phymath999: 虚、实软光子的红外发散总是逐阶地对消: 生成泛函/配分函数（路径）积分测度 Boltzmann因子

Wednesday, December 9, 2015

虚、实软光子的红外发散总是逐阶地对消: 生成泛函/配分函数（路径）积分测度 Boltzmann因子

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格点上的赌博

格点上的赌博

格点场论介绍

北京大学理论物理所

刘川

古龙式的开头

WWWW.lattice.com

What

场变量定义于（分立的）时空格点上的，研究量子场论的方法

提供了一个非微扰的理论框架，适宜于研究量子场论的非微扰特性

K. G. Wilson: 格点场论之父

Where

粒子物理、统计物理

如何理解量子物理或统计物理中几乎无处不在的 exp(-E/kT) ？

有时候公式里是1/[exp(E/kT)-1]，反正老是纠结于 exp(-E/kT)这种形式

4 条评论

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15 个回答

匿名用户

荼蘼、Kenneth Eliot、知乎用户等人赞同

好眼力。

统计物理里的 Boltzmann 分布是 exp(-E / k T)
量子物理里面波函数的复振幅是 exp(-E i t / \hbar)
而且计算物理量的平均值的公式也是相似的。

所以引入虚时间 t = - i \hbar / k T，就把量子力学转成了统计力学。而欧式空间转为闵氏空间的方法之一，就是引入虚时间。

这个变换叫 Wick rotation https://en.wikipedia.org/wiki/Wick_rotation ，在此基础上发展出了统计场论，把量子力学和统计力学紧密联系起来。

编辑于 2012-06-28 14 条评论感谢收藏 • 没有帮助 • • 作者保留权利

李星河，PhD学生@斯坦福理论物理研究所

2b青年、贺庭烨、安林林等人赞同

哈哈，我来提供一个和大家看法不同的视角。
对于一个内部达到热平衡的系综，该系综的宏观性质完全由一些宏观力学量（比如体积V）和某个状态参数T决定。如果我们只考虑统计上的宏观性质，则只需要考虑平均来说，有多大比例的子系统处于能量为E的状态。
于是，我们可以定义这个相对比例是exp(-E/kT)。
如果你问为什么是exp(-E/kT)，而不是别的什么和T的关系，那答案只有一个，就是物理学家最开始定义绝对温度的时候用的就是这个关系等价的一个绝对温度的定义。你可以用任何f(T)代替T，只要把相关的公式换一换，物理上是完全等价的。

---------------------------------------------
看了别的答案，貌似还需要解释一下1/(exp(E/kT)-1)这种奇怪的东东。我需要强调的是，exp(-E/kT)是正则系综的普遍公式（不管是经典还是量子），用它可以推出来1/(exp(E/kT)-1)。（原则上可以，只不过用巨正则系综更方便计算）。

编辑于 2015-08-15 4 条评论感谢收藏 • 没有帮助 • • 作者保留权利

何史提，哈密尔顿处理厂

Kenneth Eliot、Mystgalaxy、王哼唧等人赞同

统计物理中的 $\exp (-\beta E)$ 主要在正则系综（canonical ensemble）出现，而这系综出现在粒子数恒定及可与外界交换能量的系统，而外界与系综已形成热平衡（thermal equilibrium）状态。

第一，由于已达至热平衡，外界和系统的能量／粒子数是相同的，所以系统的总能量可说已定；第二，统计力学中，所有微态（microstate）的机率都是相同的。基于这两点，可证明 $\exp (-\beta E)$ 是此系综的分佈，具体证明已由 @lee aichi给出。

我们可以用一个电脑模拟实验去理解。假设有N粒子，而由热平衡所定下的总能量为E，假设能量是量子化（quantized）的，而假设 $\epsilon_n=n$ 。那粒子的能量分佈是否 $\exp (-\beta n)$ ？如果这假设成立，
$p(\epsilon_n) = (1-\exp(-\beta)) \exp(-\beta n)$ 。
那每粒子的平均能量为 $\langle \epsilon \rangle = \sum_n \epsilon_n p(\epsilon_n) = \frac{e^{-\beta}}{1-e^{-\beta}}$ 及其涨落（fluctuation）为
$\langle (\Delta \epsilon)^2 \rangle = \sum_n \epsilon_n p(\epsilon_n) = \frac{e^{-\beta}}{(1-e^{-\beta})^2}$
做点代数，可知
$\beta = \log \frac{1+\langle \epsilon \rangle}{\langle \epsilon \rangle}$ ...(1)
和
$\langle (\Delta \epsilon)^2 \rangle = \langle \epsilon \rangle (1+\langle \epsilon \rangle)$ ...(2)

