Gutzwiller 求迹公式(Gutzwiller trace formula) “谱方法” (spectral approach)， 因为它的要点是寻找一个本征值的全体——即谱——与 Riemann ζ 函数非平凡零点相对应的厄密算符

[DOC]第四章方阵的特征值理论

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则称是的一个特征值，称是的属于特征值的一个特征向量. 为了求出特征值 ... 定理3.2 设的阶方阵的全体特征值，则必有 . 这里，为中的个对角元之和，称为的迹（trace）.

Riemann 猜想漫談(十二) - 萬維論壇

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2005年5月20日 - 既然沒有具體數值， 自然就無法用來檢驗Montgomery 的對關聯假設。 ... 不僅如此， 這種本征值分布的普適性還有一層含義， 那就是它不僅在各種系綜下 .... 某個量子力學體系的能級， 非平凡零點的全體則對應于該量子力學體系的能譜。 ... 了一個我們現在稱為Gutzwiller 求跡公式(Gutzwiller Trace xxxxula) 的結果。

群、弦理论与完美数&梅森素数_学术中国_天涯论坛

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2011年8月19日 - 这些计算为Montgomery 所猜测的零点分布与随机矩阵理论间的关联提供了 ... 不仅如此，这种本征值分布的普适性还有一层含义， 那就是它不仅在各种系综 .... 个量子力学体系的能级，非平凡零点的全体则对应于该量子力学体系的能谱。 ... 了一个我们现在称为Gutzwiller 求迹公式(Gutzwiller Trace Formula) 的结果。

Riemann 猜想漫谈（二） - 360Doc个人图书馆

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2013年4月9日 - 但是这些关联函数的表观复杂程度与本征值的平均间距有很大关系， 因此我们要 ..... 我们现在称之为Gutzwiller 求迹公式(Gutzwiller trace formula) 的结果。 .... 因为它的要点是寻找一个本征值的全体——即谱——与Riemann ζ 函数非 ...

线性代数矩阵相乘_线性代数矩阵论_线性代数矩阵的迹

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... 06:36:00. 在线性代数中什么叫做“迹”矩阵A的全体特征值之和成为矩阵的迹,记为tr(A)tr(A)又等于矩阵A的主对角线上元素之和 ... 迹的英文为trace,是来自德文. ... 如果所研究的关联性是线性的,那么称这个问题为线性问题。历史上线性代数的第一个问题是关于... CRB推导问题,涉及到矩阵求迹及求逆、求导运算_线性代数吧_百度贴吧.

[PDF]LATTICE 設計簡介 - 國家同步輻射研究中心

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邊的情況，又與全環的Lattice 關聯，比方說，一旦某塊磁鐵的K 有變動，牽一髮動全身，. 全環的函數值都 ... 這說明，同一個環的所有一周傳輸矩陣MC (z)彼此相似，它們有相同的特徵值和相同的. 跡(Trace，對角線元素之和，在此指m11＋m22 )。這個特徵值屬於全 .... ＜a u ＞是全體粒子的平均振盪能量的量度，穩態時是常數。 一般情況 ...

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2014年11月23日 - 求一个方阵的特征值与特征向量可以使用函数eig( ). .... 矩阵的迹 trace(A) ... [V,D]=eig(A) %求特征值及特征向量所组成的矩阵 .... 要求关联文件，关联破解包中的matlab2012b_std.dat（关联你应该会吧？ .... 特征值的全体成为A的谱。

Riemann 猜想漫谈 (十二)

- 卢昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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十九. Montgomery-Odlyzko 定律

