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2013年4月2日 - 電子自能01 自我作用能(Self-energy) 當外加電子與原均勻分佈電子氣發生交互作用，而在其自身周圍產生一帶正電之電子雲時，此電子雲也會反 ...轉為繁體網頁
经典电子论的没落是物理学史上最富宿命色彩的事件。这一宿命的由来是因为电子发现得太晚，而量子理论又出现得太早，这就注定了夹在其间，因“电子”而始、逢“量子”而终的经典电子论只能有一个昙花一现的命运[注一]。为它陪葬而终还有建立在经典电动力学基础上的整个电磁观。
量子理论对经典物理学的冲击是全方位的，足可写成一部壮丽的史诗。就经典电子论中有关电子结构的部分而言，对这种冲击最简单的描述来自于测不准原理。如我们在上一节中看到的，经典电子论给出的电子质量-除去一个与电荷分布有关的数量级为1的因子-约为e2/Rc2。由此可以很容易地估算出R~10-15米(感兴趣的读者请自行验证一下)。这一数值被称为电子的经典半径。但是从测不准原理的角度看，对电子空间定位的精度只能达到电子的Compton波长h/mc~R/α~10-12米的量级(其中α≈1/137为精细结构常数)，把电子视为经典电荷分布的做法只有在空间尺度远大于这一量级的情形下才适用。由于电子的经典半径远远小于这一尺度，这表明经典电子论并不适用于描述电子的结构。建立在经典电子论基础上的电子质量计算也因此而失去了理论基础[注二]。
但是经典电子论对电子质量的计算虽然随着量子理论的出现而丧失了理论基础，那种计算所体现的自相互作用对电子质量产生贡献的思想却是合理的，并在量子理论中得到了保留。这种贡献被称为电子自能。在量子理论基础上对电子自能的计算最早是由I.Waller于1930年在单电子Dirac理论的基础上给出的，结果随虚光子动量的平方而发散。1934年V.Weisskopf(1908-2002)计算了Dirac空穴理论(holetheory)下的电子自能，结果发现其发散速度比Waller给出的慢得多，只随虚光子动量的对数而发散[注三]。撇开当时那些计算所具有的诸多缺陷不论，Weisskopf的这一结果在定性上与现代量子场论一致。
最简单的电子自能图
按照现代量子场论，相互作用对电子自能的贡献可以用对电子传播子产生贡献的单粒子不可约图(one-particleirreduciblediagrams)来描述，其中主要部分来自于由量子电动力学(QED)所描述的电磁自能，而电磁自能中最简单的贡献则来自于右图所示的单圈图。幸运的是，由于量子电动力学的耦合常数在所有实验所及的能区都很小，因此这个最简单的单圈图的贡献在整个电子自能中占主要部分[注四]。
对这一单圈图的计算在任何一本量子场论教材中都有详细介绍，其结果为δm~αmln(∧/m)，其中m为出现在量子电动力学Lagrangian中的电子质量参数，被称为裸质量，∧为虚光子动量的cut-off。如果我们把量子电动力学的适用范围无限外推，允许虚光子具有任意大的动量，则δm将趋于无穷，这便是自二十世纪三四十年代起困扰物理学界几十年之久的量子场论发散困难的一个例子。
量子场论中的发散困难，究其根本是由所谓的点粒子模型引起的。这种发散具有相当的普遍性，不单单出现在量子场论中。将经典电子论运用于点电子模型同样会出现发散，这一点从经典电子质量公式m~e2/Rc2中可以清楚地看到：当电子半径R趋于零时质量m趋于无穷。经典电子论通过引进电子的有限半径(从而放弃点粒子模型)免除了这一发散，但伴随而来的Poincaré张力、电荷分布等概念却在很大程度上使电子丧失了基本粒子所应有的简单性[注五]。这种简单性虽然没有先验的理由，但毫无疑问是人们引进基本粒子这一概念时怀有的一种美学上的期待，正如Dirac所说：“电子太简单，支配其结构的定律根本不应该成为问题”。经典电子论将质量约化为电磁概念的努力即便在其它方面都成功了，其意义也将由于引进电子半径这一额外参数及Poincaré张力、电荷分布等额外假设而大为失色。从这一角度上讲，量子电动力学在概念约化上比经典电子论显得更为彻底，因为在量子电动力学的Lagrangian中不含任何与基本粒子结构有关的几何参数。基本粒子在量子场论中是以点粒子的形式出现的，虽然这并不意味着它们不具有唯象意义上的等效结构，但所有那些结构都是作为理论的结果而不是如经典电子论中那样作为额外假设而出现的，这是除与狭义相对论及量子理论同时兼容，与实验高度相符之外，建立在点粒子模型基础上的量子场论又一个明显优于经典电子论的地方。
