[36]Sweeper
话说那年拓扑绝缘体的兴起，乃是因为潘金莲开窗，碰上了西门庆。
算来也是物理界的劫数已到，才会有这种机缘巧合：美国名校的一位华裔理论俊秀，和德国一家开实验大铺的荷裔掌柜，凑到了一起。这两位聪明人中的龙凤，一拍即合，发现彼此都是百年难遇的忽悠大魔头。
大魔头一牵手，就起了一同混到斯德哥尔摩去摸鱼的色心。于是兴风作浪，打着飞的环球炒作。 不把江湖搅个天翻地覆，看来绝不肯收手。
其实拓扑绝缘体，有一个致命要害，那两位大魔头心中一清二楚，但绝不肯对大家说：
这拓扑绝缘体的奇妙，在它的生辰八字：“体内绝缘，表面导电。”
老戴的科普写得生动明白：体内绝缘，是因为费米能级陷在能隙里，搞得电流无路可走；而表面导电性好，是因为表面的电子能态呈现涡旋结构，弄得电流不便回头。
可是老戴你想：绝缘性要好，则能隙要大；而要得到涡旋结构，则能隙要小。
所以，这种看似奇妙的玩法，其实中国远古时就有一位百年难遇的大魔头，在兵器市场上忽悠过大家。后来有一天被人喝破，于是在史上留下了“自相矛盾”这四字箴言和一个笑话。
以史为鉴，所谓拓扑绝缘体，其实应该叫“自相矛盾体”。
这种自相矛盾，既要能隙大，又要能隙小的东西，自然界当然不给它留下多少生存空间。所以要得到这种“自相矛盾体”，就要花重金建起太上老君炉来炼丹。炼成了一般也要把它保存在纯洁的真空仙境里，不能轻易拿到尘世里来被污染。所谓奇妙的电效应，一般要在低温下测量，好让能隙小的材料，也能伪装出体内好像绝缘的样子。
所以这种“自相矛盾体”，给少数人在实验室里玩玩概念，自娱自乐一下，还算得上学术雅事。但挂上广阔应用前景的招牌，想把它搞成学术主流，那就忽悠过头了。有天赋的年轻人不要上了魔头们的当。
大熊猫虽然好玩，但说它会变成家猫去抓老鼠，那就是笑话了。
人生苦短，看笑话开心，成了笑话的一部分，就不好玩了 :-)
也不能忽视这个拓扑表面导电态，物理学上很多例子都是这样的，比如膜电容，p-n结，点接触等等。
量中华之实力把拓扑做好对美国明笑的华人大魔头去瑞典一趟有好处，所以老杨也猛赞，貌似糊涂心里倍清。
尽管如此，拓扑还是值得去大做的，但是铁基超导这样做就明显是国祸了。
- [35]Sergei
中美大PK：拓扑绝缘体反常量子霍尔效应 vs 室温超导，哪个更牛？
精选
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中国最近几十年来的经济发展十分迅猛，现在已经是世界第二，美国是世界第一，中国要想成为世界第一，就必然有一场中美大PK。
相对应，中国的科技发展也是十分迅猛，但是美国仍然是世界第一，中国要想成为世界科技第一，就必然有一场中美大PK。
现在就有一场科学最前沿的中美大PK正在进行当中：同样是拓扑绝缘体方面，中国做反常量子霍尔效应，美国做超导效应。下面给与解说和评述。
先科普：1. 什么是拓扑绝缘体？
2. 什么是霍尔效应？
霍尔效应是电磁效应的一种，这一现象是美国物理学家霍尔（A.H.Hall，1855—1938）于1879年在研究金属的导电机制时发现的。当电流垂直于外磁场通过导体时，在导体的垂直于磁场和电流方向的两个端面之间会出现电势差，这一现象就是霍尔效应。这个电势差也被称为霍尔电势差。霍尔于1880年发现反常霍尔效应，就是不需要外加磁场。
1980年，德国科学家冯·克利青（Klaus von Klitzing）发现整数量子霍尔效应，于1985年获得诺贝尔物理学奖。1982年，美国科学家崔琦（Daniel CheeTsui）和施特默（Horst L. Stormer）发现分数量子霍尔效应，不久由美国物理学家劳弗林（Rober B. Laughlin）给出理论解释，三人共同获得1998年诺贝尔物理学奖。
在量子霍尔效应家族里，至此仍未被发现的效应是“量子反常霍尔效应”——不需要外加磁场的量子霍尔效应。
这里请大家记住：这个‘量子反常霍尔效应’是已经清楚知道存在的，没有原理上的任何问题，就差实验观测证实了。
3. 什么是超导效应？
就是说，普通的导体在一定温度下，电阻突然消失的现象。
1911年，荷兰莱顿大学的卡末林—昂内斯意外地发现，将汞冷却到-268.98℃时，汞的电阻突然消失；后来他又发现许多金属和合金都具有与上述汞相类似的低温下失去电阻的特性，由于它的特殊导电性能，卡末林—昂内斯称之为超导态。卡茂林由于他的这一发现获得了1913年诺贝尔奖。
