white01 i01 复数 数不仅仅是数，还是一个点了。这样一来，i^2=-1就很好理解了，1乘以一个 i ，也就是旋转90度变成了 i，再乘以一个 i，再旋转90度，自然就是-1了。

理解复变函数一

(2012-11-02 19:46:47)

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标签： 杂谈

分类： 技术帖

      我萌生了写这篇文章的想法，大概是在半年之前。学习《复变函数与积分变换》的时候，就很迷糊，就跟网上一个段子一样——高数分为两部分，分别是“这他妈是啥”和“这他妈又是啥”。复变函数同样也成了这样。

       随后我认真端详我的这本吉林大学数学学院编的教材，上面赫然写着四个大字——工程数学。大概数学家们只要教会我们怎么用，而不需要深刻理解它们吧。复变函数与积分变换是理工科尤其是电气、自动化、计算机，还有一些比较牛的机械、力学专业需要学习的课程，应用非常广泛。“复变函数与数学物理方法”课程（也有分为两门的，甚至三门的，即积分变换）对于理科的物理专业，工科的空气动力学专业、化工流变学专业以及一切与研究电场有关的专业和研究流体流速场有关的专业，都是很基础的一门课程。

       但是熟练使用往往和深刻理解是分不开的。就比如说一个比较难懂的概念，卷积。我当初学到这里的时候，我不禁要问：这他妈是啥！后来认识慢慢加深，就编了个段子。

 

      没有女朋友的生活用一个函数y( t )表示，女朋友对你某时刻有一个激励δ( t ) ，可以让你的生活轨迹变为h( t )，但是你女朋友对你的激励不是一个脉冲，而是连续激励x( t ) ，那么你的生活轨迹，将会是这无数单个激励共同作用的结果，x( t )*h( t )就描述了这无数激励共同作用过程，这就是卷积。

 

       我会编这个段子是因为我喜欢用一种比较直观的方式来解释一些定理公式。比如定积分可以理解为曲边梯形的面积，i就是复平面上将复数旋转90度。提到这个的原因是，个人认为数学学习需要一种“直觉性”。这样的想法来源于一篇博客《理解矩阵》，正如这篇博客所说，

 

       自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来，数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功，这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。然而数学公理化的一个备受争议的副作用，就是一般数学教育中直觉性的丧失。

 

       如果没有直觉性的帮助，你无法理解为什么输入信号和冲激响应的卷积就是输出。当然这个也可以用图像来解释，但是这个某种程度上也是直觉性的体现，因为图像把这层含义给直观展现出来。

       一方面我觉得，在我这个专业，在应用上，可能没有办法也没有必要再往下挖掘复变函数的深层意义了，同时也没有时间，数学专业的朋友一定有更深的认识。一方面，我又觉得知识需要交流，一旦理解加深，对这个知识的应用就更加得心应手。因为工程上的问题经常是没有参考的，这个时候如何利用数学这个工具来解决实际的工程问题，这个时候对知识的理解就变得尤为重要了。

       所以这篇文章就是想把自己的直觉性的思考分享出来，以供参考。同时，下面写的理解并不具有比较严密的体系，换句话说并不系统，各位可以指出问题，同时我会加以修改。有些东西会时不时脑子里冒出来，因为知识需要时刻回顾反思。况且东西也很多，要想写的比较容易懂，那么一次肯定写不完，所以会分几段写。还不知道能不能写完整，也有可能会中断，所以先尝试着写吧。

 

       让我们先理解虚数单位i。

       记得高中数学书上，是这样引入i的。有一些高次方程，在实数域无法求出所有的根，这时候就引入了i（i^2=-1）这个奇怪的东西。奇怪就在于这个数的平方不是非负的。其实这里要理解i就要颠覆一个观点。实数其实就是点，这些点聚集起来就是一个数轴，也就是实数轴，在这个一维的空间里我们定义了加减乘除这些初等运算。当你把这个数轴扩展到二维平面的时候，虚数轴就出现了。

       引用《理解矩阵》中的一段话，

 

       你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。

       事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。

        因此只要知道，“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。

 

