风险来自主体风险偏好自我強化的收缩
二次型及其标准形
我们只研究实数域上的二次型，即实二次型。 上式中，要求 (i ＜j) 的系数写成2 。
Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(=￣ U ￣=)~) 2009-01-24 22:35:35
物理上有个定理叫做最小作用量原理，这是力学的基础。这个定理说，粒子总是沿着作用量极小的那条路径运动的。
作用量说白了就是粒子的动能和势能的差。大家都知道动能正比于速度的平方。但是你考虑粒子未必只有一个独立的速度分量，特别是那些由许多粒子构成的系统，可能会有成千上万个速度。所以一般来说，动能是速度的二次型。也就是说，可以写成中间一个矩阵，速度矢量夹在两边。中间那个矩阵地位与质量相当，有时就称为质量矩阵。
好了，现在我们有一个很重要的要求，就是质量矩阵必须是正定的。
为什么呢？因为正定矩阵的二次型也是正定的，也就是说最少最少也要是0.
作用量要极小化，如果质量矩阵不是正定的，那么动能就可以是负的。这样我们如果使某些速度无限地增大，动能就越来越负，作用量就没有底了，怎么极小化呢。所以质量矩阵的正定性是能够实现作用量极小的要求，一切物理上合理的系统都应该具有正定的质量矩阵。
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我来说一个正定矩阵在物理上的应用。Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(=￣ U ￣=)~) 2009-01-24 22:35:35
物理上有个定理叫做最小作用量原理，这是力学的基础。这个定理说，粒子总是沿着作用量极小的那条路径运动的。
作用量说白了就是粒子的动能和势能的差。大家都知道动能正比于速度的平方。但是你考虑粒子未必只有一个独立的速度分量，特别是那些由许多粒子构成的系统，可能会有成千上万个速度。所以一般来说，动能是速度的二次型。也就是说，可以写成中间一个矩阵，速度矢量夹在两边。中间那个矩阵地位与质量相当，有时就称为质量矩阵。
好了，现在我们有一个很重要的要求，就是质量矩阵必须是正定的。
为什么呢？因为正定矩阵的二次型也是正定的，也就是说最少最少也要是0.
作用量要极小化，如果质量矩阵不是正定的，那么动能就可以是负的。这样我们如果使某些速度无限地增大，动能就越来越负，作用量就没有底了，怎么极小化呢。所以质量矩阵的正定性是能够实现作用量极小的要求，一切物理上合理的系统都应该具有正定的质量矩阵。
- 嗯，还有一个例子，就是量子力学。
Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(=￣ U ￣=)~) 2009-01-24 22:59:48
量子力学的数学基础之一是Hilbert空间。Hilbert空间是一个内积空间。向量和自己的内积也是二次型，一般都是正定的。更装逼一点地说，就是Hilbert空间的度规是正定的。但是在相对论性量子力学里，我们发现Hilbert空间再也不能完备所有的波函数了，我们必须引入非定度规的线性向量空间。在非定的度规下，波函数和自己的内积可以是负的，整个量子力学的测量理论都要为此而改写。
一个向量的模方还可以是负的？不要感到诧异，这有着非常重要的物理意义，这代表了反物质的出现。描写正常物质的波函数的模方是正的，而描写反物质的波函数的模方是负的。从物理上说，反物质的出现是一种狭义相对论的量子效应，而其数学基础与度规的正定性有着密切的关系。
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我建議從雙線性函數的角度來看,荒野大嫖客 (Je pense donc je suis!) 2009-12-20 15:59:46
因為不論是二次型還是正交變換, 實際上都可以統一的理解到雙性性函數來, 而進一步的, 我們就會想到會不會和算子有關? 會不會有空間的理論有關, 那麼由此引出用特徵值來描繪一下:
A正定 iff. 其每個特徵值均為正數!
為什麼呢? 比如\lamda是特徵值, 那麼\alpha^{'}A\alpha=\alpha^{'}\lamda\alpha, 整理成\lamda的式子就得到了.
好了, 再進一步, 我們又知道, 對於對稱矩陣而言, 一定正交相似於diag{\lamda_1,\cdots,\lamda_n}, 那麼對於正定矩陣呢?
首先, 可以看到正定矩陣正交合同於diag{\lamda_1,\cdots,\lamda_n};
然後, 再看看, for each k\ge2, 一定有A=B^k, 其中B為正定矩陣
當然, 如果你還記得矩陣的QR分解, 那麼除了你先前明白的正定陣可以表為P^{'}P, P為可逆陣, 還可以進一步的發現正定陣可以表為R^{'}R, R為正線上三角陣
至於說到應用, 別的不說, 就來談談比較兩個簡單的數學應用好了:
1.分析裡講到的多元函數極佳法的原理;
2.解析幾何對二次曲線的分類討論
etc...
