【问题】关于规范场与规范对称_相对论吧_百度贴吧
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比如，对于一个球面，我们不可能用一个连通的开集去覆盖它，这是空间内禀性质 .... 结果的，不过在积分表述中，我们可以寻找路径避开它,当然整体上是无法避免的。http://bbs.big5.voc.com.cn/topic-3434194-17-1.html
http://tieba.baidu.com/p/1127509529?pn=3
http://spe.sysu.edu.cn/course/course/4/build/Mathr.htm
3.2量子力學公理化體係的內在邏輯分析
與牛頓的經典力學體係類似，量子力學是在波粒二象性物質觀的基礎上，把波函數假設、算符假設、測量公設、薛定諤方程和全同性原理看做基本假設建立起來的。當然也有學者對此有一些不同的看法[15]。
我們知道，量子力學的基本出發點是能量量子化，由海森堡(Heisenberg)不確定原理可知空間和時間具有最小單元，就無法對芝諾的第三個和第四個悖論做出合理的解釋。
我們也知道，按照量子力學原理的“哥本哈根”解釋，包括波函數統計解釋、波函數塌縮、不確定原理和互補原理四個方麵[16]，其中波函數統計解釋是指波函數絕對值的平方|Ψ（r，t）|^2表示在t時刻r位置附近單位體積內找到粒子的概率，而相因子的不確定性卻並不引起量子力學體係物理狀態的改變。但阿哈朗諾夫(Aharonov) -玻姆(Bohm)效應和阿哈朗諾夫—凱瑟爾(Casher)效應等一些實驗卻表明相因子也具有物理效應[17]。這樣看來，波函數統計解釋並沒有窮盡量子力學的規律，本質上應該是不完備的[18]。另一方麵，由於這樣的解釋本質上是非定域的，愛因斯坦等人於1935年提出EPR悖論進行詰難，引起愛因斯坦與玻爾(Bohr)之間的長期論戰，人們也逐步發展起量子力學的多種解釋[161。
“關於量子力學解釋，你更相信哪一種？”1999年7月，英國劍橋大學牛頓研究所對到訪的理論物理學家進行了一次調查結果如表1所示[19]。
表1 關於量子力學解釋的調查結果
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量子力學解釋 投票數(90)
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哥本哈根解釋 4
多世界解釋/一致曆史 30
隱參量解釋 2
修正的量子動力學 4
其他解釋（括未決定者） 50
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這樣看來，你到底相信哪一種，完全取決於你自己。物理學家是很實用型的，他們隻專注於量子理論的應用，而根本不顧及其基礎是否堅實可靠。
3.3粒子物理標準模型的內在邏輯分析
哥德爾不完備性定理也意味著從來就沒有既自洽又完備的終極理論，我們物理學追求物理學理論的統一已經做了哪些工作，還存在什麼問題呢？
粒子物理的標準模型是涉及當今世界技術能達到的最小尺度的微觀規律的理論，也是可重整的理論，它包含弱電統一理論和量子色動力學兩個方麵，是目前關於粒子物理最成功的理論。但它還不能稱為真正的統一理論，因為弱電統一理論不僅包含兩個獨立的規範群和兩個獨立的耦合常數，而且其中起關鍵作用的希格斯(Higgs)機製也未經證實，這涉及對稱性破缺的本質問題。而量子色動力學是最有希望的強相互作用理論，但也隻能定性地解釋漸近自由現象，這涉及誇克禁閉的疑難[20-22]。而對稱性破缺的本質和誇克禁閉的疑難正是粒子物理學麵臨的兩大難題，也是最核心的兩個問題，所以粒子物理的標準模型取得巨大成功並不能掩蓋其本質問題的困惑，正如同牛頓力學取得了巨大的成功不能掩蓋其邏輯基礎的內在矛盾一樣。
3.4大統一理論的內在邏輯分析
在規範理論的基礎上，人們設想把弱、電磁和強三種基本相互作用統一起來，這稱為大統一理論。在幾個最簡單並且有吸引力的大統一模型中，有SU (5)模型、SO (10)模型和E6模型等，其中SU (5)模型是能容納粒子物理標準模型的最簡單的擴充。這些統一理論都可以對三種基本相互作用的統一給出較好地分析和解釋，但它們也存在一些基本的問題，最重要的是規範等級問題，還有“沙漠”問題、磁單極子問題等等，SU (5)模型預言的質子衰變也尚無明確的實驗證據。雖然這些問題都可以通過修改模型而彌補，但模型就會變得很複雜，因而減少了吸引力，到現在為止還沒有一個唯象上滿意的模型。通過引入超對稱性而構造的超對稱大統一理論雖然比較好，但也存在類似的問題[23]。
3.5超大統一理論和弦理論的內在邏輯分析
比大統一理論更迸一步的想法是把引力作用也和弱、電磁、強相互作用在規範理論的基礎上統—起來，但由於引力子是點粒子，沒有辦法在傳統規範理論的框架下實現引力場的重整化問題。
對於弦理論，它假設物質的基元是弦，而非點粒子。將超對稱弦理論和超引力理論結合，就產生了超弦理論。超弦理論是目前量子引力的唯一候選者，它沒有紫外發散，弦的振動譜也自動包含了引力子[24-25]。但是，它也存在不少需要解決的問題。首先，弦理論是一個10維時空而不是4維時空的自洽的理論，而由10維時空到4維時空的緊致化方式有上百萬種，究竟其中哪一個反映自然界的真實變化？其次，自洽的超弦理論還存在5種不同的弦理論，即I型弦理論、IIA型弦理論、IIB型弦理論、SO(32)雜化弦理論和E8×E8雜化弦理論，它們盡管可以通過對偶性聯係起來，但這種對偶性的數學基礎還遠沒有建立起來。所以，客觀來說，這個理論所麵臨的問題還有很多。
4、結語
可見，任何一個物理學的知識體係，從芝諾悖論和自洽性及完備性的方麵來考察，總有不盡完美的地方，這就是哥德爾不完備性定理給我們設定的極限！從這個角度考察問題，我們的思維會更豐富一些，我們的認識會更深刻一些。這正是科學發展的內在動力[26]！
當然，我們這樣處理的前提是沿著希爾伯特的思路假設物理學知識體係是可以公理化的，才能進一步考察它的自洽性及完備性方麵的問題。如果物理學知識體係本身不可以公理化，或者公理化的方法隻是近似有效，或者物理學知識體係本身不是嚴格的邏輯體係，不受芝諾悖論和哥德爾不完備性定理的約束，我們的分析就不具有絕對的意義。畢竟，截止目前為止的幾乎所有實驗，並不存在與相對論和量子力學的一般結論有直接矛盾的地方。
所以，物理學是一門實驗學科，邏輯基礎是它的一個重要基礎，而實驗基礎則是其更重要的基礎。在與實驗相符合的過程中現代物理學逐步發展和深化，也預示著它在一步一步地接近真理，這也正是哥德爾先生所期待的科學精神——形式邏輯係統永遠不可完備，但永遠可更完備
一個粒子的自旋為0，這個粒子就好象一個數學上的點，無論怎麼轉動，或是不轉動，在任何方向看都對稱性不變!點還是那個點。這就相當於笛卡爾數學坐標係上的實數點，無限稠密亦無限稀疏。在物理上它就是一個沒有方向性的標量，由坐標量決定的一個場f（x，y，z）也即標量場。所以，由此定義下的希格斯粒子也是一個由標量粒子決定的標量場。如果回顧早期物理學關於“以太”的定義，你就會發現，希格斯粒子就是“以太”粒子，希格斯場也就是“以太”場。在物理機理上，引力子及引力場，希格斯粒子以及希格斯場的相比較，希格斯粒子是使得標準模型質量為0的粒子獲得質量，而引力子則是使得兩個具有質量的物質，發生引力相互作用。
