(t)表示）是随时 间变化的，而量子态|Ψ〉则是稳定的
从这个角度看，量子计算网络的研究，可以算成物理学的一个很窄的研究方向。
量子比特是一种特殊的物理体系，通常还是一些普遍意义下“基本”体系（比如 说基本粒子）系统。在量子门中，量子比特以相当特殊的方式相互作用：它们之 间的相互作用非常之强，却又完全独立于周围环境，它们的活动周期都是同步的， 同时还有非活动周期。我们甚至可以假设，网络中所有量子比特的自旋，最开始 都指向+z 方向（或者是其他的任何符合初始条件(5.3)，但不是自旋-1/2 体系的 量子比特系统）。 这些属性不仅在自然界里非常少见，而且，在当前的实验室里， 也都还没有能够完美实现。充分认识量子态，并利用其性质进行实用的计算，在 我们现有科技的条件下，仍然是一个巨大的挑战，一个尚未达成的目标。
它来自量子比特（it from qubit）
戴维·多伊奇（David Deutsch） 牛津大学
简介 在惠勒教授提出的“真正的大问题”中，进展最大的当属“物质是由信息构成 的吗？（它来自比特吗？）”——即：信息在物理基石中起到了怎样的作用？这个 问题也许不如“存在从何而来？”那样高深，因为它不需要一个形而上的回答。 它也不同于“世界为什么是量子的？”，因为回答它不一定需要新的自然规律，我 们通过更好地理解现有的定律，尤其是现有的量子物理定律，就有希望获得答案。 实际上，正是对量子信息和量子计算理论的更深刻理解，才使我们更好地理解了 “它来自比特吗？”这一问题。 假设一开始我们就接受“它来自比特”的观念，我们对这个量子的物质世界的 认识会有怎样的不同呢？谁也不知道怎样“它”（物质世界的各种性质）是怎么从 “比特” （即信息是最基本的物理概念之一这种观点）中衍生出来的，我下面也会 论述，这个想法永远不可能是对的。但是，我们可以做一个稍微有些变化的选择， 那就是：从量子比特1（qubit）开始。
量子比特 对一个经典的信息学家而言，1 比特是抽象的一定量的信息。对一个程序家来 说，1 比特是一个布尔型变量。对一个工程师而言，1 比特是一个触发器——一种 有两个稳定物理状态的硬件。那么对物理学家来说呢？量子信息理论与之前的经 典理论有很大不同——它为一个古老的问题提供了新的答案。这个问题，从古希 腊的斯多葛学派和伊壁鸠斯学派开始，甚至更早以前，就已经争论不休了。这个 问题就是——世界究竟是离散的还是连续的？ 逻辑是离散的：在真与假之间没有“中间地带”。但在经典物理中，离散信息 处理是一个人为的，并且有些笨拙的概念。那些基本的经典可观测量总是随时间 连续变化的，如果是场，还随空间连续变化，并且满足连续的微分方程。当经典 物理学家提到离散的可观测量，例如一个行星有几个卫星时，他们说的仅仅是一 个理想化模型，因为实际上，卫星在“处于环绕行星的轨道上”到“只是经过行 星附近”之间有一系列连续的状态，对应于卫星的数目可以是任意指定的数字。 这样指定的任意两套数字，不管多么接近，也对应两个不同的物理状态。它们必 将随时间不同地演化，产生不同的物理效应。（一般的，它们状态之间的差别会随 时间指数增长，这源于经典动力学的不稳定性，也叫混沌(chaos)）正因为一个实 变量对应无限个的独立离散变量——比如，二进制展开下一组无限的 0、1 序列— —所以任何经典物体原则上都带有无限多的可观测量信息。 若不深究连续的本体论哲学含义，一般意义下，连续的概念是非常自然的。但 同时我们也认为，复杂的过程能被分解成一系列简单过程之和2，这一概念是合理 的。然而这两个概念并不自洽。如今我们认识到，这正是芝诺的“运动不可能” 悖论3。如果芝诺熟悉经典物理和信息处理的概念，他就会把这个悖论表达如下：
1量子计算机中的基本单位，相当于传统计算机中的比特（bit） 2这个观点是信息处理的精髓，所以也是“It from bit”的精髓。（原注） 3芝诺悖论(Zeno’s Paradox)的四大悖论之一：“两分法”悖论，“在你穿过一段距离之前，必先穿过这个距离的
考虑经典物理中箭的飞行问题。为了理解飞行是怎么进行的，我们可以将箭的位 置，即它的实数坐标，视作一份份信息，而将飞行视作处理这些信息的计算，我 们把这个计算分解成一系列的基本计算。不过在这个问题里，什么是“基本”操 作呢？如果我们认为飞行是由有限数目的更短飞行组成，那么有什么理由不认为， 每一个更短飞行也像整个飞行一样复杂呢？它们可以分成完全相同的子步骤，每 一步中箭的位置也能建立一一的对应。另一方面，如果我们认为飞行确实是由无 数无限小的步骤组成，那么这每一小步的作用又是什么？由于不存在一个实数比 和另一实数大无限小这种事情，所以不存在一个小步操作，将事物的状态从一个 实数变化到另一个实数，因此我们不能把这种操作当作这种位置信息的基本计算。 正是因为这一点，“它来自比特”的设想在经典物理里根本行不通。值得注意 的是，黑体辐射疑难，这个当年曾导致普朗克建立了最早的量子论的问题，就是 因为经典的连续性带来的无限信息引起的。 量子理论中，连续的可观测量才是不自然的（这正是它为什么叫做量子理论）。 但对连续性的否认又引发另一个，可以说是与芝诺悖论相反的悖论：如果一个可 观测量的取值（即对它作测量时所有可能的取值）不是连续而是离散的，那么它 是如何从一个取值跳跃到另一个取值的呢？量子论对此作出了一个非同寻常的回 答：这种跳跃就是连续的。因为作为描述量子实在的物理量，量子化的可观测量 既不像经典的自由度坐标那样，是一个实变量，又不像经典的比特那样，是一个 离散变量，而是同时具有离散性质和连续性质的一个更复杂的概念。 考察量子论的基本问题，尤其是考察信息所起的作用时，最好使用海森堡
（Heisenberg）表象。在海森堡表象下，可观测量（我用符号X
(t)表示）是随时 间变化的，而量子态|Ψ〉则是稳定的。虽然薛定谔（Shrödinger）表象也是等价 的，并且在很多情况下计算更方便，但是薛定谔表象不好表现信息的流动，而且 容易导致很多错误概念（参见多伊奇和海登(Hayden) 2000）。 除了平凡可观测量4，最简单的量子可观测量是一个布尔型的——有且只有两 个本征值的可观测量。这是量子物理中，最接近经典程序设计员头脑里的布尔型 变量概念了。但工程师用的双稳态电路并不是一个变量，而是一个完整的物理系 统。包含一个布尔型变量的最简单的量子体系就是，一个“量子比特”。 等价地， 一个量子比特也可以被定义为，任何一个包含布尔型非平凡可观测量的体系。量 子比特还可以被认为是“量子两态体系”（不过这个说法有点容易误解，因为量子 比特像所有量子系统一样，都能构成连续的物理态）。这样的例子有自旋为 1/2 的 粒子，比如说电子的自旋。量子比特是一个物理体系，而不是纯粹的抽象概念， 这是量子论不同于经典理论的又一大重要区别。 我们可以在海森堡图像中描述 t 时刻的量子比特 Q（见高特斯曼(Gottesman)