Montgomery 关于 Riemann ζ 函数非平凡零点分布的论文于 1973 年发表在了美国数学学会的系列出版物《纯数学专题讨论文集》(Proc. Symp. Pure Math.) 上。 但最初几年里它并没有吸引多少眼球， 因为这种存在于零点分布与随机矩阵理论之间的关联无论有多么奇妙， 在当时都还只是一个纯粹的猜测， 既没有严格的数学证明， 也没有直接的数值证据。 我们在第 十三、 十四 两节中曾经介绍过对 Riemann ζ 函数非平凡零点进行大规模计算的部分历史。 在 Montgomery 的论文发表之初， 人们对零点的计算还只进行到几百万个， 而且——如我们在 第十五节 中所说——那些计算大都只是验证了 “前 N 个零点” 位于临界线上， 却不曾涉及零点的具体数值。 既然没有具体数值， 自然也就无法用来检验 Montgomery 的对关联假设了。 更何况——如我们在 第十六节 中所说——为了检验后者， 我们需要研究虚部很大的零点， 这显然也是当时的计算所远远不能触及的。 因此当时就连 Montgomery 自己也觉得对他的猜测进行数值验证将是极为遥远的将来的事情。
但是 Montgomery 和我们在 第十四节 中提到过的那位输掉了葡萄酒的 Zagier 一样大大低估了计算机领域的发展速度。
在 Montgomery 的论文发表五年之后的某一天， 他又来到了普林斯顿。 不过这次不是为了觐见 Selberg， 而是来做一个有关 Riemann ζ 函数零点分布的演讲。 在那次演讲的听众中有一位来自 32 英里外的贝尔实验室 (Bell Labs) 的年轻人， 他被 Montgomery 所讲述的零点分布与随机矩阵理论间的关联深深地吸引住了。 这位年轻人所在的实验室恰好拥有当时著名的 Cray 巨型计算机。 这位年轻人就是我们在 第十六节 中提到的 Odlyzko。
普林斯顿真是 Montgomery 的福地， 五年前与 Dyson 在这里的相遇， 使他了解到了零点分布与随机矩阵理论之间的神秘关联， 从而为他的研究注入了一种奇异的魅力。 五年后又是在这里， 这种奇异的魅力打动了 Odlyzko， 从而有了我们在 第十六节 中介绍过的 Odlyzko 对 Riemann ζ 函数非平凡零点的大规模计算分析。 这些计算为 Montgomery 所猜测的零点分布与随机矩阵理论间的关联提供了大量的数值证据^[注一]。 这种关联， 即经过适当的归一化之后的 Riemann ζ 函数非平凡零点的间距分布与 Gauss 幺正系综 (参阅 第十八节) 的本征值间距分布相同， 也因此渐渐地被人们称为了 Montgomery-Odlyzko 定律 (Montgomery-Odlyzko Law)^[注二]。
Montgomery-Odlyzko 定律虽然是用 Gauss 幺正系综来表述的， 但我们在 第十八节 中曾经提到过， 随机矩阵理论的本征值分布在矩阵阶数 N→∞ 时具有普适性。 因此 Montgomery-Odlyzko 定律所给出的关联并不限于 Gauss 幺正系综。 不仅如此， 这种本征值分布的普适性还有一层含义， 那就是它不仅在各种系综下都相同， 而且对系综中任何一个典型的系统——即任何一个典型的随机厄密矩阵——都相同。 换句话说， 我们不仅不需要指定系综的分布函数， 甚至连系综本身都不需要， 只要随便取出一个随机厄密矩阵就可以了。 因此 Montgomery-Odlyzko 定律实际上意味着 Riemann ζ 函数非平凡零点的分布可以用任何一个典型随机厄密矩阵的本征值分布来描述^[注三]。
Montgomery 当初的研究——如我们在 第十六节 中介绍的——只涉及零点分布的对关联函数。 在他之后， 人们对零点分布的高阶关联函数也作了研究。 1996 年， Z. Rudnick 与 P. Sarnak 及 E. B. Bogomolny 与 J. P. Keating 分别 “证明” 了零点分布的高阶关联函数也与相应的随机厄密矩阵的本征值关联函数相同。 美中不足的是， 我们不得不对这种 “证明” 加上引号， 因为它们和 Montgomery 的研究一样， 并不是真正严格的证明， 它们或是引进了额外的限制条件 (如 Z. Rudnick 与 P. Sarnak 的研究)， 或是运用了本身尚未得到证明的 Riemann 猜想及 强孪生素数猜想 (如 E. B. Bogomolny 与 J. P. Keating 的研究)。
但即便如此， 所有这些理论及计算的结果还是非常清楚地显示出 Riemann ζ 函数非平凡零点的分布与随机厄密矩阵的本征值分布——从而与由随机厄密矩阵理论所描述的一系列复杂物理体系的性质——之间的确存在着令人瞩目的关联。 Montgomery-Odlyzko 定律在 “经验” 意义上的成立几乎已是一个毋庸置疑的事实。