A particle spin is 0, this particle as if a mathematical point, regardless of how rotating, or does not rotate in any direction are the same symmetry! Point is that point. This is equivalent to a Cartesian coordinate system on the mathematical point of real numbers, infinite is also infinite dense sparse. Physically it is a scalar-directional, the amount determined by the coordinate of a field f (x, y, z) is the scalar field. Therefore, under this definition is a Higgs scalar particles determined by a scalar field. If one looks at the early physics on "Ether" is defined, you will find that the Higgs particle is the "ether" particle, the Higgs field is the "ether" field. In the physical mechanism, the graviton and the gravitational field, the Higgs particles, and the Higgs field compared to the standard model Higgs boson mass is such that particles acquire mass is zero, and the graviton mass is such that the two have substances that occur gravitational interaction.
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如果我們回顧一下物理學的基本原理，就可知悉，使得物質獲得所謂質量的原因，在於空間的非完全對稱性所形成。而不同空間的對稱性，將導致出現不同的“物理荷”，在引力空間獲得“引力荷”，在電磁空間獲得“電荷”，磁荷也即磁單極，雖然在理論上，被狄拉克所預言，至今仍未發現，但物理學最新的“王粒子”理論，使得“磁單極”出現了新的理論契機。如前所述，希格斯粒子以及能量場是一個標量，也即它的存在空間，是一個9維度的笛卡爾凸空間，此空間是一個絕對對稱之空間，並不存在非對稱的物理場量。按照廣義相對論的理論描述，導致引力產生的是空間之彎曲，並且在實驗上，不存在任何於此相悖的反例，所以，關於引力是空間的彎曲，是對引力特征的一個正確數學描述。
If we look back at the basic principles of physics, we can know, making the substance to get the so-called quality reasons, that space is not completely formed by symmetry. The different spatial symmetry, will result in different "physical load" in the gravitational space was "gravitational charge", in the electromagnetic space access to "charge", ie magnetic monopole magnetic charge, although in theory, be Dirac the prophecy has not yet been found, but the physics latest "king of particles" theory, the "magnetic monopoles" the emergence of new theoretical opportunity. As mentioned earlier, the Higgs particle and energy field is a scalar, that its existence space is a nine dimensional Cartesian convex space, this space is an absolute symmetry of the space, there is asymmetric physical field volume. According to the theory of general relativity describes, resulting gravitational space curvature is generated, and in experiments on the contrary there is no counter-example to this, so the gravitational bending of space, gravity is characterized by a correct mathematical description.
数学预备（1） ——矢量、坐标系、立体角与重积分 （教材P112）
物理量分类: 标量，矢量和张量 (scalars ,vectors and tensors)
标量（0阶张量）——无空间取向，只需要一个数值即可表示的量。
例如，长度，时间，质量，能量，电势（电
矢量（1阶张量）——有一定的空间取向的量，在一般的三维欧氏空间中，这类量可分解为3 个有序分量。例如，质点 的位置矢量，速度，动量，角动量;电场强度，磁电场强度，等。 二阶张量——这类量有着比矢量更复杂的空间取向，在一般的三维欧氏空间中，二阶张量可分解为9 个有序分量。 例如，刚体的转动惯量，电荷系统的四极矩，等。还可以定义更高阶的张量
矢量表示
印刷——用黑体字母，如 r , A
书写——在字母上方加一箭头
1 .矢量的点乘和叉乘
(1)矢量的点乘（标积）:矢量 A与B 的点乘定义为标量A·B =AB cosq
非黑体的A和B，分别表示矢量A和B的数值，q 是两矢量的夹角.按此定义，显然有
A·B = B·A （矢量的标积满足交换律） 正值
当0 ￡ q < p / 2 A·B = 0
当q = p / 2 （两矢量正交） 负值 当 p / 2 < q ￡ p
(2)矢量的叉乘（矢积）:矢量 A与B 的叉乘定义为矢量C = A×B
其值为A·B =AB sin q
即等于以这两个矢量的长度为邻边构成的平行四边形的面积
规定：作为运算结果的矢量C ，垂直于A和B 构成的平面，其方向遵从右手螺旋规则——
设想 A 沿q 角（小于p ）旋转到 B（以右手弯曲的四指表示旋转方向）， 则螺旋前进的方向（右手母指的方向）就是C 的方向.按此规定，显然有
A×B = -- B×A （矢量的矢积不满足交换律）
而且,当q =0 或 p，即两个矢量同向或反向时，矢积为零：A×B = 0
2.坐标系、立体角（教材P117）和重积分
（1）直角坐标系（笛卡儿坐标系）
沿三个坐标轴正方向的单位基矢：
任一点P的坐标：
P点的位置矢量：（x, y, z）
P点处任一矢量：
沿三个基矢方向的无限小线元为:dl1 = dx, dl2 = dy, dl3=dz
与三个基矢正交的无限小面积元为:
dS1 = dl2dl3 = dydz
dS2 = dl3dl1 = dzdx dS3 = dl1dl2 = dxdy
无限小体积元为dV = dl1 dl2 dl3 = dxdydz
（2） 一般的曲线正交坐标系
除了直角坐标系之外，我们还常常根据具体问题的需要，采用曲线正交坐标系，例如球坐标系和圆柱坐标系.
