Friday, May 1, 2015

Holography 相干叠加: 纯态的叠加对应概率幅叠加,混态的叠加对应概率叠加,叠加态=本征态相干叠加,混合态=纯态的非相干叠加(以经典概率分布);纯态可以是本征态,也可以叠加态。 纯态各分量间的相对相位(不是整体相位)是意义的,但是在混态里没相对相位了,各分量间没有了干涉(全息(Holography)

对称性的意思是事物处在一个状态时测量某种属性结果的概率不依赖于观察者的位置(也即坐标架的选择)。由此Wigner推出对于不同观察者的态之间通过一个幺正或反幺正算符转换。特别地,不同时刻的观察者观察到的态也由一个幺正算符转换



作者:bellbasis 时间:2010-07-18 23:34:52
  
  作者:圆周率谐音 回复日期:2010-07-18 20:34:10
  
  首先,你还是要从概率上理解量子力学,而不是波动上。通常的机械波,比如水的表面波,是一个一个挨在一起的水分子震荡,形成的宏观的波动图样。
  概率波(你所说的物质波)是单个粒子在空间中出现的概率幅度对应的图样。不是说这个粒子必须一扭一扭地前进。
  
  我们说概率波,说的是复数的概率波形势,概率波的实际观测量都是绝对值的平方,所以有的时候我们看不见波动效应,只是因为概率波绝对值平方是看不出周期规律的。
  
  举个例子,你观测水表面波的时候,波的振幅对应量子力学的粒子的波函数振幅,但是波上每个质点的能量,对应量子力学观测量。你计算一下能量(平均振幅平方)就发现水面的能量分布式均匀的,没有波的形状。
  
  而发生干涉时,水面有的地方振幅永远是0,就是这里的能量也永远是0,画成能量分布图样,就出现干涉条文了。
  
  所以,根本作用的是波的振幅及其相位(波函数),观测结果是振幅平方的分布,所以相互作用的时候是先叠加波函数,再绝对值平方,这个时候就出现干涉了。
  
  静止只是自由运动的一个变换而已(换个参考系而已)没有特殊性。这是物理学基本原理。
  下面说量子力学。
  自由状态下,动量守恒,所以波函数是exp(-ipx),p是常数,它的绝对值平方才代表可观测的概率,所以是1, 就是说在x方向上个点出现几率相同。所以自由粒子状态下,你看不见“波的图样”,看见的只是一条直线。(波表现在ipx上,因为exp(it)可以写成三角函数,那个是描述波动的,但是因为可观测量是绝对值平方,所以此时观测不到波动的现象)另外,你看不见绝对静止的粒子的绝对位置,因为绝对静止意味着动量为0,而意味着其坐标是无限弥散的(不确定原理),用函数delta(p)表示。
  
  相对论情况下,有相对论量子力学,量子场论表述。波动方程里的变量都是洛伦茨协变的,满足狭义相对论的洛伦茨变换规律。
 

混合态只能写成密度矩阵

纯态各分量间的相对相位(不是整体相位)是意义的,但是在混态里没相对相位了,各分量间没有了干涉。

欢迎大家指出错误。
  • 酱腩菜籽

    酱腩菜籽 (格致在左,风月在右) 2010-07-07 23:20:49

    LS说的没错。

    叠加态=本征态相干叠加,混合态=纯态的非相干叠加(以经典概率分布);纯态可以是本征态,也可以叠加态。
  • 纯态是能表述出希尔伯特空间矢量的量子态;混合态反之。


  • 断雁嵬蝶

    断雁嵬蝶 (番茄爱好者) 2010-07-08 01:53:57

    Lynne讲的蛮好
  • 留空

    留空 2010-07-08 16:31:28

    纯态的叠加对应概率幅叠加,混态的叠加对应概率叠加。
  • @Lynne:

    我对这个不理解:
    “一个单量子系统也可以处于混合态,只要个成分之间的相干性被破坏。”
    这种状态实验上能实现吗?
  • [已注销] 2010-07-09 19:46:48

    可以啊,比如两光子纠缠纯态,对其中一个光子求迹,剩下另一个光子的密度矩阵就是个混态。实际上有人认为混态是大的纯态系统中把环境trace掉以后剩下子系统的不完全描述,有一部分信息在求迹中丢掉了。



  • 本征态和纯态?
    Logogogo

    来自: Logogogo(Pig has Dreams) 2010-07-07 09:42:59

    5人 喜欢
    • airaria

      airaria 2010-07-07 12:37:30

      纯态是体系本身的性质,本征态要相针对于某个算符来说吧

      混态是非相干叠加
      叠加态是相干的叠加
    • [已注销] 2010-07-07 14:29:19

      纯态各组分之间是相干叠加,而混合态是非相干叠加。
      也就是说,纯态系统可以用一个波函数来描述,这个波函数各成分前的系数模方之和等于1,这是对概率幅的要求。
      而混合态各成分之间没有相干性,是一个经典统计的结果,各成分前面系数之和为1,不加平方。这是经典概率的要求。因此混合态不能用一个波函数来描述。
      这就是它们密度矩阵平方的迹的差异来源。纯态跟混合态与单量子多量子系统没关系。一个单量子系统也可以处于混合态,只要个成分之间的相干性被破坏。

      纯态总可以用完备基矢展开(但纯态和本征态可不是一个概念哦,纯态可不一定是本征态。我们在初量里见到的波函数都是纯态),而混合态只能写成密度矩阵。
    • [已注销] 2010-07-07 14:36:04

      混态是各纯态之间非相干叠加,混态的各纯态组分不一定是CSCO本征态,只要是纯态就行了。混合态是对所知系统的一种不完全描述。这时候各组态间的相位信息完全丢掉了。

      当然一般书里喜欢把混态用系综概念引入。但混态不一定非要是多体系统。
    • Logogogo

      Logogogo (Pig has Dreams) 2010-07-07 19:21:53

      为什么会把相位信息给扔了?是因为各组分前的系数限定是实数吗?
    • [已注销] 2010-07-07 20:36:50

      是吧我想,纯态各分量间的相对相位(不是整体相位)是意义的,但是在混态里没相对相位了,各分量间没有了干涉。

      欢迎大家指出错误。
    • 酱腩菜籽

      酱腩菜籽 (格致在左,风月在右) 2010-07-07 23:20:49

      LS说的没错。

      叠加态=本征态相干叠加,混合态=纯态的非相干叠加(以经典概率分布);纯态可以是本征态,也可以叠加态。

    • 马龙白狼兔

      马龙白狼兔 (穿的是吾滴涤纶) 2010-07-08 01:49:00

      纯态是能表述出希尔伯特空间矢量的量子态;混合态反之。

    • 断雁嵬蝶

      断雁嵬蝶 (番茄爱好者) 2010-07-08 01:53:57

      Lynne讲的蛮好
    • 留空

      留空 2010-07-08 16:31:28

      纯态的叠加对应概率幅叠加,混态的叠加对应概率叠加。
    • [已注销] 2010-07-08 20:23:28

      :)
    • Logogogo

      Logogogo (Pig has Dreams) 2010-07-09 16:21:59

      多谢Lynne,yangziqing,Quantumechanic,留空
    • [已注销] 2010-07-09 16:30:47

      @Lynne:
      我对这个不理解:
      “一个单量子系统也可以处于混合态,只要个成分之间的相干性被破坏。”
      这种状态实验上能实现吗?
    • [已注销] 2010-07-09 19:46:48

      可以啊,比如两光子纠缠纯态,对其中一个光子求迹,剩下另一个光子的密度矩阵就是个混态。实际上有人认为混态是大的纯态系统中把环境trace掉以后剩下子系统的不完全描述,有一部分信息在求迹中丢掉了。
    • [已注销] 2010-07-09 19:52:10

      哦,傻了我这都没想到。量子力学白学了。
    • [已注销] 2010-07-09 19:56:19

      你不做这个吧,忘了很正常啊。
      其实原子体系个各态的相干性与环境耦合一下就没了,很容易破坏。
    • [已注销] 2010-07-09 19:59:37

      谢谢!
    • 1>3<7

      1>3<7 (<(= ̄▽ ̄=)> 槑槑) 2010-07-09 20:18:03

      牛贴...
      我只记得 纯态的叠加对应概率幅叠加,混态的叠加对应概率叠加。 这个了...
    • 小沐他爸

      小沐他爸 (星际争霸,终于到了打GG的时候) 2010-07-10 09:35:59

      对Lynne提出两点置疑:
      1、“一个单量子系统也可以处于混合态,只要个成分之间的相干性被破坏。” 如何实验上实现,你的回答仍然是从理论上的。事实上,我不认为单个量子系统可以处在混合态,至少实验上是这样,理由下面解释。
      2、部分求迹前后该子系统的熵一定是不变的,这个可以证明。所以你说部分求迹后“一部分信息丢掉了”,那么丢掉的是什么信息?这个可以引出另一个问题,部分求迹后得到子系统的密度矩阵,那么我可以通过这个密度矩阵还原出原系统的密度矩阵吗?在某些情况中,答案是,可以,比如DMRG中。

      态叠加原理是量子力学的,或者是数学的,而混合态则是热力学的。
      绝对零度下显然不存在混合态。上面有人提到混合态是对应概率叠加,把混合态密度矩阵的对角元理解为概率,这是不准确的。用分布应该更好一些。
      量子统计中讲到纠缠态的时候,往往会和部分求迹相联系,比如两个二能级系统,纠缠在一起,其中一半的自由度被求和求掉,得到的就是一个混合态。这会给人一个造成一个假象,那就是混态在一个二能级系统中就能出现。
      而事实上,这种处理只是数学上的。在某些量子信息的文章中中,部分求迹被叫做adiabatic elimination technique(如:PRL 92,197901),重点在绝热一词,这充分说明了它与热力学相联系的本质。
      从物理本源出发,混合态的形成是与热涨落有关的,是热涨落导致了退相干,而退相干则导致了混合态。
      情况就是这样。
    • 留空

      留空 2010-07-11 11:16:09

      部分求迹前后该子系统的熵一定是不变的,这个可以证明

      这个我不太明白了,取包含相关态的完备正交基容易证明纯态熵为一定0,混态熵一定不为0。
    • 马龙白狼兔

      马龙白狼兔 (穿的是吾滴涤纶) 2010-07-11 12:36:35

      对某个纯态进行多次重复测量将制备出一个混合态——不同坍缩结果之间不存在任何相位关联,彼此是不相干的。
      对于单量子系统能否处于混合态的看法,在概念上没必要划分得太死,量子力学本身就是一个唯象的统计理论嘛。
    • [已注销] 2010-07-11 13:36:57

      是不是可以这么认为,称之为混合态,只是因为我们所了解到的信息比较少,使得我们不能用一个波函数来描述这个系统,,当信息足够多的时候就可以认为是一个纯态了。
    • 1>3<7

      1>3<7 (<(= ̄▽ ̄=)> 槑槑) 2010-07-11 13:41:36

      简单点应该是 纯态把位相的信息丢掉就变成混合态了...但是可以还原成纯态吗?
    • [已注销] 2010-07-11 13:46:06

      我觉得就是一种描述方式吧
    • K小T

      K小T (有多少爱可以重来) 2010-07-11 14:07:32

      饿得更深啊。。。 忘差不多了
    • 小沐他爸

      小沐他爸 (星际争霸,终于到了打GG的时候) 2010-07-11 14:14:50

      部分求迹前后该子系统的熵一定是不变的,这个可以证明

      这个我不太明白了,取包含相关态的完备正交基容易证明纯态熵为一定0,混态熵一定不为0。
      ===============================================
      部分求迹不能把纯态变成混态啊



      对某个纯态进行多次重复测量将制备出一个混合态——不同坍缩结果之间不存在任何相位关联,彼此是不相干的。
      对于单量子系统能否处于混合态的看法,在概念上没必要划分得太死,量子力学本身就是一个唯象的统计理论嘛。
      =================================================
      这。。。如果量子力学都是唯象的,那我也没话说了


      是不是可以这么认为,称之为混合态,只是因为我们所了解到的信息比较少,使得我们不能用一个波函数来描述这个系统,,当信息足够多的时候就可以认为是一个纯态了。
      =================================================
      密度矩阵描述的就不是波函数吗?


      简单点应该是 纯态把位相的信息丢掉就变成混合态了...但是可以还原成纯态吗?
      =================================================
      纠缠的纯化的确是很复杂的一件事情 目前应该没有绝对的结论吧 只是具体的情况具体分析
    • [已注销] 2010-07-11 14:25:34

      是对系统的一种描述而不是波函数吧,就好比有些不同体系,但是其密度矩阵是完全相同的。
    • [已注销] 2010-07-11 14:35:41

      这话题我也想听...坐等大牛科普...
    • [已注销] 2010-07-11 20:45:23

      小沐他爸:

      部分求迹不能把纯态变成混态啊
      ==============
      对一个纯态求部分迹的结果就是一个混态。对于最大纠缠系统,信息是编码在纠缠着的两个系统中的,单看其中一个系统不载荷任何信息。

      密度矩阵描述的就不是波函数吗?
      ==============
      能用密度矩阵描述的不一定能用波函数描述。。。。。。
    • [已注销] 2010-07-11 22:02:20

      部分求迹前后该子系统的熵一定是不变的,这个可以证明。
      ==============
      不知道你这里说的熵是什么熵。von-Neumann熵对约化前和约化后的密度矩阵显然是不一样的。而von-Neumann熵正好是信息的量度。

      我不认为单个量子系统可以处在混合态,至少实验上是这样
      ==============
      比如对于光晶格或射频阱中的单个原子或离子。把基态和第一激发态作为我们考虑的自旋自由度的两个态。在离子自发辐射之前,我们说上下两个能态是相干的,这时候离子处于纯态。但一旦它发生了自发辐射,原子就处于了混合态。这就是为什么量子操作必须在离子的第一激发态能级寿命之内完成。另外,外界环境与离子的相互作用都能使离子发生退相干,导致量子计算无法进行。这些东西在量子光学里可以用主方程描述。
    • [已注销] 2010-07-11 22:24:22

      没错,混态的概念必须借助量子系综引入,而系综的确是热力学中的概念。但这个概念建立以后,我们就没有必要局限在热力学里面了。其实量子力学本来就有概率统计思想在里面。人们对微观粒子所知并不完全。

      我不是专家,大家不要全信我。
    • 小沐他爸

      小沐他爸 (星际争霸,终于到了打GG的时候) 2010-07-12 09:38:24

      不知道你这里说的熵是什么熵。von-Neumann熵对约化前和约化后的密度矩阵显然是不一样的。而von-Neumann熵正好是信息的量度。
      =================================
      这个显然是从何而来的?


