搞场论的物理学家K. G. Wilson 采用“重正化群”的办法最终解决了这个问题，提出了计算临界指数的新方法，因此获得1982 年的诺贝尔物理学奖。他先把大动量、小尺度的涨落积掉，推导出描述较大尺度上涨落行为的有效哈密顿量，再作标度变换，退回原来尺度。这一系列变换在参数空间构成重整化群，根据它在不动点(对应物理上的临界点)附近的展开可以算出临界指数，与实验完全符合，并从理论上论证了“标度律”“普适性”等重要概念
于渌：与郝柏林值得怀念的合作经历
精选
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1956 年我去苏联哈尔科夫大学读物理时就认识郝柏林，他是从哈尔科夫工程经济学院转学来的高年级插班生，我们的友谊至今已近六十载。我们共同经历了许多事情，分享过许多美好的时光。我从他这位学长那里学到很多东西，得到很多帮助。这篇短文记述的就是一段值得怀念的合作经历。
1982年（左起）于渌、周光召、伍法岳、郝柏林、蒲富恪合影
1969 年6 月我被派到湖北潜江“五七干校”接受“再教育”，1971 年7 月回所。当时的“军代表”已解散了物理所的理论室，我被分到超导实验室的超导天线组向实验同行学做实验，1972 年参加了郝柏林在磁学室重新组织的理论与计算组。当时成立这个组有两方面的原因：一是郝柏林、蒲富恪等同事已经相当长一段时间从事天线研究，大量使用计算机；更直接的原因是郝柏林等利用外国公司在天津开展览、座谈的机会，从日本武田理研公司引进了一台美国的NOVA 1200 小型计算机，需要人掌握硬件、软件和推广应用，郝负责FORTRAN, 我负责 BASIC，诸克弘负责ALGOL。后来十多年，我国小型计算机的发展从“剖析”这台计算机中受益良多。
这段时间国内的氛围发生了一些变化，林彪事件后周总理主持工作，大力抓经济和科技工作。杨振宁先生1971 年首次到国内访问，1972 年再次访问。第一次毛主席接见他，第二次周总理见了。总理见他的时候，周培源先生作陪，杨先生主要谈基础研究如何重要，得到周总理的认同。周培源先生根据这次谈话的精神，在《光明日报》上发表一篇整版的文章说明基础研究的重要性。我们读了非常兴奋，感觉应从“应用型”问题，如天线计算、推广计算机应用等转到“基础型”问题。就在这段时间郝柏林有机会去加拿大参加那里的物理学会年会，直接听到M. E. Fisher 关于相变和K. G. Wilson 工作的报告，他回来后我们就到图书馆去查文献。幸运的是“文革”期间科学院和物理所图书馆期刊虽未上架，但没有断，有影印本，还有些原版的。
通过对期刊的浏览，我们惊讶地发现，在中国“闹革命”的那些年，国际上在相变和临界现象理论方面发生了翻天覆地的革命。普通物理课程中描述的范德瓦耳斯方程，是描述相变现象最早的平均场理论，后来又以不同的形式被多次“重新发现”。朗道把它归结成非常简洁的唯象理论：在相变点附近可以把自由能按照序参量展开, 再作一些物理上合理的假定，就可以推算出描述相变点临界行为的“临界指数”。平均场理论物理图像直观，给出的临界指数与测量值大体符合。可是，到了60 年代，实验精度大大提高，测量结果与平均场理论预言的差别超出误差范围，对理论提出了根本性的挑战。经过许多科学家的共同努力，在总结实验的基础上提出了许多新的概念，如“标度律”“普适性”等，逐渐形成了相变新理论的基础。1971 年，一位搞场论的物理学家K. G. Wilson 采用“重正化群”的办法最终解决了这个问题，提出了计算临界指数的新方法，因此获得1982 年的诺贝尔物理学奖。他先把大动量、小尺度的涨落积掉，推导出描述较大尺度上涨落行为的有效哈密顿量，再作标度变换，退回原来尺度。这一系列变换在参数空间构成重整化群，根据它在不动点(对应物理上的临界点)附近的展开可以算出临界指数，与实验完全符合，并从理论上论证了“标度律”“普适性”等重要概念。当时我们与外界隔绝，没有任何直接交流，只能如饥似渴地分工阅读重要的文献，一篇一篇地“抠”，在组里仔细讲，反复讨论。不记得讲过多少次，但讲稿叠起来超过一尺。通过这种互教互学的办法我们较快地跟上了统计物理领域的这一重大进展。后来，郝柏林提议，我们在讲稿的基础上提炼出一些内容，先在《物理》杂志上发表了三篇综述性短文，后来扩充成一本小书，叫《相变与临界现象》，由科学出版社出版。前些年这本小书又再版了一次，陈晓松教授也参与了。