1999），用布尔型可观测量
q (t) = (qx(t), qy(t), qz(t))表示，它们满足 qx(t) qy(t) = i qz(t) qx(t)2 = 1 （(x, y, z)按次序指标轮换） （5.1）
Q 的所有可观测量，都是单位可观测量和
q (t)的三个分量的常系数线性组合。Q 一半。”意思是说向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过路 程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等，如此类推，以至无穷。由此得出的结论 就是：运动是不可穷尽的过程，运动永远不可能有开始。 4即单位可观测量 1 的倍数，它们只有一个本征值（原注）
的每个布尔型可观测量都随时间连续变化，但由于方程（5.1）的限制，它们只有 两个固定的本征值，测量时只能出现两种结果。 量子比特具有储存 1 比特的经典信息的能力，但它并不是与经典 1 比特完全对 应的基本实体，真实的存在只有量子比特，而比特，布尔型变量，经典的计算都 只能近似体现量子比特某一方面的性质，这些性质主要在退相干的过程中体现出 来。（参看多伊奇 2002a） 量子计算的标准模型是量子计算网络（quantum computational network）（参 看多伊奇 1989）。 量子计算网络包含固定数目 N 个量子比特 Qa (1≤a ≤N)，满足[qa(t), qb(t)] = 0 (a≠b) （5.2） 其中 qa(t) = (qax(t), qay(t), qaz(t))。 在实际的物理操作中，量子比特通常是其它量子体系，比如说光子或电子系统。 这些系统是通过更大的外部装置进行操作，使量子计算网络具有所要求的属性。 但是网络又具有因果独立性（causally autonomous）：也就是说，每个量子比特 的运动规律，都只依赖于它自己，以及网络中其它量子比特的可观测量，而独立 于外部装置的操作。于是，在我们研究量子计算体系的特性时，所有外部装置都 可以不予考虑。 让我们来考虑这样一个量子计算网络，网络按照一系列的分解步骤 （computational steps）进行计算，我们把一个步骤当作时间测量的一个单位。 网络在整数时间 t 的计算状态（computational states），由全部可观测量 qa(t) 完全确定。尽管在每个计算步骤之间，任何真实的网络可以在各步计算状态之间 连续变化，但我们对非整数时刻的计算状态不感兴趣。整数时刻的网络本身就是 一个因果独立系统，所以，同剥离外部装置的影响那样，我们也剥离网络本身的 非整数时刻。 不要把我们现在说的计算状态与网络的海森堡态|Ψ〉相混淆，海森堡的量子 态是常量，而且总是可以取 〈Ψ| qaz(0)| Ψ〉= 1 （5.3） 这时所有的可观测量 qaz都有确定的初始值+1。（在这个约定下，t = 0 时刻，网络 的初始值叫做标准的“空白”状态。并且，我们把这个给计算赋初值的过程，视 作网络自身的预备计算步骤。） 在每一步计算中，网络的量子比特都分离（动力学意义上，不一定是空间意义 上）为一些不重叠的子集，每个子集中的量子比特之间互相作用，但不与其它子 集中的量子比特互相作用。我们把这个过程叫做“通过一个量子门”——量子门 就是能在一段固定时间内把一组量子比特隔离起来，并让它们相互作用的任何一 种装置。因为我们只对整数时刻感兴趣，这个量子门的作用就是对整个计算步骤 的净作用。一个 n-量子比特的量子门的作用可以用 3n 个方程来描述，每个方程用 集合{ qa(t)}中的 3n 个可观测量表示集合{ qa(t+1)}中的一个可观测量（这里 a 指标用来标记在时刻 t 到 t+1 之间，通过量子门的所有量子比特），并满足所有限 制条件。每个这样的方程组都意味着一个可能的量子门。具体例子可参看多伊奇 和海登（2000）。 在没有发生这些相互作用的时候，量子比特是计算惰性的（它们的可观测量都 不发生改变），它们只从一个门的输出保持原样到下一个门的输入（逻辑上，并不 需要空间上）。因此，这个量子计算网络的动力学，可以通过定义一个用“线”连 接起来的量子门网络确定。 从这个角度看，量子计算网络的研究，可以算成物理学的一个很窄的研究方向。
量子比特是一种特殊的物理体系，通常还是一些普遍意义下“基本”体系（比如 说基本粒子）系统。在量子门中，量子比特以相当特殊的方式相互作用：它们之 间的相互作用非常之强，却又完全独立于周围环境，它们的活动周期都是同步的， 同时还有非活动周期。我们甚至可以假设，网络中所有量子比特的自旋，最开始 都指向+z 方向（或者是其他的任何符合初始条件(5.3)，但不是自旋-1/2 体系的 量子比特系统）。 这些属性不仅在自然界里非常少见，而且，在当前的实验室里， 也都还没有能够完美实现。充分认识量子态，并利用其性质进行实用的计算，在 我们现有科技的条件下，仍然是一个巨大的挑战，一个尚未达成的目标。 不过量子计算网络还有一个性质，比以上所述更值得在科学上和哲学上探讨。 这个特性就是 计算的 通用 性 （computational universality）。
通用性
计算通用性包括下面几个相关方面的内容： ·一个单一的，标准的量子门，足以建立一个能够完成任意功能的量子计算网络。 ·量子计算网络是计算的通用模型。 ·一个通用的量子计算机，可以任意精确地模拟任何物理体系的行为。 ·这种计算机可以被实际制造出来（这一条还没有得到证明）。 这里的第一条与 通用 门 （universal gates）的概念相关。为什么量子计算理 论应该符合“它来自比特”这一直觉？一个原因是，从最自然的角度来说，组成 网络的逻辑门执行的计算，理应比网络整体执行的计算简单。一个或两个量子比 特通过量子门的可能运动虽然连续，但与更大的量子网络的可能运动并不同构； 而若考虑能执行某种固定的基本操作的量子门，通过对这种单一类型的量子门的 不同组合，就有可能构建能执行任意量子计算的网络。具有这种特性的门被称为 通用 量子门 （universal quantum gate）。事实上，不仅存在仅由一对量子比特构 成的通用门，而且在所有可能的双量子比特门中，只有测量值均为零的 不是 通用 的[多伊奇等 1995]。 由此可见，计算的通用性是即使最简单的量子门也拥有的性质，这些门本身， 也只包含一个量子体系的两个最简单的态之间的相互作用。