      比如对于光晶格或射频阱中的单个原子或离子。把基态和第一激发态作为我们考虑的自旋自由度的两个态。在离子自发辐射之前,我们说上下两个能态是相干的,这时候离子处于纯态。但一旦它发生了自发辐射,原子就处于了混合态。这就是为什么量子操作必须在离子的第一激发态能级寿命之内完成。另外,外界环境与离子的相互作用都能使离子发生退相干,导致量子计算无法进行。这些东西在量子光学里可以用主方程描述。
      =================================
      第一,你说的仍然是理论 而非实验
      据我所知 光晶格的实验技术还没有精确到操控“单个”原子的程度 同样的 量子阱中的一个纳米颗粒 少说也得上百个原子吧
      这是实验上真实的情形 至于为什么那些人要声称他们能操控单个二能级系统呢 比如自旋阻塞实验中 他们号称可以一个一个自旋的操控 这实际上本身就隐含了统计的思想 他们利用了一系列复杂的技术手段 比如门电压的精确调控 使得大家处在简并度极高的能级上 再加上强的磁场 使得再上面的能级难以发挥作用等等
      总之 实验真实的情况只可能是统计之后的 所以你所说的上能级下能级什么的 都只是理论上理想的模型而已
      第二,你觉得概念建立以后 就没必要局限在热力学中 我的观点恰恰相反
      比如退相干的问题 这一直是量子信息研究中的关键问题之一 事实上 量子力学中是不可能有退相干的 退相干一定是多体的效应 或者说热的作用
      再比如你提到的自发辐射 量子力学中的自发辐射 是爱因斯坦提出的一套唯象的办法来解决的 虽然这套理论非常漂亮 但有很多问题如果不放在统计的框架下 是很难被真正理解的


      其实量子力学本来就有概率统计思想在里面。人们对微观粒子所知并不完全。
      ================================
      量子力学的概率你认为是“所知不完全”导致的?或者说,你仍然认为存在隐变量?那好吧 这是另外一个论题了 不在这里讨论
    • [已注销] 2010-07-12 14:07:26

      这个显然见张永德的高等量子力学或Chuang量子信息的教材。

      ……
      光阱和射频阱中已经可以抓到单原子/单离子了……

      虽然现在贝尔不等式已经赶走了隐变量,但我不认为人们对微观粒子所知完全。


    • 留空

      留空 2010-07-13 01:28:41

      如我之前所说,纯态熵一定是1,混态一定小于1.这是很好证明的。

      另外,与其说描述混态必须用引入量子系综,不如说量子系综只是对混态的一种描述工具。就像描述我桌上的一杯水的状态,那我考虑的就是只有一杯水。学过统计力学都知道,联系微观量和宏观量的基本假设是:宏观量等于微观量的时间平均。为了让平均的含义确切,系综理论是一个有效的工具——但真正与实验相联系的、有确切物理意义的是水的体积、温度等物理量的时间平均值,不是那一堆假想的各种“一杯水”。因面前这杯水各物理量的时间平均值等于假想中系综的平均值,系综理论才有效。(不管是因为各态历经理论还是什么原因)从原理上说,我桌上这杯水的状态是给定的,但我还是认为有一个系综分布。

      以上的讨论完全适用于量子体系,譬如我面前不是一杯水,是由复杂方式束缚住的费米气体。可见混态之所以“混”,不是因为突然在原先考虑的系统上多出了一整个系综,而不过就是因为对系统的信息不完全而已——换句话说:我们不知道系统确切处于哪个态。否则(不考虑黑洞可能的影响)按照量子力学的基本原理,任何一个孤立系统(包括宇宙)都是处于纯态。至于系综,只是引入并描述这种信息不确定性,并没有什么理论上的根本性。


    作者:bellbasis 时间:2010-07-18 23:34:52
      
      作者:圆周率谐音 回复日期:2010-07-18 20:34:10
      
      首先,你还是要从概率上理解量子力学,而不是波动上。通常的机械波,比如水的表面波,是一个一个挨在一起的水分子震荡,形成的宏观的波动图样。
      概率波(你所说的物质波)是单个粒子在空间中出现的概率幅度对应的图样。不是说这个粒子必须一扭一扭地前进。
      
      我们说概率波,说的是复数的概率波形势,概率波的实际观测量都是绝对值的平方,所以有的时候我们看不见波动效应,只是因为概率波绝对值平方是看不出周期规律的。
      
      举个例子,你观测水表面波的时候,波的振幅对应量子力学的粒子的波函数振幅,但是波上每个质点的能量,对应量子力学观测量。你计算一下能量(平均振幅平方)就发现水面的能量分布式均匀的,没有波的形状。
      
      而发生干涉时,水面有的地方振幅永远是0,就是这里的能量也永远是0,画成能量分布图样,就出现干涉条文了。
      
      所以,根本作用的是波的振幅及其相位(波函数),观测结果是振幅平方的分布,所以相互作用的时候是先叠加波函数,再绝对值平方,这个时候就出现干涉了。
      
      静止只是自由运动的一个变换而已(换个参考系而已)没有特殊性。这是物理学基本原理。
      下面说量子力学。
      自由状态下,动量守恒,所以波函数是exp(-ipx),p是常数,它的绝对值平方才代表可观测的概率,所以是1, 就是说在x方向上个点出现几率相同。所以自由粒子状态下,你看不见“波的图样”,看见的只是一条直线。(波表现在ipx上,因为exp(it)可以写成三角函数,那个是描述波动的,但是因为可观测量是绝对值平方,所以此时观测不到波动的现象)另外,你看不见绝对静止的粒子的绝对位置,因为绝对静止意味着动量为0,而意味着其坐标是无限弥散的(不确定原理),用函数delta(p)表示。
      
      相对论情况下,有相对论量子力学,量子场论表述。波动方程里的变量都是洛伦茨协变的,满足狭义相对论的洛伦茨变换规律。
     

    混合态只能写成密度矩阵

    纯态各分量间的相对相位(不是整体相位)是意义的,但是在混态里没相对相位了,各分量间没有了干涉。

    欢迎大家指出错误。
  • 酱腩菜籽

    酱腩菜籽 (格致在左,风月在右) 2010-07-07 23:20:49

    LS说的没错。

    叠加态=本征态相干叠加,混合态=纯态的非相干叠加(以经典概率分布);纯态可以是本征态,也可以叠加态。
  • 纯态是能表述出希尔伯特空间矢量的量子态;混合态反之。


  • 断雁嵬蝶

    断雁嵬蝶 (番茄爱好者) 2010-07-08 01:53:57

    Lynne讲的蛮好
  • 留空

    留空 2010-07-08 16:31:28

    纯态的叠加对应概率幅叠加,混态的叠加对应概率叠加。
  • @Lynne:

    我对这个不理解:
    “一个单量子系统也可以处于混合态,只要个成分之间的相干性被破坏。”
    这种状态实验上能实现吗?
  • [已注销] 2010-07-09 19:46:48

    可以啊,比如两光子纠缠纯态,对其中一个光子求迹,剩下另一个光子的密度矩阵就是个混态。实际上有人认为混态是大的纯态系统中把环境trace掉以后剩下子系统的不完全描述,有一部分信息在求迹中丢掉了。



  • 本征态和纯态?
    Logogogo

    来自: Logogogo(Pig has Dreams) 2010-07-07 09:42:59

    5人 喜欢
    • airaria

      airaria 2010-07-07 12:37:30

      纯态是体系本身的性质,本征态要相针对于某个算符来说吧

      混态是非相干叠加
      叠加态是相干的叠加
    • [已注销] 2010-07-07 14:29:19

      纯态各组分之间是相干叠加,而混合态是非相干叠加。
      也就是说,纯态系统可以用一个波函数来描述,这个波函数各成分前的系数模方之和等于1,这是对概率幅的要求。
      而混合态各成分之间没有相干性,是一个经典统计的结果,各成分前面系数之和为1,不加平方。这是经典概率的要求。因此混合态不能用一个波函数来描述。
      这就是它们密度矩阵平方的迹的差异来源。纯态跟混合态与单量子多量子系统没关系。一个单量子系统也可以处于混合态,只要个成分之间的相干性被破坏。

      纯态总可以用完备基矢展开(但纯态和本征态可不是一个概念哦,纯态可不一定是本征态。我们在初量里见到的波函数都是纯态),而混合态只能写成密度矩阵。
    • [已注销] 2010-07-07 14:36:04

      混态是各纯态之间非相干叠加,混态的各纯态组分不一定是CSCO本征态,只要是纯态就行了。混合态是对所知系统的一种不完全描述。这时候各组态间的相位信息完全丢掉了。

      当然一般书里喜欢把混态用系综概念引入。但混态不一定非要是多体系统。
    • Logogogo

      Logogogo (Pig has Dreams) 2010-07-07 19:21:53

      为什么会把相位信息给扔了?是因为各组分前的系数限定是实数吗?
    • [已注销] 2010-07-07 20:36:50

      是吧我想,纯态各分量间的相对相位(不是整体相位)是意义的,但是在混态里没相对相位了,各分量间没有了干涉。

      欢迎大家指出错误。
    • 酱腩菜籽

      酱腩菜籽 (格致在左,风月在右) 2010-07-07 23:20:49

      LS说的没错。

      叠加态=本征态相干叠加,混合态=纯态的非相干叠加(以经典概率分布);纯态可以是本征态,也可以叠加态。

    • 马龙白狼兔

      马龙白狼兔 (穿的是吾滴涤纶) 2010-07-08 01:49:00

      纯态是能表述出希尔伯特空间矢量的量子态;混合态反之。

    • 断雁嵬蝶

      断雁嵬蝶 (番茄爱好者) 2010-07-08 01:53:57

      Lynne讲的蛮好
    • 留空

      留空 2010-07-08 16:31:28

      纯态的叠加对应概率幅叠加,混态的叠加对应概率叠加。
    • [已注销] 2010-07-08 20:23:28

      :)
    • Logogogo

      Logogogo (Pig has Dreams) 2010-07-09 16:21:59

      多谢Lynne,yangziqing,Quantumechanic,留空
    • [已注销] 2010-07-09 16:30:47

      @Lynne:
      我对这个不理解:
      “一个单量子系统也可以处于混合态,只要个成分之间的相干性被破坏。”
      这种状态实验上能实现吗?
    • [已注销] 2010-07-09 19:46:48

      可以啊,比如两光子纠缠纯态,对其中一个光子求迹,剩下另一个光子的密度矩阵就是个混态。实际上有人认为混态是大的纯态系统中把环境trace掉以后剩下子系统的不完全描述,有一部分信息在求迹中丢掉了。
    • [已注销] 2010-07-09 19:52:10

      哦,傻了我这都没想到。量子力学白学了。
    • [已注销] 2010-07-09 19:56:19

      你不做这个吧,忘了很正常啊。
      其实原子体系个各态的相干性与环境耦合一下就没了,很容易破坏。
    • [已注销] 2010-07-09 19:59:37

      谢谢!
    • 1>3<7

      1>3<7 (<(= ̄▽ ̄=)> 槑槑) 2010-07-09 20:18:03

      牛贴...
      我只记得 纯态的叠加对应概率幅叠加,混态的叠加对应概率叠加。 这个了...
    • 小沐他爸

      小沐他爸 (星际争霸,终于到了打GG的时候) 2010-07-10 09:35:59

      对Lynne提出两点置疑:
      1、“一个单量子系统也可以处于混合态,只要个成分之间的相干性被破坏。” 如何实验上实现,你的回答仍然是从理论上的。事实上,我不认为单个量子系统可以处在混合态,至少实验上是这样,理由下面解释。
      2、部分求迹前后该子系统的熵一定是不变的,这个可以证明。所以你说部分求迹后“一部分信息丢掉了”,那么丢掉的是什么信息?这个可以引出另一个问题,部分求迹后得到子系统的密度矩阵,那么我可以通过这个密度矩阵还原出原系统的密度矩阵吗?在某些情况中,答案是,可以,比如DMRG中。

      态叠加原理是量子力学的,或者是数学的,而混合态则是热力学的。
      绝对零度下显然不存在混合态。上面有人提到混合态是对应概率叠加,把混合态密度矩阵的对角元理解为概率,这是不准确的。用分布应该更好一些。
      量子统计中讲到纠缠态的时候,往往会和部分求迹相联系,比如两个二能级系统,纠缠在一起,其中一半的自由度被求和求掉,得到的就是一个混合态。这会给人一个造成一个假象,那就是混态在一个二能级系统中就能出现。
      而事实上,这种处理只是数学上的。在某些量子信息的文章中中,部分求迹被叫做adiabatic elimination technique(如:PRL 92,197901),重点在绝热一词,这充分说明了它与热力学相联系的本质。
      从物理本源出发,混合态的形成是与热涨落有关的,是热涨落导致了退相干,而退相干则导致了混合态。
      情况就是这样。
    • 留空

      留空 2010-07-11 11:16:09

      部分求迹前后该子系统的熵一定是不变的,这个可以证明

      这个我不太明白了,取包含相关态的完备正交基容易证明纯态熵为一定0,混态熵一定不为0。
    • 马龙白狼兔

      马龙白狼兔 (穿的是吾滴涤纶) 2010-07-11 12:36:35

      对某个纯态进行多次重复测量将制备出一个混合态——不同坍缩结果之间不存在任何相位关联,彼此是不相干的。
      对于单量子系统能否处于混合态的看法,在概念上没必要划分得太死,量子力学本身就是一个唯象的统计理论嘛。
    • [已注销] 2010-07-11 13:36:57

      是不是可以这么认为,称之为混合态,只是因为我们所了解到的信息比较少,使得我们不能用一个波函数来描述这个系统,,当信息足够多的时候就可以认为是一个纯态了。
    • 1>3<7

      1>3<7 (<(= ̄▽ ̄=)> 槑槑) 2010-07-11 13:41:36

      简单点应该是 纯态把位相的信息丢掉就变成混合态了...但是可以还原成纯态吗?
    • [已注销] 2010-07-11 13:46:06

      我觉得就是一种描述方式吧
    • K小T

      K小T (有多少爱可以重来) 2010-07-11 14:07:32

      饿得更深啊。。。 忘差不多了
    • 小沐他爸

      小沐他爸 (星际争霸,终于到了打GG的时候) 2010-07-11 14:14:50

      部分求迹前后该子系统的熵一定是不变的,这个可以证明

      这个我不太明白了,取包含相关态的完备正交基容易证明纯态熵为一定0,混态熵一定不为0。
      ===============================================
      部分求迹不能把纯态变成混态啊



      对某个纯态进行多次重复测量将制备出一个混合态——不同坍缩结果之间不存在任何相位关联,彼此是不相干的。
      对于单量子系统能否处于混合态的看法,在概念上没必要划分得太死,量子力学本身就是一个唯象的统计理论嘛。
      =================================================
      这。。。如果量子力学都是唯象的,那我也没话说了


      是不是可以这么认为,称之为混合态,只是因为我们所了解到的信息比较少,使得我们不能用一个波函数来描述这个系统,,当信息足够多的时候就可以认为是一个纯态了。
      =================================================
      密度矩阵描述的就不是波函数吗?


