还与点云模型中数据点的个数有关系，
因为能量函数Es(P) 中Ds(P) 和Us(P) 项要求搜索控制点
在点云模型上的最近点。本文方法不需要在点云模型所有数
据点中搜索最近点，只需要在包含控制点的盒子和相邻的26
个盒子包含的数据点中搜索最近点，因而提高了PRP 共辄梯
度法的求解速度。
2 实验结果与分析
本文方法在英特尔赛扬40 处理器(1. 86 GHz , 512 MB
内存)计算机上用C++ 语言和OpenGL 图形库实现。点云模
型栅格化过程，直接影响到Dijkstra算法求解最短路径的结果，从而影响最终的迭代算法求解测地线的结果。点云模型
划分的栅格数越多，得到带权图的顶点就越多，用Dijkstra 算
法求解最短路径的结果就越精确，从而最终计算的测地线就
越精确但由于随着栅格数的增加，计算测地线的时间就会相
应的增加。图 所示为在具有4052 个数据点的woman 模型
上计算测地线的结果，图 (a) 为oman 模型划分为346 个
栅格，给定两点间的测地线就会穿过头部和胳膊之间的缝隙，
误差明显很大，计算所需的时间为.18 s; 图(b) 为125 个
栅格的情况，这两点间的测地线沿着皮肤的表面，误差明显减小，计算所需的时间为.32 so 因此应合理划分点云模型栅格的个数，以便能够在实际应用允许的时间范围内计算出高
精度的测地线。
(a) 1 346个栅格(b) 21205个栅格
图3 划分不同栅格数的woman 模型给定两点间的测地线图4 所示为本文方法在不同点云模型上求取测地线的结果， (a) 为用Dijkstra 算法求取的初始测地线，( b) 为初始测地
线经迭代算法优化后求取的最终测地线。可以看出，本文方
法求取的测地线没有穿透模型的细小隆起部分，如图 中
Fandisk 、弥勒佛和执捻点云模型上的测地线所示，说明本文
方法对复杂模型的有效性和稳定性。
汽车模型猫模型Fandlsk模型奶牛模型弥勒佛模型龙模型执徐模型
销国悔
(a) 初始现l地线霄" (b) 最终测地线图4 本文方法求取点云模型上两点间测地线结果
表1 为图 中求取的给定两点问测地线相应的计算时间3 结语
和精度信息，从计算时间和平均误差可见，用本文方法求取的「飞测地钱达到了实际应用的要求。通过在不同的点云模型上用本文方法求取测地线的实验褒1 圈4 所示两点阁测地线相应的计算时间和精度倍息
点云模型数据点数栅格数计算时间8 平均误差1%
汽车3403 1319 0.36 0.08
猫3560 1428 0.57 0.13
Fandisk 6394 2836 1. 32 0.06
奶牛11610 5683 2.75 0.24
弥勒佛49990 7220 5.64 0.51
龙50002 9162 5.17 0.42
仇涂106273 10902 8.20 0.75
结果表明，该方法对复杂模型也是有效和稳定的，计算时间和
精度达到了实际应用的要求，且该方法不需要对点云模型网
格化或曲面重建来建立模型的拓扑连接信息，因而适合在大
规模点云模型上求取测地线。本文方法在点云参数化、点云
变形和点云模型的识别等领域具有广泛的应用前景。
致谢本文得到南京师范大学庞明勇老师的指导，在此
表示感谢。
(下转第1056 页
1056 计算机应用第31 卷
I()OO
900
800
700
_ 600
ω
三500
\
400
300
200
100
。
。
1000
900
800
700
_ 600
ω
三500
\
400
:~OO
200
100
。
0
图9 误差最大点
122
1An4 句3
•••
oυEIB•-•
2•2
。υ""
白u704qJ
•••
OYOY
•8•1• 2
0000
句41iqG
....