超导方面有重大意义的原创工作还有两件：一是室温超导体，这样才能真正进入实用，二是，超导的基本原理，这个方面至今远远没有解决。尽管给了好几次诺贝尔奖，但是那些理论成果都是盲人摸象，没有解决其真正问题。
因为，拓扑绝缘体的表面导电性，可否有超导特性，应该有，但是不确定。如果证实有，那就是比较牛 ！这才是重大原创！
下面开始解说这个中美大PK。
中方：拓扑绝缘体方面的反常量子霍尔效应。
参与单位：清华大学和中科院北京物理所。领衔主演：薛其坤
中国团队经过数年不懈探索和艰苦攻关，最近成功实现了“量子反常霍尔效应”。这是国际上该领域的一项重要科学突破，该物理效应从理论研究到实验观测的全过程，都是由我国科学家独立完成。
该结果于2013年3月14日在Science上在线发表
杨振宁4月10日称赞其是诺贝尔奖级的成绩。
请注意：这是一项重要科学突破，地地道道的中国的本土工作。但是没有任何悬念！
美方：拓扑绝缘体方面的超导效应。
参加单位：美国伊利诺伊大学香槟分校（University of Illinois at Urbana-Champaign）与布鲁克海文国家实验室（Brookhaven National Laboratory）。
美国团队已经测量了拓扑绝缘体块体材料的超导表面状态，因为此处电荷载体已被成功地耗尽。此项研究论文发表在4月9日的《自然通讯》（Nature Communications）杂志。
——Sungjae Cho, Brian Dellabetta, Alina Yang, John Schneeloch, Zhijun Xu, Tonica Valla, Genda Gu, Matthew J. Gilbert, Nadya Mason. Symmetry protected Josephson supercurrents in three-dimensional topological insulators. Nature Communications, Volume: 4, Article number: 1689. DOI: 10.1038/ncomms2701. Published 09 April 2013.
请注意：这项结果有悬念，如果后来能被证实是正确的，将来很有希望实现室温超导，那时候这件工作一定会得到诺贝尔奖。算不上是地地道道的美国的本土工作，作者中有中国人。
博主简单评述：
1. 这次中国团队的工作，我觉得跟诺奖完全无关。
2. 美国团队的工作需要别的团队证实是正确的，如果证实错误，那就是乌龙一个；如果证实争正确了，并且将来实现了更高温度的超导，接近或者达到室温，那么这份工作肯定要授给诺奖。因此还需要继续前进。
3. 拓扑绝缘体现在这么热，股票市场的科技股都因为这个概念大涨。这个领域的开创者有好几位，相信将来一定会给诺奖，比较有希望的是其中一位华人，张首晟，以前我的博文里面多次提到过的：
由张首晟获2012年狄拉克奖叹落后的中国的科学研究前沿
庄小威 PK 张首晟，饶毅 PK 施一公，北大 PK 清华
一篇 2012 诺贝尔物理奖预测
一些诺贝尔奖级别的成果和工作
4. 科学最前沿的研究，拼的纯粹是智商，无关乎情商。尽管，我也殷切希望中国尽快能有重大原创性工作出出来。
参考文献：
“量子反常霍尔效应”研究获突破
http://paper.sciencenet.cn/htmlpaper/201331513142223128244.shtm
杨振宁盛赞中国科学家实验发现量子反常霍尔效应
http://news.sciencenet.cn/htmlnews/2013/4/276620.shtm
薛其坤院士解释量子反常霍尔效应
http://news.sciencenet.cn/htmlnews/2013/4/276680.shtm
【微博】清华可能要摊上大事了
http://blog.sciencenet.cn/blog-40615-678947.html
拓扑绝缘体的超导特质证明
tp://blog.sciencenet.cn/blog-212210-679197.html
引力场方程
对应原理
相对应，中国的科技发展也是十分迅猛，但是美国仍然是世界第一，中国要想成为世界科技第一，就必然有一场中美大PK。
现在就有一场科学最前沿的中美大PK正在进行当中：同样是拓扑绝缘体方面，中国做反常量子霍尔效应，美国做超导效应。下面给与解说和评述。
先科普：1. 什么是拓扑绝缘体？
拓扑绝缘体是一种具有新奇量子特性的物质状态，为近几年来物理学的重要科学前沿之一。拓扑绝缘体是一种新的宏观量子物态。