       而在我们这样的一个有虚数轴和实数轴的空间里，我们必须要定义一个运算，来描述这样的空间。那么怎么把实数和复数通过运算联系起来呢？

      没错！i 出现了！为什么说i的出现联系了实数和虚数呢？不仅仅因为是 i^2=-1这么简单。事实上与i相乘，就是把一个点绕着原点逆时针旋转90度。这就是为什么说数不仅仅是数，还是一个点了。这样一来，i^2=-1就很好理解了，1乘以一个 i ，也就是旋转90度变成了 i，再乘以一个 i，再旋转90度，自然就是-1了。

       由此，我们表示一个复数，就可以用复平面上的一个点来表示，这个点可以和复平面上任意一个点进行变换。

多扯一点，复数是一个二维平面上的点，扩充一下，我们可以搞出四维空间上的点，这个数就是传说中的......四元数。四元数中的基本公式就是， i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1，你同样可以理解为，1这个点从空间上不同的方向旋转180度变成了-1这个点。

       这里的维度和x轴上加个y轴变成的二维并不是一个概念。平面直角坐标系只是两个一维的叠加。同样再加一个z轴就是三维，你会发现没有办法再加一个维度。而四元数已经是四维了，我们可以再引入更多的维数。再往远的扯一点，这表明了平行宇宙的存在。。。。（数学物理就是这样，相互交错）

       有兴趣的朋友可以再去了解。

 

       理解了 i 之后就开始理解复数。

       前面说到，复数可以用复平面上的一个点来表示。这些点与i的运算同样满足前面的理解，即旋转90度。你可以随便取几个点，看乘以i之后是不是旋转了90度。

       那么经过线性组合的复数，运算是什么概念呢？

        这里首先明确几个概念。一个复数 z=x+iy 乘以一个实数 m，含义是这个复数 z 表示的向量(x,y)的模在它原来的方向上，大小变为原来的 m 倍。这个概念也就是电气中的幅值变大的概念。一个复数乘以一个虚数 i，表示(x,y)绕着原点逆时针旋转90度。下面就要引入牛逼哄哄的欧拉公式了！

       传说中碉堡的欧拉公式，e^iy=cosy+isiny。

      这个公式的证明要简单了解一下，很简单，先把sinx和cosx在0这一点分解为幂级数，然后把e^x分解为幂级数，同时把x换为ix。见证奇迹的时刻到了！你会发现，e^ix=cosx+isinx。

      欧拉发现欧拉公式也没有什么神秘的，就是拿幂级数在那里玩，玩着玩着就发现patterns了。那个时代的数学家的工作很多就是玩幂级数。

      这个公式还有一种形式是e^(x+iy)=(e^x)(cosy+isiny)。其实本质上是一样的。

      这个式子可以理解为一个实数e^x，绕着原点，转了y度角。用电路分析的语言来说，e^(x+iy)这个相量，幅值是e^x，相位是 y。

      所以，两个复数，z1=a+ib，z2=c+id，利用欧拉公式就能写成这样的形式k∠θ，k是幅值，k=根号(x^2+y^2)，θ是辐角，arctanθ=y/x。这样一来z1×z2=(k1×k2)∠(θ1+θ2)。这对于学电路的同学来说是最基本不过的运算。我们不应当只把这个式子看作一个数学方法，更应该从这个式子理解复数运算的本质。

     写到这里已经晚上12点了。。。宿舍也断电了，电脑撑不了多久。留点电撸一管，就写到这里吧。

 

 

理解复变函数二

(2012-11-03 16:30:44)

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标签： 杂谈

分类： 技术帖

昨天开始了《理解复变函数》的写作，本意确实是想交流一下思考结果，但是没有想到！！！！！咱们电气学院的谭院也转了…….顿时…….因为里面有不和谐的词汇。好在谭院说可以忽略，我想就按照之前的语气讲下去，不要让这种文章变得太枯燥。