句，-qd
ζotiqδ
•••
乐。句4
•5•1• 2
56
•4•1• 2
A他AF 、u
qJEAn
,"
•••
q飞"A 丛T
•2••1 2
33
l
l l
{ )
。"
·4·5·5·6·67·7·8-89--U
乐"句400070υ-
尺。乐。句40 吁'-do
--··』一叫QUHUJAV-1- 们U
5689FI --
••
,
59708192mE
····』LF 0123- 到
瓦U 句4000ymaa-
-、.，
••
-
1 万234-
·-6---7··-L8M9- }
2-6-45- 饥
63-·-7-62·---8-75·9-6·8---}9 -t
:Et
4---3·--6··74-04
6τ489-
.,‘
..
-
pbAT 『dou-
6789-M
····-9 缸
瓦。句dQUO 吨，-
AU 句4000 吨，-
X/pixel
罔10 匹配前的图像点顺序(标定阁像2)
lh 10. 9 • 8 • ì .6 .5 .4 .3 .2 .1
22. 21. 20. 19. 18. 17.16.15.14.13.12
33. 32. 3h 30.29.28.27.26.25.24.23
44. 43. 42. 41. 40. 39.38.37.36.3加34
S5. 54. 53. 52. 51. 50.49.48.47.46.45
66. 65. 64. 63. 62. 61. 白。.59.58.57.56
77. 76. 75. 74.73. 72.71.70.69.68.67-
88. 87. 86. 85. 84.83.82.81.80.79.78-
99. 98. 97. 96. 95.94.9.'1.92.91.90.89
200 400 600 800 1000 1200
X/pixel
在错误点数占总点数一半的情况下，也能完全匹配正确，因
此，此算法具有很好的鲁棒性。
6 结语
本文研究了一种基于RANSAC 算法的平面图像匹配方
法，首先通过椭圆圆心提取算法得到图像上标定点坐标，接着
利用RANSAC 算法求得单应矩阵，最后通过单应矩阵求得空
间点所对应的图像上的标志点完成图像的匹配。实验验证该方法能准确地将空间标志点与图像中的对应标志点进行匹
配，平均误差在一个像素范围以内，并且该算法匹配速度快.
鲁棒性好，几乎不受相机参数和拍摄角度的影响。在此匹配
的基础上进行平面测量或者三维重构，可以极大地提高效率
以及三维重构的准确性和精度。本算法的不足之处在于图像
上的标志点必须全部提取出来，即使有一个标定点未能成功
提取，该匹配将失败，这在以后的研究中将进一步完善。
参考文献:
[ 1] 赵灵芝，李伟生.一种基于LTP 特征的图像匹配方法[ 1] .计算
机应用研究， 2009 ， 26( 10): 3983 - 3985.
[2] 赵峰吨黄庆明，高文.一种基于奇异值分解的图像匹配算法[ J].
计算机研究与发展， 2010 ， 47( 1): 23 -32.
[3] 赵越.多方法融合的图像特征点匹配算法研究[D]. 长沙:中南
大学， 2009
[4] 刘润.阮宗才等平面测量问题中单应矩阵的算法研究[ J]. 系统仿真学报， 2001 吨3( S2): 174 -176.
[5] 李强，张钱一种基于图像灰度的快速匹配算法[1] .软件学报，
2006, 17(2): 216 -222.
[6] BIAN HOU-QING SU JIAN-BO. Feature correspondence algorithm
based on scene-independent constraint [J]. Joumal of Image and
GraphlCs, 2006, 11 (3) : 342 - 348.
[7] 吴福超.计算机视觉中的数学方法[M]. 北京:科学出版社.
2008.
[8] OUELLET J-N. HÉBERT P. A simple operator for veηprecise estimatlOn
of ellipses [ C] / / CRV '07: Fourth Canadlan Conference on
Computer and Robot Vision. Wasbington. DC: IEEE Computer Society.
2007: 21 -28.
[9] 韦穗，杨尚骏，章权兵，等.计算机视觉中的多视图几何[M] 合
月巴:安徽大学出版社‘ 2002
图11 匹配后的图像点顺序(标定图像2) [10] 张广军机器视觉M]: 北京:科学出版社， 2∞5: 69 -97.
通过实验结果可以看出，本文方法可以快速、准确、自动11] 马颂德，张正友.计算机视觉M]. 北京.科学出版社， 1998: 52 -
地将对应点匹配上，较原来子动的方法有了很大的改进，并且94.