二十. Hilbert-Pólya 猜想

那么在 Riemann ζ 函数非平凡零点这样的纯数学客体与由随机矩阵理论所描述的纯物理现象之间为什么会出现像 Montgomery-Odlyzko 定律那样的关联呢？ 很遗憾， 这是一个我们至今也未能完全理解的谜团。 不过有意思的是， 虽然在与 Montgomery 论文的发表已相隔几十年的今天我们仍未能彻底理解 Montgomery-Odlyzko 定律的本质， 可是远在 Montgomery 的论文发表之前六十余年前的二十世纪一、 二十年代， 数学界就曾经流传过一个与 Montgomery-Odlyzko 定律极有渊源的猜想， 这个猜想也是用两个人的名字命名的， 叫做 Hilbert-Pólya 猜想 (Hilbert-Pólya conjecture)， 它的内容是这样的：

Hilbert-Pólya 猜想： Riemann ζ 函数的非平凡零点与某个厄密算符的本征值相对应。

当然， 确切地讲， Hilbert-Pólya 猜想指的是： 如果把 Riemann ζ 函数的非平凡零点写成 ρ=1/2+it 的形式， 则那些 t 与某个厄密算符的本征值一一对应^[注四]。 我们知道， 厄密算符的本征值全都是实数。 因此如果那些 t 与某个厄密算符的本征值相对应， 则它们必定全都是实数， 从而意味着所有非平凡零点 ρ=1/2+it 的实部都等于 1/2， 这正是 Riemann 猜想的内容。 因此如果 Hilbert-Pólya 猜想成立， 则 Riemann 猜想也必定成立。
我们在 上节 中提到， Montgomery-Odlyzko 定律表明 Riemann ζ 函数非平凡零点的分布可以用任何一个典型随机厄密矩阵的本征值分布来描述。 这种描述虽然奇妙， 终究只是统计意义上的描述。 但如果 Hilbert-Pólya 猜想成立， 则 Riemann ζ 函数的非平凡零点干脆就直接与某个厄密矩阵的本征值一一对应了。 这是严格意义上的对应， 有了这种对应， 统计意义上的对应自然就不在话下。 因此 Hilbert-Pólya 猜想虽然比 Montgomery-Odlyzko 定律早了六十余年， 却是一个比 Montgomery-Odlyzko 定律更强的命题！
历史真是富有戏剧性， 从二十世纪早期开始流传的 Hilbert-Pólya 猜想居然在无形之中与半个多世纪之后才出现的 Montgomery-Odlyzko 定律做了跨越时间的遥远呼应。
但这一呼应实在是太遥远了， Montgomery 的论文尚且因为缺乏证据而遭到冷场， Hilbert-Pólya 猜想自然就更无人问津了。 这种冷落是如此彻底， 以至于当 Montgomery 的论文及后续研究重新燃起人们对 Hilbert-Pólya 猜想的兴趣， 并开始追溯它的起源时， 大家惊讶地发现不仅 Hilbert 和 George Pólya (1887-1985) 两人不曾在人们找寻得到的任何发表物或手稿之中留下过一丝一毫有关 Hilbert-Pólya 猜想的内容。 而且在 Montgomery 之前所有其他人的文字之中竟然也找不到任何与这一猜想有关的叙述。 一个隐约流传了大半个世纪的数学猜想竟似乎没有落下过半点文字记录， 却一直流传了下来， 真是一个奇迹！
但 Odlyzko 执著地想要探寻这一奇迹的起点。 那时候 Hilbert 早已去世， Pólya 却还健在。 1981 年 12 月 8 日， Odlyzko 给 Pólya 发去了一封信， 询问 Hilbert-Pólya 猜想的来龙去脉。 当时 Pólya 已是九十四岁的高龄， 卧病在床， 基本不再执笔回复信件了， 但 Odlyzko 的信却很及时地得到了他的亲笔回复。 毕竟， 对一位数学家来说， 自己的名字能够与伟大的 Hilbert 出现在同一个猜想中是一种巨大的荣耀。 Pólya 在回信中这样写道^[注五]：