谭院看了文章希望我能再讲一些东西，一个是卷积，一个是i 对于二维维度的含义。卷积绝对是个老大难，我也看了很多关于卷积的文章才能建立起一种直观的印象。卷积的理解也有很多种，卷积理解好了，对后面的傅立叶变换、拉普拉斯变换的理解有很大帮助。卷积先不讲，必须要放到复变函数后面。本意这一部分是要讲复变函数的，但是谭院的建议让我觉得，i 有必要再结合二维维度讲一下。所以这一部分还要讲i ，而实际讲的时候会穿插在一起。

之前的部分所有的公式都是用Word的字符打出来的，看起来不是太方便，所以这一篇还有后面的关于公式或者字母一律用Mathtype编辑。

 

再讲之前还要扯一点直觉这个东西。数学的公理化定义确实为数学的发展作出的巨大贡献，但是对于普通人理解数学产生了比较大的障碍。刚进大学就学高数，高数中关于极限的定义是经典的语句。我看到这里，又不禁要问，这他妈是啥！

简单举个栗子，关于函数在某一点的极限：

 

设函数在点某一去心邻域有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（不论他多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的函数值 都满足不等式，那么常数A就叫做函数当的极限。

 

 

 

坑爹呢这是！

定义到这里就结束了，看似很难懂，其实三句话就可以解释清楚。当无限趋近于 时， 就无限趋近于A，那么A就叫做 在 趋近于 的极限。第一句话，对应着这个不等式。第二句话对应着这个不等式。这就是直觉性理解和公理化定义的区别。就好比一首美妙的曲子，写在谱上，虽然可以流传很久保存很久，但是没有人把它“翻译”过来变成一首曲子，没有人会体会到它的美妙。

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 这里补充一下上一篇的遗漏。上一篇少说了一个复数的幂和开根运算。

根据著名的棣莫弗定理：

 

复数的n次幂的模等于这个复数的模的n次幂, 它的辐角等于这个复数的辐角的n倍。

 

 

其实利用了极坐标的形式即之后，幂运算和开根运算就都很好理解了。首先复数是有周期性的，一个复数旋转了之后还是它自己，所以。那么就是幅值开n次根，辐角变为原来的。

在某种程度上来说，线性代数式这种形式仍然是用实数的思想处理复数。而这种极坐标形式才是处理复数的新思维。但是在具体问题上，两种方法各有优点。

 

下面继续讲i。

i 的出现确实是为了解决一些高次方程而引入的，在引入初期，它是纯代数的。在历史上的几次数集扩充当中，每次“新造”的数都要满足之前的一些运算法则，还要满足一些数的基本规律，比如说大小。就像现在的软件向下兼容一样。

但是i 的出现改变了这个规律，它的运算是基于对以往的实数运算的修正上的。大家可以思考一下 和中的根号“”是一样的含义吗？

事实上在实数域内，仅仅是一个数，或者一个点。到了复数域，它就是两个点了。套用上面的公式，它分别表示了和这两个点。

复数是没有大小的，因为到了平面上，点就没有了“序”的概念了，就好比向量没有办法比较大小。

 

复变函数到后来的发展与矩阵结合起来，复数可以用一个矩阵来表示。

举一个最简单的栗子，还是i。i 表示旋转90度，而到了线性空间中，矩阵也表示把一个点旋转90度。再反过来举个栗子，矩阵的的转置对应着复数的共轭，这个有兴趣的朋友可以往下研究。

这就是数学的魅力，两个不同的体系，竟能有如此高的相似，一个复数可以是指一个点，也可以表示一个变换。同样，一个点可以用一个向量矩阵来表示，左乘一个矩阵也完成了一个变换。

在笛卡尔坐标系中，我们可以用有序实数对来表示一个点。而到了复数域，一个点只需要一个数来表示，因为本身就是一个数。虽然这个数是一个复数，而这个复数又是用两个实数和虚数单位i 的线性组合构成的。