最简单地说：拓扑绝缘体材料的内部是不导电的，表面是导电的。关键在于表面的导电怎样导法，是典型的金属型导电，还是超导导电？
传统上固体材料可以按照其导电性质分为绝缘体和导体（半导体也是绝缘体），其中绝缘体材料在其费米能处存在着有限大小的能隙，因而没有自由载流子；金属材料在费米能级处存在着有限的电子态密度，进而拥有自由载流子。而拓扑绝缘体是一类非常特殊的绝缘体，从理论上分析，这类材料的体内的能带结构是典型的绝缘体类型，在费米能处存在着能隙，然而在该类材料的表面则总是存在着穿越能隙的狄拉克型的电子态，因而导致其表面总是金属性的，可以导电。拓扑绝缘体这一特殊的电子结构，是由其能带结构的特殊拓扑性质所决定的。
拓扑绝缘体材料的表面和边界是能带结构表现为存在“狄拉克锥”，即能带有上下锥形相连的结构，处于锥边缘态的电子自旋会呈现涡旋排列，形成所谓自旋流并在磁场下表现出自旋霍尔效应。这也接近于普通的导电机理，但是也可以是超导体。
拓扑绝缘体是这几年凝聚态物理学兴起的热点领域，其中涉及许多重要的物理现象和物理机制，同时意味着广阔的应用前景。比如通过研究拓扑绝缘体中电子自旋的运动方式，我们就可以设法控制和识别电子的自旋。目前半导体器件仅仅是利用了电子的电荷性质，而且越来越小的电路元件使得电子的量子效应越明显，摩尔定律似乎已经走到了尽头。要想获得更多的信息处理容量，利用电子的另一个性质——自旋是一个非常明智的选择。
2. 什么是霍尔效应？
霍尔效应是电磁效应的一种，这一现象是美国物理学家霍尔（A.H.Hall，1855—1938）于1879年在研究金属的导电机制时发现的。当电流垂直于外磁场通过导体时，在导体的垂直于磁场和电流方向的两个端面之间会出现电势差，这一现象就是霍尔效应。这个电势差也被称为霍尔电势差。霍尔于1880年发现反常霍尔效应，就是不需要外加磁场。
1980年，德国科学家冯·克利青（Klaus von Klitzing）发现整数量子霍尔效应，于1985年获得诺贝尔物理学奖。1982年，美国科学家崔琦（Daniel CheeTsui）和施特默（Horst L. Stormer）发现分数量子霍尔效应，不久由美国物理学家劳弗林（Rober B. Laughlin）给出理论解释，三人共同获得1998年诺贝尔物理学奖。
在量子霍尔效应家族里，至此仍未被发现的效应是“量子反常霍尔效应”——不需要外加磁场的量子霍尔效应。
这里请大家记住：这个‘量子反常霍尔效应’是已经清楚知道存在的，没有原理上的任何问题，就差实验观测证实了。
3. 什么是超导效应？
就是说，普通的导体在一定温度下，电阻突然消失的现象。
1911年，荷兰莱顿大学的卡末林—昂内斯意外地发现，将汞冷却到-268.98℃时，汞的电阻突然消失；后来他又发现许多金属和合金都具有与上述汞相类似的低温下失去电阻的特性，由于它的特殊导电性能，卡末林—昂内斯称之为超导态。卡茂林由于他的这一发现获得了1913年诺贝尔奖。
高温超导体：1986年1月 在美国国际商用机器公司设在瑞士苏黎世实验室中工作的科学家柏诺兹和缪勒，首先发现钡镧铜氧化物是高温超导体，将超导温度提高到30K；紧接着，日本东京大学工学部又将超导温度提高到37K。1987年1月初 日本川崎国立分子研究所将超导温度提高到43K；不久日本综合电子研究所又将超导温度提高到46K和53K。中国科学院物理研究所由赵忠贤的研究组，获得了48.6K的锶镧铜氧系超导体，并看到这类物质有在70K发生转变的迹象。1987年2月16日 美国国家科学基金会宣布，朱经武获得转变温度为98K的超导体。1987年2月20日 中国也宣布发现100K以上超导体。1987年3月3日，日本宣布发现123K超导体。
最近几年，日本人报道了新的铁基超导体，中国注入大批科研资金，跟风开展铁基超导研究。超导方面有重大意义的原创工作还有两件：一是室温超导体，这样才能真正进入实用，二是，超导的基本原理，这个方面至今远远没有解决。尽管给了好几次诺贝尔奖，但是那些理论成果都是盲人摸象，没有解决其真正问题。
因为，拓扑绝缘体的表面导电性，可否有超导特性，应该有，但是不确定。如果证实有，那就是比较牛 ！这才是重大原创！
下面开始解说这个中美大PK。
中方：拓扑绝缘体方面的反常量子霍尔效应。
参与单位：清华大学和中科院北京物理所。领衔主演：薛其坤
中国团队经过数年不懈探索和艰苦攻关，最近成功实现了“量子反常霍尔效应”。这是国际上该领域的一项重要科学突破，该物理效应从理论研究到实验观测的全过程，都是由我国科学家独立完成。