      简单点应该是 纯态把位相的信息丢掉就变成混合态了...但是可以还原成纯态吗?
      =================================================
      纠缠的纯化的确是很复杂的一件事情 目前应该没有绝对的结论吧 只是具体的情况具体分析
    • [已注销] 2010-07-11 14:25:34

      是对系统的一种描述而不是波函数吧,就好比有些不同体系,但是其密度矩阵是完全相同的。
    • [已注销] 2010-07-11 14:35:41

      这话题我也想听...坐等大牛科普...
    • [已注销] 2010-07-11 20:45:23

      小沐他爸:

      部分求迹不能把纯态变成混态啊
      ==============
      对一个纯态求部分迹的结果就是一个混态。对于最大纠缠系统,信息是编码在纠缠着的两个系统中的,单看其中一个系统不载荷任何信息。

      密度矩阵描述的就不是波函数吗?
      ==============
      能用密度矩阵描述的不一定能用波函数描述。。。。。。
    • [已注销] 2010-07-11 22:02:20

      部分求迹前后该子系统的熵一定是不变的,这个可以证明。
      ==============
      不知道你这里说的熵是什么熵。von-Neumann熵对约化前和约化后的密度矩阵显然是不一样的。而von-Neumann熵正好是信息的量度。

      我不认为单个量子系统可以处在混合态,至少实验上是这样
      ==============
      比如对于光晶格或射频阱中的单个原子或离子。把基态和第一激发态作为我们考虑的自旋自由度的两个态。在离子自发辐射之前,我们说上下两个能态是相干的,这时候离子处于纯态。但一旦它发生了自发辐射,原子就处于了混合态。这就是为什么量子操作必须在离子的第一激发态能级寿命之内完成。另外,外界环境与离子的相互作用都能使离子发生退相干,导致量子计算无法进行。这些东西在量子光学里可以用主方程描述。
    • [已注销] 2010-07-11 22:24:22

      没错,混态的概念必须借助量子系综引入,而系综的确是热力学中的概念。但这个概念建立以后,我们就没有必要局限在热力学里面了。其实量子力学本来就有概率统计思想在里面。人们对微观粒子所知并不完全。

      我不是专家,大家不要全信我。
    • 小沐他爸

      小沐他爸 (星际争霸,终于到了打GG的时候) 2010-07-12 09:38:24

      不知道你这里说的熵是什么熵。von-Neumann熵对约化前和约化后的密度矩阵显然是不一样的。而von-Neumann熵正好是信息的量度。
      =================================
      这个显然是从何而来的?


      比如对于光晶格或射频阱中的单个原子或离子。把基态和第一激发态作为我们考虑的自旋自由度的两个态。在离子自发辐射之前,我们说上下两个能态是相干的,这时候离子处于纯态。但一旦它发生了自发辐射,原子就处于了混合态。这就是为什么量子操作必须在离子的第一激发态能级寿命之内完成。另外,外界环境与离子的相互作用都能使离子发生退相干,导致量子计算无法进行。这些东西在量子光学里可以用主方程描述。
      =================================
      第一,你说的仍然是理论 而非实验
      据我所知 光晶格的实验技术还没有精确到操控“单个”原子的程度 同样的 量子阱中的一个纳米颗粒 少说也得上百个原子吧
      这是实验上真实的情形 至于为什么那些人要声称他们能操控单个二能级系统呢 比如自旋阻塞实验中 他们号称可以一个一个自旋的操控 这实际上本身就隐含了统计的思想 他们利用了一系列复杂的技术手段 比如门电压的精确调控 使得大家处在简并度极高的能级上 再加上强的磁场 使得再上面的能级难以发挥作用等等
      总之 实验真实的情况只可能是统计之后的 所以你所说的上能级下能级什么的 都只是理论上理想的模型而已
      第二,你觉得概念建立以后 就没必要局限在热力学中 我的观点恰恰相反
      比如退相干的问题 这一直是量子信息研究中的关键问题之一 事实上 量子力学中是不可能有退相干的 退相干一定是多体的效应 或者说热的作用
      再比如你提到的自发辐射 量子力学中的自发辐射 是爱因斯坦提出的一套唯象的办法来解决的 虽然这套理论非常漂亮 但有很多问题如果不放在统计的框架下 是很难被真正理解的


      其实量子力学本来就有概率统计思想在里面。人们对微观粒子所知并不完全。
      ================================
      量子力学的概率你认为是“所知不完全”导致的?或者说,你仍然认为存在隐变量?那好吧 这是另外一个论题了 不在这里讨论
    • [已注销] 2010-07-12 14:07:26

      这个显然见张永德的高等量子力学或Chuang量子信息的教材。

      ……
      光阱和射频阱中已经可以抓到单原子/单离子了……

      虽然现在贝尔不等式已经赶走了隐变量,但我不认为人们对微观粒子所知完全。


    • 留空

      留空 2010-07-13 01:28:41

      如我之前所说,纯态熵一定是1,混态一定小于1.这是很好证明的。

      另外,与其说描述混态必须用引入量子系综,不如说量子系综只是对混态的一种描述工具。就像描述我桌上的一杯水的状态,那我考虑的就是只有一杯水。学过统计力学都知道,联系微观量和宏观量的基本假设是:宏观量等于微观量的时间平均。为了让平均的含义确切,系综理论是一个有效的工具——但真正与实验相联系的、有确切物理意义的是水的体积、温度等物理量的时间平均值,不是那一堆假想的各种“一杯水”。因面前这杯水各物理量的时间平均值等于假想中系综的平均值,系综理论才有效。(不管是因为各态历经理论还是什么原因)从原理上说,我桌上这杯水的状态是给定的,但我还是认为有一个系综分布。

      以上的讨论完全适用于量子体系,譬如我面前不是一杯水,是由复杂方式束缚住的费米气体。可见混态之所以“混”,不是因为突然在原先考虑的系统上多出了一整个系综,而不过就是因为对系统的信息不完全而已——换句话说:我们不知道系统确切处于哪个态。否则(不考虑黑洞可能的影响)按照量子力学的基本原理,任何一个孤立系统(包括宇宙)都是处于纯态。至于系综,只是引入并描述这种信息不确定性,并没有什么理论上的根本性。
    • 小沐他爸

      小沐他爸 (星际争霸,终于到了打GG的时候) 2010-07-13 14:50:46

      我想起来了 ls就是今年寒假的时候 某个讨论量子力学不确定性的贴中 那个执着于认为量子力学的不确定性和非线性中的不确定性是同一件事的人

      好吧 虽然系综理论被你说得一文不值 我也不介意了 我没有要澄清概念的义务 而且大概在ls的面前 这也是做不到的 ls是那种只要数学形式上一致 就认为物理起源也一致的人

      另:纯态的熵一般都定义为0 比如冯·诺伊曼熵 不知道这个把纯态定义为1的熵是长什么样的?
    • 留空

      留空 2010-07-13 15:30:32

      呵呵,纯态熵为1是打错了,你可以看我前面说的。记得我当时花了很多篇幅写非线性和量子力学中不确定性的区别,但你好像只记得我对他们共性的叙述:他们都是在一定信息量情形下无法确定某物理量的最终数值。——而这本来就是一个与物理实质无关的数学性命题。我想其它方面我也没有什么复述的必要,毕竟一个人倾向于选择性健忘,那就没什么能记住的。我很好奇,如果有人说“Wick rotation可以让场论同时用于粒子物理和统计力学”时,你会不会也激动地高呼:粒子物理和场论不是一回事。。。当然,没人说它们是一回事,只是Wick rotation听不到你的抗议。

      不过我还是最后总结一下逻辑:1.热力学系统的定义与系综理论无关。2.宏观物理量的定义不需系综理论帮助。
      由上可见,宏观量的涨落实际上也不用系综理论就可以理解。
    • 小沐他爸

      小沐他爸 (星际争霸,终于到了打GG的时候) 2010-07-14 09:54:57

      本来想回去把那个老贴翻出来的 想想还是算了 我记得当时无欲说过 这已经变成一个心理学问题了 就是说有的人本来是清楚对方想表达的意思 可总喜欢很作的标新立意
      如果你所要表达关于对不确定性、或系综的描述与这句“Wick rotation可以让场论同时用于粒子物理和统计力学”类似 那我也不相信会有人跳出来反驳了
      不过很遗憾的是 这里很多时候讨论的都是物理 而非数学 傅立叶变换可以用到的领域更多 但不意味着它所能用到的地方的物理内涵都是相同的 这也正是需要被讨论的部分

      与系综理论类似的是量子力学的哥本哈根诠释 没有这些诠释 统计力学和量子力学的数学形式一样运行不悖 所以你的结论我并不认为是错的
      关键的问题出在哲学层面 或者科学界的common sense上 没有这些诠释 很多理论都是空中花园 没有牢固的根基 与民科并无本质区别
      其实你完全可以坚持传统的热力学定义 统计平均也完全可以不理解为系综平均 当然前提是有人有兴趣陪一个个概念去Argue 如果他有那个闲心的话

      纯态熵那个问题 我并不是想抓你的笔误 只是我认为你的理解不对 熵是定义出来的 不同的定义的熵有不同的形式 纯态的熵是不是0 混态的熵是不是一定小于1 这不是可以“证明”的问题 能证明的只是两个系统的熵在同一个定义下进行大小的比较
      比如冯诺伊曼熵 如果我把对数的底改一下 那么混态的熵就完全有可能大于1了 这在实际运用时是很常见的 比如有人喜欢用2作底 有人喜欢用自然对数等等 只要你讨论的问题是在同一个定义下就可以了
    • 留空

      留空 2010-07-14 12:25:25

      把书上的东西照写一遍本来就没什么意义,既然人家发到网上来问,问的还就是概念,当然就是要你写出你对这个概念的总结。要不直接给他们指出哪本书上有不就行了。

      数学在物理学中本来就有统一概念的意义,比如傅里叶变换虽然可以用到完全不同的领域,但实际上我们可以统一地把它们看做频谱分解。当然这个频谱分解在光学上分解的不同频率,在场论中分解的是不同动量本征态。这时候当人问你:什么是傅里叶分解?的时候。给出一个统一的理解,比起分析不同情况下的细节有价值得多——实际上,后者不可能在网上讨论的时候让人明白清楚,只有足够的训练、实践才能真正帮助提问者。

      第一,系综理论是一个数学工具,系综是假想出来的而不是真实存在的。定义一个有物理意义的物理量,不应该用假想的某种结构,而应该用物理世界中实际存在的、可操作性的物理过程。你不是一直在强调物理意义么,可以肯定地说:统计平均的物理意义就是物理量的时间平均,系综平均反而是一种数学意义的平均。这也正符合你说的common sense,因为这一观点在任何一本统计力学教科书上都能查到。
      第二,哥本哈根诠释早就风烛残年了,我想退相干历史比它有希望得多。
      第三,民科的特点实际上正好和你说得相反——民科大都重诠释,轻理论;重论理,轻实验。它们可以把一个概念翻来覆去说得很麻烦,却提不出任何一个可操作性的实验验证。这与科学界认可(又一个common sense)的“有物理意义的物理量应该以可操作性的物理过程定义”相悖。

      当然,熵的定义可以多种多样,von neuman熵只是其中一种。但至少你也没说出哪一个定义符合你所说的“部分求迹熵不变”。(其实你用这个莫须有的定理反驳Lynne的时候,实际上也没有指出用的哪种熵的概念,我只能认为你的意思是所有熵都有这个性质)不管是给von neuman的S加上一个常量,还是乘以一个常数(改变底)都不影响“部分求迹改变熵”这一事实
    • Everett

      Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(= ̄ U  ̄=)~) 2010-07-15 10:55:17

      1. 相似变换不改变矩阵的本征值,也不改变迹
      2. 部分求迹改变矩阵的本征值,也改变von neuman entropy

      别混淆了。
    [PPT]第八讲
    cc.sjtu.edu.cn/G2S/Utility/download2.aspx?type=2...
    轉為繁體網頁
    在广义相对论的柔性度规中:; (1)由于全空间没有统一的时间,因此在黎曼空间中一般无法建立同时性概念,但是可以定义两个坐标钟“同时”的概念,应用光信号来校 ...