我们也可以通过别的 方式来表示门的通用性：例如，所有的单量子比特门，加上可控非操作（一个量 子比特对另一个量子比特的测量）同样可以完成任意的计算。或者，用所有单量 子比特门加上“远距传输”的特殊量子操作[高特斯曼 和 庄(Chuang) 1999]。所 有这些方案，都来自于量子计算和量子物理之间惊人的紧密联系——而在经典计 算和经典物理之间，这种联系只是间接的。理论上，虽然也能基于理想的经典体 系（比如理想弹球）构建经典计算模型[见弗里德金(Fredkin)和托弗里(Toffoli) 1982]，但是这些设想在很多方面都过于理想化，而且由于“混沌”的缘故并不稳 定，因而不能建成实用的计算机。要想用经典近似下定义的“基本”元件（比如 说齿轮，杠杆等）建立一个通用的经典计算机（类似于巴比齐5(Babbage)的分析仪 那样）， 就必须要求这些元件是高度集成，精密加工的，形状稍有改变就会失去原 有功能。 现代经典计算机的微型芯片制作用到的单个晶体管，就是这样的元件。但如果 我们采用量子体系，例如离子阱中的离子，情况就会不同[见斯拉克(Cirac)和卓 5巴比奇，查尔斯 1792-1871 英国数学家和分析仪发明者，他依据的原理与现代数字计算器的原理相似
勒(Zoller) 1995；斯蒂恩(Steane) 1997]——量子计算机可以基于很多种量子体 系，离子阱是不是一个可行方案？现在有很多人在研究。在离子阱中，一群离子 被形状精巧的震荡电场束缚在一条直线上。对每个离子，一个电子靠双态体系（一 个态是它的基态，另一个态是任一种激发态）构成一个量子比特。这些离子受到 库仑力和由激光形成的外加电磁场的共同作用。只要激光存在，就能够连续调节 任何一对量子比特的可观测量。工程上的问题到这里就全部解决了。只要按照这 里描述的方案实现，相互作用的具体形式并不重要。由于量子门所共有的通用性， 在某种特定的激光脉冲序列（其中的每一个脉冲形成一个门，影响两个量子比特） 的作用下，就一定能使一个 N 维离子阱进行任何需要的 N 位量子比特计算。 这个结论同样适用于其他任何物理体系——核子自旋，超导环，阱中电子，以 及其他更怪异的可能方案——而这些物理体系已经，或者可能成为量子计算机的 基本元件。S·劳埃德（S. Lloyd）曾将这个观点总结成一句格言：“只要选用合 适的入射光，几乎所有的量子体系都可以成为一个量子计算机。”而这句话在经典 物理中就没有对应了。 当然，量子计算机远比经典计算机难于设计，但困难的原因却大相径庭：这里 不再是要设计出精确定义的复合体系作为元件，而是要从复杂的环境中，孤立出 自然界原本存在的、最简单的物理系统，然后找到某种方法，让任意一对这样的 系统之间相互作用。一旦能在某种给定物理体系中实现，则不再需要任何后续的 调整和加工，因为这些量子体系之间进行的相互作用已经自然具备计算通用性。 通用性的第二个方面是说量子网络是计算的一个通用模式。即，考虑任何一种 可能被用于计算的技术——无论是量子的还是经典的，无论是基于逻辑门的还是 别的什么，对任何一台用此技术建成的计算机 C，都存在一个量子计算网络，全部 由简单的量子门组成（例如一个两量子比特的通用门），这些门至少含有与 C 相同 的计算指令集。在这里我们特别强调“相同的指令集”这句话： ·给出一个计算任务（例如因式分解）和一个输入（例如一个整数），网络能够得到和 C 一样 的输出（例如这个整数的因子）。 ·网络完成一个给定计算所需的资源量（门的个数，时间，能量，原材料的数量以及其它） 不会超出 C 所需的资源量的低次幂。我推测这个指数可能是 1。即是说，存在一种这样的技术， 基于它所实现的量子计算网络，能模拟任何用其它技术建成的计算机，而且它所使用的资源 不会超过原来其它技术所用资源的常数倍。 ·网络不仅能模拟 C 中输入和输出之间的关系，而且还能使用和 C 相同的方法——相同的量 子算法计算出结果。 这样一来，量子计算的抽象理论研究（并不是如何在技术上实现量子计算），就等 于量子计算网络研究中间的一个具体类别[97]（因为只需要一种类型的通用量子 门） 。这是经典的计算通用性在量子计算中的推广，在经典情况下，对所有计算的 研究都等效于研究任一通用的模型，比如说由与非（NAND）门或托弗里（Toffoli） 门建成的逻辑网络，或者是通用的图灵机。 不过，量子通用性还有经典计算所不具有的第三个性质：量子计算网络能够 任意精确地模拟任何一个物理系统的行为；而且它们所需资源的复杂程度不会超 过被模拟的系统。我们曾经猜想经典计算也会有同样的性质，但最终发现没有。 量子体系最一般的描述方式（我们普遍认为） ，就是 量子场 （ quantum fields ）。 例如，一个量子标量场φ(x，t)，时空中每一点(x，t)都对应一个可观测量，并 且满足运动微分方程。通过在时空点阵中，用有限范围内的，有限组可观测量来 逼近连续范围内的连续时空场，很多近似方法都可以用来计算这样一个系统的行
为。这些近似方法当然也能用于量子计算中，例如，用有限数目的量子比特就能 够模仿场φ中每个空间格点附近的行为。 我们也可以从另一个方向得到量子场论，从一开始就认定“它”（量子场）是 由量子比特组成的。这是因为，量子场显然可以用布尔型变量的场来表示。举例 来说，“场在一定时空区域 R 上的平均值是否超过一个给定值Φ”，其中 R 包括所 有体积和时间不为 0 的区域，而Φ取遍所有实数，这样一组布尔型变量的集合就 包含和量子场φ(x，t)本身相同的信息（虽然有冗余）。对每一个这样的布尔型变 量，我们都可以构造一个包含它的“最简单”的量子体系，就是量子比特。 利用只有相邻量子比特才有相互作用的门，我们可以模仿局部相互作用。通过 这种方法，量子网络就能够模仿任意物理体系——不但能按照最低要求给出同样 的输出，而且，在更强的要求下，能够重复给出这个输出的物理事件，在局域范 围和任意细节中都一致。 在很多实际计算中，我们只关注给定输入的输出结果，而无需（除非是程序员） 关注它是怎样出来的。但也有一些例外。一个有趣的例子来自格雷格·伊冈（Greg Egan）写的科幻小说《置换城市》（Permutation City 1994）。在这本小说中，技 术已经高度发达，人们可以把大脑的计算状态上载到计算机中，以输入状态为初 始状态，这些模拟的大脑开始在虚拟现实的环境中互相作用，这个虚拟现实的环 境就是客户所选择的独立于外部的世界。[98]但由于实现这种计算是昂贵的，所 以负责这项设施的人们不断寻找能够优化这个模拟程序的方法。他们运行了一种 优化算法，可以系统地检查这个程序，用能够以更少步骤完成相同任务的代码和 数据替换原来的代码和数据。然而，使用模拟程序的人不能理解这种优化的作用， 最终，这个优化程序被崩溃了，删除了整个模拟系统和全部数据，并宣布“这个 程序没有任何输出”。 顺便一提，我们没有理由相信，这种模拟需要一个通用的量子计算机（参考 泰格马克(Tegmark) 2000）。 因为无论从哪方面看，我们的大脑都是一个通用的经 典计算机。但不管大脑如何工作，量子计算的强大通用性都让我们确信，大脑模 拟技术，以及一般意义上的人工智能都是可能的，也是可行的。 如果，通用的量子计算机能够真的做出来。其实，这正是通用性的另一个特点， 而且也许是 “它来自量子比特吗？”这个问题最关键的一个特点。确实，如果量 子比特实际上不能建成具有通用模拟能力的网络，那么计算通用性本身，也不会 受到这么多物理学家和哲学家的极大关注了。