该结果于2013年3月14日在Science上在线发表
杨振宁4月10日称赞其是诺贝尔奖级的成绩。
请注意：这是一项重要科学突破，地地道道的中国的本土工作。但是没有任何悬念！
美方：拓扑绝缘体方面的超导效应。
参加单位：美国伊利诺伊大学香槟分校（University of Illinois at Urbana-Champaign）与布鲁克海文国家实验室（Brookhaven National Laboratory）。
美国团队已经测量了拓扑绝缘体块体材料的超导表面状态，因为此处电荷载体已被成功地耗尽。此项研究论文发表在4月9日的《自然通讯》（Nature Communications）杂志。
——Sungjae Cho, Brian Dellabetta, Alina Yang, John Schneeloch, Zhijun Xu, Tonica Valla, Genda Gu, Matthew J. Gilbert, Nadya Mason. Symmetry protected Josephson supercurrents in three-dimensional topological insulators. Nature Communications, Volume: 4, Article number: 1689. DOI: 10.1038/ncomms2701. Published 09 April 2013.
请注意：这项结果有悬念，如果后来能被证实是正确的，将来很有希望实现室温超导，那时候这件工作一定会得到诺贝尔奖。算不上是地地道道的美国的本土工作，作者中有中国人。
博主简单评述：
1. 这次中国团队的工作，我觉得跟诺奖完全无关。
2. 美国团队的工作需要别的团队证实是正确的，如果证实错误，那就是乌龙一个；如果证实争正确了，并且将来实现了更高温度的超导，接近或者达到室温，那么这份工作肯定要授给诺奖。因此还需要继续前进。
3. 拓扑绝缘体现在这么热，股票市场的科技股都因为这个概念大涨。这个领域的开创者有好几位，相信将来一定会给诺奖，比较有希望的是其中一位华人，张首晟，以前我的博文里面多次提到过的：
由张首晟获2012年狄拉克奖叹落后的中国的科学研究前沿
庄小威 PK 张首晟，饶毅 PK 施一公，北大 PK 清华
一篇 2012 诺贝尔物理奖预测
一些诺贝尔奖级别的成果和工作
4. 科学最前沿的研究，拼的纯粹是智商，无关乎情商。尽管，我也殷切希望中国尽快能有重大原创性工作出出来。
参考文献：
“量子反常霍尔效应”研究获突破
http://paper.sciencenet.cn/htmlpaper/201331513142223128244.shtm
杨振宁盛赞中国科学家实验发现量子反常霍尔效应
http://news.sciencenet.cn/htmlnews/2013/4/276620.shtm
薛其坤院士解释量子反常霍尔效应
http://news.sciencenet.cn/htmlnews/2013/4/276680.shtm
【微博】清华可能要摊上大事了
http://blog.sciencenet.cn/blog-40615-678947.html
拓扑绝缘体的超导特质证明
tp://blog.sciencenet.cn/blog-212210-679197.html
引力场方程
2015年2月24日 19:09
.爱因斯坦场方程：
R_uv-1/2*R*g_uv=κ*T_uv
R_uv-1/2*R*g_uv=κ*T_uv
（Rμν-（1/2）gμνR=8GπTμν/（c*c*c*c） -gμν）
说明：g_uv为度规，κ为系数，可由低速的牛顿理论来确定。"_"后字母为下标，"^"后字母为上标。
意义：空间物质的能量-动量（T_uv）分布=空间的弯曲状况（R_uv）
解的形式是：ds^2=Adt^2+Bdr^2+Cdθ^2+Ddφ^2
式中A,B,C,D为度规g_uv分量。
考虑能量－动量张量T_uv的解比较复杂。最简单的就是让T_uv等于0，对于真空静止球对称外部的情况，则有施瓦西外解。如果是该球体内部的情况，或者是考虑球体轴对称的旋转，就稍微复杂一点。还有更复杂的星云内部或外部的情况，星云内部的星球还要运动、转动等。这些因素都要影响到星云内部的曲面空间。
2.含宇宙常数项的场方程：