    n例如,发射台不断向接受者发射脉冲信号,无论接受者是静止还是在运动,他接收到脉冲的个数是相同的。所以,相位是一个不变量,对不同的观察者不变。这可以通过洛伦兹变换来证明,但在牛顿力学中,根据伽利略变换与多普勒效应无法保证相位不变性。

    n相位不变性是德布罗意发现的,它是研究电磁场的相对论效应乃至量子理论的基础。
    在闵可夫斯基背景时空中,由局域惯性系的静电学定律就可以建立电动力学的理论体系,闵氏时空的间隔不变性自动导致光速不变与电磁学的洛伦兹协变性


    §1.2  基本观念
    1, 基本图像:de Broglie关系与波粒二象性
    1905年Einstein通过提出下列关系
    Eh==νωh,kehec
    Epvhv
    vv===λ     (1.9)
    (这里π
    2h
    =
    h),引入光子的概念。这在原先认为光是电磁波的图象
    上添加了粒子的图象,这已由上节第一组实验所证实。于是,若知道等式右边的波动参数ω和k,便可用这组关系求得它左边的量所相应的微粒子特性。经过18年之久,de Broglie克服积习的约束,逆过来理解这组关系,将上面这组关系从针对m=0的情况推广到m≠0的情况,提出原先是微粒的微观粒子也具有波动性1,
                                                    

    设想有一只碗,碗底形状就好比是势能函数U(x,y),往碗里倒水,每一点的水深h(x,y)就是一个和空间坐标有关的函数,且取决于势

    来源: [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读: 12次






    经典力学的谐振子与薛定谔方程的谐振子解
    已有 181 次阅读2011-6-4 14:31|个人分类:随便瞎写|系统分类:科普集锦|关键词:量子力学
    初等量子力学中,在讲到薛定谔方程时,一般都会求解几个势场作为范例,其中就包含了谐振子解。刚才在豆瓣上看到有人提问,似乎对这个解的含义不甚明了。
    量子力学中的波函数Ψ(t,x,y,z),可以看作一个经典场。这个经典场的特别之处在于其统计诠释,不过在这里可以不管这个。薛定谔方程决定了波函数在时空中的分布,即以(t,x,y,z)为变量,Ψ的函数形式。在定态情形,波函数可分离变量:Ψ(t,x,y,z) = χ(t)ψ(x,y,z),因此定态薛定谔方程其实给定了一个经典场ψ(x,y,z)在空间中的分布。当然这个分布和势能表达式是有关的,因为定态薛定谔方程中有势能项。打个并不贴切的比方:设想有一只碗,碗底形状就好比是势能函数U(x,y),往碗里倒水,每一点的水深h(x,y)就是一个和空间坐标有关的函数,且取决于势能分布。假如碗底的形状有二次形式:U = (1/2)mω(x^2 + y^2),就意味着势能有谐振子形式。倒入一定高度的水(相当于总能量给定),就不难写出此时h(x,y)的表达式。
    谐振子的定态波函数解也是差不多的意思,只不过求解过程要更复杂些,最终求得的,是在谐振子这个势场中,波函数经典场的空间分布函数。
    定态波函数解和力学中一个动来动去的谐振子有很大不同。定态波函数解的意义已在上面叙述。而经典力学的谐振子,可以理解成一个波包在势场中运动,它的波函数Ψ(t,x,y,z)也是薛定谔方程的解,但却不是定态薛定谔方程的解。
    将Ψ(0,x)(只考虑一维,t = 0时的波包)用能量基矢展开:Ψ(0,x) = c_{n}Ψ_{n}(0,x) ,等号右边要对n求和。其中Ψ_{n}(t,x) = Ψ_{n}(0,x) exp(-iE_{n}t),因此Ψ(t,x) = c_{n}Ψ_{n}(0,x)exp(-iE_{n}t) (等号右边对n求和)。这里的含时项不能从和式中提出,因此Ψ(t,x)不能分离变量,也无法得到关于Ψ(t,x)的定态薛定谔方程。但可以计算各能量本征态的演化,叠加而成Ψ(t,x)的演化规律,从而得到波包的运动图像。这个图像可以和经典谐振子做类比


    作者:bellbasis 时间:2010-07-18 05:43:08
      说下我的看法,希望对楼主有帮助。
      首先你要理解概率。
      
      1对于粒子,你仍然可以理解成点粒子,但是它出现在一定空间,一定时间,一定动量区间的由概率描述,其概率分布图样表现成波动的外观。粒子沿经典的直线行走,是因为在当前的相互作用下,沿其他路径行走的概率几乎为0。(路径积分的一种解释是走其他路径的概率都干涉相消了)。
      
      2粒子干涉的时候,实际上是粒子出现的概率分布改变了。
      
      3数学上说,粒子由一个抽象的态来描述|phi>, 当我们需要讨论粒子的空间波函数的时候,作用左矢<x|phi> 当我们需要讨论动量分布的时候,作用左矢<p|phi>表征动量分布。所以粒子的空间分布,动量分布,都是由一个态在一种观测下的投影。表示这个投影的函数,就是描述粒子这种概率分布形状的函数(这个函数是复函数,实际上观测的概率分布是要求绝对值平方的)
      
      4,没有相互作用的时候,空间波函数的解是平面波(这是理想状况。实际上任何粒子都是平面波的叠加)有相互作用的时候,可以是共振态,很多短寿命的粒子都是共振态,就是出现极短的时间后,这种特殊的粒子就消失了(衰变成其他相对稳定的粒子)。
      
      5,你只要着重理解概率分布就可以了,它不能预言每个粒子的行为,但是能预言大量粒子的统计行为。而不需要去理解具体一个粒子是如何波动的。
      
      先说这么多。
     
     
    作者:bellbasis 时间:2010-07-18 23:34:52
      
      作者:圆周率谐音 回复日期:2010-07-18 20:34:10
      
      首先,你还是要从概率上理解量子力学,而不是波动上。通常的机械波,比如水的表面波,是一个一个挨在一起的水分子震荡,形成的宏观的波动图样。
      概率波(你所说的物质波)是单个粒子在空间中出现的概率幅度对应的图样。不是说这个粒子必须一扭一扭地前进。
      
      我们说概率波,说的是复数的概率波形势,概率波的实际观测量都是绝对值的平方,所以有的时候我们看不见波动效应,只是因为概率波绝对值平方是看不出周期规律的。
      
      举个例子,你观测水表面波的时候,波的振幅对应量子力学的粒子的波函数振幅,但是波上每个质点的能量,对应量子力学观测量。你计算一下能量(平均振幅平方)就发现水面的能量分布式均匀的,没有波的形状。
      
      而发生干涉时,水面有的地方振幅永远是0,就是这里的能量也永远是0,画成能量分布图样,就出现干涉条文了。
      
      所以,根本作用的是波的振幅及其相位(波函数),观测结果是振幅平方的分布,所以相互作用的时候是先叠加波函数,再绝对值平方,这个时候就出现干涉了。
      
      静止只是自由运动的一个变换而已(换个参考系而已)没有特殊性。这是物理学基本原理。
      下面说量子力学。
      自由状态下,动量守恒,所以波函数是exp(-ipx),p是常数,它的绝对值平方才代表可观测的概率,所以是1, 就是说在x方向上个点出现几率相同。所以自由粒子状态下,你看不见“波的图样”,看见的只是一条直线。(波表现在ipx上,因为exp(it)可以写成三角函数,那个是描述波动的,但是因为可观测量是绝对值平方,所以此时观测不到波动的现象)另外,你看不见绝对静止的粒子的绝对位置,因为绝对静止意味着动量为0,而意味着其坐标是无限弥散的(不确定原理),用函数delta(p)表示。
      
      相对论情况下,有相对论量子力学,量子场论表述。波动方程里的变量都是洛伦茨协变的,满足狭义相对论的洛伦茨变换规律。
     
     
    作者:bellbasis 时间:2010-07-20 23:35:28
        可见,量子力学中,两种静止的含义是完全不同的。区分了两种情形,一切的矛盾就不复存在。
      ===============================
      这并没有不同的定义,只是因为不确定原理,你不能同时确定一个粒子的动量和位置而已。也就是说你不能找到一个静止的坐标固定的粒子。只能说当你找到一个坐标固定的粒子时,你不知道它的动量是多大。即不知道它是不是静止。
      
      经典情况下,确定动量和位置的手段都很粗糙,所以可以找到近似静止和近似固定位置的粒子。矛盾只在于精度。
      
      实际上,量子力学有3个解释,薛定谔方程,矩阵力学,路径积分。
      第一个和经典类似,很直观,由微分方程表示,只是微分方程的解用量子力学诠释物理意义。
      第二个用更数学化,用于理解量子理学概念,进行形式推导更好。其核心思想是粒子用态矢量表示,算符作用于态矢量,需要和测量联系的时候只是求态矢内积。
      第三个很强大,认为量子和经典效应是所有可能的粒子路径的叠加。但是计算起来并不简单。
      
      实际上第二种一般出现的场合比较多,因为概念明晰。量子场论也可以认为是和空间,动量相关的算符作用于粒子态上的结果。
      
      粒子态是一种抽象状态,可以用动量,坐标等等表述粒子态的特征。该态可以在坐标,动量上投影,其投影为波函数。
      
      所以,更好的描述是,粒子处于一种状态,经过物理算符作用后变成另一种状态,然后和其他状态进行内积求出需要观测的物理量(由一个态到另一个态的几率)。
      
      所以这个时候其实和“波“并没什么关系,只是其概率分布长得很像波而已。
     
     
    作者:bellbasis 时间:2010-07-21 16:09:31
      作者:袁士霄 回复日期:2010-07-21 14:30:09
      
      静止的唯一定义是动量为0~ 我没有限定不能实用 delta(x),我只是说delta(x)不是静止粒子而已。
      
      参考系变换,非相对论情况变化的是v,也就是p,p从+变成0 变成-没什么问题阿?很连续阿?(这时请考察该静止粒子的幅度绝对值平方有没有变化,exp(-ipx),无论p是什么,绝对值都是1)相对论情况,波矢和坐标p,x都是协变/逆变的,px是标量和坐标变换无关,所以和非相对论情况一样。
      
      我前面说过,测量量是振幅的绝对值平方,不是波动复数表达形式本身,楼主把它的平方安参考系变换,再看看有没有变化(那个才是可以和经典类比的东西)。
      
      我一直强调,要理解量子力学,要从态和概率上理解,波动表达形式只是选择参数空间后的一种数学展开(数学描述),并不是本质的。所以不要纠结于和机械波进行类比。2者没有关系 。只是量子力学的数学形式在某些特殊的态下呈现波动的特征而已
     
     
    举报 | 回复
    作者:bellbasis 时间:2010-07-22 03:09:45
        bellbasis你说<"所以这个时候其实和“波“并没什么关系,只是其概率分布长得很像波而已。>
        本帖子就是说波的,量子力学也从有波起家的,所以把"波"一脚踢开,总有些不厚道,我认为这可不仅仅是吃水不忘挖井人的一个问题,所以你应该像袁怪侠那样说"并不能因此而认为:物质是主体,波只是它的附属。",呵呵.
      
      =================
      是这样的,也许早期理论探索阶段需要借助波动来理解量子力学,但是当体系完善之后并不需要时时考虑这种事情,波动的“效应”包含在解之中。波动形式的引入只是一种中间状态,整个逻辑出发于粒子态,终结于测量的物理量。波动只是中间的数学手段而已。
      还有,位置不确定和静止不矛盾。位置不确定说的是你不知道它静止在什么地方,但是它是静止的。对于无数个粒子统计平均后,你会发现这些粒子均匀分布在空间中。这来自量子力学的基本原理。这种效应只有在极其微观才能发现。过度到经典的时候,你不能找到这么一个动量非常精确的平面波,那么你也就可能找到一个位置不那么弥散的准静止粒子,同理,对于delta(x)的情况,经典的情况是你不可能找到一个delta(x)的粒子(位置测量没那么精确)比如可能是一个高斯波包,那么粒子被限定在一个小范围内,同时也允许你测量它的动量,可能也是一个中心在0的高斯波包,那么就是说你能在一定精度内看见一个准静止,准固定位置的粒子,这就是我们的日常生活。
      
      实际上,delta《-》exp(-ipx)是2种极端精确的情况。只有在微观尺度下,才能看见这种极端精确的现象。
     
     
    作者:bellbasis 时间:2010-07-22 16:06:20
        作者:bellbasis 回复日期:2010-07-22 03:09:45
        bellbasis你也一定程度的认可“高斯波包”对应粒子实在,可怪侠不这么认为,这可不能含糊,这是个很根本的问题,不仅仅是个认知论问题,而是从根本上认知世界的出发点的问题,他是对构建什么更本质性场论以及物理何去何从的方向性问题。当今在科学界对“高斯波包”的认可度能占几成呢?
      
