在惯性系中制备的一些相同的尺子, 作为标准长度单位, 称每把尺的长度为L0 米. 分别沿半径和圆周摆放尺子.
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当圆盘以角速度ω转动时, 圆周处的线速度为υ =ωr。因为转盘是一非惯性参考系,我们暂时还不知道非惯性参考系的时空几何学和其他所有自然定律,只能通过地面惯性系的测量来推断转盘上的规律. 根据狭义相对论，圆周上随圆盘转动的尺子相对地面惯性系的长度为：
L(r)=L0γ＝L0√[1-(ωr/c)^2]<L0
L(r)=L0γ＝L0√[1-(ωr/c)^2]<L0
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而沿半径摆放的转动尺子相对地面惯性系的长度不变, 仍为L0, 即圆盘半径不变。 根据地面惯性系的欧几里德几何, 圆盘转动时的边缘和不转动时的边缘应该是重合的。摆满半径所需的转动尺子数目仍为n, 但是因为沿圆周边缘摆放的转动尺子变短了, 在转动圆盘上需要多一些尺子才能摆满圆周, 即需要尺子的数目变成m'(m'>m)。
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对于转动圆盘上的人, 有两种观点可选择：
1）仍然采用地面惯性系的长度标准, 以不转动的尺子为长度标准单位；认为转盘上同样的尺子在不同的位置具有不同的长度L0'=L(r),而圆盘转动时圆周的长度和静止时一样, 即m'L0'=mL0 ；
2）不管尺子作惯性运动抑或非惯性运动, 坚持同样的尺子在任何情况下都代表同样的长度（把它作为转盘参考系中的长度标准单位）；因而圆盘转动时圆周的长度m'L0 和静止时的mL0不一样. 对于转盘参考系, 按第一种观点, 本质相同的尺子在不同位置具有不同的长度(因而不能作为长度单位), 转盘上的人做长度测量时需要用固定在另一个特定参考系的尺子作为长度单位。
而按第二种观点, 物理本质相同的尺子作为长度的标准单位, 与它所处的位置及运动状态无关, 长度的测量仅与单个参考系有关. 因为第二种观点避免了长度测量依赖于有优越性的特殊参考系, 所以显得自然一些。
1）仍然采用地面惯性系的长度标准, 以不转动的尺子为长度标准单位；认为转盘上同样的尺子在不同的位置具有不同的长度L0'=L(r),而圆盘转动时圆周的长度和静止时一样, 即m'L0'=mL0 ；
2）不管尺子作惯性运动抑或非惯性运动, 坚持同样的尺子在任何情况下都代表同样的长度（把它作为转盘参考系中的长度标准单位）；因而圆盘转动时圆周的长度m'L0 和静止时的mL0不一样. 对于转盘参考系, 按第一种观点, 本质相同的尺子在不同位置具有不同的长度(因而不能作为长度单位), 转盘上的人做长度测量时需要用固定在另一个特定参考系的尺子作为长度单位。
而按第二种观点, 物理本质相同的尺子作为长度的标准单位, 与它所处的位置及运动状态无关, 长度的测量仅与单个参考系有关. 因为第二种观点避免了长度测量依赖于有优越性的特殊参考系, 所以显得自然一些。
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依这种观点, 转盘参考系的几何不是欧几里德几何. 在思考上述问题时, 要避免问这样的问题: “转动和不转动的圆盘, 他们的圆周长度到底相不相等?” 这是牛顿绝对空间概念导致的误区. 按照相对论, 长度没有绝对意义. 同样物理状态下物体的长度在两个参考系中可以是不同的. 而具有绝对意义的是摆放尺子的数目。所以地面和转盘上的人记录的固定在转盘上沿圆周摆放的尺子数目都是m'。至于他们认为圆周的长度有多长, 则与他们选择的长度标准单位有关。
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再考虑两个相同的时钟, 一个放在圆心, 一个放在圆周。按照狭义相对论, 当圆盘转动时, 地面惯性系的观察者将看到圆周的时钟走得慢一些。离圆心越远,时钟越慢。和前面关于尺子和长度测量的讨论相似, 转盘上的观察者可以自然地坚持时钟的一个运动周期为标准时间单位, 不管时钟放在那里都代表同样的时间间隔。这样转盘上的观察者测量得圆周上的时间较之圆心的时间流逝得变慢了。
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在转盘上引入非欧几何不是必须的, 因为转盘相对一个惯性系转动, 一切时间和尺度都可以用惯性系中的时钟和尺子来测量, 时空几何以惯性系的欧几里德几何为准, 赋予惯性系特殊优越的地位. 假如物理上存在欧几里德几何成立的称为惯性系特殊参考系, 原则上也不妨坚持以惯性系中静止的时钟和尺子为时间和长度的标准, 以此量度任何参考系的时间和长度. 但是等效原理告诉我们, 圆盘的加速运动等效于引力场. 由于实际上存在不能通过参考系变换使之处处为零的引力场, 因此物理上不存在真正的欧几里德几何成立的惯性系, 因此非欧几里德几何是必须的.
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