对于一般的曲线正交坐标系，空间任一点P的坐标以(u1 ,u2 ,u3)表示，沿u1 ,u2 ,u3 三个坐标增加方向的基矢量
 互相正交.
一般地，随 P点位置变动，三个基矢的方向将发生改变.
沿此三个方向的无限小线元为dl1 = h1du1 dl2 = h2du2 dl3 = h3du3
h1 ,h2 ,h3 称为度规系数，一般是坐标 (u1 ,u2 ,u3)的函数.
P点上的矢量F 可以分解为
(3)球坐标系
任一点P 的坐标为: u1 = r ,u2 =q ,u3 =f
r ——P点离坐标原点O的距离，变化范围：0≤r <∞
q——O与P的连线与 z 轴（极轴）的夹角，称为极角，变化范围：0≤q ≤p
f ——O与P’ 的连线对x 轴的夹角，其中P’是P点在xy平面的投影，
f 也称为P点的方位角，变化范围：0≤f ≤2p
 
P为原点建立的球坐标系基矢:
分别沿三个坐标增加的方向
P点的直角坐标 （ x, y, z ）与球坐标 ( r, q , f ) 的变换关系为
x = r sinq cos f , y = r sinq sin f , z = r cosq
当坐标有无限小增量dr，dq , df , 则三个无限小线元为
dl1 =dr , dl2 = r dq ,dl3 = r sinqdf
三个度规系数为
h1 =1, h2 = r, h3 = rsin q
以r为半径的球面元为
dS = dl2dl3 = r2 sinq dqdf = r2dW
其中，dW 称为dS对O点张开的立体角元
将d W 对任意半径的球面积分，均得到
事实上，由于dS1 和dS2 对O点的立体角元相等，故容易证明：
任意闭合曲面S 对其内部任意一点所张的立体角均为4p.
由于球面元 dS = r2dW，故半径 r =a 的球面积
无限小体积元为
d V = dl1 dl2 dl3 =r2 sinq dr dq df = r2drdW
将dV对半径为a 的球体积分，给出此球的体积
问题：内、外半径分别a 和b为的球壳体积是多少？
(4)圆柱坐标系
任意一点P的坐标为 u1 = r , u2 = f , u3 = z .
坐标变化范围： 0 ≤ r <∞ , 0 ≤ f ≤ 2p , -∞ < z <+∞
以P为原点建立的正交坐标系，沿三个坐标增增加方向的基矢量为
P的坐标(r ,f , z)与(x ,y ,z)的变换为
x = r cosf ， y = rsinf ， z = z
当坐标有无限小增量dr，df ，dz , 则三个无限小线元为
dl1 = dr ， dl2 = rdf ， dl3 = dz
 
三个度规系数为h1 = 1 , h2 = r , h3 = 1
圆柱侧面的面积元为
dS r = dl2 dl3 = r d f dz
半径为 r= a ，长为 l 的圆柱侧面积为   
圆柱端面的面积元为
dSz = dl1 dl2 = r drdf
无限小体积元为
d V = dl1 dl2 dl3= r drdfdz
半径为a，长为 l 的圆柱体积为
内外半径分别为a和b ，长为 l 的圆柱壳体积是多少？
数学预备（2） ——矢量分析简介 （教材P845）
经典场 (classical fields) 概念
如果一个物理量是空间坐标的函数（连续的或存在间断点的），我们就把这个物理量在空间的分布看成一个“场”.
例如
温度场——温度在空间或物体内的分布函数T（x,y,z），这是标量场
流速场——流体的速度分布分布函数v (x,y,z ) ，这是矢量场
如果温度和流速的分布还与时间t 有关，那么它们就都是空间和时间的函数：
T = T （x,y,z，t ）
v = v (x,y,z, t )
电磁场
经典电磁理论把传递电磁作用的物质，看成是“连续分布的物质”，这种物质就是电磁场
电磁场由带电物质产生，并以下面的物理量描述：
电场强度分布函数 E(x,y,z)
磁感应强度分布函数B(x,y,z ) ,或磁场强度分布函数H(x,y,z)
两者都属于矢量场
也可用标势和矢势描述电磁场
标势分布函数φ(x,y,z) 构成标量场（或以U表示）
矢势分布函数A（x,y,z）构成矢量场
在相对论电动力学中，电场强度E 和磁感应强度B，统一成电磁场张量.
以后，我们都用某点的位矢r 表示这点的坐标(x,y,z,).如E(x,y,z) = E(r)
标量场的梯度（gradient of a scalar field）
在直角坐标系中，无限接近的两点P与P'之间，线元矢量dl分解为
标量场φ 在P点的值：φ（ r）
在P'点的值：φ(r +dr)
在这两点之间，φ的无限小增量——全微分为
我们称
为标量场φ在P点的梯度，它是一个矢量. φ在所有点上的梯度构成矢量场
我们看到，微分算符（读作“del” ）
 具有矢量性质, 它作用于标量函数 f 的结果，变成一个矢量函数. 若P'与P两点处于标量场φ的同一等值面，即线元矢量dl沿此等值面的切向，此时dφ=0，这意味着P点上的矢量 必定沿等值面的法向. 仅当线元矢量dl与此等值面的法向一致，即dl = dn时，dφ才有最大值：   大家将看到，某点上电势（或称电位）函数U 的梯度之负值，等于该点的电场强度E (矢量函数) ：  在球坐标系中，标量场φ的梯度  而在圆柱坐标系中 
微分算符对矢量函数E 的有两种运算方式:
E 的散度（divergence）：
 是一个标量 E 的旋度（rotation, 或curl）  则是一个矢量 高斯定理和斯托克斯定理   高斯定理： 对任意闭合曲面S及其包围的体积V，下述积分变换定理成立：  左方表示矢量场A通过闭合曲面S 的净通量（net flux） 右方表示矢量场A在V 内所有点的散度对V 的体积分 规定：闭合曲面面积元矢量dS 沿曲面的外法线方向 斯托克斯定理： 对任意的闭合路径L所围的曲面S，下述积分变换成立:  右方表示矢量场A在曲面S所有点的旋度通过S的通量（ flux） 规定：无限小的闭合路径L围成的面积元矢量dS ， dS的方向与路径L的绕行方向成右手螺旋关系  转载]关于开集(2012-11-24 22:07:19) 邻域 phymath999