      
      ====================
      ....................在粒子物理里面,探测器观测到的物理量都是这种高斯波包……因为探测器的精度是有限的。
      
      袁前辈的意思是,一个函数可以fourier展开成平面波叠加,例如delta(x)展开成exp(ipx)的叠加,无穷个动量各不相同的平面波叠加。这只是一种数学手段。我们是否观测到这种平面波(哪个动量分量)取决于我们是否需要测量动量……如果不需要的话,跟本不需要展开。我不知道你对fourier展开有多少了解,但是这和量子力学无关,这只是一种数学而已,在电子电路里面经常用到(当然还有laplace变换),你先想一想这种变换在电路中对电信号的处理,能不能理解,能不能通过你的逻辑。高斯波包的fourier对应变换是高斯波包,所以我们能同时测量坐标和动量(一定精度上)。
      
      另外,我觉得你的问题还是没有理解静止的定义,delta(x)和delta(p)的区别在哪里。如果我们不谈论delta(x),就没有以上问题了。还有,我强调无论粒子以什么波形出现,那只是概率分布图样,不是粒子就是那个样子的……
     
     
    作者:bellbasis 时间:2010-07-22 19:19:35
        作者:bellbasis 回复日期:2010-07-22 16:06:20
         ================================
        在一般意义上可用数学方式无穷级数展开,但这里好像不是首先对一个成型函数的展开,而是直接假想出的一种跟数学无穷级数类似的数学模型,当然也只有这样,才能所谓解决类似孤波子不散的理论基础.所以在这里一切都好像本末倒置了,而按你说的,它是对一个什么样子函数实施无穷级数展开的呢?
      =============
      能使用这个模型,来自于量子力学的基本假设之一,x p的对易关系(p的算符化)。
      如果承认这点,后面的都是自然的事情了。
      
      我觉得你一直没明白一件事情,粒子还是粒子,一个粒子不会“散开“即使是平面波。
      散开的是粒子出现的概率分布,不是粒子本身。
     
     
    作者:bellbasis 时间:2010-07-22 20:09:32
      作者:圆周率谐音 回复日期:2010-07-22 19:41:32
        作者:bellbasis 回复日期:2010-07-22 19:19:35
        ========================
        你可能理解错了我说的"散开"这个意思了.
        用于表示能量消散,产生辐射,损失能量,只要涉及到波的稳定,这是首当其中考虑的.
      ===========================
      关于能量变化的问题,量子力学认为,最基本的是粒子态,当态不变的时候,能量也不变,能量的变化(态的变化)必然来自于外界的相互作用。辐射的产生来自于,比如一磁场中运动的电子,时刻和磁场(光子)交换着能量。电子的态发生连续变化,那么可能产生辐射。
      束缚态的时候,电子可以存在的态是分立的(薛定谔方程的解),意味着不是任何能量的光子都能使得电子从一个态变成另一个态,那么大多数时候也就没法辐射了。
      
      也许你对量子力学的一些基本假设产生疑问?那么只能说实验证明了这些假设的正确,
    作者:bellbasis 时间:2010-07-22 20:19:24
      你试试这个逻辑
      
      量子力学基本原理-》薛定谔方程的解-》电子可以存在的状态(其他状态概率为0)-》氢原子情况下是分立的状态的概率分布||自由电子情况下是连续平面波状态的概率分布(只有这里才出现了波)
      
      所以物质波只是一种早期想法,只是量子力学的一个解。你要问氢原子情况下的相速度是没什么意思的,氢原子情况下是只是一种特殊的分布而已。当然这时粒子的速度是可以求得的,但是和平面波没有什么直接关系。
     
    作者:bellbasis 时间:2010-07-22 20:31:52
      束缚态的时候,电子可以存在的态是分立的(薛定谔方程的解),意味着不是任何能量的光子都能使得电子从一个态变成另一个态,那么大多数时候也就没法辐射了。
      =======================
      少数的时候是光子能量刚好等于能级的差别……
     
     
    作者:bellbasis 时间:2010-07-22 20:37:43
        作者:bellbasis 回复日期:2010-07-22 20:19:24
        你在量子力学里舍弃"波"的概念,就像谈论电脑舍弃与或门等电路,舍弃二进位制,从表面上看,你是正确的.
      
      ==================
      不一样,撇开数学,波本身不是什么基本的东西,一大堆粒子相互作用的集合的现象而已。
      何况概率波和机械波没什么关系,只是用了同样的数学而已。
      概率波的效应包含在量子力学的解里面。
      
      好比我们讨论电脑的工作原理,却不需要讨论office2003有什么问题一样。哪怕也许有的人第一次接触电脑用的是office2003
      

    作者:bellbasis 时间:2010-07-22 20:41:28
        作者:bellbasis 回复日期:2010-07-22 20:31:52
            少数的时候是光子能量刚好等于能级的差别……
        ===============================
        如果用刚好这个说法的化,世界上没有刚好的能级光子来碰的,所以,也就不可能发生态的跳跃
      =============================================
      我们不可能完全处于绝对精确的那种能级的本征态(实际上是有宽度的,不过和能级之间的宽度相比很小而已),还有实验精度问题。而入射光子也不是单纯平面波,其动量是一个高斯分布,涵盖了需要跃迁能级的区间就可以了。
     
     
    作者:bellbasis 时间:2010-07-22 20:48:20
      作者:圆周率谐音 回复日期:2010-07-22 20:41:55
        所以把波当成敲门砖,不可能那么侥幸,肘起裤子不认帐,没那么容易.
      ===========================
      科学研究早期的摸索阶段用一些类比是很正常的,但是类比不是等同,你明白这点就可以了。其中最大的不同在于,机械波必须有介质,是介质中物质的相互作用效应,但是概率波不需要“介质“它只是概率分布而已。
     
     
    作者:bellbasis 时间:2010-07-22 21:12:40
      那么请问你,除了数学形式之外,量子力学哪里必须要用波的概念了?
      定态的解无非是列出方程之后解方程而已。其解是驻波形式而已。其他更多情况下的解都不是驻波或者平面波形式,非要用波的概念去强行理解这些解么?那只是一种概率分布图样而已。
      
      
    作者:bellbasis 时间:2010-07-22 21:23:53
      举个例子,伽利略证明2个质量不同的物体可以同时落地,牛顿力学完全可以解释这一现象并给出其他推测,诸如人造卫星运行轨迹。但是你如果要用2个质量不同的物体同时落地去理解为什么人造卫星是这么运动的。当然理解不了。因为你的出发点就不是根本的,只是一个结论而已。所以你用驻波和平面波去理解氢原子基态波函数,谐振子波函数,肯定不明白了。
     
     
    举报 | 回复
    作者:bellbasis 时间:2010-07-22 22:15:25
      量子力学基本原理
      1: 态矢量描述例子态
      2: 算符描述物理量
      3: 对易关系
      4: 薛定谔方程
      5: 全同粒子原理。
      足够了解方程了。
      不需要引入波的概念
     
     所以说波粒二相性,关键在于“相”上,只是一种观测结果,不是本质。其本质就是由概率描述的粒子而已。所以科普的时候很多人以为这种矛盾综合的结果是本质,实际上不是。
     
     
    bellbasis 时间:2010-07-22 23:16:54
      
      作者:圆周率谐音 回复日期:2010-07-22 22:50:49
        说简单些,定态是量子力学的最重要工程目标,而定态的理论基础是驻波,你说波算老几呢?
      ===================
      无所谓,方程和边界条件列出来了,解出什么是什么,解出驻波是驻波,解出合流超比函数就是氢原子。这只是一个数学问题。一个概率分布函数而已。我没有否认量子力学采用了波的数学形式。但那并不重要。一个量子系统重要的是我们知道概率分布和物理量(平均值),波的数学形式只是中间过程。
     
     
    作者:bellbasis 时间:2010-07-27 23:51:45
        作者:袁士霄 回复日期:2010-07-27 17:22:07
        ==================
        薛定谔定态方程的建立确实没有直接借助当时由驻波计算出的各种能级公式,这一点我确实说错了,但薛定谔在建立薛定谔定态方程的时候使用了,Ψ(x,t) = ψ(x)f(t),而ψ(x)f(t)的数学形式所形成的图像Ψ(x,t) 应该是一个驻波数学图形,所以薛定谔也毕竟是根据当时依据驻波定态的思维模式,殊途同归,并有摘取别人成果果实的嫌疑,而建立的定态薛定谔方程。请你给进一步评述。
      
      ================
      关于薛定谔方程的建立,先猜出自由粒子对应平面波,然后根据H=P^2/2M ,猜出p对应的算符和t对应的算符。得出自由粒子薛定谔方程。这个时候,你也学可以说借鉴了波,(自由粒子是平面波么),但是引入势能项之后,方程的解就五花八门什么都可以了,平面波或者驻波很多时候就没法解释了。所以楼主有疑问。这个时候,就是纯粹的解方程了,和什么波没什么关系了。
      
      所以当量子理学体系完善以后。我们喜欢用算符做基本假设,而不是平面波做基本假设。因为算符的基本假设逻辑上更根本。平面波只是一个解,驻波也只是一个解,更多时候是非常复杂的乱七八糟函数的解。
     
     
    作者:bellbasis 时间:2010-07-28 01:07:36
      作者:圆周率谐音 回复日期:2010-07-28 00:11:20
        作者:bellbasis 回复日期:2010-07-27 23:51:45
        =====================
        方程是人脑思维判断推理的继续,但方程必须有很多的基本数学原理来构建。但人们单靠数学原理也能解决很多的问题,比如民间有很多的数字数学游戏,他们虽然不懂方程,但只要足够聪明,他们也能得出结果,而我们知道这类问题使用方程一般再简单不过了,这就说明方程这个工具的威力,但这种威力跟其建构方程的原理是两码事。
      
      ====================
      实际上是这个思路:
      1: 观测实验,觉得粒子有波动性,猜测自由粒子是平面波,并做一些简单预言。
      2: 通过平面波,和薛定谔方程(H|psi>=E|psi>,这个方程很抽象,解决不了任何问题),猜测这个抽象方程的现实对应,即p为坐标的偏微分,E为时间的偏微分。即确定力学量和算符的对应关系。
      3:写出H的一般形式,即H包含任何形式的势能。利用偏微分算符,原则上可以解出任何波函数的解,但是这个解不一定是平面波或者驻波,可以是任何东西(引入势能是经典力学哈密顿量要求的,必须有动能项和势能项,你的一切分歧都来此于此,但是这一项是经典要求,不是量子要求)。
      4:实验验证一些复杂的解,比如氢原子,比如谐振子,等等,发现和实验相符。
      5:确立力学量对应算符作为基本原理。
      
      
      类比一下这个逻辑:
      1, 牛顿看见重物下落
      2, 牛顿认为万有引力
      3, 牛顿观察开普勒3定律觉得万有引力是平方反比(不记得是不是这样了)
      4, 牛顿确定万有引力公式
      5, 万有引力公式作为牛顿力学基本原理之一
      
      最初得到定律的时候,需要一些启发性思维和类比(比如你所说的数字游戏),(比如波动的引入)但是不代表一开始的启发性思维就是整个理论框架的基础。苹果,开普勒3定律都是基本定律描述现象的一个子集,但是他们不能描述其他的东西,所以不是基本的。所以说平面波和驻波有他们存在的地方,但是绝对不是基本的。试图用这个解释一切,是不可能的。
      
      在接触未知世界的时候,第一次观察(接触)会让我们有很多灵感,对于暂时不能列出方程描述的东西,我们会用类比去描述未知事物,但是当充分了解之后,必然有更基本的概念,第一次看见的东西仅仅是微不足道的一小部分而已。你理解了么?
      
      所以你跟着物质波的思路历程,经历的只是发现定律的原初思维,而不是看见了完整的量子力学框架。其实很多科普的手法就是如此的(因为框架总是要涉及方程,方程总是枯燥的),比如非常经典的时空的弯曲用一个膜来描述,但是你能用一个重物和膜去真正计算出黑洞的引力场么?无论你怎么摆弄那个重物恐怕都不行吧。
    作者:bellbasis 时间:2010-07-28 01:29:48
      所以说,原初发现定律的时候的思路,和科学体系成熟时的思路是完全不同的。原初发现定律的思路是非常难以理解的,那都是天才的思维,一些结论虽然怪异,但是居然是大部分是正确的。当体系成熟以后,我们不需要天天用那种思维去解决问题

    PDF]PDF全文 - 热学精品课程
    kejian.tzc.edu.cn/ckwx/pdf/268.pdf
    轉為繁體網頁
    由 包科达 著作 - ‎被引用 6 次 - ‎相關文章
    矩阵),把系统所有可允许的态,成对地联结起来. 量子力学的倒易定理[5]证明:当系统的哈密顿量与时间明显无关时,由时. 间反演对称性可引出原过程的跃迁概率 ...
     
     

     

    对称性和热学*

    包科达1) 刘锦城2)

