Concepts in Quantum Mechanics - 第 128 頁 - Google 圖書結果
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Vishnu S. Mathur, Surendra Singh - 2008 - Science
... E0Φcm(R), V(r) ] ψ(r) = Eψ(r), (5.5.14) (5.5.15) where the total energy has been written as the sum of center of mass energy E0 and energy of relative motion E ...来自: cmp0xff 才(添加签名档) 2011-07-19 11:13:41
已有讨论见
http://www.douban.co
摘录如下：
2011-07-17 21:37:55: 林喵之 (嗯哼？)
http://www.douban.co
2011-07-18 08:07:55: çµπ0xff (oh my little lady)
恩确实，位置算符和哈密顿算符也是不对易的，测得粒子待在发散位置也没啥。因此这个问题又open了。
2011-07-18 14:46:14: L (此曲只应天上有，人间哪得几回闻)
lz是觉得x和H不对易所以当x取确定值的时候动能的不确定度是无穷吧？说H(x)是没有意义的？不过可以算某点动能的平均值也是无穷，无穷的能量在物理上是不允许的。嗯这个问题觉得open可以去组里发个帖看有没有好的解答。
2011-07-18 21:17:20: L (此曲只应天上有，人间哪得几回闻)
波函数本身的连续性就涉及到动量及能量是否发散的问题啊。我们要求动能不能无穷，波函数及其一阶导数就必须连续。我想楼主想的是既然p和x不对易，那么说x点的p值就没意义，于是说x点有无穷大的p或H也未尝不可~~ 我以前没这么想过。不过我觉得这里不连续造成的无穷是本身无穷，不是不确定度无穷。
2011-07-19 05:19:46: [;e^{i\pi}+1;] ([;\mathit{=……42};])
……不对易造成的不确定关系是要算算符平均值的，这个没办法直接看出来吧。波函数不连续，位置和位置平方仍然是可积的，至于动量和动量平方的积分里边因为有求导所以会蹦出来无穷大，不过不连续的地方只是一个点的话那……一阶导相当于一个连续函数的导数叠加一个delta函数？反正我觉得涉及到不确定关系的话就只能算，不过我还是觉得要么算出来一堆无穷大，要么算出来也不违反不确定关系，因为不连续函数本身可以用连续函数去接近吧……
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摘录如下：
2011-07-17 21:37:55: 林喵之 (嗯哼？)
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2011-07-18 08:07:55: çµπ0xff (oh my little lady)
恩确实，位置算符和哈密顿算符也是不对易的，测得粒子待在发散位置也没啥。因此这个问题又open了。
2011-07-18 14:46:14: L (此曲只应天上有，人间哪得几回闻)
lz是觉得x和H不对易所以当x取确定值的时候动能的不确定度是无穷吧？说H(x)是没有意义的？不过可以算某点动能的平均值也是无穷，无穷的能量在物理上是不允许的。嗯这个问题觉得open可以去组里发个帖看有没有好的解答。
2011-07-18 21:17:20: L (此曲只应天上有，人间哪得几回闻)
波函数本身的连续性就涉及到动量及能量是否发散的问题啊。我们要求动能不能无穷，波函数及其一阶导数就必须连续。我想楼主想的是既然p和x不对易，那么说x点的p值就没意义，于是说x点有无穷大的p或H也未尝不可~~ 我以前没这么想过。不过我觉得这里不连续造成的无穷是本身无穷，不是不确定度无穷。
2011-07-19 05:19:46: [;e^{i\pi}+1;] ([;\mathit{=……42};])
……不对易造成的不确定关系是要算算符平均值的，这个没办法直接看出来吧。波函数不连续，位置和位置平方仍然是可积的，至于动量和动量平方的积分里边因为有求导所以会蹦出来无穷大，不过不连续的地方只是一个点的话那……一阶导相当于一个连续函数的导数叠加一个delta函数？反正我觉得涉及到不确定关系的话就只能算，不过我还是觉得要么算出来一堆无穷大，要么算出来也不违反不确定关系，因为不连续函数本身可以用连续函数去接近吧……