在拓扑空间中，有这样一类集合。它们可能包含有无数个点，但在这无数个点中，某一些点的极限点却与这些点天各一方，人鬼殊途：我们在集合内，却眼巴巴地望着集合外的你。换一个说法，当你孜孜不倦地在集合里找点的时候，这一列点总能一个接一个地被你找着，但在那无穷大的另一端，永远有那么一个点完成了质的飞跃，与身后无穷多个弟兄们挥手告别，跨过顶着大括号的集合边界，幸运抵达了幸福的彼端。这个时候，我们便称这个点“极限点”，称这类集合为“开集”。
从人生意义上来说，开集们表现得十分励志：不像它的弟兄闭集，把出去的路全都封死了，普通点极限点都给老子老老实实待在肚子里，开集则告诉大家：路在脚下：只要追随极限点，飞跃的光芒就在前方！可科学往往相悖于直觉。在实际操作中，大家却不愿意看到开集的身影。在欧几里得空间里，开集一定不紧。所以每当开集带着他的励志点点们出现在我们的视线中时，紧集的许多有益身心健康的定理与结论都无法应用，闹得学生们，特别是经济系的学生们抓耳挠腮思前想后，直想着挠出一个条件开集变闭集。好让集合上面那传说中的连续函数的最值点别恰好是天人相隔的极限点。
不幸的是，开集不进在草稿纸上祸害同学，还在现实生活中大展拳脚。张俊山老先生曾经在园阶举过这么一个例子：
“一开始是出去上个厕所，书包暂时放在位置上，这很正常；之后是人还没到，书就占着地儿，这就有点不对劲了；再之后，人想，既然都得放书，我干嘛不放没用的书？于是什么读者什么的都出现了；发展到现在，干脆连书都不要了，我就贴个条吧。”
张老先生根据自己的学科背景，把这个现象叫做“异化”，指的是原来一个很正常、很合理的事情慢慢就变得不正常、不合理了。但我们不妨套用一下开集的概念，就会发现在“占座”这一列点上，存在着那么一个点“嘣”一下越过了合理这一开集的禁区，实现了质的飞跃，为占座事业做出了突出的贡献，使其进化成最终形态，贴条占座。
不单单是贴条占座，传谣也是在“真实”这么一个开集上飞跃出来的。举一个极端的例子，A跟B说彩票中了两块钱，转天A正吃这火锅，Z跑过来就是一句，你小子中了两亿？当然，现实生活中这情况基本不会发生，但“死亡35人”、“秋裤的故事”等等极限点们实在显示不出其原有励志色彩，反而时不时透出几股阴森的气息。
一般的说法是，规范场是由“不可积相位因子”所导致的，为了解决掉不可积的相位因子，就产生了与物质场相耦合的规范场，以保证规范变换下整个体系的某些性质保持不变。
这个不可积，指的是对什么的不可积？ 举个例子，如果规范场是无旋的(静电场)，那它在空间中显然可积，不可能出现沿着不同路径能积出不同结果的现象。这岂不没有意义了？ 
建议您看两篇文章
（1）Integral Formalism for Gauge Fields，杨振宁教授发表于1974年，美国物理评论快报 （2）这是杨振宁教授发表在美国物理评论D的论文，关于磁单极，和Tai Tsun Wu合作的，发表于1975年。您可以谷歌一下很好找的。 关于不可积相位因子为什么是规范场的积分形式，这两篇论文是原创的。
这两篇文章的重要性，可能要远远超出现有的物理学界的认识。
不可积相因子是规范场的内禀形式。很多物质与规范场的耦合用微分形式可以描述，但并不是所有的作用都可以。只有用规范场的积分形式才能完备的描述规范场的所有作用。 路径依赖性也是场空间拓扑性反映的需要。比如，对于一个球面，我们不可能用一个连通的开集去覆盖它，这是空间内禀性质决定的，因此路径的依赖是不可避免的。
额...都没看懂...我不知道规范场理论是谁教你的哎...
一般来说，场量都存在一个不可观测相位角，理论上讲相位角是非可观测的。所以当初杨老就有了一个想法，即认为任何正确的物理理论，都不应该依赖于场量的相位角。这才是规范理论的初衷... 但是后来很快发现，这个要求太“低”了，由于Lagrangian很容易满足整体规范对称性，所以又把上面的思想推广成为“定域规范变换”，这就使得量子场论成为了定域场论，也是因为这样的推广可以给出Lagrangian里面的相互作用相~~~ 这个才是规范理论的整体的物理图像...你要是不信，可以找Peskin的量子场论的书去看，或者直接找我发过的笔记，上面也有Yang-Mills两个人当年发过的原文~~所以我不懂你说的“不可积相角导致需要引入规范场”这是怎么回事~~ 另外你后面说的我也不知道是要表达什么意思...电场本身不是电场相互作用中的规范辅助势，你这里说对它积分与规范变换有啥关系？以及你这里所说的“规范场”到底指的是规范辅助势场还是规范场强呢？前者是U（1）群的联络部分，而后者是协变导数对易关系来确定的，所以不清楚你说的是哪一个...  您和楼主都没有说错，呵呵，只不过您们两人在诉说规范场的两种不同形式，所以还没有找到交集。 规范场有两种形式，一种是微分形式，即魏尔所发现的规范场。还有一种不太为人们所注意，那就是狄拉克所发现的电磁场的积分形式。 1954年，杨振宁教授将前一种微分形式推广到非阿贝尔结构，并首次将规范不变性作为物理法则之一。二十年后的1974年，杨振宁教授将后一种狄拉克所发现的积分形式也推广到了积分形式，即规范场的不可积相位因子。见Phys. Rev. Lett. 33, 445–447 (1974) ，顺便说一下，这个工作也是受到广义相对论的影响，并导致规范场和纤维丛的联系，正是如此杨振宁教授才专门请simons（Chern-simons规范场的simons）到石溪州立大学讲一下微分几何的纤维丛部分。 从本质上来说，物理学家们所运用的规范场的微分形式，即最小耦合导数，是有缺陷的。而规范场哦积分表述正是解决这个问题。 简单来说，规范场方程中本身蕴含了奇异性，即有奇点的存在，这种奇点严重的影响着规范场微分方程，要注意的是，这里说的奇点是内禀奇点，比如球面的南北两极。但如果选择适当的路径变换就可以避免碰到奇点，即可以用基本群找到一个良好的路径。 而楼主所谈到的其实是规范场的平凡形式，即只存在一个标量场（静电场）的情形，这是可以做一个局域规范变换消除掉的，但是规范场确实存在奇异点涉及到整体效果，这是不能用局域规范变换消除掉的。比如Berry相位的存在就是显然的证明，即规范场的参数空间存在奇异性，因而出现整体效应,而这只能用规范场的积分形式描述（也就是不可积相位因子）。