    摘要 试图探索一条不同于传统做法的、概括和表述热学基本定律的途径.从理论上,把热学置于对称性原理的基础之上,加以概括和解释 关键词时间和空间平移对称性;时间反演对称性;守恒律;对称破缺 分类号 O 414.1
    SYMMETRY AND HEAT
    Bao Keda1) Liu Jincheng2) ( 1) Department of Physics, Peking University, Beijing, 100871, China; 2) Pingxiang Specialized School, Pingxiang, Jiangxi, 337055, China)
    Abstract In this paper we try to explore a way for summalizing and expressing the fundamental laws of heat, entirelly different from the usual practices. The heat will be generalized and described on the principles of symmetry. Key words time and space translation symmetry; time reversal symmetry; conservation law; symmetry breaking
    1 引言
    对称性原理在物理学中的基础地位,正越来越受到物理学家的重视从单纯地将对称性看作对物理现象可能性的一种限制,转向把它作为确立物理定律的一块基石.整个物理学的发展,就是物理学家通过大量精确的实验观测和深入的理论分析,揭示各种制约自然界物理现象的基本规律,例如力学的牛顿三定律,热学的热力学第一、二、三定律,电磁学的麦克斯韦方程组等.近年来的研究揭示,贯穿于物理学各分支领域里的这些规律中,还存在一些概括性更高的法则,对称性原理就是其中主要的一个.诺贝尔奖得主和对称性原理的主要阐述者之一的Eugene Wigner[1]把对称性与自然定律之间的关系,类比于自然定律与单个事件之间的关系时说:・对称性原理为自然定律提供的构造和相关性,恰似自然定律自身为一组事件提供的构造和相关性.・那末,对称性原理与热学或热物理学(包括热力学和统计物理学)之间有什么关系?我们能否把对称性看作制约热物理学建立和发展的、概括性更高的法则换句话说,我们能否从对称性原理出发引出热学的基础定律?本文试图就此作一些剖析,以引起各界的关注和讨论
    2 对称性
    尽管可以认为,对称考虑从科学思想产生和发展的一开始,就是科学家的一个基础性的考虑,但直到20世纪量子力学建立和发展之前,对对称性的认识,多数仍仅限于直感的事物对称性的几何方面,把它看作限制物理过程的一种可能性.例如:圆球绕通过它中心的任意轴的转动是对称的;它对含中心的任意平面的反射和对通过中心的反演是对称的;一个立方体绕通过面心轴的四度旋转下是对称的.由于圆球在旋转任意角度下是对称的,旋转角可取任意值,因此圆球的旋转对称性是连续的;反之,上述立方体的旋转对称是离散的.即使依据这样一
    些简单的对称性概念,人们就可以避开物理学基本定律,而对物理现象作出合乎实验观测的分析,例如:由简单的对称性分析可知,有心力作用下的行星轨道一定在一个平面内;平衡态气体的时空对称性必导致麦克斯韦的速度分布律;利用对称性可证明,无限长均匀带电直导线周围的电场必垂直导线表面,且呈径向分布;无限长密绕螺线管在空间任意一点产生的磁场与其轴线平行等等. 然而,稍为深入分析几何对称性就会发现,每一个几何对称性在数学上可用一种坐标变换来加以描述,例如对-y平面的反射操作,对应于x→x′,y→y′和z→-z′的变换;而绕轴的四度旋转操作,可通过→y′,y→x′和z→z′加以表述.上述圆球和立方体相对这两种操作都是对称的,这一事实反映在圆球方程和确定立方体的数学关系式相对上列两种变换是不变的. 现若将从几何对称性获得的有关对称性、对称操作和坐标变换等概念,推广应用到更为普遍的情况:一组变量的一种变换定义一个对称操作,若这些变量的函数通过变换后的形式不变,那末就说此函数相对这种操作是对称的.这样,若表述一个物理定律的数学公式在与某种操作相应的变换下保持不变,则该定律相对此操作是对称的.最常用的对称操作有平移、转动、镜像反射、标度变换等空间操作和时间平移、反演等时间操作.例如:对于一个其中的力只是位置函数的力学系统,牛顿运动方程f=m(d2r/dt2)在时间反演操作(r→r′,t→-t′)下是对称的,叫做时间反演对称性.它预示系统中允许的任何运动,必有逆向的运动设想有一盒录像带,记录了月球上宇航员抛射向上的一个球,随后在引力作用下落到表面.那末,不论是正向还是反向放映这盒录像带,观众看起来,都是等同的.而地球的大气层中存在的粘滞阻力,破坏了这种时间反演对称性.由此可见,一个特定系统的动力学行为的对称性是受到动力学方程和决定力的势能函数的性质所制
    约的.对于量子力学问题,尽管动力学方程变得略为抽象,牛顿运动方程为薛定谔波动方程所取代,但对称性原理是相同的,薛定谔方程相对时间反演操作也是对称的.
    3 内特(Noether)定理
    把上述对称性分析应用于力学系统时发现,由此可以引出一些意义深远的结果:一个力学系统动力学行为的每一个对称性都意味着该系统的一个守恒律,这个结论现在称为内特定理,以纪念首创人德国数学家Emmy Noether(1882~1935年). 任何系统的机械运动都是在一定时空中发生的,故当描述一个系统的机械运动时,总是相对一定参考系说的.一般说,不同参考系中的运动规律,不尽相同.惯性参考系是最简单的一种参考系,其中时空是均匀和各向同性的,自由物体在其中或永远静止,或以恒速作直线运动 惯性系中的时间均匀性,要求其中发生的机械运动相对时间的平移操作变换→t+t0不变,即具有时间平移对称性.在物理上,这意味着,若保持封闭的质点系中每个质点的初始位置和速度不变,系统的动力学行为并不会因时间平移而改变由此时间均匀性引出的后果是,封闭系统的势能函数Ep与时间明显无关,即()=0,从而得到dEp=,故封闭质点系的机械能守恒:恒量,这样,内特定理从时间平移对称性预言存在一个守恒量,称它为系统的能量[2].相应的,空间均匀性和各向同性要求惯性系中发生的动力学行为,相对空间平移操作r→r+r0和转动操作φ→φ+φ0不变,即具有空
    则系统的运动状态不变,故系统内力在此位移下所作的总功应为零:,从而引出牛顿第三定律=0,得到封闭质点系的动量守恒定律.空间转动对称性要求空间各取向等效,故角位移δφ后系统内力的总功应为零:,即系统的总力矩为零,从而得到封闭质点系的角动量守恒定律.综上所述,对于一个互作用势能只与质点之间相对位置有关的质点系的时间、空间均匀性及其各向同性的深刻物理后果是系统的能量、动量和角动量守恒,这恰是内特定理要说明的. 倘若我们再依据因果律,把时空均匀性和各向同性,即时空平移对称性和转动对称性,看作原因的对称性,而系统的能量、动量和角动量守恒律看作结果的对称性,则可引出结论:原因中的对称性必反映在结果中,这就是对称性原理,首先由P.居里于1894年提出. 间的平移和转动对称性.空间平移对称性要求空间各点等价,即若有一个封闭的力学系统,其中所有的质点都位移δr,Fij+Fji[3]
    4 时间平移对称性和热力学第一定律
    两者之间的关系是显而易见的,因为后者表明,对于任一热力学系统必存在一个态函数内能,对于孤立系内能守恒.从微观的意义讲,系统的内能就是组成它的所有粒子的无规则热运动的动能和它们之间相互作用的势能之和. 对于系统的温度、体积和粒子数恒定的正则系综,内能是一个可涨落的量.由于宏观物体包含的粒子数十分巨大,宏观观测的时间和空间的特征尺度较之原子、分子运动的相应特征量大很多,故实验观测到的内能仍取确定的数值,是系统能量的统计平均值,与时间无关 当我们在时间平移对称性基础上,重新认识能量守恒定律时,再简略回顾一
    下人们对它的发现和认识是富有启发性的.确认守恒量能量的存在,始于1693年,当时莱布尼茨(Leibniz)观测到,地球重力场中质点的能量(1/2)mv\+2+mgh是一个守恒量.随后的物理学史上不止一次地发生过,在新的物理过程中似乎一部分能量湮没或者无中生有地产生出来,后来的物理学发展又总能确立一种新的能量形式,补偿似已消失或冒出来的那一部分能量,能量守恒定律始终巍然屹立.例如焦耳(Joule)经过几十年的艰辛努力,测定了热功当量,确认热也是一种能量存在的形式.带电体周围的电场具有电场能.燃烧获得的热量来源于物质结构的化学能.1905年爱因斯坦(Einstein)把能量与物质的静止质量联系起来,导出了著名的质能关系式E=mc2.不久,物理学家发现,原子核裂变过程中释放出的能量与相应的质量亏损是符合此关系式的.特别值得一提的是,为了解释β衰变过程中消失掉的那一部分能量,泡利(Pauli)于1931年提出伴随核内中子蜕变为质子和电子的同时,必有一种未被认识的粒子;后来意大利物理学家费米(Fermi)把这种中性且静止质量为零的粒子命名为中微子,从而找回了那一部分丢失的能量,能量守恒定律依旧成立.
    5 空间平移和转动对称性与广义的热力学第一定律
    当我们确认内特定理,把热力学第一定律和存在态函数内能寓于时间平移对称性中时,自然会联想到,共有7个可加的运动积分,为什么只有能量在热学中起重要作用?而不是动量和角动量?事实是由于传统的因素,我们惯于讨论宏观静止的系统一旦当天文学家应用热物理学于旋转的巨大天体,如银河系时,系统的动量和角动量的作用,将和能量一样,变得十分重要.一个广义的正则系综的概率密度ρi(Ei,pi,Ji,V,N)可写为
    ρi=Z-1exp(-βEi-λp.pi-λJ.Ji)
    其中Ei,pi和Ji分别表示系统微观态的能量、动量和角动量;而β、λp和λJ分别为相应量的拉格朗日乘子;Z(β,λp,λJ,N,V)是配分函数.因此,广义热力学第一定律应该是时空平移和转动对称性的一个后果.
    6 对称破缺和戈德斯通(Goldstone)定理
    热力学中还存在一些状态参量,如体积、磁矩、电矩和摩尔数等,它们又是如何从对称性分析中产生出来的?回答是它们存在的基础是对称破缺和戈德斯通定理.譬如体积这个几何状态参量,它与对称破缺概念的联系,可通过晶体的形成过程加以说明.以固态的二氧化碳干冰)晶体为例,在・无限大・的气态O2中,随温度下降而在某局域形成晶核的过程,从对称性观点看,是系统从一个具有连续的完全对称性的气态转变为一个只有离散的较低对称性的固态的过程.在这类晶核化过程中,系统对称性突然自发地降低,称为系统的对称性的・破缺・.从固体物理学我们知道,晶体的振动模式可用波数k=2π/λ和圆频率ω(k)加以描述.长波模式变为简单的声波,并有线性关系ω=vk,故极端模式是在空间均匀的模式,振动频率趋向于零.此时半波长内就包含很多原胞,它们整体地沿同一方向运动,因此晶体可以近似地看成连续介质,而且具有确定的体积著名的物理学家P.W.安德森(Anderson)把这种对称破缺系统具有一个激发谱,当波长趋向无穷时,频率趋向零的性质概括为戈德斯通定理[4]. 相类似地在一些电极化材料例如HCl晶体中,位于格点上的HCl分子中,氢离子围绕相对大的氯离子转动,形成电偶极矩.在转变温度以上,这些电矩的取向是无序的;转变温度以下,偶极矩取向趋向有序,整个晶体拥有净电矩.晶体
    从具有较高对称性的状态自发地降低对称性,转变为电矩具有确定轴取向的较低对称性的状态根据戈德斯通定理,这种对称破缺必将导致一个波长为无穷时零频率的元激发在极化晶体中,这类元激发由在净电矩指向附近轴的微小摆动形成的振荡波组成.类似的情况,在居里点附近的铁磁材料中也发生,从而在磁介质热力学中可以引进状态参量总的磁矩.
    7 时间反演对称性和细致平衡原理
    最后,我们用对称性原理来审视统计物理学的基石・・等概率原理:孤立系达到平衡态时,系统处于任一可能微观运动状态的概率相等.恰是在等概率原理的基础上,才引出了微正则、正则和巨正则分布的极值性质,即在相应的宏观限制条件下,这些分布对应的微观态数目Ω最大,再把熵定义为正比于ln Ω的态函数,从而得出达到平衡态的系统熵最大,构成热力学第二定律的熵增加原理的表述. 一个热力学系统的可允许的微观态,在经典描述中,可用6N维相宇空间里的一个相点表示;在量子描述中,用系统可存在的量子态表示.当系统在外界的扰动下发生微观态之间各种可能的跃迁时,在相宇中勾划出一条迂回曲折、飘忽不定的轨迹.若系统某时刻处于i微观态,随后在外界扰动下跃迁到j态,单位时间里的跃迁概率为ij,这些跃迁概率{pij}在状态空间中构造一个网络在数学上表示为矩阵,把系统所有可允许的态,成对地联结起来. 量子力学的倒易定理[5]证明:当系统的哈密顿量与时间明显无关时,由时间反演对称性可引出原过程的跃迁概率等于逆过程的跃迁概率,即pij=pji.统计物理学中把此倒易定理称为细致平衡原理,它是时间反演对称性的直接后果.显然
    是条件概率,表示开始处于i态的系统跃迁到j态的概率.故若用f表示系统处于态的概率,则单位时间里跃迁离开状态的总数正比于;相类似地单位时间里跃迁到状态的总数与成比例.若再考虑到平衡态系统处于i态的概率在时间里是稳恒的,则有 piji
    当满足细致平衡时,则对所有状态有fi=fj=Ω-1,这就是等概率原理. 可以设想如此的图象:系统在一切可允许的微观态之间发生各种可能的跃迁,某些态被频繁地访问很大),另一些只偶尔被访问;一些状态一旦被系统达到后,不易变更(很小),又有一些状态却要求系统赶快离开它.但由于时间反演对称性,要求达到平衡态的孤立系中,那些只偶尔被访问的态,一定是系统不易变更的态;而那些频繁被访问的态,只允许对它的短暂入主.恰是这种互相抵消的特征,保证了系统处于任一可能微观态的概率相等.由此可见,等概率原理是系统时间反演对称性的一个后果.
    8 对称性和选择定则
    应用等概率原理分析实际问题时,还必须注意出现零跃迁边界的可能性.零跃迁边界把系统的状态空间譬如说相宇,划分为两个区域,其间不能发生穿越零跃迁边界的跃迁量子理论证明,出现零跃迁边界的物理原因是另一种对称性发挥了作用,并把这种跃迁概率为零的现象称为选择定则实际上,选择定则映射一种对称性,起源于守恒律[6].譬如,由空间平移对称性引出的动量守恒律要求的选择定则为:末态动量等于初态动量加微扰动量时,跃迁才会发生,否则跃迁
    概率为零.由时间平移对称性引出的能量守恒律要求的选择定则为:终态能量等于初态能量加微扰能量.又如在有心力场中运动的电子的选择定则为:角量子数Δl=l′-l=±1,磁量子数Δm=m′-m=0,±1等. 由此可见,为了使热力学的描述完全且有效,必须将能表征状态空间各个分隔区域的全部状态参量包括进来,否则就会引出与实验不一致的结论例如,人们在研究低温下气态氢的热学性质时,就曾发生过这类情况[7].氢分子的两个核的自旋,可因其取向平行或反平行而区别为正氢和仲氢它们的对称性很不相同,前者相对于垂直分子轴的平面的反射操作是对称的,而后者只相对分子中心的反演操作才具有对称性.选择定则禁止两者之间的转变,故若忽视了这一选择定则,就会导致热力学的不完全描述,引出氢气热力学性质的不正确预言.有趣的是,实验表明,若在氢气中掺进少量的氧或水蒸汽,由于这些气体分子的顺磁性,与氢分子核自旋之间的相互作用,破坏产生选择定则的对称性,从而使得正氢和仲氢之间可互相转变,把氢处理为单一气体的热力学描述又变为完全和有效. 因此,热力学描述的完全性在于确定系统的相关的状态空间时,必须考虑它的所有的对称性.每一个新揭示的对称性,在引进新的状态参量的同时,将热力学的应用范围扩大.从此意义上讲,是否可以在对称性原理的层次上把热物理学概括为一门研究从物理系统的对称性引出的,对物质的热运动可能具有性质的制约的学科.
    作者单位: 1) 北京大学物理系,北京 100871; 2) 萍乡专科学校,江西萍乡337055 *原国家教委面向21世纪教学内容和课程体系改革研究项目(编号02-4-5)
    9 参考文献
    [1] Wigner E. Symmetry and Conservation Low. Physics Today, 1964,34 (3) [2] Мамъееъ А Н.Механпка ц Теорцл Омноспмеlъносмц.20e u3g. u3g. 《Внсшал шкоlа》,1986, 148 [3] 赵凯华,罗蔚茵.新概念物理教程 第一卷:力学.北京:高等教育出版社,1995.146 [4] Anderson P W. Concepts in Solids. N.Y: Benjamin Inc, 1964. 175 [5] 张启仁.量子力学.北京:高等教育出版社,1989.286 [6] 邹鹏程.量子力学.北京:高等教育出版社,1989.第六、七、八章 [7] Callen H B. Thermodynamics and an Introduction to Thermo-statistics. second edition. John Wiley & Sons, Inc, 1985
    收稿日期:1998-06-15