世界并不是“由信息构成”
如果通用性在前文所说的四个方面都成立，那么任何一个物理系统都能被一组 量子比特完全描述6，既然这样，我们何不更进一步，宣称世界是以量子比特场为 根本，而传统的量子场，只不过是它表现出来的特性呢？一方面，自然中的量子 系统遵循的方程，以时空场的语言来说太简单了，这个事实也许就否定了“量子 比特是基石”这种对物理实在的，不成熟的认识。但另一方面，我们又有一些事 实,支持这一观点。对量子引力理论来说，我们仅知的事情之一，可以表述为贝肯 斯坦熵限（Bekenstein bound）：任何空间区域的熵，都不能超过一个固定常数乘 以该区域的表面积（贝肯斯坦 1981）。这强烈地暗示，任何有限空间量子体系的 完备态空间也是有限的，只能包含有限个相互独立的量子比特。 6补充论证：另见历里（Zizzi 2000），他发展了用“它来自量子比特”阐明量子引力的清晰方法。
然而，即使这个以量子计算为核心的，最乐观的物理观点，最后被证实是正确 的，也不能说，野心勃勃的信息决定论观点就是对的。[99]这一观点最直接，也 是最极端的表述：我们通常看见的整个物理实在，实际上只是一个巨大计算机— —即全能模拟器——上运行的一个复杂程序。表面上看，这种解释物理和计算之 间联系的方法似乎很乐观：物理定律能用计算机程序来表达，也许是因为它们本 身就是计算机程序；而计算机的存在，本质上也许就是计算机（这里指全能模拟 器）模拟其它计算机能力的一个特殊体现；物理定律的局域性也很合理，因为复 杂计算总是由基本的计算构成的——也许全能模拟器就是一个（量子的？）元胞 自动机7……诸如此类。但是，实际上这一整套猜想都是妄想。 接受这些观点必须承担放弃科学的代价。正是计算通用性的本质告诉我们，如 果我们的世界是由软件组成，那么我们将无法理解物理实在——那个全能模拟器 的硬件的物理基础。当然，没有人能够证明我们自己不是软件。就像所有的伪科 学一样，这套理论也不具有可检测性。倘若要接受这种理论的方法论，我们也最 好不要去找那些代数和实验上的种种麻烦，直接回去拿古希腊神祗的性活动来解 释世界得了。 试图将计算列入物理核心地位，还有另一个显然不同的方法，就是先假设“所 有可能的物理定律”（某种意义上）在物理世界上都已经实现了，再用观测的选择 效应8 解释我们看到的定律（例，参看斯莫林(Smolin) 1997）。然而从本质上来说， 观测的选择效应并不能完全解释世界上的所有定律和规则。这是由于，要对不同 的世界（比如说，具有不同的物理定律，或者不同的初始条件的世界）作预测， 就必须首先对这些世界作测量，只有这样，才可以说这样的话：“诚然，这个集合 里的大多数世界都没有性质 X，而只要有人问到这个问题的世界，大多有性质 X。” 但事实上，也许根本不存在这种假定的，对“所有可能的定律”的测量。泰格马 克（Tegmark 1997）等人曾经提出，物理定律用计算机程序表达时的出现的复杂 性，就可能是这种难以捉摸的万能测量。但这又引出了另一个问题：这种复杂性 是 对何种计算理论而言的复杂性？ 经典计算和量子计算有着非常不同的复杂性理 论。确实，“复杂性”这个概念已经完全根植于物理之中了，从这个角度来说，物 理本身，优先于任何计算的概念，（物理是本质的，而不是计算是本质的——译者）。 从这种思维方式出发，“它”是不可能来自于“比特”或“量子比特”的。（也见 我对惠勒教授“没有定则的定律”(Law without law)观点的评论-多伊奇 1986） 这两条路都没有成功，根本原因是，它们试图颠倒对物理与计算之间关系的解 释。[100]看上去似乎很有理，但那只不过是因为人们普遍误认为计算是数学中的 概念。他们认为，可计算的函数集（亦即量子可计算任务集），所具有的优越性都 来自数学，但事实上并非如此，这些运算的优势来源于有关计算通用性的物理定 律。是物理而不是数学，让我们能够区分可计算和不可计算性（参见多伊奇等 2000） ，以及简单和复杂。
世界由量子比特组成
那么，世界是由信息构成这一点，到底给我们留下了些什么呢？不是“无中生 有（something for nothing）”：信息不能从虚无中创造世界；也不是说物理世界
7 元胞自动机（Cellular automaton）： 某种无规行走机。在网格上，按一定规律演化的方格游戏，每个网格成 为一个单胞，长期的演化可能会形成自组织现象，是复杂性研究的一个课题——译者注。 8 观测选择效应（Selection effect）： 观测者的存在对观测本身会造成影响——译者注。
的定律都是虚构小说，而物理只是相对于某种文艺批评；而是说明了，一个我们 将物质称为信息，过程称为计算的世界确实有一个特殊地位。这个世界包含—— 或至少可以包含——通用计算机。但是这句话反过来说，一个通用计算机包含整 个世界，则是永远不可能的。 世界由量子比特组成。一个性质可被观测的事物是什么样或者不是什么样，这 个问题的答案，实际上是一个布尔型变量。每个布尔型可观测量都是某一个实体 的一部分。这个实体就是量子比特，它是物理实在的基础，却和我们日常经验相 距甚远。它是最简单的可能的量子系统，并像所有其它量子系统一样，实际上好 像又不属于这个世界。如果我们精确制备一个量子比特，让它的某个布尔型可观 测量是确定的——即在所有平行世界中都是相同的值——那么根据不确定性关 系，它的别的布尔型可观测量都不可能是确定的：我们没有办法让这个量子比特 在所有世界中都完全一致。量子比特毫无疑问是多重宇宙的产物。这就是为什么 量子比特本身能够连续变化，即使它的测量值——或者说它本身——只能是某一 个分立的可能值。 我们观察到的世界，在某种程度上，可以近似由单值变量来描述，而这个世界 实际上是一个更大实在的一部分。在这个实在中，对“是否”这种问题的完整回 答，并不是单纯的是或者否，甚至也不是并列的是和否，而是一个量子可观测量 ——可以用一个很大的厄米矩阵表示的量。