大家可到canonical_ensemble/sim_mr_canonical.py at master 路 stephenhky/canonical_ensemble 路 GitHub，参第一个函数raw_sim_particle_levels看具体做法。做完模拟后分析数据，可验证(1)（参图一）和(2)（参图二）。

图一
图二

从(1)可知， $\beta$ 跟热平衡能量有关，从热力学可知， $\beta = \frac{1}{k_B T}$ 。

在量子力学中， $\exp\left(-\frac{i H t}{\hbar}\right)$ 是酉矩阵（unitary matrix），描述量子态的随时间演化。由于统计力学和量子力学这一点的相似性，用Wick’s rotation，我们可以往返量子力学和统计力学。这是量子场论和统计场论的联系。由于量子场论的时间通常由0至无穷大，但统计场论的则由0至 $\frac{1}{k_B T}$ ，我们出现了Matsubara frequency，其场论中的和可用简单的複变（complex variable）手法计算出，要注意玻色粒子（bosons）和费米粒子（fermions）是不同的。

但如果我们想知道一个统计系统的时间的演化，我们怎样把 $\exp (-\beta E)$ 和 $\exp\left(-\frac{i H t}{\hbar}\right)$ 放在一起？我们要借助Keldysh formalism。一个开放量子系统（open system）的时间演化，可用influence functional（参Feynman and Hibbs最后一课），当中有向前和向后两个路径的组合。如果是多粒子系统，这路径会沿着虚轴走。可参看以下书籍：

1. Condensed Matter Field Theory: Alexander Altland, Ben D. Simons: 9780521769754: Amazon.com: Books 第11课
2. Quantum Mechanics and Path Integrals: Emended Edition (Dover Books on Physics): Richard P. Feynman, Albert R. Hibbs, Daniel F. Styer: 9780486477220: Amazon.com: Books 第12课
3. Nonequilibrium Quantum Field Theory (Cambridge Monographs on Mathematical Physics): Esteban A. Calzetta, Bei-Lok B. Hu: 9780521641685: Amazon.com: Books

注：函数raw_sim_particle_levels的实现：

def raw_sim_particle_levels(N, totalE, R=float('inf')):
    """
    Simulate the energy levels for all particles, given
    there are N particles, totalE unit of energies and R
    energy levels.

    Args:
        N (int): Total number of particles.
        totalE (int): Total units of energies.
        R (int or float, optional): Number of energy levels. Defaults to float('inf').

    Returns:
        ndarray: An array (ndarray) of N elements storing the energy levels of all the
        N particles in the simulation.
    """
    partlevels = np.zeros(N)
    for i in range(totalE):
        avail_part = np.where(partlevels<(R-1))[0]
        #idx = np.random.choice(avail_part)
        idx = avail_part[np.random.randint(0, high=len(avail_part))]
        partlevels[idx] += 1
    return partlevels

编辑于 2014-05-28 1 条评论感谢收藏 • 没有帮助 • • 作者保留权利

傅渥成，新书《临界》上市： http://t.cn/RypqULQ…

知乎用户、fool、知乎用户等人赞同

从基本的统计物理出发的推导请见右边的链接：Boltzmann factor

下面我就不谈推导，只谈理解，我将先给出很初等且极不严谨的理解：

（一）不严谨版。从熵的微观定义说起，S=klnΩ：

Boltzmann常数k可以将一个微观的定义和一个宏观的量联系起来（在这一意义上，它类似于Avogadro常数），例如在能均分定理中，温度是宏观的量，平均的动能是一个微观的定义。
对数则使得熵从微观状态数这样一个总是需要作乘法的量，变成了一个可加的量。