    我来说说 [ ] 于:2014-06-22 08:34:12 复:4022404
    那个特斯拉的帖子,受制于单一要素论的思维方式:一切的问题靠生产力发展,那么生产力怎么发展呢?靠科技,如果科技发展不起来?那么拿钱砸。怎么让人拿钱呢?靠想法。如果别人不接受呢?那就看你忽悠的本事。于是得出了个画饼能力大过天的结论。
    暂且不去谈单一要素论。即便特斯拉真有那么大的画饼能力,他要做的事情比苹果难上一百倍一千倍,不说马斯克,哪怕乔布斯再世,以苹果目前的现金流,都未必能做成。
    回过头来说楼主的观点,我觉得楼主总结的基本比较全面,按天地人的格局来说,楼主对天地的主导作用阐述的比较透彻。对于人,楼主主要是以分工来概括。
    我觉得分工是一个方面。我认为还有另一条规律:纵观所有国家和族群的崛起,都少不了内部某一个阶层/集团/群体,以超越本集团的格局和眼光,并以超强执行力带动整个族群向前迈进。
    那么这样一个阶层到底是什么呢?在韦伯的《新教伦理与资本主义精神》中是这么描述的:
    有一天,闲适自在的生活突然之间中断了,并且常常是劳动组织形式没有发生本质的改变,如变家庭工场为统一领导下的工厂,变手工织为机织一类的改变。相反,出现的新情况无非就是某一个出身于放利家庭的年轻人来到乡下,仔细挑选了他将要雇用的织工,大大加强了对他们的劳动监督,于是便把他们从农民变成了工人。另一方面,他还尽最大可能直接深入到最终消费者中去,以此来改变自己的销售方法。他对一切细节都能了如指掌。他每年还要走访顾客,征求他们的意见。最重要的是,他还调整产品的质量,直接投合他们的需要和愿望。同时他开始介绍廉价多销的原则。这种理性化过程的结果是,那些不愿这样做的人只得关门歇业。这一结果随时随地均可反复见到。在残酷竞争的压力之下,那种田园牧歌式的状态分崩离析了。大量财富积聚了起来,这些财富并没有用来贷款从而赚取利息,而总是重新用于商业投资。从前那种闲适自在的生活态度让位于一种冷酷无情的节俭,一些人在商业活动中就是通过节俭而发家致富的。这些人并不想消费而只想赚取,而另外一些希望保持旧的生活方式的人也不得不削减其消费开支。

    这就是韦伯笔下西欧资本主义初期的企业家形象。韦伯甚至神来之笔的描绘了这些人在引领社会前进时所遭受的那些误解和曲解:
    ……资本主义精神已经开始发生作用了。……但它的出现往往不是一帆风顺的。各种怀疑、仇恨甚至道德义愤总是滔滔不绝地涌向第一个革新者。人们还千篇一律地 ——这类事例我略知几个——捏造出一些关于他从前生活的隐私污点的传说。只有超乎寻常的坚强性格才能使这样一个新型的企业家不至丧失适度的自我控制,才能使他免遭道德上和经济上的毁灭。否认这一事实当然是再容易不过的事情了。而且,只是因为这种新型的企业家具有确定不移且是高度发展的伦理品质,以及洞若观火的远见和行动的能力,他才在顾客和工人中间赢得了不可缺少的信任。没有任何别的东西能够给予他克服重重障碍的力量,更重要的是,没有任何别的东西能够使他承担起近代企业家必须承担的无比繁重的工作。可是这样一些伦理品质却与那些适应传统主义的伦理品质有着天壤之别。 

    而在日本明治维新时期,这样的阶层是由商人和武士所构成的:
    最重要的恐怕要数日本那种独一无二的下层武士和商人的“特殊联盟”,这种联盟即使在封建时代也有滋生的土壤。这些商人曾都是大名雇佣的心腹,亲自经营和管理过各藩的垄断企业,如矿山、纺织、造纸等,在这个过程中,他们政治斗争的技巧得到了磨练并逐渐成熟。然后,这些商人纷纷购买了武士身份。并在武士阶层中普及了生产技术知识。这种武士和商人的联盟迅速把那些自信且干练的人才推上前台,为明治政府的改革出谋划策。不过,问题的关键并不在于他们出身于哪个阶层,而在于他们为什么能变得如此精明、强干和务实?十九世纪后半叶的日本才刚刚脱离中世纪不久,它的国力与今日的泰国差不多,在这种综合实力薄弱的情况下却能产生出这样一批审时度势的领导人实属不易。他们齐心协力、成功地推进了一个最需要政治手腕的改革大事业,这是任何其他的民族都未曾尝试过的。

    本尼迪克特写作《菊与刀》时二战刚结束,她可能还未来得及了解中国的情况。中国崛起的领导者——中国共产党,其主要成分是来自社会底层的农民,以及农民出身的军官、知识分子阶层。这些阶层的共同点,即我上面所说的,能超越本集团的利益,放下一时的得失,带动整个族群。
    TG在创建新中国的过程中做出了巨大牺牲——无论政党还是军队。建国后,仍然不断有某个阶层为整体发展让渡部分利益的行为——如农民的剪刀差,工人阶级的下岗,现在又轮到城市中产阶级。这些未必是自觉自愿的——谁叫中国不能走向外掠夺的道路——但却是实实在在的。
    古今中外,产业升级无不受到既得利益阶层的阻扰。可用的办法无非是战争,革命



    Weinberg量子场论阅读笔记 ——写在四读Weinberg I之后

    在伟大的相吧发一个。。


    Weinberg量子场论阅读笔记
    ——写在四读Weinberg I之后



    前些天备考规范场论,顺带着把Weinberg复习了一遍,发现不仅以前熟悉的公式遗忘速度惊人,连前几次读时令我拍案叫绝欲罢不能的思想都已然在脑中模糊不清,于是痛定思痛打算写个笔记。下面的每节是我记下的对Weinberg各章的理解。


    对称性的意思是事物处在一个状态时测量某种属性结果的概率不依赖于观察者的位置(也即坐标架的选择)。由此Wigner推出对于不同观察者的态之间通过一个幺正或反幺正算符转换。特别地,不同时刻的观察者观察到的态也由一个幺正算符转换。
    对称变换算符构成一个射影表示。当对称群被扩大为其覆盖群后,此射影表示可以被还原成非射影表示。
    狭义相对论基本公理——所有保持平直、连续的时空坐标变换需满足任意两个事件的时空间隔不变性。
    时空平移变换下的概率不变性导致存在相应的变换算符与守恒量:能动量P、角动量J。
    单粒子态定义为动量算符的本征值。
    由于四动量平方在适当正时洛伦兹变换下不变,具有不同的四动量的粒子态可按其符号分为六类。
    同种四动量分类下的粒子依然可以有不同的态。对有正静能的粒子,在其保持动量不变的群(即little group)下变换时,我们将洛伦兹变换后仍是同一组态的线性组合时的这个集合归类为拥有某个自旋的粒子。因为矩阵是群的表示的理想工具,因而我们也将粒子态表示为分量形式,相应的幺正算符即具有矩阵的形式。
    对零质量粒子,可以拥有连续本征值的属性,因目前尚未发现此属性,因此所有零质量粒子用运动方向上的角动量(即螺旋度)来分类。如果存在空间反演对称性,则正负同螺旋度的粒子将可以相互转换,从而被归类为一种粒子。由三维旋转群的双连通性质,可以得出自旋必须是整数或半整数。
    在不考虑弱作用时,现实存在空间反演对称性,其守恒量称为宇称。


    自由多粒子态由单粒子态直积得到。
    粒子实验中的入态和出态由包含相互作用的完整哈密顿量定义。
    将哈密顿量拆成自由场和相互作用场后可以写出从自由场出入态(即动量本征态)导出相互作用场出入态的严格的Lippmann-Schwinger方程。
    入态和出态的内积称为S矩阵,对应可定义S算符。代入Lippmann-Schwinger方程可以得到S矩阵的波恩近似。
    哈密顿量密度对类空间隔对易的条件以及相互作用势的平滑性条件保证了散射过程的S矩阵的洛伦兹对称性。
    同位旋对称性、全局对称性、空间反演对称性都会反映在S矩阵的对称性上,并导致相应守恒量。
    从S矩阵可以导出实验上观测的出射粒子动量角分布,即微分散射截面。
    S矩阵满足一个微分方程,可以通过微扰展开得到解,所以S矩阵可以写成哈密顿量的时序积分形式。
    由S矩阵的幺正性可以得到光学定理、玻尔兹曼H定理、细致平衡条件。


    出于数学上构造哈密顿量的目的,我们抽象地定义升降算符(谐振子可以为此抽象框架提供一个具体的实现模型,但并不必要,实际上整套量子场论的叙述可以完全脱离谐振子的语境)。升降算符的对易关系由定义和交换对称性(或反对称性)即可得到。
    因果性原理要求类空间隔的事件不相互影响,此即S矩阵需满足的集团分解原理(Cluster decomposition principle)。
    由于任何哈密顿量均可由升降算符构成的基组合得到,而且当系数满足恰有一个三维动量守恒δ函数时哈密顿量必满足集团分解原理,因此我们喜爱要用升降算符来构造哈密顿量。
    因为我们可以直接用粒子数算符乘上单粒子态能量做积分写出自由场(即无相互作用)中的哈密顿量,这就对自由场哈密顿量的形式给出了限制。
    我们需要拉格朗日框架的理由是:在拉格朗日框架中能够有效地分析对称性。
    作用量泛函的全局对称性导致守恒流算符,其相应荷的全空间积分守恒,此即诺特定理。


    由于升降算符在洛伦兹变换下有复杂的变换公式,因此一个用升降算符构造标量哈密顿量密度的便捷方法是先将升降算符分别组合成洛伦兹变换公式较为简单的升降场算符(指产生场算符ψ-和湮灭场算符ψ+)。
    升降场算符在洛伦兹变换下的性质限制了升降场算符的变换矩阵必须是洛伦兹群的表示,于是我们依照洛伦兹群表示给不同的升降场算符分类。
    一组不同的场算符在洛伦兹变换后结果可能是原有算符的线性组合,我们将这样一组场算符归类为同一个场的不同分量。
    升降场算符尚且不能直接满足类空间隔对易条件(或反对易条件),一个可行的办法是将升降场算符(ψ-和ψ+)线性组合得到场算符(ψ),场算符则可以满足类空间隔对易条件(或反对易条件)。因此我们通过场算符来方便地构造的哈密顿量密度可以满足类空间隔对易条件。
    场算符作用在真空态上得到的态的物理意义是一个在此时空点的粒子,但注意其波函数是延展的,仅仅在非相对论近似下此波函数才是δ函数。
    场算符表示的粒子的自旋只能与场算符需要满足的类空间隔对易条件或反对易条件中的一个数学上相容,此即导致了自旋-统计定理。
    这样构建的场算符自动满足Klein-Gordon方程。
    螺旋度是零质量粒子在运动方向上的角动量,严格的螺旋度概念只对零质量粒子适用。手性是按照场算符属于洛伦兹群的左手表示还是右手表示来定义。对于零质量粒子,左手(右手)螺旋度的粒子对应左手(右手)手性的场算符。
    全局对称性导致的荷守恒要求哈密顿量密度与荷算符(Q)对易,这可以通过要求荷算符与场算符对易而达到,这一要求导致对此载荷粒子存在相应的反粒子。
    用场算符构造的具有洛伦兹标量哈密顿量密度的理论自动满足CPT定理。
    对自旋大于等于1/2的零质量粒子,其场算符数学上不能满足前述的简单的洛伦兹变换公式,而有一个多出项。一个方案是由此场算符(Aμ)构造消去了多出项的反对称张量场算符(Fμν)作为出发点,但这样的理论无法具有长程相互作用。另一个方案是通过设定拉格朗日量密度满足相应的规范对称性来保证S矩阵的洛伦兹不变性,详见第八部分。
    类似地,引力子需要满足对应的广义协变对称性以包含长程作用力。由于现实中未发现更高阶的守恒张量,因而高自旋粒子不能具有长程相互作用。


    S矩阵微扰计算的积分无穷级数公式可以可视化为费曼图。
    传播子是公式展开中对应于连接两个顶点的项,计算出来后包含一个非协变的奇异项(起源于时序算符的奇异性),此奇异项会被相互作用哈密顿量中对应的奇异项消除。
    S矩阵傅里叶变换后得到的动量空间S矩阵在数学上更便捷。