嗯。。。我也觉得9楼有一种不大明白“什么叫讨论物理而不是讨论数学”的感觉，我们讨论的是物理问题而不是数学问题。什么样的是应用到物理上的数学，怎么以解决物理问题为目的去搞数学推导与运算，9楼还需好好体会一下。。。
如果您觉得不可积相位因子和规范场的积分表述是两回事，我建议您还是需要再看一下Integral Formalism for Gauge Fields。 前段时间，我与Berry教授就这个问题进行过很长的讨论。 您应该知道不可积相位之所以后来引起非常重要的重视就是因为Berry相位的工作吧。而Integral Formalism for Gauge Fields中对于不可积相位因子(闭路径)导致规范不变性有着明确的论述，这篇论文只有4页，您应该看一看的。 还有一个问题，您所提到的静电场的确是一个平凡的情形，对于一个处处无奇性的标量函数B，我们可以定义电磁势dB，其中d是微分算子。利用斯托克斯定理可以很容易的算出，这个庞加莱定理d*dB等于零（无旋）。所以对于相位没有贡献。当然前提条件B处处没有奇性。不过在您所说的情形中，还是有一个需要讨论的是，如果B=1/r，这里还有一个奇点r=0，这是会影响整个结果的，不过在积分表述中，我们可以寻找路径避开它,当然整体上是无法避免的。 有意思的是，不久之后，我会发表一篇相关的论文（一篇场论的论文，我想Berry教授心里是很关心这篇论文的，题外话了，呵呵），到时可以来大家讨论一下。 在回复楼主的帖子中，我已经透露了，这恰好是我前一段时间研究过的领域，如果不是我的领域，我还是不敢胡说的。您看了我列的两篇文章就可以明白了。等一下，我想想，您们提到的张永德教授应该了解这里，因为我知道他前段时间在研究相关的问题，您可以问问他，我说的到底是不是乱说呢？呵呵 让数学同行如此评价，深感无地自容，一定吸取教训，更加的努力学习。 连续统问题，是我最近关注的一个方向，只不过我确实是和量子力学一块儿研究的。说起来肯定有一种风马牛不相及的地方。 也许要完成这个图景之后，您才可能理解我确实也不是胡乱说。
回复21楼：
规范场积分微分的那部分，可以认为你说的还是正确的～但后面一些叙述表明一些物理概念你并不清楚……另外张老师已经很久不做科研了，但我知道你说的一些观点要是拿到他那去肯定不会被认同，因为他上课的时候和我们说过的一些物理上比较忌讳的想法，在这里你有所涉及，所以肯定会遭到他老人家的反对～ 其实我所说的确实是正确的，您可以看看李华钟教授的著作《简单物理系统的整体性——贝里相位及其他》，这本书里讲的很清楚的。 引一句复旦大学倪光炯教授的话吧“在1984年之后的很长一段时间，能真正的理解不可积相因子几何性‘拓扑性或者说整体性’的人，恐怕还只占少数”。 而且这部分内容写进高等量子力学的时间也并不长。从相对论吧里看来在这个问题上的发言之后，我确实觉得这个问题需要您们的重视。因为它还涉及到另一个问题的存在。 而这就涉及到整个西方，自麦克斯韦和爱因斯坦（甚至牛顿）以来的物理描述观念的出发点的问题。 其实我说他最近在关注这个问题，是因为我在arXiv上看到过他的相关论文就是2008年左右。另外他最近出了两本量子力学专著，其中有一章专门讨论这个问题。我注意到，他把他在arXiv上的论文的结论直接搬到书里了。 更重要的是，我注意到，他写这两本书的目的似乎就是为了arXiv上论文的内容。因为，除了这一部分之外，其他部分与他早期的书并无区别。 在我没有觉得逻辑上完美之前，我在连续统和量子力学本性上所说的都可能是胡说的。不过在这一楼规范场积分形式的问题上我确实没有胡说，因为胡乱发表论文说不正确的话，毕竟还是要被国际同行笑话的，而在前面的一部分内容，是被我写进论文的，当然这倒不是我的原创，我是从李华钟教授的著作《简单物理系统的整体性——贝里相位及其他》中学习到的。 PS 我发表论文的前提是，逻辑上完美无缺，否则我是不会轻易发表论文的，这一点我还是可以向您保证的。
回复24楼：
你引的第二篇文章关于磁单极的连老杨自己现在都不怎么愿意提了……跟你说，纤维丛的这个数学结构在数学上来看确实可以当做一个不错的数学模型来研究，包括磁单极这种模型也是。但是再漂亮的模型那也只是数学，是不算数的，原因很简单，因为实验上找不到磁单极～
他不是学数学的，只是学了一点点set论而已
我说了，我一开始叙述的东西的意义就不正确。。。
我所提到的东西并不是Berry的“不可积相因子”，而是在规范变换对称要求下，场的整体相位具有一个无法观测的不定积分因子，相位差才是可观测的，这就好比谈及“势”的时候并不存在一个绝对的零势点，只有势差具有观测意义。 这点云娘看出来了，所以他反而看不懂我说的啥。而你却被我这个错误表述绕进去了。 另外，建议你别用“您们”这种有严重用法错误的词汇行不？。
关于规范场与规范对称
一般的说法是，规范场是由“不可积相位因子”所导致的，为了解决掉不可积的相位因子，就产生了与物质场相耦合的规范场，以保证规范变换下整个体系的某些性质保持不变。
这个不可积，指的是对什么的不可积？ 举个例子，如果规范场是无旋的(静电场)，那它在空间中显然可积，不可能出现沿着不同路径能积出不同结果的现象。这岂不没有意义了？
建议您看两篇文章
（1）Integral Formalism for Gauge Fields，杨振宁教授发表于1974年，美国物理评论快报 （2）这是杨振宁教授发表在美国物理评论D的论文，关于磁单极，和Tai Tsun Wu合作的，发表于1975年。您可以谷歌一下很好找的。 关于不可积相位因子为什么是规范场的积分形式，这两篇论文是原创的。
这两篇文章的重要性，可能要远远超出现有的物理学界的认识。
不可积相因子是规范场的内禀形式。很多物质与规范场的耦合用微分形式可以描述，但并不是所有的作用都可以。只有用规范场的积分形式才能完备的描述规范场的所有作用。 路径依赖性也是场空间拓扑性反映的需要。比如，对于一个球面，我们不可能用一个连通的开集去覆盖它，这是空间内禀性质决定的，因此路径的依赖是不可避免的。
额...都没看懂...我不知道规范场理论是谁教你的哎...
