bnu01 系统拉格朗日函数 动能是广义速度的二次型，势能是广义坐标的二次型

[PDF]第八章 - 物理学系

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1. k. 2.  x. 1. −k. 1 x. 2. =0 m ¨x. 2. −k. 1 x. 1. k. 1. k. 2. x. 2. =0. 特点：这里动能是广义速度的二次型，势能是广义坐标的二次型. 写成矩阵形式即可. （证毕） ...

系统拉格朗日函数为 L=T−V=m 2 ˙ x1 2m 2 ˙ x2 2−
k2 2
x1 2−
k2 2
x2 2−
k1 2 x2−x12
代入拉格朗日方程可得 m ¨ x1k1k2x1−k1x2=0 m ¨ x2−k1x1k1k2x2=0
特点：这里动能是广义速度的二次型，势能是广义坐标的二次型



例题6 分析系统的简正模式 . [M]−1[K]A=1 2 A解：将          代入 1=k2/m 或
2=2k1k2/m
[K]−1 2[M]A=0
可以得到 A∝[1 1]
将                代入                   可得 [K]−2 2[M]A=0 此时二质点的步调完全一致，称为对称模式 . A∝[1 −1] 此时二质点的步调完全相反，称为反对称模式 . ⇒1=[x1 x2]=Acos1t1∝[1 1]cos1t1 ⇒2=[x1 x2]=Acos2t2∝[1 −1]cos2t2
注：系统微分方程的通解是上面两种模式的线性叠加，可写为 =c11c22=c1[1 1]cos1t1c2[1 −1]cos2t2 这里 4个待定实常数c1,c2,α1,α2由初始条件来确定 .


简正坐标 【定义】简正坐标：一组特殊的广义坐标 {ξα}，使得系统的    运动微分方程表现为一系列简单的振动 (                   ). ¨  2=0 这意味着系统的拉格朗日函数可表示为如下形式