    因为标量场算符和其时间导数满足的等时对易关系令人联想起分析力学中相应的对易关系,因此我们类似地定义正则坐标和正则动量算符,证明其满足哈密顿方程,从而建立起场论的哈密顿框架。
    根据已知的自由场哈密顿量用升降算符表示的形式,我们可以写出一个用正则变量表示的哈密顿量密度(会有一个真空能的差别)。
    通过勒让德变换,我们可以从哈密顿框架转换到拉格朗日框架。
    升降算符对易关系、正则坐标算符对易关系、哈密顿方程、拉格朗日方程,四者相互等价,传统讲法则是以拉格朗日方程作为建立量子场论的出发点。
    当我们要从自由场转换到相互作用场时,只需在哈密顿框架或拉格朗日框架中自由场的对应量上加上相互作用标量算符项即可。
    我们无法直接解出有相互作用的场方程,因此我们转换到相互作用表象中,在此表象中场算符满足自由场中的场方程,从而可以解出。
    一个满足平滑条件和洛伦兹不变性的拉格朗日量密度具有的散射过程的S矩阵满足洛伦兹不变性,而构造具有洛伦兹不变性的拉格朗日量密度数学上比较简单,这是我们偏爱朗格朗日框架的原因之一。
    拉格朗日量自身的奇异性或者采取特定规范的处理会导致场方程出现奇异性。奇异性可能导致方程不完备或者传统的对易关系与场方程矛盾。相应的解决办法是选定规范条件,采用狄拉克对易子替代原有对易关系。


    第五章中已提到,对自旋大于等于1/2的零质量粒子,其场算符在洛伦兹变换下有一个多出项,这一项会破坏哈密顿量密度的标量性质,破坏S矩阵的洛伦兹不变性。因为此多出项是一个算符的散度,因此一种可行的解决办法是让此多出项恰好是一个守恒流算符的散度,从而自然等于零,这就导致需要引入一个拥有局域对称性的场,称为规范场。载荷粒子场的局域对称变换和零质量粒子的洛伦兹变换多出项合称为规范变换。运用引入规范场的方法我们最终重新获得了拉格朗日量密度在洛伦兹变换以及规范变换下的不变性。
    这样的构建方式以自旋大于等于1/2的零质量粒子对应场算符无法直接构建标量哈密顿量密度为出发点,而传统讲法则是以规范变换作为出发点。
    规范不变性导致场方程不完备,解决方法是固定规范。固定规范后传统的对易关系不能被满足,我们使用狄拉克括号的方法修改对易关系。随后即可通过勒让德变换得出哈密顿量,再转入相互作用表象后即可算出传播子,写出费曼规则,量子电动力学模型即建成。


    由正则变量对易关系可以导出路劲积分公式。如果哈密顿量是正则动量的二次函数,则可积出动量部分得到关于作用量泛函的路劲积分。
    通过一系列形式运算可以得出费曼规则和传播子。
    对于费米子场,相应正则变量满足反对易关系,因此路劲积分需要的正则变量的本征值也应当满足反对易关系。复数不能满足此关系,因此引入Grassmann代数和其上的微积分。


    对称性让我们能够得出一些非微扰结论。
    考虑圈图对出腿、入腿函数(u*和u)的影响会导致它们与我们最初费曼规则的定义有所不同,对称性分析指出考虑所有非微扰效应后的出腿、入腿函数与最初费曼规则的出腿、入腿函数只相差一个因子(此因子实际上发散),因此我们修改场算符的定义——此即场算符的重整化——来使出腿、入腿函数回归到最初费曼规则的定义(因此算散射过程时外腿上的圈不用计算)。此场算符的重整化体现在自由场算符在升降算符上展开时比原先多了重整化系数,也就是说这个原先可以自由选择的系数现在要被确定。
    粒子质量可以自然地采用单粒子态四动量的平方来定义,这个质量与自由场拉格朗日量密度中出现的质量是同一个。当有相互作用时,这套质量的定义方案不易实现,因此我们用考虑所有非微扰效应后的传播子的极点位置来定义。
    重整化导致我们重新将用裸场算符写成的拉格朗日量密度作为基本公理,其中的质量、耦合常数也应当是裸质量、裸耦合常数。
    理论上我们可以直接使用裸拉格朗日量密度(L)计算散射过程,因为实际上如此计算的总散射过程并没有发散。每一项表观的“发散困难”仅仅是由公式中有无穷大系数的裸场算符、裸质量、裸耦合、以及需要考虑的外腿上的圈、需要考虑的无穷多个图造成的,这个表观的“发散”本质上是源于我们不能直接处理这里的数学困难。
    为避开前述的数学困难,我们人为地将裸拉格朗日量密度拆开成两部分(L=L0+L1),第一部分(自由场项)通过将无穷大扔给抵消项的方式而使其导出的传播子不发散,第二部分(包括抵消项和相互作用项)全部被视作相互作用,使用微扰方法计算(因此实际上这个微扰项远比第一部分大;尽管如此,数学却是很奇妙的)。运用这样的数学技巧我们就通过分离不同的无穷大再相互抵消而避开了我们前述的数学上直接处理多个无穷大的困难。
    耦合常数随能标的跑动源于耦合常数定义的不同。裸耦合常数具有确定值,而重整化的耦合常数中的重整化系数依赖于其定义所在能标,因此不同能标定义的重整化耦合常数可以联系起来,进而求出相应的β函数。
    Ward恒等式是另一个重要的非微扰结论,其来源不过是将n点格林函数与(n-1)点格林函数联系起来。此恒等式的历史价值在于绕开二圈图计算中的重叠发散(overlapping divergence)问题。
    电子的“自旋磁矩”这个词有一定误导作用,电子的磁矩确实与自旋有关,因为不同自旋的粒子有其特定的电磁作用顶点。但一般而言,粒子的磁矩和自旋之间没有简单的关系。例如中微子自旋同为二分之一,但磁矩为零。

    十一
    Pauli-Villars正规化和维数正规化的计算方法都是面向一个目的——定量地处理无穷大计算并让他们相互抵消,因此表征这个无穷大的量具体是什么——截止能量还是维度——并不重要。用能量截止处理无穷大会遇到规范对称性被破坏的麻烦,因此维度正规化更为推荐。
    当费曼图中有电子外腿时,即会出现红外发散,这源于外腿电子发射低能光子。

    十二
    有效场论的概念源于1935年将光子间一圈相互作用近似成电磁场拉格朗日量的高阶项,其数学上等效于在路劲积分中将低能下不会产生的重粒子(在光子相互作用中是正负电子)的场算符预先做积分,最后留下不含重粒子的有效拉格朗日量。
    即使是对传统上的不可重整化理论,我们也可以通过在拉格朗日量中添加完整所有满足对称性的项、然后同时调整所有的自由参数来可消去发散。在这个意义下,量子引力理论可能也能够写成量子场论的形式,并且在低能近似下成为有效场论。
    有效场论为现实中场论的拉格朗日量密度中只出现可重整项的现象提供了一个可能的(仅仅是可能)解释方法:不可重整项中包含的负能量量纲耦合常数中的能量量纲来自于更高能标的未知粒子,在低能下被压低而致其效应可忽略。
    更重要的是,在这样的理解下,写出一个理论的拉格朗日量密度不再是依靠纯粹的猜测或类比经典模型,而是一开始就在拉格朗日量密度中写出所有保证哈密顿量具有有限下界、满足洛伦兹对称性和规范对称性(我们确实不知道为何有规范对称性)的所有可能的项,然后在有效场论的意义下丢掉被压低的所有不可重整项。正是这样的构建方式,解释了为何拉格朗日量、或哈密顿量、或场方程采取了我们如今已经默认了的形式。正是这样的一整套思路,超越了以类比的方式写出场方程作为出发点的大多数量子场论书。

    十三
    在有内线软光子的圈图中,我们也会遇到红外发散,为解决此问题我们引入界定虚软光子(即内线软光子)三维动量大小的上、下限参数。其中上限参数与圈图计算中的光子动量下限衔接,下限参数用于表征无穷大。
    对于实软光子引起的红外发散,我们引入探测器阈值、遗漏能量两个参数。探测器阈值是光子探测器能保证记录事例时的光子能量阈值,遗漏能量是所有未被探测到的光子的能量总和。
    上述四个参数中,探测器阈值与遗漏能量参数会真正保留在散射截面的最后结果中,其中令探测器阈值参数趋于零将引起散射截面实质的发散,这是可以直观理解的。而上限参数与圈图计算设定的光子能量下限相抵消,下限参数与实软光子积分中取的下限相抵消。
    在量子电动力学中,假设电子静质量为零,则出射态同时有动量平行的电子和软光子会导致红外发散。类似地,量子色动力学中动量平行的强子与软胶子也导致红外发散。这种情况甚至要求散射过程的入态也要受到无红外发散条件的限制。这可以通过我们实验上区分动量平行的零质量粒子时遇到的困难、以及制备动量平行的零质量粒子入态总是呈喷流形态来解释。
    仅使用对称性即可证明光散射公式的低能极限只与粒子的质量和电荷有关。
    最后一节演示了使用量子场论的工具可推导出经典场论的库伦势。

    十四(第一章 历史)
    根据狄拉克的回忆,薛定谔在他得到薛定谔方程之前,也在Klein和Gordon之前率先发现了Klein-Gordon方程,但因为Klein-Gordon方程给出了错误的氢原子精细结构而放弃了它,直到几个月后他意识到其非相对论近似得出的薛定谔方程还有一定价值。
    狄拉克1928年对描述电子的狄拉克方程的发现及其随后取得的巨大成功有很大巧合的成分:狄拉克寻找一个新方程的动机是解决Klein-Gordon方程的负概率困难,但如今我们清楚负概率问题源于错误地为解赋予概率意义,Klein-Gordon方程本身对于描述零自旋粒子也很有意义。狄拉克通过负质量解预言反粒子存在的方式不仅会引起与负能海相关的一系列问题,而且实质上也仅仅是一个富有启发性的比喻,他不能解释载荷玻色子也有相应反粒子的事实。狄拉克方程预言了正确的电子磁矩的零阶项,但在方程中添加一个Pauli term完全可以将电子磁矩调到任意大小,实际上最终是可重整性限制了量子场论中Pauli term的存在。


    结语
    一不小心就写了几千字,细想来,读此书或许也排得上整个大学中最重要的几件事了。
    我是一个寻求感性理解的人。学习场论的前几年,我都为场论中的词汇感到困惑:什么是升降算符(我以前一直以为升、降算符是一个实际的操作)?谐振子的激发态为什么就是粒子?传播子是什么含义?为什么要把好好的场变成算符?为什么你们的拉格朗日量都长得这么奇怪?二分之一自旋是什么(小学看霍金时就百思不得其解)?维数正规化为什么不是扯蛋?
    对这些概念的理解和思考严重地阻碍了我的学习,尤其是当思考的终结点时常停在不可言说的量子态的概念和测量的坍缩问题上时。
    如今,有幸能有Weinberg的指点,在几年的沉淀后,我现在也终于能感到量子场论实实在在地站立在一个公理般的基础上,我相信它是这个世界的描述,相信它的构建逻辑,正如本书前言所说:相信它是所有融合了量子力学和狭义相对论的理论在低能近似下必将拥有的形式。

    回想2011年秋在天文班自习室初读本书的时候,那时只能看得懂第一章。如今结合了这些全新的理解,更是感慨万千。
    第一次做这些计算的前辈,不会如今天的我们这样理解得如此深刻,他们一些人的推理错误百出,甚至觉得这些计算不过是个玩笑。这个场面是如此的似曾相识。即使在贝克莱大主教的批判声中无言以对,整个19世纪的数学家依然建立起了宏伟的分析大厦。即使马赫原理的主旨已不能与后来的广义相对论相吻合,也不可否认爱因斯坦早年从中所汲取的营养。
    多年的乱象中总会涌现曲折的前进,逻辑的困难阻挡不住精巧的尝试。人类思维正因这从现象的凌乱中发现模式的能力而愈见其无可比拟。

    七星之城
    2014年 夏
    于北京大学45甲



    第二段改动了不少,觉得之前的信息传达的很不确切,改动后如下:



    对称性的意思是当事物处在一个态时观测其处于另一个态的概率不依赖于观察者的时空位置与运动状态(也即坐标架与惯性系的选择)。由此 Wigner 推出对于不同观察者的态之间通过一个幺正或反幺正算符转换。特别地,不同时刻的观察者观察到的态也由一个幺正算符转换。
    狭义相对论基本公理——所有保持平直的时空坐标变换需满足任意两个事件的时空间隔不变性。
    我们将洛伦兹对称性导致的幺正算符做小量展开时的一阶项系数标记为H、P、J、K,群所需满足的结合律使得这四个系数算符需要满足一定的关系——实际上是他们之间的对易关系。我们根据这些对易关系而赋予四个算符的物理含义,例如依据 [H,P]=[H,K]=0 我们将 H 命名为能量,依据 [Ji,Jj]=i Jk 而将 J 命名为角动量。
    什么是粒子?我们将单粒子态定义为动量算符 P 的本征态。
    由于四动量平方(P^2)在适当正时洛伦兹变换下不变,因而具有不同的四动量的粒子态可分为六类。
    上述的分类并不完全,因为同种四动量分类下的粒子依然可以有不同的态。继续分类的方法是,对有正静能的粒子,在其保持动量不变的群(即 little group)下变换时,我们将洛伦兹变换后仍是同一组态的线性组合时的这个集合归类为拥有某个自旋的粒子。因为矩阵是群表示的理想工具,因而我们数学上可以将粒子态表示为分量形式,相应的洛伦兹变换算符即具有矩阵的形式。
    零质量粒子可能拥有连续本征值的属性,但因目前尚未发现具有此属性的粒子,因此所有已知的零质量粒子只能用运动方向上的角动量(即螺旋度)来分类。如果正负同螺旋度的粒子可以相互转换(例如具有空间反演对称性的电磁相互作用中的光子),从而被归类为一种粒子。由三维旋转群的双连通性质,可以得出自旋必须是整数或半整数。
    除开弱相互作用,强相互作用和电磁相互作用都具备空间反演对称性,因而有相应守恒量,此守恒量称为宇称。


    量子公设的第三条是对测量下的定义。量子测量可以通过一个测量算符的集合 \{ M_m \} 来表示,它作用在系统的状态空间上。

    No comments:

    Post a Comment