一般来说，场量都存在一个不可观测相位角，理论上讲相位角是非可观测的。所以当初杨老就有了一个想法，即认为任何正确的物理理论，都不应该依赖于场量的相位角。这才是规范理论的初衷... 但是后来很快发现，这个要求太“低”了，由于Lagrangian很容易满足整体规范对称性，所以又把上面的思想推广成为“定域规范变换”，这就使得量子场论成为了定域场论，也是因为这样的推广可以给出Lagrangian里面的相互作用相~~~ 这个才是规范理论的整体的物理图像...你要是不信，可以找Peskin的量子场论的书去看，或者直接找我发过的笔记，上面也有Yang-Mills两个人当年发过的原文~~所以我不懂你说的“不可积相角导致需要引入规范场”这是怎么回事~~ 另外你后面说的我也不知道是要表达什么意思...电场本身不是电场相互作用中的规范辅助势，你这里说对它积分与规范变换有啥关系？以及你这里所说的“规范场”到底指的是规范辅助势场还是规范场强呢？前者是U（1）群的联络部分，而后者是协变导数对易关系来确定的，所以不清楚你说的是哪一个... 您和楼主都没有说错，呵呵，只不过您们两人在诉说规范场的两种不同形式，所以还没有找到交集。 规范场有两种形式，一种是微分形式，即魏尔所发现的规范场。还有一种不太为人们所注意，那就是狄拉克所发现的电磁场的积分形式。 1954年，杨振宁教授将前一种微分形式推广到非阿贝尔结构，并首次将规范不变性作为物理法则之一。二十年后的1974年，杨振宁教授将后一种狄拉克所发现的积分形式也推广到了积分形式，即规范场的不可积相位因子。见Phys. Rev. Lett. 33, 445–447 (1974) ，顺便说一下，这个工作也是受到广义相对论的影响，并导致规范场和纤维丛的联系，正是如此杨振宁教授才专门请simons（Chern-simons规范场的simons）到石溪州立大学讲一下微分几何的纤维丛部分。 从本质上来说，物理学家们所运用的规范场的微分形式，即最小耦合导数，是有缺陷的。而规范场哦积分表述正是解决这个问题。 简单来说，规范场方程中本身蕴含了奇异性，即有奇点的存在，这种奇点严重的影响着规范场微分方程，要注意的是，这里说的奇点是内禀奇点，比如球面的南北两极。但如果选择适当的路径变换就可以避免碰到奇点，即可以用基本群找到一个良好的路径。 而楼主所谈到的其实是规范场的平凡形式，即只存在一个标量场（静电场）的情形，这是可以做一个局域规范变换消除掉的，但是规范场确实存在奇异点涉及到整体效果，这是不能用局域规范变换消除掉的。比如Berry相位的存在就是显然的证明，即规范场的参数空间存在奇异性，因而出现整体效应,而这只能用规范场的积分形式描述（也就是不可积相位因子）。
嗯。。。我也觉得9楼有一种不大明白“什么叫讨论物理而不是讨论数学”的感觉，我们讨论的是物理问题而不是数学问题。什么样的是应用到物理上的数学，怎么以解决物理问题为目的去搞数学推导与运算，9楼还需好好体会一下。。。
如果您觉得不可积相位因子和规范场的积分表述是两回事，我建议您还是需要再看一下Integral Formalism for Gauge Fields。 前段时间，我与Berry教授就这个问题进行过很长的讨论。 您应该知道不可积相位之所以后来引起非常重要的重视就是因为Berry相位的工作吧。而Integral Formalism for Gauge Fields中对于不可积相位因子(闭路径)导致规范不变性有着明确的论述，这篇论文只有4页，您应该看一看的。 还有一个问题，您所提到的静电场的确是一个平凡的情形，对于一个处处无奇性的标量函数B，我们可以定义电磁势dB，其中d是微分算子。利用斯托克斯定理可以很容易的算出，这个庞加莱定理d*dB等于零（无旋）。所以对于相位没有贡献。当然前提条件B处处没有奇性。不过在您所说的情形中，还是有一个需要讨论的是，如果B=1/r，这里还有一个奇点r=0，这是会影响整个结果的，不过在积分表述中，我们可以寻找路径避开它,当然整体上是无法避免的。 有意思的是，不久之后，我会发表一篇相关的论文（一篇场论的论文，我想Berry教授心里是很关心这篇论文的，题外话了，呵呵），到时可以来大家讨论一下。 在回复楼主的帖子中，我已经透露了，这恰好是我前一段时间研究过的领域，如果不是我的领域，我还是不敢胡说的。您看了我列的两篇文章就可以明白了。等一下，我想想，您们提到的张永德教授应该了解这里，因为我知道他前段时间在研究相关的问题，您可以问问他，我说的到底是不是乱说呢？呵呵 让数学同行如此评价，深感无地自容，一定吸取教训，更加的努力学习。 连续统问题，是我最近关注的一个方向，只不过我确实是和量子力学一块儿研究的。说起来肯定有一种风马牛不相及的地方。 也许要完成这个图景之后，您才可能理解我确实也不是胡乱说。
回复21楼：
规范场积分微分的那部分，可以认为你说的还是正确的～但后面一些叙述表明一些物理概念你并不清楚……另外张老师已经很久不做科研了，但我知道你说的一些观点要是拿到他那去肯定不会被认同，因为他上课的时候和我们说过的一些物理上比较忌讳的想法，在这里你有所涉及，所以肯定会遭到他老人家的反对～ 其实我所说的确实是正确的，您可以看看李华钟教授的著作《简单物理系统的整体性——贝里相位及其他》，这本书里讲的很清楚的。 引一句复旦大学倪光炯教授的话吧“在1984年之后的很长一段时间，能真正的理解不可积相因子几何性‘拓扑性或者说整体性’的人，恐怕还只占少数”。 而且这部分内容写进高等量子力学的时间也并不长。从相对论吧里看来在这个问题上的发言之后，我确实觉得这个问题需要您们的重视。因为它还涉及到另一个问题的存在。 而这就涉及到整个西方，自麦克斯韦和爱因斯坦（甚至牛顿）以来的物理描述观念的出发点的问题。 其实我说他最近在关注这个问题，是因为我在arXiv上看到过他的相关论文就是2008年左右。另外他最近出了两本量子力学专著，其中有一章专门讨论这个问题。我注意到，他把他在arXiv上的论文的结论直接搬到书里了。 更重要的是，我注意到，他写这两本书的目的似乎就是为了arXiv上论文的内容。因为，除了这一部分之外，其他部分与他早期的书并无区别。 在我没有觉得逻辑上完美之前，我在连续统和量子力学本性上所说的都可能是胡说的。不过在这一楼规范场积分形式的问题上我确实没有胡说，因为胡乱发表论文说不正确的话，毕竟还是要被国际同行笑话的，而在前面的一部分内容，是被我写进论文的，当然这倒不是我的原创，我是从李华钟教授的著作《简单物理系统的整体性——贝里相位及其他》中学习到的。 PS 我发表论文的前提是，逻辑上完美无缺，否则我是不会轻易发表论文的，这一点我还是可以向您保证的。