对函数的学习，需要函数图像的帮助。想到高中各种抛物线、双曲线，都隐隐觉得那段日子真的很美好啊！那么，复变函数有没有图像呢？有！不过事实上你看不到（随着四维图学的兴起，给描述四维图形提供了手段，复函数图形的表示也不再困难）。因为复变函数的z实际上是一个二元函数，，这里的x和y是自变量，复平面上的某一点 (x,y) 映射到w上的某一点 (u,v) 之间的关系，一般都有2个二元实数函数相联系，也就是说因变量也是二维的，因此复变函数的图形是四维的。四维的图形自然无法在三维的直角坐标系里画出来。这恰恰是拓扑学的重要课题。比如说，一个代数函数，在二维复数空间里面代表的就是一张黎曼曲面。这是二维复数空间的子流形。当然一般不研究这个流形的微分结构（解析结构），那是复分析已经基本上完成的事情。一般研究的是这个流形的拓扑或者同伦性质，最直接的就是同伦相关的问题。实际上代数函数的图像一般都是多连通的，所以一般来说同胚于多环面（实际上这研究的是欧拉数的问题）。再深入的有黎曼－罗赫定理。研究复变函数的这种几何性质是代数几何的重要课题。引用一段话：

 

 

复变函数理论的出发点，是复平面的拓扑学性质。在复平面上用开圆盘作拓扑基可以得到其普通拓扑。而通过球极投影（将复平面上的点同一个球上的点对应起来），可以引入扩充复平面，这个扩充平面比复平面多了一个无穷远点（不是一个复数，而是一个额外的点），从而变成了紧集。在开平面（复平面）或者闭平面（添加了无穷远点的复平面）上都可以定义其到自身的映射，这种映射就是复变函数。

（注：这里说的球极投影，可以理解为在复平面上，放置一个球体，与的切点为原点，这个切点叫做“南极”，用直线连接“北极”和复平面每一个点，与球面的交点就是复平面上的点在球面上的投影）

再详细一点，从几何的角度上看，复变函数是一个复平面上的点集到另一个复平面上的一个映射。在直角坐标系复平面上，自变量记作 ，函数值记作。那么复变函数 就等价于两个二元函数 ,，即一个复变函数的映射，等同于两个二元实函数的映射。其中如果u和v满足一些特定的条件，这个复变函数w就变得非常特殊，这个后面再讲。

其实到了高等数学的多元函数阶段，就会有一个场field的概念。这个field可以用一个function表示。而我们碰到的很多函数都是标量场scalar field，确定了自变量x，y的值，确定了这个位置上的函数值。而描述矢量场vector field的function不仅确定了位置大小，还确定了方向。基本形式是这样，

其中，A表示一个矢量场函数，函数P、Q、R分别确定了在某个点上的x、y、z轴上分量的大小，而i，j，k则表示三个正交方向的单位向量。只要给定了位置即x,y,z的值，那么在这个点上就有一个矢量，这个矢量并不能实际画出来，但是在这个场下这个点具有一个性质，这就是矢量场。

利用这样的思想，就可以分析复变函数 了。

我们先画出一个的直角坐标系，同理，给定一组x，y的值，也就确定了一个复数，而这个复数没有办法画出来，因为并不实际存在于平面，但是这个位置的点确实有这样的性质，这样子复变函数就建立起来了。

之前说到的“一些特定的条件”，就“柯西-黎曼”方程。复变函数的可微性的要求比实变函数要高得多，由此将引出解析函数的概念。

解析函数就是实函数和都连续可微，同时满足柯西-黎曼方程的复变函数。

对于柯西-黎曼方程的理解，我还没有理解透。我只理解了前面一个方程。下面谈一下我的理解。

解析函数既然可微，解析函数对x，y求偏导之后也必定是解析函数，换句话说，既然连续，自然要可积。利用高等数学的知识，一个解析函数可以写成全微分方程的解。而这个式子是全微分方程的充要条件就是。这就是对柯西-黎曼方程的第一个方程的理解。神马？为什么满足了方程就是全微分？一句话就可以解释，连续函数的偏二阶导的结果与求导顺序无关。（PS.这一段我花了很久才想明白….希望能有朋友解释一下后面一个方程，千万不要是公式的证明，而是可以用语言叙述的东西，这样才能体现出直觉性，更能让人理解）

这一篇写的很难受，因为把公式录入到人人日志中很困难，太坑爹了。下一部分写复变函数的积分和复级数。