在这个意义下，我们是否有可能将世 界，包括我们自己，理解为“由矩阵构成”呢？芝诺其实对经典物理中的实数问 过同样的问题：我们怎么会由实数构成呢？（即，经典物理中的所有物理量用实 数就可以完全表达了——译者）为了回答这个的问题，我们得向芝诺学习，在假 定这个实在概念（即实数构成——译者）正确的情况下，分析此时会出现的信息 流动（the flow of information）——即信息处理过程。这样一来，我们是否可 能“由矩阵组成”这个问题就变成：考虑一个完全由矩阵构成的观察者，在一个 矩阵的世界，会有怎样的经历。[101]退相干理论（见祖莱克(Zurek) 1981）和历 史相容理论（见哈特尔(Hartle) 1991）都已在一定程度上回答过这个问题（又见 多伊奇 2002a）：在粗糙的层面上来说，经典物理似乎是对的；而且经典的信息理 论似乎也是对的。但是，当量子相干过程——特别是量子计算进行的时候，这种 表象就消失了，取而代之的是一个复杂程度指数增加的结构。 卡尔·波珀（Karl Popper）指出，解决一个问题的结果，往往不仅仅是得到 一个新理论，还能引出一个新的问题。在基础科学中，这意味着，对那些追求一 个最终答案的人来说，新发现通常是令人失望的。而对那些不断追求更多更深的 知识的人来说，新发现带来的是双倍的喜悦。 上面这些论述，排除了全能模拟器之类的终极解释，同时对真正的物理学，我 们也有如下的启发：尽管在某种意义上可以说，量子计算理论包含了整个物理（有 可能不包括量子引力），但计算的通用性原理，却从本质上限制了量子计算理论的 适用范围。通用性要求计算，以及支配计算的定律，都独立于硬件。这样一来， 量子计算理论就不能解释硬件。它自己不能解释，为什么有些事情在技术上是可 行的，而另一些就不行。举例来说，蒸汽机就可行，而永动机则不行。量子计算 理论也不涉及热力学第二定律：如果一个物理过程可以被通用的量子计算机所模 拟，那么它的时间反演过程也同样可以。举个更贴切的例子来说，我上面提到的 通用性的最后一个方面——即通用的量子计算机能被实际制造出来——并没有得 到证实。相反，很多物理学家怀疑其正确性。以“世界由量子比特构成”的观点 来看，这个争论非常基本，但依据现阶段的物理定律，并不能用第一性原理解决。
如果我在这里讨论的，“世界由量子比特构成”的观点，有任何正确之处，那么我 们所知道的量子计算理论，就应该是一个更普遍理论的一个特例。 量子构造理论（Quantum constructor theory）（ 见多伊奇 2002b）是预言何 种物体能（或不能）被构造，以及用什么原料来构造的理论。这个理论目前还处 于初级阶段：我们只知道一些零碎知识，比如某种类型是不能被构造的，而另外 一些就能够被构造——就像热力学定律一样，我们可以说某种类型（第一类和第 二类永动机）是不能被构造的，而另一些类型的（无限接近卡诺循环效率的）热 机可以被构造。总有一天，量子构造理论也会包含类似的自然原理，[102]即某些 信息处理过程（比如，图灵计算机无法计算性的某些整数函数）用任何技术都无 法实现，而另外一些（构造具有任意精度的通用量子计算机）则可以实现。现在， 关于计算的理论是量子计算理论，而以前图灵和其他人发展出来的理论只是一个 极限情况下的特例。同样的，我们现在关于计算的理论，再往后也会被认为是量 子构造理论的一个特例，是在忽略了所有硬件可行性的极限下的理论。正像爱因 斯坦（1920）所说的：“一个物理理论最佳的归宿莫过于能指向一个更广泛的理论， 而自己成为这个新理论的一个极限情况。
近代物理: 原子核物理学简介、基本粒子物理学简介. II關於量子力學的算符 | |||
 1:littlecan榮譽點數1點 (高中職)張貼:2006-05-21 15:11:29:地點 台灣台南 | |||
| 最近看量子力學，發現一個不懂的地方 我們知道動量算符為i*(hbar)*partial/(partial x)那為什麼動量平方算符就是-(hbar)^2*(partial)^2/(partial x^2)呢? | |||
| 2:loge榮譽點數126點 (研究所)張貼:2006-05-21 16:24:50:地點 台灣台南 [回應上一篇] | |||
| 因為 i*i=-1 | |||
| 3:Hydrogen Dioxide (研究所)張貼:2006-05-21 16:50:09:地點 台灣高雄 [回應第1篇] | |||
補充一些基礎數學的東西 如下 i2=-1 1/i = -i 雖然是基本的 但是很多一開始學量子力學的學生 這個還是反應不過來 也因此覺得量子力學難 其實量子力學所使用的''數學''難度不高 難的是''物理'' 不過若是常去體會 不難 反而比電磁學容易 | |||
| 4:黃福坤 (研究所)張貼:2006-05-21 17:09:48:來自 國立台灣師範大學 [回應上一篇] | |||
| 所謂算符 operator 從數學上而言就是對某函數進行某運算既然原本一次的運算是 取其偏微分後乘以虛數則連續兩次運算 不就是取其兩次偏微分後乘以 負1 | |||
| 5:Hydrogen Dioxide (研究所)張貼:2006-05-21 17:41:35:地點 台灣高雄 [回應上一篇] | |||
| 【補充】 量子力學中的 算符 (運算元 or 算子 or 操作子(operator) ) , 為線性的哈密頓算符 必須針對波函數Ψ(x,t)或φ(x)運算 才有物理意義 若是只考慮滿足線性的特性 (此為 數學上的特質) 可直接作 相乘的動作 如  若是要對系統進行物理運算 (or實量的觀測) 則 以上針對波函數運算的動作，其結果為 動量本徵值2 乘上 經兩次運算後的本徵波函數 i含在本徵值內 故 i2=-1 符合推導 中的 -1[ 這篇文章被編輯過: Hydrogen Dioxide 在 2006-05-21 17:46:18 ] [ 這篇文章被編輯過: Hydrogen Dioxide 在 2006-05-21 17:48:39 ] | |||
| 6:littlecan榮譽點數1點 (高中職)張貼:2006-05-21 22:31:30:地點 台灣台北 [回應上一篇] | |||
| 我的問題不在數學的計算.....後面的p平方算符也是我再打題目的時候自己導出來的。我可以接受動量算符對波函數作用:-i(hbar)partial/(partial x)*phi=P*phi，P即為特徵值(就是二氧化氫大大說的本徵值)。但是如果要求動量平方本徵值，真的只要把波函數作用兩次就好了嗎?有沒有什麼理由呢?況且如果作用兩次，是一個動量算符Pop作用在原函數後，再一個動量算符Pop作用在(Pop)phi，這樣有什麼意義可解嗎? | |||