(上接第1052 页
参考文献: ics, 2∞5 ， 24(3): 553 -560
[1] PAULY M, KEISER R啕KOBBELT L, et al. Shape modelmg with [6] 童品，陈正鸣三角网格表面近似测地线的计算[ J]. 计算机辅助
point sampled geomet可[ C] / / Proceedmgs of SIGGRAPH. New 设计与图形学学报， 2008 ， 20(2): 180 -185
York: ACM, 2003: 641 -650. [7] KLENIN J, ZACHMANN G, Point cloud surfaces using geometric
[2] ADAMSON A, ALEXA M. Anisotropic point set , urfaces [ C] / / proximity graphs [J]. Computers and Graphics, 2004, 28 ( 6) : 839
Proceedings of AFRIGRAPH. New York: ACM. 2006: 7 - 13. - 850.
[3] MINCHEOL Y, IOANNIS 1. SEUNGYONG L. Variation Bayesian [8] 杜培林啕屠长河，王文平.点ii 模型上测地线的计算[ J]. 计算机
nOlse estimation of pomt set[ C] / / IEEE Ir由mational Conference on 辅助设计与图形学学报， 2006 ， 18(3): 438 -442.
Shape Modeling and ApplicatlOns. Washington‘DC: IEEE Comput- [9] RUGGERI M R, DAROM T, SAUPE D, et al. Approximating geoer
Society. 2009: 226 - 234. desics on point set surfaces[ C] / / Proceedings of EG/IEEE Sympo-
[4] KIMMEL R. SETHIAN A. Computing geodesic paths on manifolds sium on Point-Based Graphics. Washington, DC: IEEE Computer
[1]. Applied Mathematics, 1998, 95( 15): 8431 - 8435. Society, 2006: 85 - 93.
[5] SURAZHSKY V, SURAZHSKY T, KIRSANOVA D. Fast exact and [10] 熊邦书，何明一，俞华琼兰维散乱数据的K 个最近邻域快速搜索
approximate geodesics on meshes [J]. ACM Transactions on Graph- 算法[ J]. 计算机辅助设计与图形学学报， 2∞4‘ 16(7): 则912.
音乐快递：利用力学系统的拉格朗日函数，构造了一个称为作用 ...
作用量(第2页) - 旅游百科- 搜比Soobb.Com
www.soobb.com/Destination_Wiki_238892_2.html
轉為繁體網頁
轉為繁體網頁
作用量S(x(t))並不是一般的函數，因為一個點x無法經由S(x(t))對應到一實數，而必須有一整條路徑才可成立這對應關係，x(t)→S(x(t))。不過我們仍然可以把S(x(t))看成一個廣義的函數（泛函），
古典力學中很重要的作用量這個觀念是如何出現在量子力學中的？〔海森堡與薛丁格的理論只哂昧斯诺淞?W中的漢密爾頓量 (图)
回答: 从费曼的观点来看，一个粒子在某个时刻t，某空间位置􀁇x的波函数应当是来自所有的初始态位置“传播”到该时空点的幅 由 marketreflections 于 2010-06-13 21:44:17