R_uv-1/2*R*g_uv+Λ*g_uv=κ*T_uv
此处的Λ是宇宙常数，其物理意义是宇宙真空场。Λ*g_uv为宇宙项。
如果从数学上理解的话，则上面的场方程也可解出下面的形式：
ds^2=Adt^2+Bdr^2+Cdθ^2+Ddφ^2![[1]](http://img.t.sinajs.cn/t4/appstyle/expression/ext/normal/82/one_org.gif "[1]")
式中A,B,C,D为度规g_uv分量。
这里的ds就是表达空间弯曲程度的一小段距离。同时因为4维空间与时间有关，ds随时间也会变化。这时，如果没有宇宙项，ds随时间是增大的，宇宙就是膨胀的。如果加了宇宙项，选取适当的Λ值，ds不随时间变化，宇宙就是稳定的。
如果从物理意义上理解的话，把宇宙项移到式右边，则是：
R_uv-1/2*R*g_uv=κ*T_uv-Λ*g_uv
Λ项为负值，起到了斥力的作用，即宇宙真空场与普通物质场之间存在着斥力。宇宙项和通常物质场的引力作用起到了平衡的作用，所以可得到稳定的宇宙解。
2性质编辑
非线性
爱因斯坦场方程的非线性特质使得广义相对论与其他物理学理论迥异。举例来说，电磁学的麦克斯韦方程组跟电场、磁场以及电荷、电流的分布是呈线性关系（亦即两个解的线性叠加仍然是一个解）。另个例子是量子力学中的薛定谔方程，对于概率波函数也是线性的。
对应原理![[抱抱]](http://img.t.sinajs.cn/t4/appstyle/expression/ext/normal/27/bba_org.gif "[抱抱]")
透过弱场近似以及慢速近似，可以从爱因斯坦场方程退化为牛顿重力定律。事实上，场方程中的比例常数是经过这两个近似，以跟牛顿重力理论做连结后所得出。
牛顿重力理论 is like 电场、磁场以及电荷、电流的分布是呈线性关系, 線性疊加
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※ 引述《couch》之銘言： 會使用分離變數法，通常是因為以下的特性： 線性方程的解，作線性疊加之後，仍然滿足原方程 因為這個特點，所以，我們對於解線性(偏)微分方程，得到一個重要的提示： 如果我們可以找到足夠多的解當基底 所有滿足這個方程的解，都可以透過線性疊加的方式合成 因此，我們就可以使用線性代數的技巧，使計算更為方便 這裡有三個主要的考量點： 1. 如何確定找到的解夠多，足夠當成基底來用 2. 找基底的方法是否夠簡單。 如果還要花一大堆力氣找基底，抵消掉使用線性代數變成更加方便的好處 那就失去做這件事情的意義了 3. 我所找到的基底是否適用於我想解的問題。 即使是線性疊加，但許多時候我還有其它的條件限制，例如邊界的長像 使得某些基底並不適用於我想解的問題 ---------- 分離變數法最大的精神是，想辦法把偏微分方程變成常微分方程 這個過程，使得解偏微分方程的難度，降低好幾個數量級 因此滿足條件 (2) 而最大的問題是，"我會不會漏掉某些解沒找到"？ 換句話說，到底條件 (1) 滿不滿足 這件事情，很幸運地，在數學上可証明 使用分離變數法找到解，足夠多到可以當基底使用 所以現在問題就只剩下條件 (3) 了...... ---------- 這時，一個很重要的觀念必須引入：對稱 我們發現，當我們所解的問題滿足某種對稱時 解的長像似乎也會滿足某種對稱性 這讓我們又有另一項提示：座標系的選取 當我們所解的問題 其邊界長像是方形對稱時，二話不說就用直角坐標系 而長像是柱狀對稱時，就使用圓柱坐標系 而長像是球狀對稱時，就使用球坐標系 總之，座標系的選取，要儘量滿足所解問題的對稱條件 那如果沒有滿足對稱條件，是不是不能解？ 不是，還是可以解，只不過，當你在縫合邊界條件時 因為坐標系與邊界不對稱，你一定會一邊縫合一邊訐譙 !@#$%^&* 當然當你花了一堆力氣縫合完成時，你也得到了正確解答 ---------- 其實，當我們使用分離變數法時， 我們發現，在許多情況，我們都在解以下的問題： Ａ(x) f(x) = λ f(x) Ａ(x) 代表一個線性運算子，例如 d/dx, 或 (d^2/dx^2 + x^2) ... 