很感谢你 12 月 8 日的来信。 我只能叙述一下自己的经历。

1914 年初之前的两年里我在 Göttingen。 我打算向 Landau 学习解析数论。 有一天他问我： “你学过一些物理， 你知道任何物理上的原因使 Riemann 猜想必须成立吗？” 我回答说， 如果 ξ 函数的非平凡零点与某个物理问题存在这样一种关联， 使得 Riemann 猜想等价于该物理问题中所有本征值都是实数这一事实， 那么 Riemann 猜想就必须成立。

三年后 (1985 年) Pólya 也离开了人世， 他给 Odlyzko 的这封回信便成了迄今所知有关 Hilbert-Pólya 猜想的唯一文字记录。 至于早已去世的 Hilbert 在什么场合下提出过类似的想法， 则也许将成为数学史上一个永远的谜团了。

二十一. Riemann 体系何处觅？

如上所述， 假如 Hilbert-Pólya 猜想成立， 则 Riemann ζ 函数的非平凡零点将与某个厄密算符的本征值一一对应。 我们知道厄密算符可以用来表示量子力学体系的哈密顿量， 而厄密算符的本征值则对应于该量子力学体系的能级。 因此如果 Hilbert-Pólya 猜想成立， 则 Riemann ζ 函数的非平凡零点有可能对应于某个量子力学体系的能级， 非平凡零点的全体则对应于该量子力学体系的能谱。 我们把这一特殊的量子力学体系称为 Riemann 体系， 把这一体系的哈密顿量称为 Riemann 算符^[注六]。
那么这个神秘的 Riemann 体系——如果存在的话——会是一个什么样的量子力学体系呢？
这个问题的答案目前当然还不存在。 不过， 有关这个问题目前所知道的最重要的线索显然是来自 Montgomery-Odlyzko 定律。 由于 Montgomery-Odlyzko 定律表明 Riemann ζ 函数的非平凡零点分布与随机厄密矩阵的本征值分布相同， 因此我们不难猜测， Riemann 算符应该是一个特殊的随机厄密矩阵。 那么由这个特殊的随机厄密矩阵所描述的量子力学体系会具有什么特点呢？ 这个问题自二十世纪七十年代末以来有许多人研究过。 1983 年， 法国核物理研究所 (Institut de Physique Nucléaire) 的 O. Bohigas、 M. J. Giannoni 和 C. Schmit 等人提出了一个猜想， 即由随机厄密矩阵所描述的量子体系在经典极限下对应于经典混沌体系。 这一猜想被称为 Bohigas–Giannoni–Schmit (BGS) 猜想^[注七]， 它获得了一些数值计算的支持 (比如对一些以经典混沌体系为极限的特定量子体系的能级计算得出了与这一猜想相容的结果)， 但迄今尚未得到严格证明。 不过虽然尚未证明， 但从物理角度上讲， 这一猜想具有一定的合理性， 因为与经典混沌体系相对应的量子体系的波函数会在一定程度上秉承经典轨迹的混沌性， 从而使得哈密顿量的矩阵元呈现出随机性， 这正是随机厄密矩阵的特点。
由此看来， Riemann 体系很可能是一个与经典混沌体系相对应的量子体系。 那么， 这个作为 Riemann 体系经典近似的经典混沌体系又具有什么样的特征呢？ 这个问题人们也做过一些研究。 由于我们所知道的有关 Riemann 体系最明确的信息是这一体系的能谱——因为它与 Riemann ζ 函数的非平凡零点相对应。 因此研究 Riemann 体系的特征显然要从能谱入手。 描述量子体系能谱的一个很有用的工具是所谓的能级密度函数：