从这两点出发，我们来构造Boltzmann因子：

第一步，现在我们需要把能量（微观）和温度（宏观）联系起来，那么有E/kT；
第二步，我们发现这个量的量纲跟熵除以Boltzmann常数的量纲是一样的，不难发现这仍然是一个可加的量，微观状态的占据数应该是一个可乘的量，那么在熵的定义时我们取了对数，这里逆回去，变成指数，于是有exp(E/kT)；
第三步，检查一下，发现似乎搞错了，这样会导致E等于无穷的时候占据数无限大，这显然是不合理的，E等于无穷的时候应该占据数为0，粒子倾向于在低能量处占据，那么加上一个负号，得到正确的Boltzmann因子。

（二）统计推断中的熵极大原理
在非统计物理的领域，例如在信息学的领域，在统计推断的领域，我们同样会谈到熵，同样可以见到这样的指数形式。熵在统计物理里面意味着无序的程度，在统计推断的领域则意味着系统不确定的程度，如果知道的信息对刻画一个具体的系统只能起很小的作用，那么说明这个信息的质量并不太高，熵是很大的。如果你喜欢这一角度，不妨尝试参考一种理解，这一理解不但可以从统计物理的角度帮助理解这一问题，也可以从统计推断的角度来理解这一问题。统计物理中可以证明，不论在哪种系综下，熵总可以表示为：S=-p ln(p) 的形式。这一定义在统计推断中同样适用。我们根据已知的信息，希望得到一个模型，要让这个模型的约束是最少的，那么就要尝试使系统的熵极大化。在给定几个Lagrangian乘子的约束下，利用变分使熵极大，同样可以得到这一形式，只是这里的系数可能不再是Boltzmann系数而已，指数形式的长相依然存在。这一方法可以参考：Maximum entropy probability distribution，在各类统计学的著作中也有说明。

（三）深入理解的角度
在题主的问题中还出现了对Bose分布理解上的困惑，在初学的阶段，你可以把Bose分布看成是对Boltzmann分布的一个等比级数的求和。
随着学习的深入，再要来真正要来推导Bose分布，Fermi分布，还用能级求和的方法似乎总是显得不够优雅。在对易关系的基础上，考虑算子的含时演化，再将时间替换成t = - i \hbar /kT，整理整理，很自然就得到了Fermi分布和Bose分布。从Wick转动的角度才是一个更好的角度，理解全同粒子的分布，那应当是更基本的东西。
这时候再来看代换t = - i \hbar /kT，或许你已经会觉得它是很自然的了，但是看懂其中的数学并不困难，可是讲清楚其中的物理意义其实还挺困难，可以参考：Thermal quantum field theory，Matsubara frequency，等等维基页面。这一代换得到的有限温度的量子统计的结论可以被实验验证。时间与温度的这种联系可能是因为非对易关系所导致的表现在时间箭头与熵的某种联系。

编辑于 2013-01-26 7 条评论感谢收藏 • 没有帮助 • • 作者保留权利

匿名用户

2b青年、知乎用户、知乎用户赞同

我觉得这只是因为你对这个函数熟悉，心理学里面有个效应，大概说当你注意到什么时你会更加注意到。比如椭圆函数也在各个领域里面常见，看到椭圆函数就应该想到环面（我没仔细检查过），就像看到pi就必定有圆存在一样，但前者毕竟不如三角函数这么普及，这让我联想到了问为什么规范群是那几个：因为简单，所以被你观测到了。

1/[exp(E/kT)-1]这个其实和exp(-E/kT)很不像，虽然都是单周期函数，但前者是伯努利数的母函数，因此自然也可以简单和Riemann zeta函数联系上（因为这两个没什么区别），而伯努利数的数论意义更大。在统计物理里面也恰恰是因为1/[exp(E/kT)-1]的奇点行为导致了BEC（希望我没记错- -），另外Fermi因子1/[exp(E/kT)+1]是欧拉数的母函数，题主应该记得统计物理的推导里面也会出现zeta函数作为常数因子。也可以考虑1/[exp(E/kT)+k]，对应的我忘记名字了= =Riemann zeta函数有各种意义的推广，这个记得半导体物理里面会出现？（瞎说的- -）