| 7:Multigrain (大學理工科系)張貼:2006-05-22 20:06:47:地點 台灣台南 [回應上一篇] | |||
把operator作用在wave function上只會得到一個scalar而已，你要先用哪個operator計算結果都是一樣，做eigenvalue, eigenfunction的問題都是這樣，也就是說 Pop‧Pop‧ψ = Pop‧λ‧ψ = λ * Pop‧ψ =λ^2*ψ λ為Pop的eigenvalue | |||
| 8:Hydrogen Dioxide (研究所)張貼:2006-07-16 23:11:18:地點 台灣台北 [回應上一篇] | |||
| to : littlecan, 若你對量子力學的操作運算子 感覺不是很習慣 建議可以找關洪的量子力學基礎 來看個大概 (Dirac的書也可以啦 不過比較難) | |||
| 9:littlecan榮譽點數1點 (高中職)張貼:2006-07-19 18:39:54:地點 台灣台北 [回應上一篇] | |||
謝謝。我已經把算符的性質搞清楚了。 | |||
| 10:Hydrogen Dioxide (研究所)張貼:2006-07-19 22:06:36:地點 台灣高雄 [回應上一篇] | |||
| 而我想提醒你的 就是說 空間中粒子的期望值(先不考慮隨時變的薛丁格方程) 代入 1=∫ψ*ψd3x (若該粒子非自由而為束縛態); <位置>=∫ψ*位置運算子ψd3x ; <p>=∫ψ*動量運算子ψd3x 時 ; 以上不被操作運算子 作用的那個波函數 需要在運算中取共軛 ψ*表示的是將波函數取共軛 譬如 1*=1 ; eiax*=e-iax 若以上都熟練了之後 就可以學一下隨時變的薛丁格方程(混合態的薛丁格方程) (其實所有的波函數 廣義來看都是隨時間變化其波值 ; 不隨時變 表示振盪解e-iE t/hbar與其共軛 相互消滅得1而已 分離變數法Ψ(x,t)=ψ(x)ψ(t) ; Ψ(x,t=0)=ψ(x) ; ψ*(t)ψ(t)=1 ) (薛丁格方程為二階偏微分方程 以分離變數法分離出 時間部分乘上空間部分, 有興趣可參閱大學工程數學) [ 這篇文章被編輯過: Hydrogen Dioxide 在 2006-07-19 22:25:17 ] | |||
| 11:littlecan榮譽點數1點 (高中職)張貼:2006-07-20 11:15:08:地點 台灣台南 [回應上一篇] | |||
| 嗯,上面的<位置>=∫ψ*位置運算子ψd3x 可以用<ψ|Xop|ψ> <p>=∫ψ*動量運算子ψd3x 可以用<ψ|Pop|ψ> 比較好打...XD | |||
| 12:Hydrogen Dioxide (研究所)張貼:2006-07-20 21:26:18: [回應上一篇] | |||
| 你所寫的< | , 表示左矢 (狄拉克符號) | > , 表示右矢 近代物理標準教材裡 沒有將以上列入, 表示這些不是量子力學初學者應該碰的範圍 據推測應該是研究所的高能量子力學才會上到! 建議初學者先不要碰! [ 這篇文章被編輯過: Hydrogen Dioxide 在 2006-07-20 21:28:20 ] | |||
| 13:littlecan榮譽點數1點 (高中職)張貼:2006-07-20 23:20:54: [回應上一篇] | |||
| 其實Dirac符號我在普通的基礎量子力學都有看到.....Hydrogen大大說高能物理才用得到??我不清楚... | |||
| 14:Hydrogen Dioxide (研究所)張貼:2006-07-20 23:37:42: [回應上一篇] | |||
高等量子力學 或者物理化學的量子力學課本才會提到狄拉克符號
《量子力学的一些基本概念》
作者：＠abada张宏兵
（根据答网友问的一些内容整理，欢迎老师同学们指正）
对于一个物理系统，某种物理实验上可分辨的各个不同状态，叫做系统在这一观测下的各种量子态或物理态。比如掷到桌上的硬币，若某种观测方式能分辨出其有且只有正面朝上、朝下之分，则硬币在这一种物理观测下就有且只有两种物理态。若硬币还可在桌面上立起来，则其在这种观察下有且仅有三种态：正面朝上、正面朝下、立起来。
量子态用希尔伯特空间中的矢量表示，叫态矢量。但它们之间不是一一对应的。一个态矢量必仅对应一个物理态，但一个物理态却可对应无数个态矢量---但这些矢量的差别仅为一个复数因子，即一个矢量乘以一个复数就可得另一矢量，这些矢量对应同一物理态。但两矢量间若没有上述这种关系（可称为平行关系），就必对应不同的物理态。
细说起来，态矢量之不同可分三种情况：一，态矢量方向不同，这必表示不同的物理态，必须用不同字母区分不同方向的态矢量，如|a>或|b>等。二，两个态矢量的方向相同但长度不同（定义为一个态矢量乘以模长不为1的非零复数而可得到另一个态矢量），这两个态矢量代表同一物理态，如c|a>与|a>两态矢量代表同一物理态，其中c为复数。三，两个态矢量的方向与长度皆相同，但相位因子不同，即一个态矢量乘以模长为1而相位不为0的复数（即乘以一个相因子e^iθ，其中θ不等于2nπ，n为整数），而得到另一个态矢量，这两个态矢量当然也代表同一物理态，如两态矢量|b>与e^iθ |b>。
虽然仅仅复系数（复数因子）不同的即互相平行的态矢量都对应同一物理态（意味着某种观测下无法分辨区别），但改变观测方式后，态矢量的相因子或复系数却可能对叠加干涉现象或测量结果的概率有影响。某观察方式下的同一物理态，若改变观察方式后又可发现共分为2种态，则称前一种态是后2种态的叠加态，表示为矢量的分解或叠加。这时相因子的相对不同就可通过干涉而观察出来。这于前面说的观察不出区别不矛盾，因为这已改变了观察方式。
电子双缝干涉实验中，若一种观察方式能且仅能区分电子来自于缝a还是缝b，那么这个观察方式就可确立区分a态和b态这两个缝态。当改变观察方式，用远处屏幕观察电子的位置，那么可以区分出几乎连续的位置态x。而每个位置态矢量|x>都等于两缝态矢量|a>与|b>分别乘以某种复数系数后再叠加，即|x>=c1|a> + c2|b>，其中复系数c1与c2相对值对于叠加干涉现象或x测量结果的概率有影响。
问：物理态是相对于观测方式而言的？
对。例如粒子的位置态，或动量态、角动量态、能量态、偏振态等等。不同观测方式下皆确定的态可构成各种观测量的完全集，如氢原子中电子的｛能量，轨道角动量，轨道角动量投影，自旋投影｝构成完全集。