ρ(E) = Σ_nδ(E-E_n)

这里的 δ(E-E_n) 是所谓的 Dirac δ 函数， 求和对所有能级进行。

早在二十世纪六十年末和七十年代初， 出生于瑞士、 一度跟随著名物理学家 Wolfgang Pauli (1900-1958) 学习过量子力学的物理学家 Martin Gutzwiller (1925-) 就对这一能级密度函数的经典极限进行了研究， 并得到了一个我们现在称之为 Gutzwiller 求迹公式 (Gutzwiller trace formula) 的结果。 在对应的经典体系具有混沌性的情形下， Gutzwiller 求迹公式为：

ρ(E) = ρ(E) + 2 Σ_pΣ_k A_p,kcos(2πkS_p/h + α_p)

这里的 h 为 Planck 常数， ρ(E) 是一个平均密度。 我们感兴趣的是第二项， 它包含了一个对经典极限下所有闭合轨道 p 以及沿闭合轨道的绕转数 k (k 为正整数) 的双重求和。 求和式中的 S_p 是闭合轨道 p 的作用量， α_p 是一个相位， 被称为 Maslov 相位 (Maslov phase) 或 Maslov 指标 (Maslov index) 。 而 A_p,k 与 闭合轨道的性质有关， 可以表示为：

A_p,k = T_p/h[det(M_p^k-I)]^1/2

其中 T_p 是闭合轨道 p 的周期， M_p 则是描述闭合轨道 p 的稳定性的一个单值矩阵 (monodromy matrix)。

另一方面， 我们也可以定义一个与量子体系的能级密度函数完全类似的 Riemann ζ 函数非平凡零点的密度函数：

ρ(t) = Σ_nδ(t-t_n)

并利用 Riemann ζ 函数的性质对这一密度函数进行计算。

1985 年， 英国数学物理学家 Michael Berry (1941-) 给出了这一计算的结果：

ρ(t) = ρ(t) - 2 Σ_pΣ_k [ln(p)/2π]exp[-k ln(p)/2]cos[k t ln(p)]

这个公式看似寻常， 却包含了一个非常值得注意的特点， 那就是： 其中的 k 虽然是正整数， p 却受到更大的限制。 事实上， 这个公式中的 p 是素数而非一般的正整数！ 将这个结果与前面有关量子体系能级密度的计算相比较， 我们发现为了使两者一致， 必须有：

α_p = π

T_p = ln(p)

S_p = (ht/2π) T_p

A_p,k = T_p/[2π exp(kT_p/2)]

这其中最简洁而漂亮的关系式就是 T_p = ln(p)， 它表明与 Riemann 体系相对应的经典体系具有周期等于素数对数 ln(p) 的闭合轨道！ 这无疑是这一体系最奇异的特征之一。

研究 Riemann 体系的努力仍在继续着， 在一些数学物理学家的心目中， 它甚至已经成为了一种证明 Riemann 猜想的新的努力方向， 即所谓的物理证明^[注八]。 会不会有一天人们在宇宙的某个角落里发现一个奇特的物理体系， 它的经典基本周期恰好是 ln2, ln3, ln5……？ 或者它的量子能谱恰好包含 14.1347251, 21.0220396, 25.0108575…… (读者们应该还记得这些是什么数吧)？ 我们不知道。 也许并不存在这样的体系， 但如果存在的话， 它无疑是大自然最美丽的奇迹之一。 只要想到像素数和 Riemann ζ 函数非平凡零点这样纯粹的数学元素竟有可能出现在物理的天空里， 变成优美的轨道和绚丽的光谱线， 我们就不能不惊叹于数学与物理的神奇， 惊叹于大自然的无穷造化。 而这一切， 正是科学的伟大魅力所在。