http://campus2.chgsh.chc.edu.tw/science/content/1995/00030303/0008.htm 量子力學、費曼與路徑積分 -------------------------------------------------------------------------------- 相對論與量子力學 毫無疑問的，二十世紀物理學中最重要的二個成就是相對論（Relativity）與量子力學（Quantum mechanics）。然而這兩門學問誕生的方式與展現的風格，卻大不相同。相對論（狹義與廣義）出現時，就已經像一顆雕琢精緻、光芒耀眼的鑽石，是一完美無缺的藝術品。其創造者愛因斯坦（A.Einstein, 1879～1955）從一個非常基本的物理原則，即「對稱原理」出發，推演出一套幾乎無懈可擊的數學架構，所以相對論有一種非得如此不可的氣勢。難怪愛因斯坦曾很有信心地對朋友說：「沒有人在理解它之後，能逃離這理論的魔力」。 雖然相對論在一般人的印象裡是一個非常玄妙深奧的理論，其實比較起來，描述微觀世界規則的量子力學是更為怪異，幾近於荒誕的學說。相對論可以說是愛因斯坦一人的心血結晶，而量子力學卻是集眾人之力，一點一滴累積起來的。不過在建立量子力學過程中，還是有一些關鍵時刻，特別是在1925年海森堡（W.Heisenberg, 1901～1976）發現：任何一個物理量都可以由一矩陣來代表。海森堡找到了這些矩陣所應遵循的方程式。海森堡的成功來自於他對實際物理現象的深刻了解，以及誰也無法解釋的靈感。 在海森堡提出他的矩陣力學半年之後，薛丁格（E.Schrodinger, 1887～1961）發表了另一個方程式，也可以正確地計算出與實驗結果相符的物理量。薛丁格的出發點是將物質（例如電子）看成是波動。這和海森堡依舊把電子當成粒子是截然不同的。不過人們很快地就理解到海森堡與薛丁格二人的理論在數學上是等價的（equivalent），所以我們終究只有一套而非兩套量子力學。 先前筆者已提過，相對論是從一個非常自然的物理原則出發，繼而推導出數學方程式。而在量子力學的情形則是在尚未能看清全局時，我們就已找到了適用的方程式。許多物理學者，包括一些對量子力學有很大貢獻的人，曾以為人們很快就會發現量子力學出錯的地方。沒想到我們至今仍未碰到量子力學有任何不妥之處。這是非常驚人的；總之，儘管今天物理學者還在爭辯量子力學方程式的物理意義為何，這些方程式的正確倒是無庸置疑的。 理查‧費曼 在本篇文章中，筆者想介紹量子力學最有趣的一種數學表現方式，即理查‧費曼（Richard Feynman,1918～1988，依發音應翻譯成理查‧范恩曼）所發明的路徑積分（Path Integral）。這理論發表於1948年《現代物理評論》（Review of Modern Physics）期刊上。費曼其實更早在1941年就已完成這一工作；當年他才23歲，還是研究生。只因為二次大戰期間費曼投入曼哈坦（Manhattan）原子彈製造計畫，所以延遲發表這一項在很多人的評價裡是費曼最重要的作品。 費曼是二十世紀後半期風頭最健的物理學家，他在台灣也頗為一般人所知。原因是有關於他傳奇事蹟的中文書籍有不少讀者。凡是讀過《別鬧了費曼》（Surely you are joking, Feynman）、《你管別人怎麼想》（What do you care what other people think）或《天才的軌跡》（Genius）的讀者，很難不著迷於費曼那熱情的性格，獨特的人生觀及不凡的遭遇。 話說回來，讓費曼在物理界成名的，倒不是路徑積分而是他在量子電動力學上的貢獻。特別是他所發明的費曼圖，已成為理論物理學者不可缺少的研究工具。圖一是費曼圖的一個例子。這個圖代表電子與電子的碰撞。 其中實線代表電子，波浪線代表光子（交互作用）。每個費曼圖除了給所要描述的物理現象一個非常直覺、清楚的圖像外，還可以幫助我們輕易而精確地分析這些現象。原因是費曼有一套人們稱為費曼法則（Feynman Rule）的步驟，可以將費曼圖對應到特定的數學式子。