又如某种无自旋自由粒子，仅有位置态（x,y,z), 或（不是“与”）动量态（p_x,p_y,p_z), 即可构成其量子态的完全集。粒子同一三维空间方向上的位置与动量则不可能同时包含在观测量的一个完全集里。
问：完全集中的算符需两两对易，对吧？
对。
注意观测量的完全集对应的是“所有可能同时测得系统各种确定态的各种观测方式之集合”。而每一种观测方式下可能分辨出的各种可能的量子态，则构成（这种观测方式下的）量子态的完备集。
设系统有两种相容观测量，即系统处于对两种观测方式测得的两种观测量都同样存在确定值的态，则这两种观测所对应的算符就可对易(逆命题也成立)。这时这两种观测量构成观测量的完全集。设一种观测量可能有|a>与|b>两个态，另一种观测量有|x>,|y> 和 |z> 三个可能态，则｛|ax>, |bx>, |ay>, |by>, |az>, |bz>}构成了系统可观测量的完全集的完备本征态，这些本征态皆相互正交。而｛|a>, |b>} 或｛|x>, |y>, |z>} 构成的是不完全观测量即其中某一种观测量的本征态完备组，这叫做有简并的本征态完备组。
问：观察量为何表示为态矢量的算符？
因为一次观察即一次操作，其一，这很可能改变系统的原来的量子态（原来的量子态是由前一次观察得知的，这一次观察的观察方式与前一次的不相同或虽相同但相隔足够长时间），数学上可表示为算符作用于态矢量而改变了态矢量之方向，如F|a>=c|b> ，F为算符，c为复数（也可将c吸收进F）；其二，这次观测与前一次观测相隔足够短时间且观测方式不变，这样就并不改变原态（这相当于量子力学中的牛顿第一定律，若将薛定谔方程类比为牛二定律的话），设如此观察出某个实数量值f，这可表示为F|a> = f|a> ，这个方程就是算符F的本征值方程，|a>为其一个本征态矢量，f为对应于F及|a>的一个本征值。上述二种情况下，都可以说：代数上作用于态矢量的“算符”对应于物理上特定的“操作-观察”。（这样说比说“力学量用算符表示”更恰当。)
每一种观测方式下可能分辨出的各种可能的量子态，构成（这种观测方式下的）量子态的完备集。其中每个量子态可用一个模长为1的态矢量来表示，这些态矢量做为基矢张成一个表象架，构成一个表象，用于将其它某个态矢量投影到各基矢表示为各复数分量值，每个投影的复数值c叫概率幅，因为其模长平方c*c，恰好等于在被投影的态矢量对应的态下观测到基矢对应的态的概率。（当然基矢本身也可用投影分量值表示，它往自身的投影为1，往其它基矢的投影为0。）
这样一来，态矢量代数就可表示为矩阵代数（尤其是对角动量投影等分立谱）。可续看《量子力学所需的矩阵代数之几何来源》。
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《量子力学所需的矩阵代数之几何来源》
作者：@abada张宏兵
（接作者的《量子力学的一些基本概念》）
为避免对矩阵力学感到抽象，最好先形象地学会矩阵代数。可先从肉眼可见的平面直角坐标系中的线性几何入手，等到直观地熟悉量子力学常用的一些线性代数的基本概念以后，再推广到希尔伯特空间。这种推广是：乘矢量或矩阵的数可以是复数，矢量在表象基矢量上投影的值可以是复数，态矢量空间的维数可以为无穷维，即有无穷多个正交基矢量（例如普通三维空间一方向上每一个点邻域都对应出一个位置态基矢量，这无穷多个基矢量都相互正交）。这时要注意态矢量空间不是普通三维位形空间。
先看平面上任何一点，在平面直角坐标系中，可从原点出发画出连接并指向此点的矢量，可表示为一个行矢量（x，y），或对偶（转置）的列矢量：
x
y
我们用上述方式排列一个点的坐标，表示一个矢量。列矢量也可抽象记为右矢 |a>,
正交矢量
画一下点（3，2），与点（-4，6），看看几何上有何特点？显然，它们代表的矢量是互相垂直的，即正交的。代数上呢？显然，3x(-4) + 2x6 = 0. 这两种关系（几何关系与代数关系）有对应性。
我们把上述矢量中引来的 3x(-4) + 2x6 = 0 这种运算叫矢量乘法。
设有(x, y)与(x',y')两矢量，定义：
（x
乘
x'
y'
得积= xx' + yy'
上述两矢量的乘法所得到的积为一个数，所以叫矢量的标乘、标积。当且仅当两非零矢量的标积为0时，这两矢量正交。当两矢量长度都为1时，它们的标积反映它们的夹角的余弦。
为何说平面是2维的？因为平面上若有2个矢量正交，那么找不到第3个矢量与它们两个都正交。
矩阵怎样对应几何？
平面上（2，3）这个点对应的矢量，怎样变为（5，7）这个点对应的矢量？几何上就是一个操作。
代数上，我们可以列一个线性方程组：
a乘2 + b乘3 = 5
c乘2 + d乘3 = 7
其中a，b，c和d为待定系数。它们可排列成一个系数矩阵：
a ，
c ，
矩阵作用于或乘以矢量的法则，就定义为如同上述线性方程组，方程组等号右边构成的矢量，就是矩阵与原矢量之积：
a ，
c ，
乘
2
3
等于
a乘2 + b乘3
c乘2 + d乘3
又要等于
5
7
于是，原方程组用一个矩阵方程表示了。而这个矩阵，则是上述几何操作的表示。
显然满足方程组的系数a,b,c和d没有唯一解，即矩阵方程不止一个解。
为了确定系数矩阵，可以提出额外的要求。例如，a=b=0, 或a=1，b=-1，这两种都有a+b=0之特征，即矩阵的迹等于0。还可设a=b且c=d等，使满足原方程组的系数确定。
可以解出
0
7/5
是符合第一种要求（即a=b=0)并满足原方程组的系数矩阵。
我们按此建立了几何操作、矩阵算符之间的对应关系。
下面看两个更有意义的操作算符：
投影矩阵算符与旋转矩阵算符，算符的本征矢量、本征值，矩阵乘法以及两算符的对易子
对于点（2，3），在横坐标轴上投影为（2，0），这一投影操作对应的矩阵算符是M:
1，
0，
它乘
2
3
可得
2
0
在纵坐标轴上的投影算符为矩阵：
0，
0，
如果矩阵F：
16
0
乘以横坐标轴上的一个行基矢量<p|表示为（x，0），对应的列矢量 |p> 表示为
x
0
可知：
F|p> = 16 |p>，
或 <p|F = <p|16 = 16 <p|
即算符F乘这个矢量，等于一个数乘这个矢量。这时，这个矢量叫这个算符的一个本征矢量，而那个数叫做对应于这个算符及这个本征矢量的本征值。反过来说，这个矢量是对应于这个算符及其这个本征值的本征矢量。
显然，投影算符M的本征矢量有（x，0）与（0，y）两组，分别是与所要投影到的横轴平行和垂直的所有矢量，本征值分别为1和0。
上述投影算符M的本征矢量归一化，即选择长度为一的本征矢量，有（1，0），（-1,0）与（0，1），（0,-1）两对，本征值分别为1和0.
