blackhole01 当一个物体的Schwarzschild半径与de Broglie波长相当

宇宙间时空分辨率的极限——普朗克长度和普朗克时间

作者： physixfan /*在《套套神教圣经·创世纪》里，我提到了空间最小单元普朗克长度和时间最小单元普朗克时间的说法，估计很多人不知道这是什么意思，故写此文来科普一下。本文不需要学过量子场论等高端课程就可以阅读 只要不求甚解即可...*/
我要是说，在我们真实生活的宇宙里，时空其实是分立的而不是连续的，也许很多人会感到很惊异觉得这是一种科幻。但是一部分激进的理论物理学家的确是这么认为的，我也很认同这种观点。分立的时空格子的尺度，被称作普朗克长度和普朗克时间。首先给出它们的表达式和大小吧：
普朗克长度：ℓ P =ℏGc 3   − − −  √ ≈1.616199(97)×10 −35 m 
普朗克时间：t P =ℏGc 5   − − −  √ ≈5.39106(32)×10 −44 s 
其中ℏ  是普朗克常数，c是光速，G是万有引力常数。没错，普朗克长度和普朗克时间的表达式，正是由宇宙间最基本的三个常数组合而成的具有长度、时间量纲的物理量。高中时候就见过这个看起来很神奇的表达式，不过一直不知道其物理含义到底是什么，为什么就可以代表时空的最小分辨率。直到今年上的量子场论和物理宇宙学两门课让我略懂了其物理内涵。
首先要知道的是，目前描述我们这个宇宙的最基本最底层的理论之一是量子场论，而我们有很充分的理由相信，量子场论里存在一个物理的能量截断，即量子场论只有在能量低于这个截断能量的时候才有意义。这一段后半部分的内容直接摘抄自刘川的量子场论讲义：对于一个有相互作用的量子场论来说，由于量子涨落的“虚过程”可以在任意能动量发生，因此，如果理论不存在某种能动量截断，那么由于长是互相作用的，一个低能动量的模式就可以通过虚过程与无穷高能动量的模式发生相互作用，这就造成了场论中的“紫外发散”（即计算得到的结果是无穷大）。而如果量子场论中存在一个物理的能动量截断，它就可以保证所有的量都不发散。这个截断的具体形式其实对于远低于截断能标的物理来说并不重要，因为低能区的物理对截断的形式并不敏感。重要的是，这个截断是存在的，而且它是相互作用量子场论不可或缺的组成部分。
然后，根据不确定性关系这一量子力学的基本原理，
ΔxΔp≥ℏ 
ΔtΔE∼ℏ 
能动量存在着一个上截断，就意味着时空存在着一个下截断。即空间存在最小分辨率。
以上从量子场论的角度，分析了这样一个时空最小分辨率的存在性，但是并没有给出它的具体形式。其具体表达式则是由宇宙学中对量子引力极限的估计给出的。
众所周知，如果一个物体的半径相对于其质量小到了一定程度，它就会形成黑洞。形成黑洞所需要的质量和半径的关系由所谓的Schwarzschild半径给出，它是通过解Einstein方程得到的解：r s =2Gmc 2    ，其中G和c仍是万有引力常数和光速，m是质量。当质量为m的物体的半径小于Schwarzschild半径时它就成了一个黑洞。
另一方面，基本的量子力学知识告诉我们一个物体的de Broglie波长为：λ=2πℏp   ，其中p为动量。
量子引力极限的估计是这样的：当一个物体的Schwarzschild半径与de Broglie波长相当时，那么对这个物体的研究就必须知道黑洞内部要如何描述，即现有的一切物理理论都失效了，必须使用量子引力论来处理（而自洽的量子引论人类还没有建立起来）。联立Schwarzschild半径与de Broglie波长的表达式让他们相等，再加上质能关系E=mc^2和极端相对论性条件E=pc，就可以解出这个长度究竟是多大了。忽略掉并不改变数量级的常数之后，得到的结果正是：普朗克长度。普朗克时间的计算其实只要由普朗克长度除以c就可以得到。
如此一来，我们就已经清楚普朗克长度和普朗克时间的物理意义了：它确确实实是宇宙时空的最小分辨率，如果想探测比这更小的时空，你所使用的能量会如此之高以至于它自己会形成一个黑洞。
不过其实时空到底是分立的还是连续的，对人类生活一点影响都没有。普朗克长度和普朗克时间实在是太小太小，以至于夸克和电子的尺度都比它要大好几十个数量级呢。