透過這個數學式子的計算，我們就能定量地掌握費曼圖所代表的物理現象。一般而言，較複雜的費曼圖（見圖二）所對應的數學式子，處理起來也比較困難，這往往要借助計算機才能得到結果。 二次大戰結束後，物理學家從武器研發工作回到學術崗位。那時量子電動力學是研究焦點。在眾多逐鹿者之中，徐文格（J.Schwinger）與朝永振一郎（Sin Ichiro Tomonaga）最早得到突破，他們率先從複雜的計算中取得與精密實驗一致的結果。費曼則以他的費曼圖異軍突起，甚至有後來居上的聲勢。朝永、徐文格與費曼三人的工作為二十世紀後半眾多理論物理進展打下基礎，稱得上具承先啟後的樞紐地位。為此他們三人共同獲得1965年諾貝爾獎。三人中較年輕的費曼、徐文格二人皆出生於1918年，也都因癌症於近年去逝。二人都在年輕時已顯露其數理天才，也都是很早就被認定會在科學上有了不起的貢獻。二人之間有一種很微妙的，既是科學道路上的伙伴也是競爭者的關係。1945年，在美國發展原子彈的洛斯阿拉摩斯（Los Alamos）實驗室，費曼與徐文格第一次見面。那時兩人只有27歲，而徐文格已發表有二、三十篇文章，算是小有名氣。費曼對徐文格說：「我什麼都還沒作出來時，你卻已在一些事情上留下名字了。」費曼那時不知道，假如他們二人自第一次見面起就不再有新作品，從後代眼光看，費曼憑他的路徑積分就足以和徐文格分庭抗禮、平起平坐，甚或還略勝一籌的。 古典力學 回到本文主題，以下筆者就要介紹路徑積分。這得從古典力學講起。古典力學的核心是牛頓邉臃匠淌剑?@方程式可以描述物體（如粒子）的邉榆壽E。它的形式是大家都很熟悉的 F＝ma （l） 其中F代表物體所受的力，m是物體質量，a是加速度；也就是物體所在位置對時間的二次微分。一旦知道物體在某一時刻ti的位置xi及其速度vi，我們就可以經由解牛頓方程式（l），得到物體在ti以後時刻的軌跡（見圖三）。 最小作用量原理 自十七世紀牛頓發表他的名著《自然哲學的數學原理》闡明其力學原理以來，人們仍不斷地在充實古典力學的數學架構。除了靠解微分方程式以求得邉榆壽E之外，另外還有一個從表面上看很不相同，但其實在數學上是等價的方法，也就是從積分觀點著手的「最小作用量原理」（least action principle）。這個原理的敘述是這樣的： 若我們要知道當物體從（ti,xi）時空點走到（tf,xf）時空點，到底是循著那一條路徑x(t)時[見圖四，在無窮多可能的路徑中，筆者只代表性地劃了三條路徑x1(t),x2(t),x3(t)〕，我們只要計算一個積分： 【瀏覽原件】 （2） 在積分式子中，v(t)是物體在t時刻的速度，【瀏覽原件】，所以【瀏覽原件】也就是動能，v(x(t))是物體在x(t)位置的位能。把任何一條路徑x(t)代入蕞n分式（2），都有一個相對應的值S(x(t))，S被稱為作用量（action）。物體真正走的路徑只有一條，讓我們把它記作【瀏覽原件】。【瀏覽原件】的特點就是：它所對應的作用量【瀏覽原件】比其他所有不對的路徑所對應的S值都還要小。亦即【瀏覽原件】是S(x(t))函數的極小值（見圖五）。我們可以從數學上證明對應到最小作用量的路徑【瀏覽原件】，也滿足牛頓邉臃匠淌健Ｔ谖⒎e分中，我們若要求某一個函數f(x)的極大或極小值，我們只要算f(x)的微分【瀏覽原件】，而後找【瀏覽原件】的解就可得到答案。前面提到的作用量S(x(t))並不是一般的函數，因為一個點x無法經由S(x(t))對應到一實數，而必須有一整條路徑才可成立這對應關係，x(t)→S(x(t))。不過我們仍然可以把S(x(t))看成一個廣義的函數（泛函），而用類似微積分中求極值的辦法去求【瀏覽原件】，並證明【瀏覽原件】是牛頓方程式的解（對細節有興趣的讀者，可參閱任何一本理論力學教科書或是費曼非常有名的物理學演講《Feynman Lectures on Physics》中的第二冊十九章。） 從最小作用量原理的觀點來理解古典力學，我們得到的是一個與微分觀點截然不同的意象。我們並不是一小段一小段逐步地推算出物體的軌跡，而是將所有可能路徑拿來比較，找出給我們最小作用量的路徑。