那时我们是“边学边干”，一方面“啃”K. G. Wilson 在《物理评论》发表的两篇长文（说实话很难读，物理图像还清楚，但计算细节很难重复）；一方面试图用自己熟悉的方法独立地推导别人的一些结果。核心问题是计算连续相变的临界指数，就是找出各种热力学量在临界点的奇异行为。Wilson 指出空间维数超过4 时，平均场理论是正确的，可以利用ε =4－d（d 是物理体系的空间维数）作小参量，计算临界指数。他和 M.E. Fisher 用重整化群的方法计算，而 T. Tsuneto 和E. Abrahams 用“拼花图”（parquet diagram）的办法，都算到了ε 的二阶。Tsuneto 和 Abrahams 还宣称，他们的方法可以推广到高阶。郝柏林和我分别用“规矩的微扰论”和“拼花图”的方法对序参量有n 个分量的一般情形推导Tsuneto 和 Abrahams 的结果，发现他们讨论的是n=2 的特殊情形（用的是复数玻色场），而且并不了解任意n 时的拼图规则，所以不能简单推广到高阶。我们认真研究了“拼图”的规则，抓紧计算高阶效应，经过近半年的奋斗，终于将临界指数的计算推到了ε 的三阶。这个计算比较复杂，有一个高阶多维积分就算了两个月，当时用A3 纸当算稿，放在一起有好几十厘米厚。在计算的关键时刻，郝柏林的腰椎间盘突出犯病、卧床不起，但他坚持工作，隔一段时间我就去他床边核对独立计算的结果。虽然我们具体计算途径不同，但绝大多数情况结果都一致，当然很高兴。整个过程中就两次发现差别，经过反复核对，一次是我的错，一次是他出了点问题。这种并肩战斗、紧密合作的乐趣很难用语言描述。
1973 年底，就在我们准备整理计算结果的时候，在图书馆新收到的《物理快报》上看到Edouard Brezin 和他的同事用场论中的Callan-Symanzik 方程也做了这个计算，结果是一样的，但方法不同。他们的文章总共2 页，没有任何推导。我们当然有些气馁，但可慰藉的是我们的结果得到了检验。由于是相互独立的计算，方法、途径不同，还是把它送去发表了。我们还直接计算了比热的临界指数，这是他们文章中没有的。他们的文章是1973年9 月份出版，我们收到杂志肯定要晚；我们的文章是1973 年12 月投的稿，但直到1975年才出版，连英文标题和摘要都没有。 由于与外界隔绝，当时没有人了解，也不可能在国际上有影响。但是，这段合作的成果对后来的学术交流和传承都发挥了作用。
1975 年在美中学术交流协会支持下美国物理学会组织了一个固体物理代表团到中国访问，调查、了解“文革”期间物理研究和教学的实际情况，团长是伊里诺大学的Charles Slichter，做核磁共振实验的，成员中有 John Bardeen, Nicolaas Bloembergen, Ivar Giaever 和Bob Schrieffer 等诺贝尔奖得主。他们在日本先开预备会，后开总结会，前后超过一个月，219 页的正式报告《中华人民共和国的固体物理学》由美国国家科学院出版社出版。那时郝柏林去河北文安的“五七干校”劳动锻炼，我向代表团介绍了我们的计算。报告中说：“物理所磁学组的理论学家向我们描述了相当复杂，有想象力的连续相变临界指数计算，用的是重整化群和图解分析法，与西方及苏联当代最先进的研究类似。……我们看到中国多数固体理论学家关注经典及半经典唯象理论，这项研究是引人注目的例外。”这些交流对后来我们重回国际学术界起了一些作用，包括1978 年到比利时参加著名的Solvay 会议，1979—1981 年去美国当访问学者，以及后来邀请我到意大利的国际理论物理研究中心（ICTP）工作。
除了《物理学报》上发表的文章，郝柏林和我还花了不少时间学习、研究量子场论及重整化群方法在凝聚态和统计物理中的应用，先后在1978 年的中国物理学会庐山会议上和1982 年华中工学院的讲习班上与苏肇冰等其他同事一起向年青的研究生和同行们比较系统地介绍了“文革”期间国际上有关研究的进展，对填补“文革”造成的空白发挥了一定的作用。后来，经郝柏林提议，将这些课程的讲义编写成《统计物理学进展》一书，由科学出版社正式出版。最近到台湾去才得知，这本书出了繁体字本，在那里还有相当影响。由于过去两岸关系紧张，这是一本“无头书”，没有作者姓名。这些年陆续在各处遇到不少国内和海外的华人物理学家（有些人已很有影响），都提到这本书和《相变与临界现象》，略感欣慰。
本文摘编自刘寄星、郑伟谋编《挑灯看剑集—— 贺郝柏林院士八十华诞》一书。标题略有改动。文中个别图片来自于网络。
《挑灯看剑集—— 贺郝柏林院士八十华诞》是为庆祝郝柏林院士八十华诞而编的一本文集。上篇“怀旧祝寿篇”收录郝柏林的同学、好友、同事、学生的文章13 篇，文章的作者们作为郝柏林各个历史时期活动的见证者，回忆了与郝柏林共同经历的往事，为他祝寿；下篇“沙场征战篇”收录郝柏林夫妇近年13 篇自述和郝柏林的21 篇代表性科学论文，编成从“少年时代”直到“转向生命科学”的13 节文字，展现了郝柏林从1951 年到2014 年近64 年的人生奋斗轨迹和战斗历程。本书对郝柏林科学生涯及成就的介绍，有助于读者特别是青年科学工作者了解老一辈科学家对科学的不懈追求和献身精神。
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