等 λ是一個常數 眼尖的人一看，就明白這是個典型的 eigenvalue problem 想辦法找到這個方程的 eigen function 就好了 不過在許多時候，eigenvalue 與 eigen function 並不是那麼容易找 所以，通常我們會使用一些技巧，作變數變換成以下的形式 Ｂ f(y) = λ f(y) Ｂ也是一個線性運算子，不過與Ａ不同的是，Ｂ是常線性運算子，與 y 無關 簡化到這個地步，我們可以使用葵花寶典了 Laplace transform 或 Fourier transform 將這個問題變成代數方程式，問題難度再降低幾個數量級 ---------- 當問題變簡單，你可以爽爽地算 你會發現，最後一步通常都是縫合邊界條件 不過縫合時，又會碰到一顆小小的石頭 就是，各個可能解的係數要怎麼挑，才會滿足邊界條件 這一點，就想辦法拿出你家的剪刀菜刀剃頭刀 使用各種學過的工具，如 Laplace Fourier z conformal.... 得到你要想的係數 這時就功德圓滿大功告成了 ---------- 咦？會不會你只找到一種可能解 會不會存在其它解，同時滿足此偏微分方程，與所給定的邊界條件 嗯，這是所謂解的唯一性問題 這個問題，我們經由數學証明，會得到一些條件 以我們常遇到的線性偏微分方程而言，大部分都是二次偏微分方程 而二次方程分成三大類：橢圓方程(位能)，雙曲方程(波動)，拋物方程(熱傳導) 這三大類方程的唯一性，則由邊界條件是否滿足某些特性而決定 很幸運地，在大部分我們所處理的狀況，解的唯一性是成立的 ※ 引述《couch》之銘言： > ※ 引述《ccos.bbs@bbs.ntu.edu.tw (vee vee vee vee)》之銘言： > > 第一次聽到這種說法 感覺很新鮮 小時候基本上是管他三七二十一算出答案 > > 就不管了 現在年紀大了才知道要多想 不知道您上述的講法是從哪本書看來 > > 的 想找來翻翻 > > by Cheng Cosine > > Jun/07/2k3 Ut > mmm.... > 這些是老師上課提到的觀念 > 我不知道書找不找的到 > 但講一些我聽到的東西好了 > 像在解擴散的Fick's second law時 > short time會用Green's function的方法解 > 解出所謂的thin film solution(是個Gaussian function) > 然後再利用boundary condition來決定要怎麼把這些Gaussian functin加起來 > long time時則用分離變變數(跟前面提到的decouple有關) > 分完了你愛用哪種transform或級數展開把解算出來就隨便你囉 > 這兩種方法的不同除了以上所說的 > 還有一個就是級數要收斂的問題 > 倒過來用應該也是可以解 > 只是寫出來的解會寫到手軟還不一定收斂得下來 > 量子力學的話會瞰的解釋(以氫原子來說) > 單從分離變數方法來看 > 可能就只能說是數學上解pde的手法 > 但是因為氫原子是central force problem > radial的部分的operator(這我沒聽過有名字) > 和L^2 , Lz三者是commute > 所以三者各自的eigentfunction可以分開來解 > 而且可以用乘法湊起來 > 從operator的觀點來看就可以去interpret分離變數法 > 但我覺得以上只是物理各領域中的不同看法 > 重點應該是用分離變數法解出來的解可以用來展開任何可能的解 > 所以管他解出來對不對 > 反正對的答案最後一定可以湊出來就好啦
相对论与黎曼几何-7-黎曼几何精选
相对论与黎曼几何-7-黎曼几何
精选
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7. 黎曼几何
在介绍“内蕴几何”一节中说过，高斯以他的“绝妙定理”建立了曲面内在的微分几何。之后，是高斯的得意门生黎曼，将曲面的概念扩展到流形（Manifolds），将内蕴几何扩展到n维的一般情形，建立了黎曼几何。
和高斯一样，黎曼（1826-1866）也是德国数学家，同样出生在贫困的普通家庭。黎曼比高斯刚好小五十岁，于1826年生于德国的一个小村庄，有趣的是，按时间算起来，高斯那时候正好在这个地区进行土地测量。时间的巧合，给人一种异想天开神话式的联想：上帝是否就在那时候，将非欧几何-黎曼几何的思想种子，植根到了那片被丈量的土地上。
遗憾的是，黎曼只活了39岁，不过，他短暂的一生，却对数学做出了杰出的贡献。他小时候家境贫困，但父亲是教堂的牧师，很重视儿子的教育，也注意到黎曼在数学上的杰出能力。因此，父亲没有为了尽早改善家庭的经济状况而阻止黎曼往数学的方向上发展，这才有了现代数学上著名的黎曼面、黎曼几何、黎曼猜想、……等等。