如果你是念數學科的, 建議你多看看泛函方面的知識, 如果實在不行, 看看矩陣論之類的書應該也行
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![[已註銷]](http://img3.douban.com/icon/u1059223-1.jpg)
- 2009-12-21 09:23:51 楚天舒 (Google on a surface)
whale|抛砖引玉的砖 2009-12-22 19:21:12
正定二次型的一个典型例子，隐形眼镜，其零点是唯一的。
半正定的二次型的一个典型例子是鸭舌帽的帽舌，其零点是一条线。
不定型的典型例子，工作中的护翼型卫生巾。护翼部分在零下，其他部分在零上。
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good!
@Everret, E大，“从物理上说，反物质的出现是一种狭义相对论的量子效应，而其数学基础与度规的正定性有着密切的关系。” 貌似闵氏度量是负定的。特征值的trace才是正定的。前者表明时空是不一样的，后者说明因果律只在小于或等于光速下适用。这个例子有点欠妥。牧城的格致传说 (客里似家家似寄) 2013-12-09 10:30:29
正定矩阵其实物理上的地位还远不如幺正和厄米（厄米的exponential是幺正，或者说幺正的生成元是厄米，所以这俩焦不离孟）。其实正定矩阵本身就是厄米矩阵的一种，只不过其本征值都是正的实数。厄米矩阵的本征值是实数。因此类比数域的话，在矩阵中，正定矩阵相当于正实数，厄米矩阵相当于实数，而幺正就相当于复数了。所以一般学习的话都是先学正定矩阵，随后推广到厄米，再推广到幺正。
- 如果f(x,y)满足f(ax+by,z)=af(x,z)+bf(y,z)，且f(x,y)=f(y,x)。就说f是对称双线性函数，
[已注销] 2013-12-09 11:39:12
事实上引入双线性函数是为了对点积进行抽象，你验证下点积是不是符合这两个性质？但是除此之外，点积还要满足f(x,x)>0，除非x=0，那么满足这个条件的对称双线性函数就叫做正定的。所以正定对称双线性的引入是为了在线性空间中引入度量成为所谓的欧氏空间。
你要注意到，一个双线性函数，实际上完全由它在线性空间的基处的值决定，也就是f(bi,bj)的值决定了整个f(x,y)。自然我们可以把f(bi,bj)排成矩阵，那么这个矩阵就完全决定了这个双线性函数。
正定对称双线性函数的矩阵，我们成为正定矩阵。
这就是背后动机（一种理解）。
您看看。
正定阵就是对称双线性函数的矩阵。你知道这点就行了，要在线性空间上引入度量形成欧氏空间
PR 2013-12-11 22:17:37
@Everret, E大，“从物理上说，反物质的出现是一种狭义相对论的量子效应，而其数学基础与度规的 @Everret, E大，“从物理上说，反物质的出现是一种狭义相对论的量子效应，而其数学基础与度规的正定性有着密切的关系。” 貌似闵氏度量是负定的。特征值的trace才是正定的。前者表明时空是不一样的，后者说明因果律只在小于或等于光速下适用。这个例子有点欠妥。 正定矩阵其实物理上的地位还远不如幺正和厄米（厄米的exponential是幺正，或者说幺正的生成元是厄米，所以这俩焦不离孟）。其实正定矩阵本身就是厄米矩阵的一种，只不过其本征值都是正的实数。厄米矩阵的本征值是实数。因此类比数域的话，在矩阵中，正定矩阵相当于正实数，厄米矩阵相当于实数，而幺正就相当于复数了。所以一般学习的话都是先学正定矩阵，随后推广到厄米，再推广到幺正。 ... 牧城的格致传说是的，一阶Hermitian矩阵其实就是实数，一阶正定阵就是正数，半正定就是非负数
正定矩阵必须是对称的，这是常识好吧…非线性 (Enchanté!) 2015-02-03 10:04:56
试想若某不对称矩阵A，假设其特征值全部为正，则
一定存在某不全为零列向量x，使得
x' A x < 0。
这种向量只要找到一个就行。证明方法也很简单。对于任意随机生成的矩阵A，保证其特征值全部是正的。然后随机生成一系列向量x，进行乘积运算，很快就能找到负的。
从理论上讨论，若A不对称则无法保证 x' A x 永远为正。
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