[PPT]第二节复平面上的点及集
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3、复平面上的有界闭集称为紧集。 ... 即是一条除端点外不自交的连续曲线，那么上 ... 约当定理：任意一条约当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有 ...能否通俗讲下平面闭曲线把平面分为两部分的数学证明？
难点在闭或连通性的严格数学定义么？主要需要考虑哪些直观容易忽略的问题？
另外关于这一类直观明显但数学证明却繁琐的问题还有哪些例子，你的看法如何？
另外关于这一类直观明显但数学证明却繁琐的问题还有哪些例子，你的看法如何？
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3 个回答
知乎用户，二次元学术宅
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高YZ、Leung Garging、2b青年 赞同
【以下仅为个人的观点】
首先，这个问题等价于证明如下命题：
在单位圆盘
内连接边界
上两个不同点并且不经过的其它点的Jordan曲线把分割为两个道路连通分支。
等价性可以通过
看出来（但证明不平凡）。命题的证明方法可以用基本群，上同调或者复分析（winding number）等等。证明难点在于，如何说清楚这个命题是对的，也就是从逻辑推理上没有问题。历史上有很多人尝试过证明它但失败了。
拓扑上有很多这样的问题和例子，也有很多看似很显然但是不对的命题。比如
假设
为使得
同胚于球面
的区域，问
是否单连通？
所以当做研究遇到拓扑上的问题的时候，我们都会很小心的……【这也是我经常遇到很头疼的问题】所以在平面上的时候我都是倾向于用复分析来试图摆脱拓扑方面的问题。【赞美黎曼！】
================2015年4月27日15:36:17（赫尔辛基时间）==============
关于最后一个命题的参考资料为：Schoenflies problem和Alexander horned sphere
首先，这个问题等价于证明如下命题：
在单位圆盘
等价性可以通过
拓扑上有很多这样的问题和例子，也有很多看似很显然但是不对的命题。比如
假设
所以当做研究遇到拓扑上的问题的时候，我们都会很小心的……【这也是我经常遇到很头疼的问题】所以在平面上的时候我都是倾向于用复分析来试图摆脱拓扑方面的问题。【赞美黎曼！】
================2015年4月27日15:36:17（赫尔辛基时间）==============
关于最后一个命题的参考资料为：Schoenflies problem和Alexander horned sphere
不妨审视一下我们的直观。比如我说：平地上放一条首尾相接但不自交的绳子就可以围出一块地方。直观的理由是什么呢？也许我们论证道，在绳子两侧，至少有一侧，我们从那里不能不跨过绳子而走到远处的一棵树下去——因为假使沿着绳子一侧走，我们开始在左侧那么一直会在左侧；如果有一阵不沿着绳子走的话，呃，又没有地道，怎么可能跑到外面去呢？
加粗的字就是直观忽略的地方，也就是论证的难点。比如设法把上面的说法数学化。为了能沿着绳子走，数学上我们需要简单闭曲线有正则邻域，要解决这个困难可以权且假定曲线光滑（或逐段笔直）。但是，外面的说法完全是围出一块地方的循环论证，我们没有能够证明平面被分成了至少两个区域。我们更没有说明平面被分成了恰好两个区域，以及有界的那一个拓扑上是圆盘。与其说结论直观上明显，还不如说经验限制了我们的想象力。
作为普及性地展示，下面是一个特殊情况的证明概要：假设简单闭曲线是逐段笔直的线段组成的环路，证明曲线分平面恰为两部分，有界的部分是以曲线为边界的圆盘。
加粗的字就是直观忽略的地方，也就是论证的难点。比如设法把上面的说法数学化。为了能沿着绳子走，数学上我们需要简单闭曲线有正则邻域，要解决这个困难可以权且假定曲线光滑（或逐段笔直）。但是，外面的说法完全是围出一块地方的循环论证，我们没有能够证明平面被分成了至少两个区域。我们更没有说明平面被分成了恰好两个区域，以及有界的那一个拓扑上是圆盘。与其说结论直观上明显，还不如说经验限制了我们的想象力。
作为普及性地展示，下面是一个特殊情况的证明概要：假设简单闭曲线是逐段笔直的线段组成的环路，证明曲线分平面恰为两部分，有界的部分是以曲线为边界的圆盘。
- 这时候，简单闭曲线有一个邻域是一个平环，且曲线为平环的中心线。从平环一侧边出发，如果有一条逐段笔直的道路由此不跨越平环而联结到另一侧，则这条道路有一个带状邻域和平环共同组成平面的一个子区域。但这个子区域拓扑上同胚于环面挖去一个圆盘。用代数拓扑（比如相交形式）的知识，就平面的子区域而言这是不可能的。因此简单闭曲线两侧不能道路连通，曲线至少分平面为两部分。