如果两个矢量的终点在以原点为圆心的圆上，即一个矢量保持长度不变而绕原点顺时针旋转φ角就可得另一矢量，这几何上的旋转操作，可算出这对应于一个旋转矩阵R：
cosφ,
-sinφ,
可记为：
a，
-b，
这个矩阵的行列式
detR = aa-（-b）b
= a^2 + b^2 = 1。
设φ为无穷小ε，则相应的无穷小旋转算符为R(ε)：
1-εε/2 ,
-ε ,
上面是保留到二级无穷小，保留到一级无穷小，则设上面的εε/2为0即可。
计算可知旋转算符在平面内不存在非零本征矢量，自然也谈不上本征值。实际上，若超越2维xy平面，在3维空间看来，平面旋转算符的本征矢量在与平面垂直的z轴上。
如果从上述旋转操作后得到的矢量，反向旋转回去得到原矢量，这对应于S的逆矩阵S^(-1)：
cosφ,
sinφ,
通过下面将定义的矩阵乘法将可知：R R^(-1) = R^(-1) R = 1,
对矢量的接连两次操作，对应的矩阵乘法
已知从(x,y)操作变为(x',y'), 再从(x',y')变为(x",y"),
变换方程组一：
ax + by = x'
cx + dy = y'
变换方程组二：
ex' + fy' = x"
gx' + hy' = y"
求：从(x,y)操作直接变为上述(x",y")的变换方程组：
px + qy = x"
rx + sy = y"
令其系数矩阵等于第二个方程组的系数矩阵乘以第一个方程组的系数矩阵，便得矩阵乘法的规则：
a,
c,
乘
e,
g,
等于矩阵：
p=ae+bg,
r=ce+dg,
现在我们可计算出，旋转矩阵与逆矩阵的积 R R^(-1) = R^(-1) R = 1.
如果平面上对一矢量接连实施两次旋转操作，则可证明：颠倒两次操作的顺序，不影响最后的矢量结果，这对应于两旋转矩阵其乘法满足交换律。但在3维空间，绕不同方向的轴的两旋转不满足交换律。
在平面上，对一矢量先进行一个投影操作再进行一个旋转操作，与颠倒这两个操作的顺序，结果也会不同。
对应从代数表示上看，矩阵乘法RM不等于MR。它们的积有差别，这个差别叫两矩阵算符的对易子：
[R, M] = RM - MR
计算可知，对易子[R, M] 为如下矩阵：
0，
sinφ,
其迹为0，且转置不变。
对易子为什么重要？
因为对于两个矩阵A、B以及它们的对易子[A, B], 三者中，若知道其中两个，常就可求出第三个（在某表象下的表示）。而在量子力学中，往往是由物理定律已知两算符的对易子。
如果把平面上原有的各矢量统一地进行一个某角度的旋转操作，这相当于坐标系反向旋转那个角度，可见这操作保持了原各矢量的长度不变、夹角不变、相互变换的代数关系不变。这种操作叫幺正变换U。幺正变换满足旋转变换关系：detU = 1, 且 U U^(-1) =
如果其中原两矢量|a>与|b>之间的变换矩阵是F，即
F|a> = |b>,
在实施幺正变换时：
|a>--->|a'> = U|a>,
|b>--->|b'> = U|b>,
显然，矩阵F在此幺正变换下将做如下变换：
F---> F' = UFU^(-1)
其中U^(-1)的作用对应于先将幺正变换后得到的矢量如|a'>还原回|a>，再在其原矢量下进行原F对应的操作下变为|b>, 最后，再将|b>进行幺正变换U而变为|b'>.
一个矩阵可以用一个大写字母附加上下角标表示，上下角标分别代表第几行第几列，如A^m_n。矩阵乘法：A^m _n B^k _m，遵守爱因斯坦约定，一个上标与一个下标字母相同时，对各对应的积求和。
旋转矩阵还可用指数表示为e^Mφ，其中M也是一矩阵，这个指数表示可以按泰勒展开求和而成为普通矩阵。
高中物理教材內容討論:關於量子力學的算符
www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=15268
14 篇文章 - 3 位作者
我們知道動量算符為i*(hbar)*partial/(partial x)那為什麼動量平方算符 ... 若是要對
缺少字詞：
量子力學詮釋- 维基百科，自由的百科全书
zh.wikipedia.org/zh-hk/量子力學詮釋
轉為繁體網頁 量子力学基础与积算符_百度文库
wenku.baidu.com/view/f15e32ed19e8b8f67c1cb9da
轉為繁體網頁 一些量子力学基本概念和矩阵几何基础_impot_新浪博客
blog.sina.com.cn/s/blog_3fd642cf0101fv9a.html
轉為繁體網頁 关于量子力学的一点浅见（观察者原理；不确定性的另一种推导 ...
blog.renren.com/share/281046740/3764042984
轉為繁體網頁 [DOC]第五章 - Quantum Physics and Quantum Information
quantum.ustc.edu.cn/old/teaching/qm2/Q5讲稿.DOC
轉為繁體網頁 虚数的物理意义是什么？ | 问答| 果壳网科技有意思
www.guokr.com/question/382450/
轉為繁體網頁 [DOC]物质系统的投影——复数系统 |
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