另外吐槽你们这些随随便便做Wick转动的= =

编辑于 2014-12-04 添加评论感谢收藏 • 没有帮助 • • 作者保留权利

知乎用户，没人要的逗逼民工

知乎用户、钟德亮、看飞碟等人赞同

1楼答非所问吧。。我真不是和1楼做对，听说1楼来了以后知乎民科少了很多，但一楼的答案也常有偏激，片面，主观和审题失误之处，我建议他多找几个水平相同的物理系学生互相进步（不是我，我水平太低==）

问题问的是为什么分母上常见kT，和波函数无关（量子力学和场论不会告诉你为什么有kT）。为什么会有kT，这和统计力学的推导有关系。你可以理解为kT是温度所表征的能量，参见能量均分定理。那么E/kT就是粒子能量和温度能量之比；粒子态的能量越比环境温度能量高，其出现的概率就越小，这就是boltzmann分布的意思。环境温度就好比一个大热炉，提供取之不尽的kT能量；粒子分布就好比这个大热炉中的涨落。

编辑于 2013-01-26 5 条评论感谢收藏 • 没有帮助 • • 作者保留权利

匿名用户

何史提赞同

不止是物理，如果你看过信号与系统，数字信号处理，你就知道在离散型计算里，这种破公式非常之多，各种变换让你措手不及。为了不暴露专业，匿了。

发布于 2014-04-17 添加评论感谢收藏 • 没有帮助 • • 作者保留权利

jamin黄

大神们都说的很透彻了。补充一点，关于k的。
热力学对两个系统的温度做明确的限定就只有温度的比值（T1/T2，e.g卡诺循环），所以（熵无量纲）能够随意的让温标乘以常数。比如说Kelvin scale和Rankine scale（温标的零点确定）。所以我们愿意的话也可以选一个温标，让k=1。
《thermodynamics and an introduction to thermostatistics》,Herbert B.Callen,Chapter 2.6 temperature units,

编辑于 2014-08-16 添加评论感谢收藏 • 没有帮助 • • 作者保留权利

匿名用户

txz 赞同

个人拙见，这个公式暂且不提，先看看其他符合波尔兹曼分布的公式，比如在势垒为ΔG的波尔兹曼分布下，n=n○exp(-ΔG/kT)，可以看作由于势垒存在而出现的一种必然的统计学结果。势垒ΔG可以看作外因，温度T可以看作内因，而k则是一个换算单位，体现出势垒、内部普遍能量状态与状态分布的相关联系。
这个式子还可以与标准正态分布联系起来，可以参考材料科学的扩散理论，具体的就不推导了。但是可以看到的是内外因与分布的统计学关系，这一点对于世间万物是普遍适用的。

发布于 2014-04-18 添加评论感谢收藏 • 没有帮助 • • 作者保留权利

Mushao Li，又穷又抠又怂

揣测一下，这是不是因为体系的能量囿于下而不囿于上。E有下界，但无上界，故而
exp(-E/kT)的形式是唯一的形式？你能想到别的形式吗？

发布于 2014-04-18 6 条评论感谢收藏 • 没有帮助 • • 作者保留权利

杨小博

这个问题我是从量子隧穿上理解这个式子的，T是温度，在热力学中反映粒子所具有的能量，E是势垒高度，可以理解为一堵墙。整个指数项反映的是具有一定能量的粒子跨过高度为E的势垒的概率。玻尔兹曼分布按这个方式就很好理解，固体物理中导带电子分布也可以从这个方向理解，当然还有电子跃迁概率。手机打的排版不好请见谅！

发布于 2014-04-18 添加评论感谢收藏 • 没有帮助 • • 作者保留权利

徐匡奕

貌似1/kb*t 和归一化和理想气体状态方程，能均分有关。

发布于 2015-05-27 添加评论感谢收藏 • 没有帮助 • • 作者保留权利

CZ Michael

看了大家的回答，想补充一点，实际上对于self-organized system，如果引入relaxation process approximation，体系自然就会给出类似于Boltzmann dist.的结果（例如在Boltzmann equation中的relaxation time approximation），同时，体系如果有energy gap的话，也会出现一个类似于boltzmann factor的jump