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我来补全ls的H+p→He+γ (Only Game in my Life~) 2011-07-19 19:31:32
《量子力学专题分析》上册第一章。第一页就开始了。
http://ishare.iask.sina.com.cn/f/1587086 3.html
谢谢楼上。把相关部分抄下来吧：Lynne 2011-07-19 21:18:45
在坐标表象中……由于位置的本征值r可以连续变化，量子态在r表象中的表达式，即波函数ψ(r)的连续性及微商存在与否的问题才提了出来。有些教材中对此有不恰当的提法，甚至把它作为基本原理中的一部分来对待。但实际上，如果不采用r表象，而采用具有分立谱的力学量完全集的共同本征态|n>作为基矢的表象，则量子态将用一系列分立数，即波幅|a_n|=|<n|ψ>|来表述。此时，就根本谈不上它的连续性问题。
举例：δ势场波函数一阶导数不连续
……正如M.Baranger强调过的那样，波函数ψ(r)及其各阶微商的连续性问题，应该从Schrodinger方程出发，根据V(r)的性质来决定。显然，如果V(r)是r的连续函数，根据Schrodinger方程，△ψ(r)必定也是连续的，因而ψ(r)及其一阶导数必定也是r的连续函数，但如果V(r)不连续变化，或有某种奇异性，则对ψ(r)及其微商的连续性要做具体分析。对于不连续变化的一维方势，M.Baranger曾仔细证明了如下定理：对于阶梯方势，粒子的波函数ψ(r)及其微商ψ'(r)是连续的。但当势->∞时，此定理不成立。证明……
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- @Tabris
端阳 (别作践自己) 2011-07-24 04:50:14
波函数（位置表象）的单值性和连续性是必须保证的一个假设前提（一次微分并不一定）。首先，问题的关键在于入手，即必须以薛定谔方程入手，而不能从波函数入手讨论问题。或者这样说，我们不能凭空构造波函数（这就是所谓的非物理），使它成为“具有有限个第一类间断点的函数”，而应从势函数入手解薛定谔方程，而在求解的过程中，我们根据势函数的奇点并附加上“波函数在奇点（或其临近）的连续性”的讨论得出合理的解。
朗道第三卷$18
顺便问一句，http://www.douban.com/people/tabris/ 这个是你马甲不～～～
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- 朋友，凡是违背物理实在的理论都是扯淡，你记得，除非你再赋予它合理的解释，否则这个理论就需要被摒弃。
端阳 (别作践自己) 2011-07-26 22:50:48
你提到K-G方程的几率流不能正定，嗯，是这样的，在量子力学中，这正是我们摒弃它的原因之一。所以才有了后来的量子场论，把它解释为场方程，并将其量子化；反粒子的引入也解释了几率流的正定不是必然的。
以上是废话，我们开始讨论正题。
我们不妨将问题细化来讨论：
首先概率为负者均不考虑，其次左右极限不相同的也不予以考虑，然后：
1、波函数存在第二类间断点
a）左右极限都趋于正无穷（或是被条件限制，只能取单边极限）
这意味着粒子落入力心，但是心处不可到达。也就是说，波函数的变量在此点没有定义，但它在其定义域中依旧连续。比如电子绕核运动，但是永远不能与核重叠，但是我们仍可说，波函数在”全“空间连续。
2、波函数存在第一类间断点
a）可去断点
既然你已经对第一类间断点做了不负责任的讨论，那么我就不多说了，但是需要强调一点，我没有看你的论述，要是错了，我也不负责任。：）
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- 我接受你的纠正，我的确是在量子力学里学的K-G方程，但是薛定谔的确是因为此方程"gave the wrong fine structure for hydrogen"（温伯格卷一）才没发表它的，如果你有它“对实验做出准确预测”，你可以提出来；还有，你即使想说我是上帝，我也会用上帝的语言告诉你，我不是（徒[20,19]）。
端阳 (别作践自己) 2011-07-27 13:38:29
说实话，我一开始证有可去间断点的波函数不满足薛定谔方程，我就马上又用了波函数连续的假设。（好像落入逻辑循环了诶）因为，即使势场在某一的“有问题”，我们在解方程的时候也会假设此点连续，并以此得出解。你再容我思考一下。