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注释

1. 这种数值证据之一便是我们在 第十六节 中给出的关于 Montgomery 零点对关联函数的拟合曲线。
2. 这 “定律” 二字通常在物理学中用得比在数学中多， 它很贴切地表达了这一命题虽有大量的数值证据， 却缺乏数学意义上的严格证明这一特点。
3. 当然， 别忘了 N→∞ 这一条件。
4. 自 第十一节 中引进 s=1/2+it 以来， 当我们提到 Riemann ζ 函数的非平凡零点时， 实际指的往往是零点虚部的大小 t， 这一点读者应该能很容易地从上下文中判断出来。
5. Pólya 提到的 ξ 函数应该是指我们在 第五节 的 注释 中提到的 Riemann 本人所定义的 ξ 函数。 Riemann 猜想等价于那个 ξ 函数的零点为实数。
6. 严格讲， 量子力学中所有的可观测量都是由厄密算符表示的， 哈密顿量只是其中之一。 不仅如此， 由厄密算符的本征值所描述的物理量甚至并不限于量子力学中的物理量。 从 Pólya 给 Odlyzko 的信中也可以看到， Pólya 当年并没有对与 Riemann ζ 函数非平凡零点相对应的 “物理问题” 做具体的猜测。 因此从 Hilbert-Pólya 猜想到 Riemann 体系是后人所做的进一步猜测。 之所以做这种进一步猜测， 除了哈密顿量对物理体系所具有的重要性外， 或许也是因为随机矩阵理论最初是在研究原子核能级时被引入物理学中的。 另一方面， 量子体系的能级是自然界中含义最为深刻的离散现象之一， 而且与零点分布一样都是有下界的， 这或许也是人们把注意力集中到这一方向上的原因之一。
7. Bohigas–Giannoni–Schmit 猜想的原始表述针对的是 Gauss 正交系综。
8. 数学家们则称这种方法为 “谱方法” (spectral approach)， 因为它的要点是寻找一个本征值的全体——即谱——与 Riemann ζ 函数非平凡零点相对应的厄密算符。

§3  方阵的特征值与特征向量

 

一、特征值与特征向量的定义

  

设为阶方阵，是某个维非零列向量. 一般来说，维列向量未必与线性相关，也就是说向量未必正好是向量的倍数. 如果对于取定的阶方阵，存在某个维非零列向量，使得正好是的倍数，即存在某个数使得，这样的向量就是的相应的特征向量.

    下面正式给出方阵的特征值和特征向量的定义.

定义3.1  设为阶实方阵. 若存在某个数和某个维非零列向量使

                       ，

则称是的一个特征值，称是的属于特征值的一个特征向量.

    为了求出特征值和特征向量，我们把改写成. 再把看成待定参数，那么就是齐次线性方程组的任意一个非零解. 显然，它有非零解当且仅当它的系数行列式为零：.

    定义3.2 带参数的阶方阵称为的特征方阵，它的行列式称为的特征多项式. 称为的特征方程.

    根据行列式的定义可知有以下等式

 

          ,                   (1)

在省略的各项中不含的方次高于的项, 所以阶方阵的特征多项式一定是的次多项式. 的特征方程的个根（复根，包括实根或虚根, 重根按个计算）就是的个特征值. 在复数范围内, 阶方阵一定有个特征值.

综上所述, 对于给定的阶实方阵, 求它的特征值就是求它的特征多项式(1)的个根. 对于任意取定的一个特征值，的属于这个特征值的特征向量，就是对应的齐次线性方程组的所有的非零解. 注意: 虽然零向量也是的解，但不是的特征向量!

二、关于特征值和特征向量的若干结论

定理3.1 阶方阵和它的转置矩阵必有相同的特征值.

