科学网—《走近混沌》-5-大自然中的分形- 张天蓉的博文
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用迭代的方法生成分形，但是，生成过程中的那些图都不是分形，只是最后那个无穷迭代下去的最后极限的图形才叫做‘分形
有限次迭代到无限次迭代：维数从1变成了2
自然界中常见的分形，诸如海岸线、山峰、云彩、等等，更接近于由随机过程生成的分形。有一种很重要的，与随机过程有关的分形，也就是如图 （5.4） 所示的分形，叫做“扩散置限凝聚”(diffusion- limited aggregation) 。这种分形模型常用来解释人们常见的闪电的形成，石头上的裂纹形态等现象。
要估算随机过程生成分形的维数，或者是非线性迭代分形的维数，就不是像计算线性分形维数那么简单了
李四说，其实，在‘分形’这个名字中，就已经包含了‘分数维数’的玄机。众所周知，经典几何学中，有1维的线、2维的面、3维的体。三维以内，有现实物理世界的物体对应，容易理解，维数大于三的时候，就需要应用一点想象力了，比如加上了时间的四维空间等。但是不管怎么样，经典几何的‘维数’总是一个整数，将经典的三维空间扩展想象一下，一维一维地加上去就可以了。而分形几何中的‘维数’，却包含了‘分数维’在内，这也就是‘分形’名称的来源。
最美丽，最令艺术家们着迷的分形大多数是用非线性迭代法产生的。例如，以数学家曼德勃罗命名的曼德勃罗图便是由非线性迭代方法产生的分形。
《走近混沌》-3-分数维是怎么回事？
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第三章：分数维是怎么回事？
了解了更多分形的知识之后，三个好朋友：张三、李四、王二，又凑到了一块儿，返回去思考和探索第一章留下的问题：分数维到底是怎么回事呢？
张三说，在经典几何中，是用拓扑的方法来定义“维数”的 ，也就是说，空间的”维数”等于决定空间中任何一点位置所需要变量的数目：比如，所谓我们生活在‘三维空间’，是因为我们需要三个数值：经度、纬度、和高度，来确定我们在空间的位置。对于一个二维空间，比如在地球这个球面上，则需要两个数值来确定一个物体的位置。当我们开车行驶在某一条高速公路上，汽车的位置只需要用一个数：出口的序号数，就能表示了，这是一维空间的例子。
拓扑“维数”概念的扩展，要归功于德国数学家费利克斯•豪斯多夫（F.Hausdorff，1868-1942）。豪斯多夫在1919年给出了维数新定义，为维数的非整化提供了理论基础。
“豪斯多夫！我读过他的故事。他后来是自杀的……”王二在三个朋友中年纪最小，急不可耐地插了几句。
豪斯多夫是拓扑学的创始人。第二次世界大战开始后，纳粹当权，豪斯多夫是犹太人，但他认为自己做的是纯数学，在德国已经是令人敬重的大教授，应该可以免遭迫害。但是事非所愿，他未能逃脱被送进集中营的命运。他的数学研究，也被指责为属于犹太人的、非德国的无用之物。 1942年，他与妻子一起服毒自尽。
不等王二说完，李四便抢着接下去：“这是科学家不懂政治的悲剧。我们还是回到豪斯多夫的数学。张三说得一点没错，因为‘变量的数目’不可能是一个分数，因此，按照这种拓扑方法定义的”维数”，当然只能是整数喽！但是，分形的维数是用另一种方式定义的……”
李四说，其实，在‘分形’这个名字中，就已经包含了‘分数维数’的玄机。众所周知，经典几何学中，有1维的线、2维的面、3维的体。三维以内，有现实物理世界的物体对应，容易理解，维数大于三的时候，就需要应用一点想象力了，比如加上了时间的四维空间等。但是不管怎么样，经典几何的‘维数’总是一个整数，将经典的三维空间扩展想象一下，一维一维地加上去就可以了。而分形几何中的‘维数’，却包含了‘分数维’在内，这也就是‘分形’名称的来源。
“如何定义和理解分数维呢？首先，让我举几个例子，慢慢解释给你们听！” 李四洋洋得意地看着两个师弟说。李四学的是物理，并且已经是大学四年级的学生，比两个朋友多读了几年书，讲起课来头头是道。
在分形几何中，我们将拓扑方法定义的‘维数’，扩展成用与自相似性有关的度量方法定义的‘维数’。第一章中我们不是已经介绍过花菜的结构和分形龙的‘自相似性’吗。其实，经典整数维的几何图形，诸如一条线段、一个长方形、一个立方体，也具有这种‘自相似性’，只不过，它们的‘自相似性’太平凡而不起眼，被人忽略了而已。
王二眨巴着大眼睛，不甚明白的模样：“你的意思是说：线、面、体……这些我们常见的整数维几何形状，也算是分形？”
“当然，也应该是这样嘛。就像实数中包括了整数一样，扩展了的分形维数定义当然也包括了整数维在内。你听我先解释一下如何用‘自相似性’来定义‘维数’吧……”
根据‘自相似性’ 的粗浅定义：“一个图形的自身可以看成是由许多与自己相似的，大小不一的部分组成的”，我们来观察普通整数维图形的‘度量维数’。
比如说，如图（3.1）所示：（a）一条线段是由两个与原线段线段相似，长度一半的线段接成的；（b）一个长方形，可以被对称地剪成四个小长方形，每一个都与原长方形相似。也就是说，长方形自身可以看成是由4个与自己相似的，大小为四分之一的部分组成的；（c）一个立方体，则可以看成是由8个大小为八分之一的小立方体组成的。
图（3.1）：用度量方法定义的‘维数’
仍然利用上面的图，用自相似性来定义的‘维数’可以如此简单而直观地理解：首先将图形按照（N: 1）的比例缩小，然后，如果原来的图形 可以由（M）个缩小之后的图形拼成的话，这个图形的‘维数’d ，也叫豪斯多夫維数，就等于：
d = ln(M)/ln(N) （3.1）
不难看出，将上述方法用来分析直线、平面、空间，分别得到d = 1、2、3。见图（3.1）中的a、b、c。
现在，我们可以用同样的方法来分析科赫曲线的维数，就像图（3.1）中的（d）所示：首先，将科赫曲线的尺寸缩小至原来的三分之一；然后，用四个这样的‘小科赫曲线’，便能构成与原来一模一样的科赫曲线。因此，根据公式（3.1），我们得到科赫曲线的维数d = ln(4)/ln(3) = 1.2618..。这就说明了，科赫曲线的维数不是一个整数，而是一个小数，或分数……
“等一等，我想用这个公式算算我这儿这个分形的维数……”张三一边用笔在本子上画着什么，一边说。
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