- 平面任何一点可以沿一条逐段笔直的道路抵达平环至少一侧，因此曲线分平面至多为两部分。
- 现在知道曲线分平面恰为两部分，易见其中一部分有界。为了说明有界的那块区域同胚于以曲线为边界的圆盘，这里承认区域可以剖分为有限个三角形的并，则同胚的论证可以通过坍塌边界附近的三角形归纳完成。
理解Jordan 曲线定理需要代数拓扑的知识。把直观严格化并不是一件容易的事情。
纽结理论_百度百科
baike.baidu.com/view/1306691.htm
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与平面上的圆周等价的纽结称为平凡纽结（因为把未打结的绳子两头捻合得到的圈 ... 如果不是考虑一条闭曲线,而是同时考虑h条闭曲线，要求它们既不自交也不互交, ...拓扑学奇趣（续） - 力学园地
lxyd.imech.ac.cn › 释疑解惑
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2011年9月15日 - 如果可以，那么在拓扑观点上这些绳圈也就没有分别了。 ... 简单的闭曲线，意思是连通的(连成一体的)、封闭的(没有端点的)、不自交的(自己 ... 所以，一个平面上的圆圈是一个纽结，它是一个未打结的纽结，我们称它为一个“平凡纽结”。能否通俗讲下平面闭曲线把平面分为两部分的数学证明 ... - 知乎
www.zhihu.com/question/29916787
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2015年4月27日 - 【这也是我经常遇到很头疼的问题】所以在平面上的时候我都是倾向于用复 ... 比如我说：平地上放一条首尾相接但不自交的绳子就可以围出一块地方。[PPT]第二节复平面上的点及集
222.21.42.100/Tsys/UpLoadFiles/PPT课件/.../1_2.ppt
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3、复平面上的有界闭集称为紧集。 ... 即是一条除端点外不自交的连续曲线，那么上 ... 约当定理：任意一条约当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有 ...旋转曲面变换PSO算法解非线性最优控制问题_CNKI学问
xuewen.cnki.net/CJFD-KZYC200504026.html
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它不要求被优化函数具有可微、可导、连续等性质,算法简单. ... 曲面,如上述所提的旋转曲面的特性,可相应得出。1 基本概念平面上不自交的闭曲线称为Jordan曲线。[PDF]漫谈几何学的形象思维与综合推理
www.yau-awards.org/fudao/.../ShenYibing080730.pdf
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简单闭曲线（折线）：没有自交（自身相. 交）点的平面闭曲线（折线）。 ○ 约当（Jordan）图 论: 第四版 (2013) - 第 105 頁 - Google 圖書結果
https://books.google.com.hk/books?id=3Zi8AAAAQBAJ - 轉為繁體網頁
Reinhard Diestel - 2013
直接证明(即不使用 MacLan6 定理)网可以拓广成为网的双圈檀盖 1). (为拓扑学者准备的)构造性地证明 ... 设网是平面中的一条闭曲线,在平面的任意给定点,它与本身最多相交一次,并且每个这样的自交都是真交叉(010061 CTossing).如果我们可以把这些交叉安排成从 ... 中的曲线不是闭的,结论会改变吗?平面上树的平面对偶是什么呢?[PDF]极限环的稳定性和对应矢量场的散度 - 力学学报
lxxb.cstam.org.cn/CN/article/downloadArticleFile.do?...
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由 薛问西 著作 - 1984
璐. 在二,. 力平面上给定了一个矢量场. ,. 夭量场的流线就是. 的解曲线. 相邻流. 线构成的 ... 的一个不自交的闭的解曲线, 即 .... 能联成一条与方向场一致的简单闭曲线,
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