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- @ 夏蝉
Tabris (人生的意义就是“等待与希望”) 2011-07-27 22:42:55
如果你要求它符合波恩诠释，就必须有限。
”a）左右极限都趋于正无穷（或是被条件限制，只能取单边极限）
这意味着粒子落入力心，但是心处不可到达。也就是说，波函数的变量在此点没有定义，但它在其定义域中依旧连续。比如电子绕核运动，但是永远不能与核重叠，但是我们仍可说，波函数在”全“空间连续。 "
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如果波函数有极点，它只需要归一后也是个不错的波函数，至于极点物理上认为是连续的，意义就是粒子处在那个位置，动量本征态就是一个很好的例子，你的论断不成立。
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- @Tabris
端阳 (别作践自己) 2011-07-30 03:33:28
2、为了讨论[;z;]在无穷远点，我们可是做变换[;z=1/t;]，然后讨论[;t;]的零点。当然，经过变换后，如果[;t;]的函数在零点连续，则[;z;]在无穷远点也连续；可是如果t的函数在零点不连续，则[;z;]在无穷远也非连续。如果你认为“零点和极点在复变函数里都可等同连续点”，请你给出参考文献的具体章节。
3、如果[;z_{0};]是方程[;w''+p(x)w'+q(x)w=0;]的奇点，则[;z_{0};]也可能是方程解的奇点。比如勒让德方程[;(1-x^{2})w''-2xw'+\mu(\mu+1) w=0;]，很显然0是它的常点，-1，1，无穷远点是它的三个正则奇点。它的通解可写为 [;w=AP_{\mu}(x)+BQ_{\mu}(x);]，其中[;P_{\mu}, Q_{\mu};]分别为第一类和第二类勒让德函数。由勒让德函数的性质，我们可以看到，-1，1和无穷远点也是这个解的奇点。
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彝圪學殅 (@work!!) 2012-09-08 19:09:35
想当年就是这个帖子吸引我注册豆瓣的= =
现在大家讨论出结果来了吗？当时我是被两位的讨论搞得头昏脑胀……我早就忘记数学上那些连续可导奇点之类的概念了……
后来就这个问题我请学弟帮我请教过钱伯初老师，得到的答案是：
1、目前为止发现的所有波函数都是连续的；
2、他认为波函数必须连续，但是波函数的一阶导可以不连续，比如delta势井和无限深势井。他说就此问题他和曾谨言讨论过，一致认为前苏联那本布洛欣采夫的书里说波函数及其一阶导都必须是连续的是错误的。
（关于这点我还是存疑，因为我们都知道delta势井和无限深势井都是理想模型，真正搞实验是是不存在点粒子和无穷大能量的）
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cmp0xff 才 (添加签名档) 2012-09-08 22:32:15
想当年就是这个帖子吸引我注册豆瓣的= = 现在大家讨论出结果来了吗？当时我是被两位的讨论 想当年就是这个帖子吸引我注册豆瓣的= = 现在大家讨论出结果来了吗？当时我是被两位的讨论搞得头昏脑胀……我早就忘记数学上那些连续可导奇点之类的概念了…… 后来就这个问题我请学弟帮我请教过钱伯初老师，得到的答案是： 1、目前为止发现的所有波函数都是连续的； 2、他认为波函数必须连续，但是波函数的一阶导可以不连续，比如delta势井和无限深势井。他说就此问题他和曾谨言讨论过，一致认为前苏联那本布洛欣采夫的书里说波函数及其一阶导都必须是连续的是错误的。 （关于这点我还是存疑，因为我们都知道delta势井和无限深势井都是理想模型，真正搞实验是是不存在点粒子和无穷大能量的） ... 彝圪學殅波函数怎么测啊，我觉得他不怎么能全部测出来
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- 从数学上可证明，如果势能有界，波函数及一阶导数都连续。
海之情号 2013-08-06 22:01:50
但势能在某一点附近无界，波函数就有可能不连续。
当然现实中势能都是有界的，势能无界的情况现实中是不存在的，只能作为现实状况的某种极限情况，或者纯理论上的推导。
然而，或许有一天会发现无限大势能的某种真实的物理意义。
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