发布于 2015-05-29 添加评论感谢收藏 • 没有帮助 • • 作者保留权利

知乎用户，痛恨剧透因而无法写文艺评论

玻尔兹曼分布，最初来源于玻尔兹曼对重力场中粒子分布的研究，有严格推导，可把重力势能推广到一切能量，有启发式推导。可查。

发布于 2015-08-07 添加评论感谢收藏 • 没有帮助 • • 作者保留权利

匿名用户

纪念麦克斯韦及玻尔兹曼。好像缺少一个负号，不然就是隐藏其中了^_^

金庸式的开头

从我们所知道的自然界谈起：
什么是量子场论 
什么是格点量子场论 
。。。。。。。

提纲

格点量子场论的简介

从我们所知道的自然界谈起：
什么是量子场论 
什么是格点量子场论 

格点量子场论的研究方法：

理论基础（path integral）
实战经验（Monte Carlo）
几个例子：统计模型，Higgs质量，QCD

结束语：

第一部分
什么是格点量子场论

God-given units

“最自然”的单位制

只有一个量纲，可以取为能量，也可以取为长度，二者量纲互为倒数：

长度、时间同量纲：(能量)^-1
质量、动量、温度同量纲： (能量)^＋¹

尺度

宇观：宇宙尺度 10¹⁰ly＝10¹⁸ m
宏观：人类尺度 10³－10⁰ m
介观：纳米尺度 10^－⁹－10^－⁸ m
微观： 10^-10－???

原子分子 10^-10 m
原子核 10^-15 m
基本粒子 10^-19 m

37个量级！

构成

费米子：

轻子（e, m , t 及其相应中微子）
夸克（u, d, c, s, t, b）

玻色子：辅助、黏合

g，W^，Z⁰，g
Higgs(???)

相互作用

相互作用

引力
电磁
弱
强

现实与梦想

一个标准

实验是检验真理的唯一标准

两个标准模型（standard model）

宇宙学标准模型
粒子物理标准模型

一个梦想

描述所有物理的Theory of Everything

Two Standard Models

粒子物理标准模型

关于强、弱、电磁相互作用的量子规范场论

宇宙学标准模型

热大爆炸宇宙学

Two models married

在宇宙早期，
一切结构都
无法存在
能够存在的
只有
基本粒子

我们了解的自然界

宇宙性质



基本/非基本粒子

及其相互作用

物质构成



基本/非基本粒子

及其相互作用

Theory of Something

 

量子场论

量子场论

            S=0 玻色子  标量场
            S=1 玻色子  规范场（矢量场）
            S=1/2 费米子  旋量场

相对论性量子场论

研究基本粒子及其相互作用的量子理论

非相对论性量子场论：

研究原子核系统、凝聚态多体系统的量子理论

量子的、多自由度体系的、物理理论

量子场论的困难排名不分先后

解析可解的模型少

除了一些特殊模型、特殊维数

紫外发散、红外发散
非微扰效应

量子场论 >> 微扰量子场论
非微扰的定义
非微扰的计算

引力之量子化

量子场论的微扰定义

一个作用量：S[f ( x); l]