黎曼19岁进入哥廷根大学读书时，高斯将近70，已经是那儿鼎鼎有名的教授，正是在听了高斯的几次数学讲座之后，黎曼才下决心改修数学。
1847年，黎曼转入柏林大学学习，也许是冥冥中某种力量的召唤，两年后他又回到哥廷根大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。博士毕业后，黎曼为了申请哥廷根大学的一个“无薪”教职，需要作一个难度颇高的就职演说。为了确定论文的选题，他向高斯提交了3个题目，以便让高斯在其中选定一个。没想到高斯选中了黎曼当时并没有多少准备的几何基础题目。更没想到的是，正是这篇黎曼花了不到两个月时间准备出来的演讲论文《论作为几何基础的假设》（原文见【1】，英文翻译版见【2】），提出了一大堆陌生概念，开创了一种崭新的几何体系，令哥廷根的数学同行们大吃一惊。
某些传言可能并不过分，据说当时在黎曼就职演讲的听众中，唯有高斯听懂了黎曼在说些什么。
从前面“内蕴几何”一节中，我们已经知道：根据曲面的第一基本形式，也就是曲面上计算弧长的公式，可以建立起曲面的内蕴几何。三维空间中两个参数u和v所描述的曲面的第一形式可用下式表达：
ds2 = E du2 + 2F dudv+ G dv2 （2-7-1）
图2-7-1：平面（a、b）和球面（c）上的弧长（微分）表达式
公式（2-7-1）中的E、F、G是曲面第一基本形式的系数。黎曼在他的就职演说中，将二维曲面的概念扩展为“n维流形”，将E、F、G等系数扩展为定义在n维黎曼流形上每一点p的“黎曼度规”gij(p)：
有了度规，就有了度量空间长度的某种方法，也就才能够测量和计算距离、角度、面积等等几何量，从而建立流形上的几何学。首先，我们可以从图2-7-1所示的平面和球面上的弧长微分计算公式，对黎曼度规gij得到一点直观印象。对图中的二维平面和二维球面，下指标i和j的取值从1到2，这时，可以将度规gij写成2×2的矩阵形式：
总结一下上面3种情况下度规的性质：a.平面直角坐标的度规是个简单的dij函数（i等于j时为1，否则为0），而且对整个平面所有的p点都是一样的；b.平面极坐标的度规对整个平面不是常数，随点p的r不同而不同；c.球面坐标上的度规也不是常数。由上面a和b的结论可知：同样是描述平面，但如果所选择的坐标系不同，度规也将不同。平面上的极坐标和直角坐标是可以互相转换的，因此，第二种情况b的极坐标度规可以经过坐标变换而变成a那种dij函数形式的度规。那么，现在就有了一个问题：第3种情况的球面度规是否也可以经过坐标变换而变成如a所示的那种d形式的度规呢？对此数学家们已经有了证明，答案是否定的。也就是说，在ds保持不变的情形下，无论你作何种坐标变换，都不可能将球面的度规变成a所示的d形式。由此表明，球面的内在弯曲性质无法通过坐标变换而消除，黎曼度规可以区分平面和球面或其它空间的内在弯曲状况。
一般来说，黎曼流形上每一点p的“黎曼度规”gij(p)随p点的不同而不同，这种以空间中的点为变量的物理量叫做“场”。
像黎曼度规gij(p)这种具有两个指标（i和j），并且在坐标变换下按一定规律变化的几何量叫做二阶张量。因此，gij(p)是黎曼流形上的2阶张量场。不难看出，对n维流形上的点p，gij(p)在给定的坐标系中有n2个分量，因而可以表示成一个n×n的矩阵。除了2阶张量场之外，黎曼流形上也能定义0阶张量（标量）场、1阶张量（矢量）场、3阶、4阶以及更高阶的张量场。
张量在物理及工程上有广泛的应用，尤其是大家所熟知的“矢量”的概念，连日常生活中也都比比皆是：速度、加速度、力、电流、水流、电场、磁场等等，这些既有方向，又有大小的物理量，都可以用矢量来表示。n维空间的矢量有n个分量，标量则只有1个分量，比如温度、湿度、密度、能量等，属于标量。
物理量表达的是某种物理实在，应该与人为选择的坐标系无关。因此，标量、矢量、张量等，都是独立于坐标系而存在的。只不过，为了测量和计算的方便，人们总是要选取一定的坐标系，这样一来，这些量在不同的坐标系之下，便有了不同的分量值。然而，无论坐标系如何选取，因为总是对应于同一个东西，总有些量是不会改变的。因此，在坐标系变换时，张量的坐标分量便必须遵循某种规则，才能保证这一点。就好比对于同一个人，不同的人对他可以有不同的称呼：“爸爸”、“儿子”、“爷爷”、“哥哥”、“弟弟”，都有可能。但是，这些称呼之间的变换应该会符合某些逻辑原则，才能保证它们指的是同一个人。