回复24楼：
你引的第二篇文章关于磁单极的连老杨自己现在都不怎么愿意提了……跟你说，纤维丛的这个数学结构在数学上来看确实可以当做一个不错的数学模型来研究，包括磁单极这种模型也是。但是再漂亮的模型那也只是数学，是不算数的，原因很简单，因为实验上找不到磁单极～
他不是学数学的，只是学了一点点set论而已
哎！童鞋！ 我要被你击败了！苏汝铿的量子力学是我最早学量子力学的版本，里面讲Berry相位确实提到了不可积的问题，我看过。 关键的问题是研究规范场积分表述的人并不多，但我恰好是其中之一。最近在国外发表的论文也是这个方向的。 而我以前又是学习过规范场微分表述的，即您后来提到的局域规范变换。 现在您把苏汝铿教材《量子力学》里的不可积相位（看来他就是那个我说的没有深入讲下去的人了，哎），与《简明量子场论》里的局域规范变换，放在一块儿提问题。那就是进入规范场的积分表述了，老大！！！ 恰好这两个方面我都学了，我不中招，谁中招啊！
哎，为什么我说我学数学的，你不信呢？
好吧，实在是瞒不住了，我是学化学的。
我对你最后这句 "只能用规范场的积分形式描述" 表示强烈怀疑. 在我看来, 规范场的微分形式与积分形式是等价的, 并没有什麼 "只能". 根据我的经验, 用规范场的微分形式处理问题, 如果出现了错误, 其实只是由於思虑不周, 采用了错误的边界条件所致.
不过, 对於某一类问题, 积分形式的确有它的便利性与威力. 原来Anna§索菲亚说的是您？ 您应该学习过实变函数的相关部分吧。我还以为这里有我的同行呢？ 不过，Anna§索菲亚也许应该是学数学的吧？承认了吧。不要让我失望。 这里找到一个数学出身的人也不容易哎。
我觉得pipi老师说得没什么太大问题，.但我不清楚这里讨论那么多东西的具体背景是什么..懒得都看了.我就随便补充了
积分形式嘛. 在高能物理里就是wilson loop很有物理意义，因为规范不变，so不能gauge away. 且拓扑上不平凡. 从拓扑角度看上有点区别的.  呵呵，您的话直接就引到关键点上的，突然发现您非常的敏锐。 规范场的微分形式和积分形式并不等价，当然这只是在一类很特殊的情形才出现的状况。现在请恕我卖个关子，因为我的文章还没有刊登出来。以后我会来讨论这个问题的。 到时候希望得到您的指教。 不知道为什么看到您下面的那只猫就想笑。 wilson loop和杨振宁教授的论文是独立发表的，有趣的是两者有着惊人的契合度。至少您已经指出了积分形式的不同点，只是说的含蓄，拓扑上的关系。 当然，您只是指出了其中一点，以后我会来补充另外的部分。到时候希望讨论的热烈一些，因为那时候的讨论肯定会涉及到三个人，牛顿、麦克斯韦和爱因斯坦。
我说了，我一开始叙述的东西的意义就不正确。。。
我所提到的东西并不是Berry的“不可积相因子”，而是在规范变换对称要求下，场的整体相位具有一个无法观测的不定积分因子，相位差才是可观测的，这就好比谈及“势”的时候并不存在一个绝对的零势点，只有势差具有观测意义。 这点云娘看出来了，所以他反而看不懂我说的啥。而你却被我这个错误表述绕进去了。 另外，建议你别用“您们”这种有严重用法错误的词汇行不？ 哎，如果您一直关注规范场的几何性质方面并深入下去，你就可以理解我所说的了。 在您最早的表述中，您已经涉及到不可积与路径的问题。随便说一句，Berry相位就是一个不可积的规范场（参数空间的）的相位因子。如果您已经提及了不可积和路径的问题，我想您所在学校或者研究所从事规范场几何性质研究的教授，也一定会想到这一点。对于不可积相位的系统，您所说的相位差也是可以通过规范变换消除掉，只有闭合环路的部分才是有意义的。也就是说，您所谈及的规范变换并不是处处都可以实施的，需要考虑到路径问题，在狄拉克弦的部分，规范变换是奇异的。 我只不过将这个问题提到了她本来的面目，或许我多此一举了（因为您反而迷惑了），我意识到了尽管您的表述是碰触了规范场的积分表述，但是您本人并没有进入她的领地。当然不管怎么样，我算是将这个规范场非常重要的方面引导到这个吧里了。 并且我仍旧建议你们重视她。呵呵，我换成“你们”了，谢谢您纠正我这个语法错误。 相位的奥妙之处，如能掌握确实不是一朝一夕的事情。
回复46楼：
额……你要是非要从规范场往纤维丛上扯的话，我建议你去数学吧。做物理的人最关心的是一个数学模型能不能够描述客观世界的物理过程，至于这个数学模型有哪些数学上的问题，并不是做物理的人很关心的～你要是总用数学的眼光来考察物理问题，这就偏离了物理学所需要的科研方式已经精神，这样的结果只能使你研究的东西只有数学上的意义而没多少物理上的意义～ 尽管磁单极没有被发现，但Berry相位却一直被实验所证实，您可以关注一下吴咏时教授20世纪80年代的相关工作，他曾经因为辫子群在分数霍尔效应的工作受人关注。所以尽管我的表述中有一点点的接触纤维丛，但是其实也是与实验相对应的部分，这是我为什么带出Berry相位的原因。 最简单的二态系统，就存在着参数空间（磁场）的磁单极，其中的奇异性给出整体相位。 其实我所诉说的这些都是物理的，但我知道您似乎不是很习惯这一套语言，因为我能体会，几年前我也跟您一样。我尽管出身数学，但是我的数学和物理学学习的时间是一样长的，所以我能明白物理系最习惯的语言系统。但是有时候，在物理学的某些领域，很多的表述其实还是比较数学的。 要知道，数学本身只是一套语言符号而已，它唯一的作用只是使得我们的表述和想深入表述的严格化。 对了，您是中科大的吧？我记得吴咏时教授很早的时候就是中科院的，好像那时候也在中科大从事教育工作。 以前都没有时间接触到中科大的学生和老师，在这个吧里似乎很多，呵呵。老实说，受益匪浅。 以后我尽量用你们习惯的表述来讨论问题，我发现我有两个方面的内容其实都适合在这里进行讨论。 对了，问您一个问题。“什么叫科班出身？” 这是我以前常听到的话题，是指中科大的理科生吗？或者是笼统的说理科生？老实说，我没有接受过正规的数学（数学还稍好，毕竟本科是学数学专业的）和物理教育，因此你们的批评肯定都是中肯的，我会接受的，这一点是诚心的。
“科班出身”是指接受过正统的数理教育与训练的人...