至于由此产生的发散困难，在二十世纪七十年代之后得到了较为系统的解决，有关这一解决方法-被称为重整化方法-的详细介绍，我将在今后另文叙述。不过尽管重整化方法无论在数学计算还是物理意义的理解上都已相当成熟，但发散结果的存在基本上消除了传统量子场论成为所谓“终极理论”(TheoryofEverything)的可能性，这是后话
21世纪之后的数学会是什么样子（1）
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21世纪之后的数学会是什么样子（1）
数学作为人类文明史上最耀眼的思想成就之一，影响着人类社会的方方面面。如果在古希腊几何学与代数学的诞生可以看作数学的萌芽，那么17世纪分析学的诞生则预示着数学真正成长起来了。不过，在任何时代来看，数学都绝非真正可以做到成熟与完备。“无穷大”这一概念自分析学出现以来，就一直迷惑着每一位顶尖的数学家。这使得妄图以康托尔集合论统一整个数学体系的希尔伯特不得不以沉重的失败而告终。或许，数学本身正如庞加莱所深刻的指出那样，是“直觉主义”的产物。
但如果真如希尔伯特所妄想的那样——数学是“逻辑主义”的产物，我们将不得不追溯数学定义本身的合理性。为了更清晰的表达我的思想，我下面以“几何学”为例。
众所周知，“点”、“线”这种最基本的数学对象是被欧几里得所定义的。在欧几里得看来，“点”被定义为“没有大小的几何体”。但是现实的世界中，我们所观测的“点”都是有大小。这就出现了一个很大的问题，几何学所描述的几何对象与现实中的几何体是有偏差的。正因为这样，妥协性的说辞——“近似性描述”成为几何学自洽于现实几何的一个解释。
比如，相对于宏观世界而言，电子就可以被近似的看作一个“点”。而庞加莱关于电子自能的计算表明，如果电子真的是一个体积为0的点，那么电子的能量将趋于无穷大。这意味着，在经典物理来看，点状的物体是无意义的，这也被认为是“点模型”的缺陷。
后来量子力学出现了，电子被“忽略内部结构”而被看作一个量子，它的能量由众所周知的普朗克公式所描述。人们以为在量子论的范围内，所谓的“点模型”缺陷将不复存在。但是随着量子电动力学的出现，人们突然发现电子自能仍旧是发散。解决发散的办法是一种被称之为“重整化”的方法。重整化方法要求物理理论在任意标度的动量空间来看，都是“自相似”的；这就为“Wilson分数维空间量子场论”和“维数正规化方法”的出现给出了暗示。因为自相似本身暗示了“分形”，而分形往往是分数维的几何体。
现在我们可以回到“点”的问题了。大家知道，从高维空间来看，低维空间几何体的体积是0。比如，在1维空间看来，点的“长度”为0。但是，值得注意的是，这并不意味着“点”的长度在0.5维空间也为0。“康托尔三分集”强烈的暗示了这一点。因此，如果电子的体积本身是在小于4维（例如3.99维）的时空才是有意义的，那么我们就可以非常自然的理解重整化方法所要求的分数维时空的意义。
正像“分形之父”曼德布罗特所指出的那样，大自然的任何几何体实际上是分形，分形比欧氏几何更加接近现实世界。欧氏几何在分析学的基础上发展了整数维曲线的微积分理论；但是分形几何在分析学的基础上却还没有一个相应的微积分理论。确实，我们还没有一个适用于分数维曲线的微积分理论，尽管不成熟的分数维积分技术已经被用于量子电动力学的重整化方法。
顺应量子场论自洽性的需要，分数维曲线的微积分理论必将是21世纪之后数学发展的基石。从数学史的规律来看，几何分析学从整数维空间向分数维空间过渡也是大势所趋。
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- [1]方川
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怎么我们感兴趣的东西都相似呢？ 呵呵，你怎么没有学物理，而却学经济去了哈。 - 博主回复(2014-3-28 23:15)：你也在研究分数维空间的微积分理论？
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