有时候，坐标系的选取可以简化计算，或者更清楚地表征空间的某种性质。前面所说的度规张量就是如此。如果一个黎曼流形上每一点的的度规张量都可以写成dij函数形式的话，黎曼将其称之为“平”流形。流形“平”或“不平”，定义在它上面的几何规律将完全不同。
黎曼将二维曲面的球面几何、双曲几何（即罗巴切夫斯基几何）、和欧氏几何，统一在下述黎曼度规表达式中：
公式（2-7-6）中的a，是2维曲面的高斯曲率。当a=+1，度规所描述的是三角形内角和E大于180度的球面几何；当a=-1，所描述的是内角和E小于180o的双曲几何；当a=0，则对应于通常的欧几里德几何。黎曼引入度规的概念，将3种几何统一在一起，使得非欧几何焕发出蓬勃的生机。
如同我们看到的嵌入三维空间中的大多数二维曲面都不是可展的一样，大多数流形都不是“平”的。高斯定义了高斯曲率来描述平面和“不可展”曲面的差异，黎曼将曲率的概念扩展为“黎曼曲率张量”。那是n维流形每个点上的一个四阶张量，张量的分量个数随n的增大变成很大，并且表达式非常复杂。不过，由于对称性的原因，可以将独立的分量数目大大减少。
也可以用黎曼定义的“截面曲率”来描述流形的内在弯曲程度。为此需引进过流形上一点p的切空间的概念。在这儿需要强调的是，黎曼研究的是一般情况下的n维流形，通常n>=3，但我们人类的大脑想象不出，计算机也画不出来这些高维而又“不平坦”的流形是个什么样子，所以只好用嵌入3维空间的2维曲面的图像来表示这种“弯曲”流形，如图2-7-2所示。
图2-7-2：流形和过每一点的切空间
一个n维流形过点p的切空间是一个n维的欧氏空间。设Pp是这个欧氏切空间中的一个平面，截面曲率 K(Pp) 定义为以Pp作为切平面的n维流形过p点的那个2维截面的高斯曲率。在特别情况，如果n=2的话，即对2维流形而言，只有一个截面曲率，正好就是原来的高斯曲率。
上面的表述对n大于2的情况不好直观想象，对n等于2又稍微显得平凡。尽管如此，从图2-7-2中，我们仍然可以将2维曲面图像添加一些想象而延伸到一般的流形及其切空间，从而得到某种直观印像。
黎曼是把流形概念推广到高维的第一人。流形的名字来自他原来的德语术语Mannigfaltigkeit，英语翻译成manifold，是多层的意思。一般的流形，不但“不平”，而且其“不平”度还可以逐点不一样，流形的整体也可能有你意想不到的任何古怪形状。不过，黎曼流形仅仅指其中定义了黎曼度规的可微分流形。
形式上来看，黎曼是将高斯的2维曲面几何推广到了n维，但实际上黎曼所做工作的意义远不止于此。首先，高维流形中的曲率的概念要比2维曲率丰富得多。此外，因为黎曼度规是基于弧长微分ds的计算公式，所以黎曼几何完全不同于之前的欧几里德几何，或笛卡尔坐标几何那种对整个空间都适用的几何学，而是一种局部化的几何。这是黎曼在几何上迈出的革命性的一步。研究黎曼几何时，我们不需要整个空间，只需要其中局部的一小块就够了。在黎曼流形上的每一点，都可以定义一个切空间，从而再进一步建立起黎曼流形上的微分运算等，这些将在下一节中介绍。
参考资料：
【1】Ueberdie Gesetze der Vertheilung von Spannungselectricität in ponderabeln Körpern,wenn diese nicht als vollkommene Leiter oder Nichtleiter, sondern als demEnthalten von Spannungselectricität mit endlicher Kraft widerstrebendbetrachtet werden
(Amtlicher Bericht über die 31. Versammlung deutscher Naturforscher undAerzte zu Göttingen im September 1854)
【2】On theHypotheses which lie at the Bases of Geometry
(Bernhard Riemann, translated by William Kingdon Clifford, Nature, 8(1873), 14-17, 36-37)
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