动力学自由度：f ( x)
耦合参数： l

首先定义相应的自由场论 l=0

一群无相互作用的简谐振子

所有物理量展开为 l 的幂级数
希望足够好（至少对于小的l ）

微扰定义的问题

树图

一圈图

二圈图

三圈图

紫外发散

紫外发散的原因

连续变量

连续不可数多自由度

k 可以趋于无穷

傅立叶变换

紫外发散的原因

相对论性场论中，存在真空涨落

微扰定义的问题I

树图

一圈图

二圈图

三圈图

所有圈图紫外发散

怎么办？

正规化

用某种方法，使得 k 有限

重整化

将发散吸收到参数重定义中

微扰定义的问题II

所有圈图紫外发散已消除
级数本身仍然发散！
但是

怎么办？

按照渐近展开理解
寻找非微扰的定义

格点场论

格点量子场论

场变量定义于（分立的）时空格点上的，研究量子场论的方法
为什么要用格点？

提供了一个非微扰的理论框架，适宜于研究理论的非微扰特性
避免了连续场论中的红外和紫外发散（提供了一种非微扰的截断）
可用数值方法（Monte Carlo）研究

总结

自然界之理论描述
量子场论
需要非微扰的方法
微扰论的各种困难
格点量子场论

第二部分
格点场论的研究方法

格点场论的理论基础

动力学自由度－场－定义于4维欧几里德空间中的（有限多）时空格点上
场的作用量S[f ]是场的（泛）函数
格点场论的非微扰定义：

生成泛函/配分函数

（路径）积分测度

Boltzmann因子

量子场论/统计物理
的对偶

欧氏空间与闵氏空间的关系

在一定条件下

物理量的计算

格点场论的实际计算

能够解析地计算配分函数的情形是罕见的（严格可积系统）
可以计算微扰展开（费曼图），但…
直接数值计算配分函数是不现实的

计算量指数增长

需要重点取样（Monte Carlo方法）

Monte Carlo方法

需要产生概率密度
利用Markov过程：

从任意概率分布出发:
Markov 跃迁：
持续叠代最终：
格林函数：

例子： Lenz-Ising model

研究对称性破缺的范例：Z₂被破缺
Ising模型的临界特性不仅仅是这个模型的（气液相变、lf⁴模型等），它代表了一类模型的临界特性：Z₂被破缺
Universality

一台可靠的PC
简单（约300-400行）正确的程序（算法）
一个正确的Random # generator
大约几天的运行时间
可计算出三维Ising模型的大多数的物理量，精度不低于70－80年代的解析RG计算（如e-expansion等）

Monte Carlo处理 Ising model的方法

例子：Higgs质量上限

具有O(4)对称性的lf⁴理论

Triviality  4维 lf⁴是marginal operator

当取连续极限时，l实际上对数地趋于零。因此，必须取格距a为有限大，才能使Higgs质量为有限。

Higgs质量必须小于600-700GeV

例子：禁闭

自然界中没有自由夸克，它们总结合成强子（质子、中子、p介子，K介子等），这称为禁闭
静止夸克-反夸克间有着很强的线性禁闭势
格点量子色动力学（Lattice QCD）是唯一能够从QCD出发给出解释的理论

例子：强子谱

m_p=938.27MeV (uud)

m_n=939.56563MeV (udd)

m_p=139.56995MeV (ud, ud)

m_K=493.677MeV (us, us)

这些以前被认为是基本粒子的质量曾被认为是自然界基本常数。
Lattice QCD允许我们计算这些质量、衰变常数

例子：新强子态、新物态

Lattice QCD允许我们计算尚未发现的新强子（例如胶球）、研究新的物态（例如夸克胶子等离子体）的性质。
胶球是QCD预言的新强子，它纯粹（lie）由胶子组成。目前的计算表明，最轻的胶球（J ^PC= 0⁺⁺）质量在1.7GeV附近
混杂态（hybrids）是夸克－反夸克－胶子组成的束缚态（有胶子激发）
夸克胶子等离子体是一种新的物态

第三部分
结束语

成绩是有的…

格点场论提供了一个研究量子场论的非微扰的理论方法
格点场论可以利用Monte Carlo等数值方法进行有效的数值研究
经过20年来的Growing pain，我们已经从一个婴儿，长成一个少年
我们还会继续长大

问题也不少…

高简并度真空（基态）的模拟
多标度问题的模拟：典型的例子是重夸克－轻夸克同时存在的系统。
费米子模拟问题

QCD 模拟：quenching vs. unquenching
符号问题：如何模拟complex actions?

手征费米子（chiral fermions）问题：如果左右手不对称，会带来原则性的问题.

phymath999

Wednesday, December 9, 2015

虚、实软光子的红外发散总是逐阶地对消: 生成泛函/配分函数（路径）积分测度 Boltzmann因子

如何理解量子物理或统计物理中几乎无处不在的 exp(-E/kT) ？

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虚、 实软光子的红外发散总是逐阶地对消: 生成泛函/配分函数 （路径）积分测度 Boltzmann因子

如何理解量子物理或统计物理中几乎无处不在的 exp(-E/kT) ？

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虚、实软光子的红外发散总是逐阶地对消: 生成泛函/配分函数（路径）积分测度 Boltzmann因子