在某一些問題中，最小作用量原理其實比微分方程式更方便。 量子世界 古典力學的架構雖完備，卻不能適用於原子尺度大小的微觀世界。在那裡我們得改用量子力學的法則，而這些法則是我們完全無法從在古典力學裡所獲得的經驗去理解的。在古典物理中，我們可以同時測量在某一時刻物體的位置與速度（動量），所以可以得知往後物體邉拥那樾巍５?诹孔邮澜缪e，我們不能同時測知物體的位置與速度，所以無法完全掌握物體動向（即測不準原理）。也就是說，我們得放棄「物體邉邮茄??骋惶囟?窂健惯@一概念。 若經由測量，我們得知某物體（例如電子）在ti時刻位於xi位置，我們並不能確知在tf時刻（tf＞ti），物體會在那裡。量子力學能夠告訴我們的是：如何計算物體在tf時刻可能位於xf的機率有多少。我們將這機率記作P(tixi→tfxf)。要知道P，得先計算一個叫作機率振幅（probability amplitude）的複數〈tf,xf ︳ti,xi〉（這記號是量子力學創造者之一狄拉克（Dirac）發明的）而機率P就等於 P(tixi→tfxf)＝ ︳〈tf,xf ︳ti,xi〉︳2 （3） 因為機率振幅（由它可推導出許多讀者可能知道的「波函數」）本身是複數，不可能是一個可測量的物理量，所以它的物理意義一直為人爭論不休。在此筆者不談這一棘手的問題，我們要學的是費曼計算機率振幅的辦法。費曼給了以下一個算式： 【瀏覽原件】（4） 方程式右邊的S(x(t))是路徑x(t)的作用量，【瀏覽原件】，是普郎克常數除以2π（嚴格講，必須在（4）式右邊乘上一個常數A，A可由機率守恆的條件來決定）。也就是說，要得到機率振幅，我們需要計算所有從(ti,xi)時空點到(tf,xf)時空點可能的路徑（例如x1(t),x2(t),x3(t),見圖四）所對應的作用量，然後計算eis(x(t))，並將它們加起來。因此在量子力學中除了對應到最小作用量的古典路徑之外，其他在古典世界中不會出現的路徑，也有不可忽視的作用。 路徑積分 我們也可以把（4）式寫成積分的形式： 【瀏覽原件】 （5） 不過它的內涵和（4）式是完全一樣的。因為我們要將所有路徑的貢獻積（加）起來，方程式（5）的右邊就被稱為路徑積分。它最大的好處就是給機率振幅一個很圖像式的詮釋角度。讓我們比較可以從幾何的觀點而非純代數操作的角度來理解量子力學。 路徑積分另一個長處是：很容易看出在數學上量子力學是如何和古典力學連接起來。於古典物理中，是不扮演任何色的。所以如果在（5）式中讓趨近於零，我們應該要看得出古典力學的架構。費曼指出當→時，只有古典路徑對（5）式的積分有貢獻，其他非古典路徑的貢獻互相抵消掉了。這一點曾讓費曼的指導教授惠勒（Wheeler，他在原子核及黑洞的研究領域，有傑出的成就）非常高興，因為它讓我們更明白量子力學是如何過渡到古典力學的。惠勒還特別跑去見愛因斯坦，希望費曼的新觀點能說服愛因斯坦接受量子力學。愛因斯坦抗拒量子力學的理由相當深奧，所以他還是未被惠勒轉化成量子力學的信仰者。不過惠勒如此積極的反應，可代表一般物理學者給路徑積分的評價。 目前費曼的路徑積分、海森堡的矩陣力學及薛丁格的波動力學，可說是量子力學理論三個最重要的數學表現形式。這些不同的形式都各有其優點。近年來，路徑積分在量子力學之外，也滲透進統計力學及數學中的幾何、拓撲等領域。數學家發現他們也得懂一點路徑積分才能閱讀最新的數學成果。一些數學家也努力於為路徑積分建立一嚴謹的數學基礎。我們可預見：在未來，路徑積分會是一更廣闊蓬勃的研究領域，這是其發明者在50年前完全沒有想到的。 最後筆者必須說明，費曼發明路徑積分的靈感，來自狄拉克發表於1933年的一篇文章。狄拉克的文章提出一個問題：古典力學中很重要的作用量這個觀念是如何出現在量子力學中的？〔海森堡與薛丁格的理論只哂昧斯诺淞?W中的漢密爾頓量（Hamiltonian）〕，而狄拉克自己也給了初步的答案。我們可以說路徑積分是兩位天才合力建造出的一個美妙理論。 高涌泉任教於台灣大學物理系，本刊編輯委員
No comments:
Post a Comment