是不是科班出身，这个很重要，倒不是瞧不起那些不是科班出身的科学爱好者或者民间科学家，但是从历史上看，重大科学发现与进展都是接受过正统科学训练的人才能做出来的。 另外我也没想批评你什么，只是想告诉你，如果你是研究数学的话，那么你的那套思考方式并不完全适合物理学。还有对于一些尚未了解清楚的领域，应该给予耐心的听取~~  呵呵，接受您的意见。 对了，您和MorrowindK 是同一个人吗？都叫超级云K。 在这个吧里，我其实主要想讨论两个问题。其中一个是量子力学本性的问题，由于我现在也没有系统的东西，只有暂时打住了。 只是没有想到吧主居然在这个帖子里无意中触及我想谈的另一个话题，所以就兴趣来了，说一说。 以后希望在这两个相关问题上多向你们请教。
对了，您和MorrowindK 是同一个人吗？都叫超级云K
---------------------------------- 是~ 另外说一下，以前研究的规范场以及纤维丛的那些东西，现在物理上继续做的人不是很多了，因为当初人们研究这个，有一个希望是想把引力给纳入进来，进而统一四种相互作用，只可惜后来一系列的“No go theorem”已经中断了这条道路，所以后来人们引入了超对称的概念来继续统一之路，因此现在大家更注重超引力/超弦这方面的东西，而不是一味的去研究以前非超对称下的规范场理论以及纤维丛模型~~ 现在的确不是很多了，当时最早意识到引力可能是规范场也是杨振宁教授1974年美国物理评论快报的文章，我前面提到过。从20世纪70年代到80年代末，很多人都试图寻找一个基于规范相互作用的引力版本。克莱因在20世纪40年代也提到的类似的非阿贝尔场的观念，也是在考虑高维引力场时出现的，在这一点上更早的工作，是卡鲁扎的五维模型。这些历史您应该也非常熟悉。 只是后来人们意识到超对称的局域变换很自然的增加一个场，而这个场的自旋为2（可以作为引力），而这一点附加在弦的拉式量上是很自然的。因此，在大多数物理学家看来，从这一条路上通向四种作用统一是很有吸引力的。 我曾经对于这个领域的研究，就在这里止步了，我的主要兴趣是在弦的二维界面与凝聚态方面。后来我不怎么相信统一场，所以就没有继续关注下去。 我也不学习统一场方面的了，我现在关注量子力学本性。 您是中科大的，应该认识李淼教授吧，他在弦这方面好像是最早进入的人之一，另外好像最近他在研究熵引力。 从您后来的表述中，我意识到您只是在看最简单的拉式量的局域规范不变性（即拉式量具有简单的相位不变性，这是最基本的，被伦敦和魏尔、克莱因所发现）。只不过您的表述无意中踏入了规范场的积分表述。 量子场论的版本，我看了不下十种，国内的版本有刘辽教授的《量子场论》（平直空间）、李政道教授《粒子物理导引》（上下册）、戴元本教授的《相互作用的规范理论》、王正行教授的《简明量子场论》，曹昌祺教授的《量子规范场论》。 不过这些所有的教材一个都没有系统的讲规范场的积分表述。包括国外的教材也没有，但是这却是非常之重要的。只有国内的李华钟教授在其著作《简单物理系统的整体性——Berry相位及其他》有一点点的涉及。 所以我在一看到您在问到规范变换相位，以及不可积和路径的问题，我以为您在研究这个方向的东西，所以就给您介绍了杨振宁教授的两篇原创文章。我之所以这么做，也确实是因为在量子场论的教材没有一本是介绍这个的（我不知道物理学界为什么没有意识到这个东西的重要性）。 但是我没有想到您只是初学规范场论，所以就弄巧成拙了，不过也没有关系，如果您能深入下去总会意识到我说的东西。 至于您让我再去读读量子场论并弄清楚这个东西，我实在无语，因为量子场论的教材确实还没有讲这个的。当然您后来才提及的局域规范变换是另一回事了。 “规范场是由“不可积相位因子”所导致的，为了解决掉不可积的相位因子，就产生了与物质场相耦合的规范场，以保证规范变换下整个体系的某些性质保持不变。” ———————————————————— 以上是您的原话，您自己再看看我推荐您看的第一篇文章。“规范场是由‘不可积相位因子’所导致的”这句话几乎在这篇文章里有同样的表述。 我猜测您所看到的教材里肯定有一点点的提到类似的东西，只不过您所看的教材的作者还没有能力深入下去，或者是不愿深入下去，一点就止。 我还不愿意相信，您只是就这个问题在后来的故意刁难我。 您看的教材是谁写的？书名是？
我看的量子场论是王正行的《简明量子场论》，你好像也看过。
而不可积相位因子，以及Berry相位的相关问题，我是在苏汝铿《量子力学》第二版上看的。 所以我的问题是出在把两个原本就不是同一回事的“相位”混淆了而出的问题，是学习过程中出现的误解，而不是研究一些还没有得到定论(或许是这样的)的东西。 你连我的问题究竟是什么都没弄清楚，不仅答非所问，还就着“非所问的答”往外延伸，你觉得有意义吗？所以我认为你尽管看了不少，但根本就没懂透彻。
多扯一点，复数是一个二维平面上的点，扩充一下，我们可以搞出四维空间上的点，这个数就是传说中的......四元数。四元数中的基本公式就是，
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好吧是我的语气不当，其实这点是您以前自己告诉我的
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