证 由矩阵转置的定义得到矩阵等式. 再由行列式性质知道

       .

这说明和必有相同的特征多项式,因而必有相同的特征值.                   证毕

      定理3.2 设的阶方阵的全体特征值，则必有

          .

这里，为中的个对角元之和，称为的迹（trace）.为的行列式.

    证  在关于变量的恒等式

中取即得  ，所以必有.

    再据行列式定义可得

｛个不含和的项｝

    ｛个不含和的项｝

    比较的上述两个等式两边的项的系数, 即得.     证毕

      定理3.3  设为阶方阵.为次多项式.

为对应的的方阵多项式. 如果，则必有. 这说明必是的特征值. 特别, 当时，必有，即的特征值必是对应的次多项式的根.

   证  先用归纳法证明,对于任何自然数, 都有.

   当时,显然有. 假设成立, 则必有

。

因此, 对于任何自然数, 都有.于是,必有

            

             .

当时，必有. 因为, 所以，     证毕

注1: 求方阵多项式的特征值, 只要求出的一个特征值, 那么一定是的特征值.

注2:  利用, 若是的特征值, 则是的特征值.

例1任意取定的一个特征值. 如果都是的属于特征值的特征向量,则对任何使的实数, 必是的属于特征值的特征向量.

    证 由所设条件知

.     证毕

任意取定的一个特征值. 因为是的根,必有无穷多个解, 所以, 的属于任意特征值的特征向量一定有无穷多个. 那么自然要问: 属于取定特征值的线性无关的特征向量的最大个数是多少?

为此, 考虑由特征值确定的齐次线性方程组的解空间

.

它的任意一个基, 也就是齐次线性方程组的任意一个基础解系

          ,

就是的属于这个特征值的最大个数的线性无关的特征向量组. 其中的基向量个数为

.

所以这个最大个数就是齐次线性方程组的自由未知量个数. 而的属于这个特征值的特征向量全体就是，这里是任意的不全为零的实数.

    例2  设,求出的所有的特征值和特征向量.

    解 的特征方阵为. 的特征方程为

        .

它的两个根:,就是的两个特征值.

    用来求特征向量的齐次线性方程组为

         .  即  .

属于的特征向量满足线性方程组: .可取解 .

属于的特征向量满足线性方程组: . 可取解 .

这就是的两个线性无关的特征向量.

    容易验证 ,

.

属于的特征向量全体为为任意非零常数.

属于的特征向量全体为为任意非零常数.

    例3 当时，根据特征值的定义知道,就是的特征值. 当时，因为 ，所以，就是的特征值.

    例4  设为阶方阵，但不是单位矩阵. 如果，问是不是的特征值？

    解  因为，所以必有. 再根据

         

知道必有，即. 所以，一定是的特征值.

 

命题1  实方阵的特征值未必是实数，特征向量也未必是实向量.

例5 求的特征值

 解  容易求出特征方程的两个根：，这里，是纯虚数.

    此例说明，虽然是实方阵，但是它的特征值都不是实的. 求出对应的向量会发现，特征向量也不是实向量.

命题2  三角矩阵的特征值就是它的全体对角元.例如,设是上三角矩阵

        ,

则   .

它的个根就是的个对角元.

命题3  一个向量不可能是属于同一个方阵的不同特征值的特征向量.

事实上，如果 ，则.  因为, 所以必有.

    注意: 和未必有相同的特征向量. 即当时未必有. 例如，取, 则有

      .  .

这说明和的属于同一个特征值的特征向量可以是不相同的.

    例6  设, 求的所有的特征值.

    解  因为上三角矩阵的特征值就是它的对角元，而由知道,对应的多项式为，所以的特征值就是.

    例7 求出以下特殊的阶方阵的所有可能的特征值（是某个正整数）：

      （1）  （2）

    解  设，则.

   （1） 由  和 知道.

   （2） 由  和 知道.

       注: 上述二个特殊的方阵分别称为幂零矩阵与对合矩阵. 因此, 幂零矩阵的特征值必为.对合矩阵的特征值必为.

 

三、关于求特征值和特征向量的一般方法

  

下面我们通过实例介绍求方阵的特征值和特征向量的一般方法.

   例8 求出的特征值和线性无关的特征向量.

   解 先求出的特征多项式

  

.

因此的特征值为.

    用来求特征向量的齐次线性方程组为

     .

属于的特征向量满足:,

即. 据此可求出两个线性无关的特征向量 .

属于的特征向量满足:.

在前两个方程中消去,可得.

在后两个方程中消去,可得.

于是可求出特征向量 .

    属于的特征向量全体为. 属于的特征向量全体为.

    例9 设阶方阵的每一行中元素之和同为，证明必是的特征值，并求出的属于这个的特征向量.

    证  取. 显然有  .

因此是矩阵的一个特征值, 而是的属于特征值的特征向量.              证毕

 

    四．矩阵的对角化

   

定义3.3  设是一个阶方阵，若存在阶可逆矩阵，使得

则称相似于对角矩阵, 也称可以相似对角化, 简称可对角化.

定理3.4 设是方阵的个特征值, 依次是与之对应的特征向量. 如果各不相等, 则线性无关.

证  设有常数使, 则

          ,

即             

依此类推, 得    

把以上各式写成矩阵形式, 得

             

上式等号式端第二个矩阵的行列式是范德蒙行列式, 当互不相等时, 该行列式不等于零, 从而该矩阵可逆, 于是有

 

但, 故, 所以向量组线性无关.

    定理3.4 若阶方阵与相似, 则与的特征多项式相同, 从而其特征值相等.

证  因与相似, 即有可逆矩阵, 使, 故

         .

推论: 若阶方阵与对角阵相似, 则就是的全部特征值.

定理3.5  阶方阵相似于对角矩阵有个线性无关的特征向量.

    证 必要性：设 ，则有.

令是的按列分块的列向量表示法，则由是可逆矩阵知道列向量组为线性无关向量组. 因为

      

    

所以, 由知道必有分块矩阵等式

    

由此可得列向量等式.

这就证明了的个列向量就是的个线性无关的特征向量.

   充分性：设有个线性无关的特征向量，且

      ，

则是阶可逆矩阵，而且满足

.

即为对角矩阵.                                                   证毕

推论: 如果阶方阵的个特征值各不相等, 则与对角阵相似.

例10 设的一个特征向量为.

(1) 求参数的值及的特征向量对应的特征值;

(2) 是否与对角阵相似?

解  (1) 设的与特征向量相对应的特征值为, 可得方程组 即

     

亦即        解得

(2) 由, 知三重特征值

由于  

可知, , 因而三阶方阵的与对应的线性无关的特征向量组仅有一个向量, 故不可以对角化.

Riemann 猜想漫谈(十二) - 卢昌海个人主页

www.changhai.org/articles/science/mathematics/.../12.php



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既然没有具体数值， 自然也就无法用来检验Montgomery 的对关联假设了。 ... 不仅如此， 这种本征值分布的普适性还有一层含义， 那就是它不仅在各种系综下都 .... 于某个量子力学体系的能级， 非平凡零点的全体则对应于该量子力学体系的能谱。 ... 并得到了一个我们现在称之为Gutzwiller 求迹公式(Gutzwiller trace formula) 的结果。

1. 跡- 維基百科，自由的百科全書 - Wikipedia

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2. Eigenvectors and Eigenvalues 特徵向量和特徵值

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   2011年8月19日 - 这些计算为Montgomery 所猜测的零点分布与随机矩阵理论间的关联提供了 ... 不仅如此，这种本征值分布的普适性还有一层含义， 那就是它不仅在各种系综 .... 个量子力学体系的能级，非平凡零点的全体则对应于该量子力学体系的能谱。 ... 了一个我们现在称为Gutzwiller 求迹公式(Gutzwiller Trace Formula) 的结果。

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